5.5一次函数的简单应用(1)

(1)求 y1与 x 之间的函数表达式.
1
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【解】当0≤ x ≤5时，设 y1＝ kx ，将点(5，75)的坐标代
入，得5 k ＝75，∴ k ＝15，∴ y1＝15 x (0≤ x ≤5)；
当 x ＞5时，设 y1＝ mx ＋ n ，将点(5，75)，(10，120)的坐
标分别代入，
40
50
…
A. b ＝ d2
B. b ＝2 d
C. b ＝ d ＋25

D. b ＝

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75
2. [2024·温州瓯海区月考]在一次实验中，老师把一根弹簧秤
的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度 y (cm)
与所挂物体的质量 x (kg)有以下对应关系，则表格中 m 的
值为(
A )
39 500
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元.
8
【点拨】
设购进 A 种品牌衬衫 a 件， B 种品牌衬衫 b 件，则 C
种品牌衬衫为(300－ a － b )件，获得的总利润为 y 元，
由题意得 y ＝(200－100) a ＋(350－200) b ＋(300－
150)(300－ a － b )－1 000＝－50 a ＋44 000.

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8. [2023·天津]已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条
直线上，文具店离宿舍0.6 km，体育场离宿舍1.2 km，
张强从宿舍出发，先用了10 min匀速跑步去体育场，在体

一次函数简单应用在数学中，一次函数是指具有以下形式的函数：y = ax + b其中a和b是实数，x是自变量，y是因变量。

在一次函数中，x的最高整数次幂为1。

请注意，a不等于0。

一次函数在日常生活中有很多应用，例如计算机工程、物理学、商业和金融等。

本文将介绍一次函数的简单应用，包括函数图像、求根和变化率。

一、函数图像一次函数的函数图像是一条直线。

直线的斜率等于a，截距等于b。

斜率的正负决定了直线的方向。

例如，当a为正时，直线向上斜；当a为负时，直线向下斜。

当截距b为正时，直线与y轴正半轴相交；当截距b为负时，直线与y轴负半轴相交。

二、求根对于一次函数y = ax + b，求根意味着找到x的值，使得y等于0。

为了求根，我们可以使用以下公式：x = -b/a请注意，当a等于0时，一次函数将变成一个常数函数，因此它没有根。

三、变化率一次函数的变化率等于斜率a。

变化率是指函数输出值随着自变量变化而变化的速率。

当斜率为正时，函数值增加；当斜率为负时，函数值减少；当斜率为零时，函数值保持不变。

变化率还可以表示为函数图像上某一点的切线的斜率。

四、简单应用一次函数可以用来表示许多现实世界中的问题。

例如，在一个电子产品制造公司工作的小明根据历史销售数据和市场趋势，建立了以下一次函数模型：y = 500x + 1000其中y是销售额，x是月销售量（以千台为单位）。

小明可以使用这个模型来预测未来销售额。

例如，如果月销售量增加了2千台，销售额将增加：y = 500 * 2 + 1000 = 2000 + 1000 = 3000因此，下个月的销售额预计为3000元。

