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高等数学 试题参考答案及评分标准 第 1 页 （共6页）2012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共60分）二、填空题（每小题2分，共20分）31．x 32．4 33．0 34．222,e ⎛⎫⎪⎝⎭35．21ln 1ln 2x x C --+36．2e x y x -= 37．1 38．1- 39．4π 40．发散三、计算题（每小题5分，共50分）41．解 原式301s i n 1c o s l i m x x x x→⎛⎫- ⎪⎝⎭= ---------------3分 20sin 1cos 1limcos x x x x x x→-=⋅⋅ ---------------4分高等数学 试题参考答案及评分标准 第 2 页 （共6页）22000sin 12limlim limcos x x x xx xx x →→→=⋅⋅1=2． ----------------5分 42．解 因为d d sin d tan d d cos d yya tt t x x a t t===-- ----------------2分 所以 2232d d d sec 1d d sec d d cos d y y t t x t x x a t a t⎛⎫ ⎪-⎝⎭===-． ----------------5分43．解t =，则21x t =-，且d 2d x t t = ----------------1分于是 原式2e d 2d et tt t t==⎰⎰ ----------------2分 2(e e d )t tt t =-⎰ ----------------3分2(1)e tt C =-+ ----------------4分C =-+回代． ----------------5分44．解 原式220 02e d e d limlimxx ttx x x tt xx→→==--⎰⎰----------------4分2lim exx →=-1=-． ----------------5分45．解 原方程的特征方程为22430r r ++= ----------------2分特征方程的根为12r =-±----------------3分所以原方程的通解为12e cossin22x y C x C x -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭．----------------5分 46．解 由22603120x y z x z y =-+=⎧⎪⎨=-=⎪⎩解得驻点(3, 2),(3, - ----------------1分 又 2, 0, 6xx xy yy z z z y =-==对于驻点(3, 2)，因为(3, 2)20, (3, 2)0, (3, 2)12xx xy yy A z B z C z ==-<====高等数学 试题参考答案及评分标准 第 3 页 （共6页）所以2240AC B -=-<，于是点(3, 2)不是函数的极值点． ----------------3分对于驻点(3, 2)-有(3, 2)20, (3, 2)0, (3, 2)12xx xy yy A z B z C z =-=-<=-==-=-于是 2240AC B -=>所以函数在点(3, 2)-处取极大值为(3, 2)35z -=． ----------------5分47．解 因为所求直线平行于直线235:21x y z l x z +-=⎧⎨+=⎩所以所求直线的方向向量为{}2316536, 5, 312i j k s i j k =-=--=------------------3分由直线的点向式方程可得，所求的直线方程为231653x y z -++==--． ----------------5分48．解 由于222222z y x x y x x yx y x y ∂+=+=∂+++ ----------------1分 222222z x y y x y x yx yx y∂-=-+=∂+++ ----------------3分所以d d d z z z x y xy∂∂=+∂∂ ----------------4分2222d d x y y x x y x yx y+-=+++． -------------------------5分49．解 在极坐标系下，区域D （如第49题图所示）可以表示为{(, )02π, π2π}D r r θθ=≤≤≤≤ ----------------1分所以2π 2π 0πsind d sin d Dx y r r r θ=⋅⎰⎰⎰⎰----------------3分2π π2πdcos r r =-⎰2π2πππ2πcos cos d r rr r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰26π=-． ----------------5分高等数学 试题参考答案及评分标准 第 4 页 （共6页）第49题图50．解因为1l i ml 1n n n nna a ρ+→∞→∞==== 所以原级数的收敛半径为 11R ρ== ----------------2分也就是，当121x -<-<，即13x <<时，原级数收敛．当1x =时，原级数为0nn ∞=-∑1n n u u +=>=，lim lim0n n n u →∞→∞==，所以它是收敛的； ----------------3分当3x =时，原级数为0n ∞=∑，这是一个112p =<的p -级数，所以它是发散的； ----------------4分所以，原级数的收敛域为[1, 3)． ----------------5分 四、应用题（每小题6分，共12分）51．解 因为1l n ()l n f x x x=，两边对x 求导得 22()11ln ()f x x f x xx'=-+----------------2分所以121()(1ln )x f x x x x'=⋅-令()0f x '=，解得唯一驻点e x =． ---------------3分高等数学 试题参考答案及评分标准 第 5 页 （共6页）又因为在区间(0, e)内()0f x '>，()f x 严格单调增加；在区间(e, )+∞内()0f x '<，()f x 严格单调减少；而()f x 又在区间(0, )+∞连续，所以()f x 在e x =处取最大值1e e ． --------------5分<>>⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅中最大的一项． --------------6分52．解 设切线与曲线相切于点()000,l n (3)M x x -（如第52题图所示），第52题图由于01'3y x x x ==- --------------1分则切线方程为 0001ln(3)()3y x x x x --=--因为切线经过点(3, 0)M ，所以将3, 0x y ==代入上式得切点坐标为()0e 3, 1M + --------------2分 从而切线方程为1(3)ey x =- --------------3分因此，所求旋转体的体积为()3e 2241V π1e πln(3)d 3x x +=⨯⨯--⎰--------------4分高等数学 试题参考答案及评分标准 第 6 页 （共6页）()e 21eπeπln 2ln d 13x x x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰e1eπe πe 2πln 1d 13x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎰e 2π13⎛⎫=- ⎪⎝⎭． --------------6分 五、证明题（8分）53．证明 设()ln f x x =，则()f x 在[], n m 上连续，在(, )n m 内可导，故()f x 在区间[], a b 上满足拉格朗日中值定理条件， ----------------2分于是，至少存在一点(, )n m ξ∈，使得ln ln 1m n m nξ-=- ----------------5分又因为0n m ξ<<<，故111mnξ<<，从而有1ln ln 1m n mm n n-<<- ----------------6分 所以lnm n m m n mn n--<<． ----------------8分。
河南农业大学2016—2017学年第一学期 《概率论与数理统计》参考答案（A ）一、判断题（每题2分，共计20分）二、填空题（每小题2分，共计20分）.1、(100,0.1)B2、0.83、0.354、0.255、2(1)X n -α6、17、208、()()b a Φ-Φ9、(,)F n m 10、2(1)n χ-三、计算题（每题10分，共计60分）. 1、解：（1）---------------4分24121()123,3151515E X =⨯+⨯+⨯= ---------------6分222224135()123,3151515E X =⨯+⨯+⨯= ---------------8分222352184()()()()151515D XE X E X =-=-= ---------------10分---------------10分2、解： (1)3084,01()(,)0xxydy x x f x f x y dy ξ+∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 ------------4分1284(1),01()(,)0yxydx y y y f y f x y dx η+∞-∞⎧=-<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它----------8分(2)3216(1),01,0()()(,)0x y y x y xf x f y f x y ξη⎧-<<<<=≠⎨⎩其它,ξη∴不独立. ---------10分3、解： 令A ={发出信号“—”}和B ={发出信号“．”}，C ={收报台收到信号“．”}则易知,A B 为样本空间的一个剖分， --------------2分 故C ACBC = ---------------4分由题设可知()0.6,()0.4P A P B ==，()0.1,()0.8P C A P C B ==由全概率公式可得()()()()()P C P A P C A P B P C B =+0.60.10.40.80.38=⨯+⨯= ---------------8分 （2）()()()0.40.816()()()0.3819P B P C B P BC P B C P C P C ⨯==== --------------10分已知22~(1,),~(1,)X N Y N σσ且X 与Y 相互独立，,U aX bY V aX bY =+=- 求U 和V 的相关系数ρ。