在物理学中，一次函数可以用来描述一个物体的运动状态。

例如，一个滑板运动员的速度可以表示为：v = 5t + 10其中v是速度（以米/秒为单位），t是时间（以秒为单位）。

这个函数模型告诉我们，在时间t=0时，运动员的速度为10米/秒；在每秒钟，运动员的速度增加5米/秒。

最新浙教版八年级数学上册课时测试题（全册共264页附答案）目录1.1 认识三角形（一）1.1 认识三角形(二)1.2 定义与命题（一）1.2 定义与命题（二）1.3 证明（一）1.3 证明（二）1.4 全等三角形1.5 三角形全等的判定（一）1.5 三角形全等的判定（二）1.5 三角形全等的判定（三）1.5 三角形全等的判定（四）1.6 尺规作图第1章自我评价第2章特殊三角形2.1 图形的轴对称2.2 等腰三角形2.3 等腰三角形的性质定理(一)2.3 等腰三角形的性质定理(二)2.4 等腰三角形的判定定理2.5 逆命题和逆定理2.6 直角三角形(一)2.6 直角三角形(二)2.7 探索勾股定理(一)2.7 探索勾股定理(二)2.8 直角三角形全等的判定第2章自我评价3.1 认识不等式3.2 不等式的基本性质3.3 一元一次不等式(一)3.3 一元一次不等式(二)3.3 一元一次不等式(三)3.4 一元一次不等式组第3章自我评价第4章图形与坐标4.1 探索确定位置的方法4.2 平面直角坐标系(一)4.2 平面直角坐标系(二)4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移(一) 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移(二) 第4章自我评价第5章一次函数5.1 常量与变量5.2 函数(一)5.2 函数(二)5.3 一次函数(一)5.3 一次函数(二)5.4 一次函数的图象(一)5.4 一次函数的图象(二)5.5 一次函数的简单应用(一)5.5 一次函数的简单应用(二)第5章自我评价期末综合自我评价1.1 认识三角形（一）A组1．如图，图中共有__6__个三角形，以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ADC，以E为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△AEC，∠ADB是△ABD的内角，△ADE的三个内角分别是∠ADE，∠AED，∠DAE．(第1题)(第2题)2．在“三角尺拼角实验”中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝__120°__．3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为__40°__．4．(1)若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(B)A． 14 B． 10 C． 3 D． 2(2)若长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是(C)A． 4 B． 5 C． 6 D． 9(第5题)5．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的度数为(C) A．54° B．62°C．64° D．74°6．若一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶7，则这个三角形一定是(C)A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不能确定(第7题)7．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5．(1)求CD的取值范围．(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．【解】(1)∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴1<CD<9．(2)∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠AEC＝55°，∴∠C＝180°－∠AEC－∠A＝70°．B组8．现有3 cm，4 cm，7 cm, 9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是(B)A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【解】四根木棒任取三根的所有组合为3，4，7；3，4，9；3，7，9和4，7，9，其中3，7，9和4，7，9能组成三角形．9．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(D)A． 2a＋2b－2c B． 2a＋2bC． 2c D． 0【解】∵a＋b>c，∴a＋b－c>0，c－a－b<0，∴|a＋b－c|－|c－a－b|＝a＋b－c＋(c－a－b)＝a＋b－c＋c－a－b＝0．10．各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有多少个？【解】∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8．故各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有20个．(第11题)11．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A，B，C，D处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器应安装在AC，BD的交点E处，你知道这是为什么吗？【解】如图，另任取一点E′(异于点E)，分别连结AE′，BE′，CE′，DE′．在△BDE′中，DE′＋BE′>DB．在△ACE′中，AE′＋CE′>AC．∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，即AE＋BE＋CE＋DE最短．数学乐园12．观察并探求下列各问题：(1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__＜__AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．(第12题)【解】(1)BP＋PC＜AB＋AC．理由：三角形两边的和大于第三边．(2)△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图①，延长BP交AC于点M．∵PC<PM＋MC，∴BP＋PC<BM＋MC．∵BM<AB＋AM，∴BM＋MC<AB＋BC，∴BP＋PC＜AB＋AC，∴BP＋PC＋BC＜AB＋AC＋BC，即△BPC的周长＜△ABC的周长．（第12题解）(3)四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：如解图②，分别延长BP1，CP2交于点M．由(2)知，BM＋CM＜AB＋AC．又∵P1P2＜P1M＋P2M，∴BP1＋P1P2＋P2C＜BM＋CM＜AB＋AC，∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC<AB＋AC＋BC，即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．1.1 认识三角形(二)A组1．如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高线，下列作法正确的是(A)2．能将三角形的面积分成相等两部分的是(A)A．中线 B．角平分线C ． 高线D ． 以上都不能3．一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示，若∠2＝50°，则∠1＝(C ) A ． 50° B ． 60° C ． 70° D ． 80°,(第3题)),(第4题))4．如图，AD 是△ABC 的中线，BC ＝10，则BD 的长为__5__．5．如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，已知∠ABC＝80°，则∠DBC ＝__40°__．,(第5题)) ,(第6题))6．如图，AD 是△ABC 的中线，AB －AC ＝5 cm ，△ABD 的周长为49 cm ，则△ADC 的周长为__44__cm ．(第7题)7．如图，在△ABC 中，AD 是高线，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠C ＝60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数．【解】 ∵∠CAB ＝50°，∠C ＝60°， ∴∠ABC ＝180°－50°－60°＝70°． ∵AD 是高线，∴∠ADC ＝90°， ∴∠DAC ＝180°－∠ADC －∠C ＝30°． ∵AE ，BF 是角平分线，∴∠ABF ＝12∠ABC ＝35°，∠EAF ＝12∠CAB ＝25°，∴∠DAE ＝∠DAC －∠EAF ＝5°， ∠AFB ＝180°－∠ABF －∠CAB ＝95°， ∴∠AOF ＝180°－∠AFB －∠EAF ＝60°，∴∠BOA ＝180°－∠AOF ＝120°．B 组8．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD ＝2DC ，S △BDG ＝8，S △AGE ＝3，则S △ABC ＝(B )A ． 25B ． 30C ． 35D ． 40【解】 在△BDG 和△GDC 中，∵BD ＝2DC, 这两个三角形在BC 边上的高线相等，∴S △BDG ＝2S △GDC ，∴S △GDC ＝4． 同理，S △GEC ＝S △AGE ＝3．∴S △BEC ＝S △BDG ＋S △GDC ＋S △GEC ＝8＋4＋3＝15， ∴S △ABC ＝2S △BEC ＝30．(第8题)(第9题)9．如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC ＝__14__．