安徽大学2008—2009学年第一学期《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、下列陈述正确的是（ ）。
(A) 若方程组0m n A x ⨯=有唯一解，则方程组m n A x b ⨯=有唯一解 (B) 若方程组m n A x b ⨯=有唯一解，则方程组0m n A x ⨯=有唯一解(C) 若方程组0m n A x ⨯=有无穷多解，则方程组m n A x b ⨯=有无穷多解 (D) 若方程组m n A x b ⨯=无解，则方程组0m n A x ⨯=无解2、已知n 维向量组12,,,(2)s s ααα≥线性相关，则下列选项中必正确的是( )。
(A) 对于任何一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= (B) 12,,,s ααα中任何两个向量线性相关(C) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= (D) 对于每一个i α都可以由其余向量线性表出3、设0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)(|)1P A B P A B +=，则 ( )。
(A) 事件A 及事件B 互不相容 (B) 事件A 及事件B 对立 (C) 事件A 及事件B 不独立 (D) 事件A 及事件B 独立4、设~()X E λ（指数分布），n X X X ,,,21 是总体X 的样本，则参数λ的矩估计是( )。
(A) }{max 1i ni X ≤≤ (B) X 2 (C) X (D) 1/X5、设n X X X ,,,21 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，则下列结论正确的是( )。
(A) 22211()~()nii Xn μχσ=-∑ (B) 2211()~(1)ni i X X n nχ=--∑(C)22211()~()nii XX n χσ=-∑ (D)2211()~(1)1ni i X X n n χ=---∑院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------二、填空题（每小题2分，共10分）6、若齐次线性方程组 有非零解，则k ＝ 。
2023-2024学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：﹣tx+2y+2＝0和l2：6x﹣（t+1）y+3＝0平行，则实数t＝（）A．3B．3或﹣4C．﹣3D．﹣3或42．已知＝（﹣1，4，2）为平面α的一个法向量，α∥β（）A．（2，0，1）B．（4，2，﹣1）C．（2，8，4）D．（2，﹣8，﹣4）3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则λ＝（）A．3B．﹣3C．6D．﹣64．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BCA＝90°，CC1＝3BC＝3CA，则AC1与CB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（）A．30B．33C．38D．406．如图所示，在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，N为线段BC的中点，，则（）A．B．C．D．7．在空间直角坐标系中，已知点M（1，1，0），N（2，﹣1，﹣2），P（﹣1，1，2），则点P到直线MN 的距离为（）A．B．2C．D．48．如图，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7＝9，S4＝3a4，则（）A．{a n}的公差为1B．{a n}的公差为2C．S4＝18D．a2023＝202510．已知圆O：x2+y2＝4，动直线l过点P（3，0），下列结论正确的是（）A．当l与圆O相切于点E时，B．点P到圆O上点的距离的最大值为5C．点P到圆O上点的距离的最小值为2D．若点Q（0，1）在l上，l与圆O相交于点M，N，则11．已知P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1所在空间内一点，且，0＜λ＜1，则（）A．B．三棱锥D﹣P A1C1的体积为定值C．存在唯一的λ，使得平面P A1C1⊥平面BDD1B1D．存在唯一的λ，使得，12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为AB，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A．+＝B．•≥5C．若F恰好为PB的中点，则直线PQ的斜率为±D．直线PQ过定点（3，0）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的焦距为．14．若数列{a n}满足a2＝11，，则a985＝．