【解】 设S △ABC ＝S ． ∵AD 是中线， ∴BD ＝CD ，∴S △ACD ＝S △ABD ＝12S △ABC ＝12S ．∵BE 是中线，∴AE ＝CE ，∴S △EDC ＝S △EDA ＝12S △ACD ＝14S ．∴S △EDC ∶S △ABC ＝14S S ＝14．(第10题)10．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，CE 是∠ACB 的平分线，∠A ＝20°，∠B ＝60°，求∠BCD 和∠ECD 的度数．【解】 ∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°． ∵∠B ＝60°，∴∠BCD ＝180°－∠CDB －∠B ＝30°．∵∠A ＝20°，∠B ＝60°，∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴∠ACB ＝100°． ∵CE 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCE ＝12∠ACB ＝50°，∴∠ECD ＝∠BCE －∠BCD ＝20°．(第11题)11．如图，在△ABC 中(AB>BC)，AC ＝2BC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40的两部分，求AC 和AB 的长．【解】 ∵AD 是BC 边上的中线，AC ＝2BC ， ∴BD ＝CD ，AC ＝4BD ．设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝4x ． 分两种情况讨论：①AC ＋CD ＝60，AB ＋BD ＝40，则4x＋x＝60，x＋y＝40，解得x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28，BC＝2x＝24，此时符合三角形三边关系定理．②AC＋CD＝40，AB＋BD＝60，则4x＋x＝40，x＋y＝60，解得x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系定理．综上所述，AC＝48，AB＝28．数学乐园12．如图，已知△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C ＝BC，C1A＝CA，顺次连结点A1，B1，C1，A1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连结点A2，B2，C2，A2，得到△A2B2C2……按此规律，要使得到的三角形的面积超过2018，则最少经过__4__次操作．,(第12题))【解】由题意可得规律：第n次操作后得到的三角形的面积变为7n，则7n>2018，可得n最小为4．故最少经过4次操作．1.2 定义与命题（一）A组1．下列语句中，属于定义的是(D)A．两点确定一条直线B．两直线平行，同位角相等C．等角的余角相等D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离2．下列语句中，属于命题的是(C)A．直线AB与CD垂直吗B．过线段AB的中点作AB的垂线C．同位角不相等，两直线不平行D．连结A，B两点3．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是(D)A．垂直B．两条直线C．同一条直线D．两条直线垂直于同一条直线4．下列语句中，不属于命题的是(C)A．若两角之和为90°，则这两个角互补B．同角的余角相等C．作线段的垂直平分线D．相等的角是对顶角5．把“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是对顶角，那么它们相等．6．指出下列命题的条件和结论．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3．(3)邻补角的平分线互相垂直．【解】(1)条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论：这两条直线平行．(2)条件：∠1＝∠2，∠2＝∠3；结论：∠1＝∠3．(3)条件：两条射线是邻补角的平分线；结论：这两条射线互相垂直．7．把命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)等底等高的两个三角形的面积相等．(2)两直线平行，内错角相等．(3)等角的余角相等．【解】(1)如果两个三角形等底等高，那么它们的面积相等．(2)两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等．(3)如果两个角同为等角的余角，那么这两个角相等．B组8．下列命题正确的是(D)A．若a＞b，b＜c，则a＞cB．若a＞b，则ac＞bcC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b9．对同一平面内的三条直线，给出下列5个论断：a∥b，b∥c，a⊥b，a∥c，a⊥c．以其中两个论断为条件．一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题．条件：a∥b，b∥c，结论：a∥c．【解】本题答案不唯一．10．定义两种新变换：①f(a，b)＝(a，－b)，如f(1，2)＝(1，－2)；②g(a，b)＝(b，a)，如g(1，2)＝(2，1)．据此得g(f(5，－6))＝(6，5)．【解】∵f(5，－6)＝(5，6)，∴g(f(5，－6))＝g(5，6)＝(6，5)．数学乐园(第11题)11．如图，定义：直线l1与l2交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，求“距离坐标”是(1，2)的点的个数(第11题解)【解】“距离坐标”是(1，2)的点表示的含义是该点到直线l1，l2的距离分别为1，2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1或a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1或b2上，它们有4个交点，即为如解图所示的点M1，M2，M3，M4．故满足条件的点的个数为4．1.2 定义与命题（二）A 组1．下列命题是真命题的是(A ) A ． 互余的两个角之和是90° B ． 同角的余角互余C ． 等底的两个三角形面积相等D ． 相等的角是直角2．下列命题是假命题的是(C ) A ．三角形两边之和大于第三边 B ．三角形的内角和等于180°C ．等边三角形旋转180°后能与本身重合D ．三角形的中线能平分三角形的面积3．能说明命题“对于任何实数a ，|a|>－a”是假命题的一个反例可以是(A ) A ． a ＝－2 B ． a ＝13C ． a ＝1D ． a ＝ 24．(1)定理是真命题(填“真”或“假”，下同)． “如果ab ＝0，那么a ＝0”是假命题． “如果a ＝0，那么ab ＝0” 是真命题．(2)“如果(a －1)(a －2)＝0，那么a ＝2”是假命题，反例是a ＝1．(第5题)5．如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，这是假命题(填“真”或“假”)． 6．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数． (2)两个负数的差一定是负数．【解】 (1)假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．(2)假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3．7．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD∥BC，则AD平分∠EAC．请用推理的方法说明它是真命题．(第7题)【解】∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C．又∵∠B＝∠C，∴∠EAD＝∠CAD，∴AD平分∠EAC．∴该命题是真命题．B组8．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是(B)A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对【解】A项，若甲对，即只参加一项的人数大于14人，则两项都参加的人数小于6人，故乙可能对也可能错．B项，若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，此时只参加一项的人数至少为16人，故甲对．C项，若乙错，即两项都参加的人数大于或等于5人，则只参加一项的人数小于或等于15人，故甲可能对也可能错．D项，若甲错，即只参加一项的人数至多为14人，则两项都参加的人数至少为6人，故乙错．综上所述，真命题只有“若乙对，则甲对”．9．有下列命题：①若a＋b＞0且ab＞0，则a＞0且b＞0；②若a＞b且ab＞0，则a＞b＞0；③一个锐角的补角比它的余角小90°．其中属于真命题的是__①__(填序号)．【解】①由ab＞0，可得a，b同号．又∵a＋b＞0，∴a＞0且b＞0，故本项正确．②令a＝－1，b＝－2，则ab＝2＞0，b＜a＜0，故本项错误．③一个锐角的补角比它的余角大90°，故本项错误．(第10题)10．如图，GH，MN分别是∠EGB，∠EMD的平分线，若GH∥MN，则AB∥CD．请用推理的方法说明它是真命题．【解】∵GH∥MN，∴∠EGH＝∠EMN．∵GH，MN分别是∠EGB，∠EMD的平分线，∴∠EGB＝2∠EGH，∠EMD＝2∠EMN，∴∠EGB＝∠EMD，∴AB∥CD．∴该命题是真命题．数学乐园11．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝25°．(第11题)(1)∠1＝25°，∠2＝155°．(2)请观察∠1，∠2与∠ABC分别有怎样的关系，并由此归纳一个真命题．【解】(2)∠1＝∠ABC，∠2＋∠ABC＝180°．真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．1.3 证明（一）A组1．如图，下面的推理正确的是(D)。