15．若直线x+3y﹣1＝0是圆x2+y2﹣2ax﹣8＝0的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为．16．在首项为1的数列{a n}中，若存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+3）＞0成立，则m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2（a1+a2）＝a4，S5＝35．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若，求正整数m的最大值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，＝，BC＝，AC＝．（1）证明：BC⊥平面P AB；（2）求直线CP与平面ABD所成角的正弦值．19．（12分）已知圆C过点A（﹣5，﹣1）和B（2，0），且圆心C在直线x+y﹣1＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）经过点（3，4）的直线l与圆C相切，求l的方程．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，BC＝BP＝5，，△P AC为等边三角形，Q为PC上的一个动点．（1）证明：平面P AB⊥平面ABC．（2）当时，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．21．（12分）在数列{a n}中，已知a1＝3，a n+1＝4a n+3n﹣1．（1）证明数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2n﹣1，若数列{a n}与{b n}的公共项为b m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆C1和双曲线C2的离心率；（2）设双曲线C2的右焦点为F，过F作FP⊥x轴交双曲线C2于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆C1的左、右顶点，AP与椭圆C1交于另一点Q，O为坐标原点，证明：k BP•k OP＝k OQ+k OP．2023-2024学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：﹣tx+2y+2＝0和l2：6x﹣（t+1）y+3＝0平行，则实数t＝（）A．3B．3或﹣4C．﹣3D．﹣3或4解：直线l1：﹣tx+2y+8＝0和l2：7x﹣（t+1）y+3＝8平行，则（﹣t）•（﹣t﹣1）＝2×4，解得t＝3或﹣4，当t＝7时，两直线不重合，当t＝﹣4时，两直线重合，故a＝3．故选：A．2．已知＝（﹣1，4，2）为平面α的一个法向量，α∥β（）A．（2，0，1）B．（4，2，﹣1）C．（2，8，4）D．（2，﹣8，﹣4）解：根据题意，为平面α的一个法向量，则也是平面β的一个法向量，分析选项：对于A，设＝（2，0，∥不成立，7，1）不是平面β的一个法向量；对于B，设＝（4，6，∥不成立，0，1）不是平面β的一个法向量；对于C，设＝（7，8，∥不成立，8，3）不是平面β的一个法向量；对于D，设＝（2，﹣4），有，则∥成立，﹣5．故选：D．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则λ＝（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6解：等比数列{a n}的前n项和为S n，则＝，＝6×3n+λ，故，即．故选：D．4．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BCA＝90°，CC1＝3BC＝3CA，则AC1与CB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：如图，建立空间直角坐标系，设CC1＝3BC＝6CA＝3，则A（1，2，0），C1（6，0，3），7，0），B1（3，1，3），所以，则，故AC1与CB1所成角的余弦值为．故选：C．5．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（）A．30B．33C．38D．40解：根据题意，第n排的座位数为a n，由于第一排有5个座位，从第二排开始，则数列{a n}是以5为首项，公差为8的等差数列n＝5+（n﹣1）×6＝3n+2，该阶梯大教室共有258个座位，则有，变形可得：（3n+43）（n﹣12）＝0，又由n是正整数，则n＝12，则该阶梯大教室最后一排的座位数为a12＝5×12+2＝38．故选：C．6．如图所示，在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，N为线段BC的中点，，则（）A．B．C．D．解：＝+＝﹣++，则x＝﹣，y＝．故选：B．7．在空间直角坐标系中，已知点M（1，1，0），N（2，﹣1，﹣2），P（﹣1，1，2），则点P到直线MN 的距离为（）A．B．2C．D．4解：点M（1，1，5），﹣1，P（﹣1，6，则＝（﹣2，0，，故＝，，故点P到直线MN的距离为：＝2．故选：B．8．如图，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解：由，设|F2A|＝8t，|F2B|＝3t，（t＞6），则|AB|＝5t，由对称性知2B|＝|F6B|＝3t，因为F1在以AB为直径的圆上，则|F7A|＝4t，cos∠F1AB＝，由椭圆的定义知|F1A|+|F7A|＝6t＝2a，所以a＝5t，在△F1AF2中，8c2＝16t2+2t2﹣2×8t×2t×cos∠F1AB＝20t3﹣t2＝t2，所以c＝t，所以e＝．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7＝9，S4＝3a4，则（）A．{a n}的公差为1B．{a n}的公差为2C．S4＝18D．a2023＝2025解：设{a n}的公差为d，a7＝9，S8＝3a4，则解得故a2023＝a8+2022d＝2025，S4＝4a3+6d＝18．故选：ACD．10．已知圆O：x2+y2＝4，动直线l过点P（3，0），下列结论正确的是（）A．当l与圆O相切于点E时，B．点P到圆O上点的距离的最大值为5C．点P到圆O上点的距离的最小值为2D．若点Q（0，1）在l上，l与圆O相交于点M，N，则解：对于A，，A正确．易知点P到圆O上点的距离的最大值为8+2＝5，B正确；点P到圆O上点的距离的最小值为6﹣2＝1，C错误．对于D，动直线l过点P（6，点Q（0，所以直线l的方程为x+3y﹣5＝0，点O到直线l的距离，所以，D错误．故选：AB．11．已知P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1所在空间内一点，且，0＜λ＜1，则（）A．B．三棱锥D﹣P A1C1的体积为定值C．存在唯一的λ，使得平面P A1C1⊥平面BDD1B1D．存在唯一的λ，使得， 解：建立空间直角坐标系，如图所示：因为，0＜λ＜3，设＝t，1）；＝++＝++t，6，0）+（0，4，t，0）＝（t﹣1，t，＝+＝（1，6，0，﹣1）＝（4，1，所以•＝t﹣1+t﹣1＝4t﹣2＜0；三棱锥D﹣P A 5C1的体积为＝•BD＝××＝，是定值；当且仅当P为AC的中点时，平面P A1C1⊥平面BDD2B1，此时λ＝，选项C正确；因为＝++＝（﹣t，0）+（4，0，0，7）＝（﹣t+1，﹣1），＝++＝（﹣t，0）+（0，7，1，0）＝（﹣t，﹣4），所以•＝4t（t﹣1）+1＝2t2﹣2t+4，||＝|＝；令＝＝，化简得3t5﹣3t+1＝4，Δ＝9﹣12＜0，即不存在λ∈R，使cos＜，，选项D错误．故选：BC．12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为AB，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A．+＝B．•≥5C．若F恰好为PB的中点，则直线PQ的斜率为±D．直线PQ过定点（3，0）解：设直线AB的方程为x＝my+1（m≠0），A（x7，y1），B（x2，y7），联立方程组，得y2﹣4my﹣5＝0，则y1+y2＝4m，y1y3＝﹣4，∴|AB|＝＝4（m2+5），同理可得，∴，故A正确；∵P，Q分别为AB，∴P（6m2+1，8m），，∴，当且仅当m＝±1时等号成立；∵F为PB的中点，∴y3＝﹣2m，又∵y1+y2＝4m，∴y1＝7m．∵，∴，可得；当直线PQ的斜率存在时，，∴直线PQ的方程为，整理得，可得直线PQ过定点（3；当直线PQ的斜率不存在时，m＝±2，过点（3，∴直线PQ过定点（3，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的焦距为2．解：由题意知，双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x，因为双曲线C的一条渐近线方程为，即y＝x，所以＝，解得m＝9，所以C的焦距为2＝2．故答案为：2．14．若数列{a n}满足a2＝11，，则a985＝．解：根据题意，有a2＝，又a2＝11，所以11＝，解得a5＝，又a3＝＝＝﹣，a4＝＝＝＝a2，…，所以{a n}是以3为周期的周期数列，所以a985＝a328×3+3＝a1＝．故答案为：．15．若直线x+3y﹣1＝0是圆x2+y2﹣2ax﹣8＝0的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为1．解：由题可知，该圆的圆心为（a，因为直线x+3y﹣1＝3过圆心，所以a﹣1＝0，所以圆的方程为（x﹣8）2+y2＝7，因为圆心与的距离为，所以点与该圆上任意一点的距离的最小值为3﹣2＝4．故答案为：1．16．在首项为1的数列{a n}中，若存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+3）＞0成立，则m的取值范围为或．解：结合题意：a n＝a1+（a2﹣a3）+（a3﹣a2）+⋯+（a n﹣a n﹣3）＝，则a n＞0，所以（m﹣a n）（m+a n+3）＞7，解得m＞a n或m＜﹣a n+3，当n为偶数时，，递增n的最小值为，则，，递增n+3的最小值为，则，当n为奇数时，，递减n的最大值为a8＝1，，，递减n+6的最大值为，，综上所述：要使得存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+5）＞0成立，只需或，所以m的取值范围为或．