浙教版 八年级上
第5章 一次函数
5.5 一次函数的简单应用
第1课时 用一次函数解决实际问题
1. 某种商品2月份的售价为每件120元，3月份降价20％促销.
若3月份购买 x 件需要 y 元，则 y 与 x 之间的函数表达式为
(
C
)
A. y ＝24 x
B. y ＝80 x
C. y ＝96 x
D. y ＝100 x
1
2
3
4
(3)若销售单价提高7元，则它的日销售量减少
7
个.
【点拨】
由 y ＝－ x ＋70知，当销售单价为 x 元时，它的日
销售量是(－ x ＋70)个，
当销售单价为( x ＋7)元时，它的日销售量是[－( x ＋7)
＋70]个.
∵(－ x ＋70)－[－( x ＋7)＋70]＝7(个)，
∴若销售单价提高7元，则它的日销售量减少7个.
1
2
3
4
【解】当 x ＞10时，由题图可知 y 是 x 的一次函数，
且过点 A (10，100)和 B (20，160)，
∴设该一次函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ，
= ，
＋ = ，
则ቊ
解得ቊ
= ，
＋ = ，
∴ y ＝6 x ＋40( xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＞10).
1
＋ = ，
将(35，35)和(50，20)代入，得ቊ
解得
＋ = ，
＝ − ，
ቊ
∴ y ＝－ x ＋70.
= .
1
2
3
4
(2)当销售单价为58元时，它的日销售量是多少？
【解】当 x ＝58时， y ＝－58＋70＝12，∴当销售单