故答案为：或．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2（a1+a2）＝a4，S5＝35．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若，求正整数m的最大值．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，解得，{a n}的通项公式a n＝1+5（n﹣1）＝3n﹣2．（2）由（1）得S n＝＝，所以＝＝，所以T n＝＝，由，得≤，解得m≤15，故正整数m的最大值为15．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，＝，BC＝，AC＝．（1）证明：BC⊥平面P AB；（2）求直线CP与平面ABD所成角的正弦值．解：（1）证明：因为P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，因为AB＝2，，，所以AB5+BC2＝AC2，则AB⊥BC，又因为P A∩AB＝A，P A⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB．（2）以B为坐标原点，，的方向分别为x，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3，0，0），7，0），，4，4），1，8），所以，，，设平面ABD的法向量为，则，解得y＝0，令z＝﹣1，得，所以，设直线CP与平面ABD所成的角为θ，则，即直线CP与平面ABD所成角的正弦值为．19．（12分）已知圆C过点A（﹣5，﹣1）和B（2，0），且圆心C在直线x+y﹣1＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）经过点（3，4）的直线l与圆C相切，求l的方程．解：（1）AB的中点（，），k AB＝＝，所以AB的中垂线方程为：7x+y+11＝6，由，得，即圆心（﹣2，半径r＝，所以圆C的标准方程为：（x+2）2+（y﹣3）2＝25．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时直线l与圆C相切，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣3），因为直线l与圆C相切，所以＝3，所以直线L的方程为：12x+5y﹣56＝2．综上，直线l的方程为：x＝3或12x+5y﹣56＝2．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，BC＝BP＝5，，△P AC为等边三角形，Q为PC上的一个动点．（1）证明：平面P AB⊥平面ABC．（2）当时，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．（1）证明：因为△P AC为等边三角形，所以，又PB＝CB，PC为公共边，作PO⊥AB，垂足为O，由三角形全等易知CO⊥AB，PO＝CO，设OB＝x，则OA＝4﹣x2＝P A2﹣OA2，且PO2＝PB2﹣OB6，所以，解得x＝2，故，故CO＝4，在△POC中，因为PO8+CO2＝PC2，所以PO⊥CO，又因为CO⊥AB，AB，AB∩PO＝O，所以CO⊥平面P AB，因为CO⊂平面ABC，所以平面P AB⊥平面ABC；（2）以O为坐标原点，OC，OP所在直线分别为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，则＝（5，7，设点Q（x0，5，z0），则，因为，所以，解得，所以Q（1，2，则，设平面QAB的一个法向量为，则，解得y＝3，则x＝3，故，又因为平面P AB的一个法向量为，所以，由图可知，二面角P﹣AB﹣Q为锐二面角，故二面角P﹣AB﹣Q的余弦值为．21．（12分）在数列{a n}中，已知a1＝3，a n+1＝4a n+3n﹣1．（1）证明数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2n﹣1，若数列{a n}与{b n}的公共项为b m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和S n．（1）证明：因为a n+1＝4a n+6n﹣1，所以a n+1+n+3＝4a n+4n＝5（a n+n），即＝5，又a1+1＝7，所以数列{a n+n}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n+n＝5×4n﹣1＝2n，即a n＝4n﹣n，故数列{a n}的通项公式为a n＝4n﹣n．（2）解：设b n＝8n﹣1，则b m＝2m﹣7，由数列{a n}与{b n}的公共项为b m，得2m﹣1＝4n﹣n，所以m＝，所以n﹣1＝7k（k∈N），即n＝2k+1（k∈N），所以m＝34k+1﹣k（k∈N），所以c n＝54n﹣3﹣（n﹣5）（n∈N*），所以S n＝＝．22．（12分）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆C1和双曲线C2的离心率；（2）设双曲线C2的右焦点为F，过F作FP⊥x轴交双曲线C2于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆C1的左、右顶点，AP与椭圆C1交于另一点Q，O为坐标原点，证明：k BP•k OP＝k OQ+k OP．解：（1）易知椭圆C1的焦距，双曲线C2的焦距，因为椭圆与双曲线，所以，整理得，此时，，则椭圆C1的离心率，双曲线C2的离心率，（2）证明：由（1）知，因为A（﹣a，0），此时直线AP的方程为，联立，消去y并整理得，由韦达定理得，解得，则，因为，，，所以，，故k BP•k OP＝k OQ+k OP．。
河南农业大学2008-2009学年第二学期 《高等数学》（工科）期末考试试卷(A)一、判断题（每题2分，共20分，正确的打√，错误的打×）（ ）1、()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅． （ ）2、方程z =表示一个开口向上的锥面．（ ）3、曲面(,)z f x y =在点000(,,)x y z 处的法向量为{}0000(,),(,),1x y f x y f x y ．（ ）4、极限3(,)(0,0)lim x y x y x y→+不存在．（ ）5、若二元函数在某点可微，则函数在该点的偏导数连续． （ ）6、若在区域D 上(,)0f x y ≤，则(,)0Df x y d σ≤⎰⎰．（ ）7、设C 为x 轴上从(1,0)A 到(1,0)B -的有向直线段，则d d 0Cy x x y +=⎰．（ ）8、设C 为圆周221x y +=，定向为正向，记C 所围平面区域为D ，则2222222222220()()C Dxdy ydx y x y x d x y x y x y σ⎛⎫---=-= ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰． （ ）9、若正项级数1nn a∞=∑的部分和数列{}n S 无界，则该级数发散．（ ）10、级数11)2n n ∞=-∑收敛．二、填空题（每空2分，共计20分）1、设{}1,1,2=a，{}4,1,b λ=-，且a b ⊥，则=λ _________.院、系 班级 姓名 学号 座号密 封 线2、通过z 轴和点(1,1,2)--的平面方程为_______ .3、200tan()lim x y xy y →→= _________．4、2(,)f x y x y =+在点0(1,1)P 沿向量{}2,2-方向的方向导数为___________．5、若22:4D x y +≤，则二重积分2Dx ydxdy =⎰⎰___________． 6、交换积分次序0(,)a a dy f x y dx -=⎰⎰______ ．7、设C 为圆周222x y R +=，则222()Cx y ds +=⎰________________.8、设S为上半球面z =，则曲面积分SdS =⎰⎰________________.9、级数1(1)(23)nn n x n ∞=--∑的收敛区间为 ． 10、设函数()f x 以2π为周期，在[,)ππ-上定义10()10x x f x x x ππ--≤<⎧=⎨+≤<⎩，则其傅里叶级数在x π=收敛于________________.三、计算题（每题10分，共计60分）1、设22w x y =+，x st =，cos y s t =，求10s t w s==∂∂，10s t w t==∂∂.2、计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y =2y x =所围成的闭区域.3、计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由2221(0)xy z z ++=≥与z =的空间区域．4、确定λ的值，使曲线积分212(4)d (62)d Cx xy x x y y y λλ-++-⎰在xoy 平面上与路径无关．当起点为(0,0)，终点为(3,1)时，求此曲线积分的值．院、系 班级 姓名 学号 座号密 封 线5、计算曲面积分d d d d d d SI x y z y z x z x y =--+⎰⎰，其中S 是曲面221z x y =++被平面5z =所截下的部分，取下侧.6、将函数21()43f x x x =++展开成x 的幂级数.。
mol/kg的KH2PO4溶液和K2HPO4溶液等体积混合后，溶液的pH为：A 4.66B 9.78C 7.20D 12.3610、已知水的K f = 1.86 K·kg·mol−1，测得某人血清的凝固点为-0.56 °C，则该血清的浓度为：A 332 mmol·kg−1B 147 mmol·kg−1C 301 mmol·kg-1D 146 mmol·kg−111、下列关于氧化数的叙述正确的是：A 氧化数均为整数B 氢在化合物中的氧化数都为+1C 氧化数是指某元素的一个原子的表观电荷数D 氧化数在数值上与化合价相同12、已知电极反应Cu2+ + 2e−→ Cu的标准电极电势为0.342V，则电极反应2Cu − 4e−→2Cu2+的标准电极电势为：A 0.324VB -0.324VC 0.684VD -0.684V13、下列溶液中，不断增加H+ 的浓度，氧化能力不增强的是：A MnO4-B Cu2+C H2O2D NO3-14、将下列反应中的有关离子浓度增加一倍，使反应的E值减小的是：A Cu2+ + 2e−→ CuB Zn2+ + 2e−→ ZnC Cl2 + 2e−→ 2Cl−D Sn4+ + 2e−→ Sn2+15、某电池的电池符号为(−)Pt∣A3+，A2+⁞⁞ B4+, B3+∣Pt(+)，则此电池反应的产物应为：A A3+，B4+B A2+，B3+C A2+，B4+D A3+，B3+二、判断题（每小题1分，共10分。
对的打√，错的打×，答案写在答题纸上。
）1、状态函数都具有加和性。
2、凡∆Gθ大于零的反应都不能进行。
3、在一定温度下，液体蒸气产生的压力称为饱和蒸气压。
4、系统的状态发生改变时，至少有一个状态函数发生了改变。
5、难挥发非电解质稀溶液的凝固点和沸点不是恒定的值。
6、用EDTA作重金属的解毒剂是因为其可以降低金属离子的浓度。
河南农业大学2011-2012学年第一学期《工科大学数学A 》期末考试试卷（A ）题号一二三四总分分数得分评卷人一、判断题（每小题2分，共计20分．请在正确命题前打“√”，错误命题前打“×”）（ ）1、有界数列必收敛．（）2、若在点连续，则在该点必有极限．)(x f 0x )(x f （）3、闭区间上无最小值的函数在该闭区间上必不连续．（）4、函数在点处不可微．x x f =)(0=x （ ）5、．212101xxe dx x -=+⎰（）6、若曲线上每一点都有切线，则必处处可导．()y f x =()y f x =（）7、极值点为单调性的分界点,拐点为凸凹性的分界点．（）8、若是的原函数，则．)(x f )(x g ⎰+='C x g dx x f )()(（）9、在上连续是存在的充分条件．)(x f ],[b a ⎰badx x f )(（）10、空间中两个向量垂直的充要条件为这两个向量内积为零．二、填空题（每空2分，共计20分）1、．______)31(lim 20=+→xx x 2、设在处可导，则___________．)(x f y =0x 000()()lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆⎛⎫=⎪∆⎝⎭3、曲线在点的切线方程为．sin()ln()xy y x x +-=(0,1)4、设，则= ．)2011()2)(1()(+++=x x x x x f )0('f 得分评卷人院、系 班级 姓名 学号 密 封 线5、是的一个原函数，则________________________．()f x cos x ⎰='dx x f x )(6、的单增区间是___________________．)0(82>+=x xx y 7、=________________． 12311x e dx x⎰8、曲线的全长为_______ .θρcos 2a =)22(πθπ≤≤-9、________________________．dx xe x ⎰∞+-02=10、过三个点(1,0,0)、(0,2,0)、(0，0，3)的平面方程为_______ .三、计算题（每题7分，共计49分）1、求.011lim 1x x x e →⎛⎫-⎪-⎝⎭2、设,求其导数．()221ln 1xx x y +++=3、设函数由参数方程确定，求．)(x y y =⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 222d y dx 得分评卷人4、求.()012>+⎰x x xdx5、求积分.⎰6、求过点且平行于向量和的平面方程.)1,0,1(-)1,1,2(=→a )0,1,1(-=→b 班级 姓名 学号 密 封 线7、求由曲线,直线,与轴所围成平面图形的面积及其绕轴旋转2x y =1=x 2=x x x 一周所得旋转体的体积.四、应用题（本题11分）一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为时，)/(10h km 燃料费为每小时元，而其它与速度无关的费用为每小时元. 问轮船的速度为多少696时, 每航行所消耗的费用最小？km 1得分评卷人河南农业大学2011-2012学年第一学期《工科大学数学A 》期末考试试卷（B ）题号一二三四总分分数得分评卷人一、判断题（每小题2分，共计20分）1、若数列有界，则它一定是收敛的．（}{n x ）2、函数在点无定义，则该函数当时的极限不存在．（)(x f 0x 0x x →）3、恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. ( )4、函数在处连续, 其余各点处处间断． ( )⎩⎨⎧-=是无理数是有理数，x x x x x f ,)(0=x 5、罗尔定理中可以是不唯一的．（ξ）6、在点不可导，则在点不连续． ( ))(x f a x =)(x f a x =7、极值点一定是函数的驻点，驻点也一定是极值点．（）8、连续函数一定有原函数．（）9、如果，则． （0)0()0(='=f f 0)(lim=→xx f x ）10、在空间中,方程为单位圆．（122=+y x ）班级 姓名 学号 课头号 密 封 线二、填空题（每空2分，共计20分）1、若在处导数为，则= ．)(x f 0x x =A xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim0002、．__________1y x ln 垂直的切线方程为上与直线曲线=+=x y 3、的带有Lagrange 型余项的阶麦考林展开式是 ．xe xf =)(n 4、设，则=________________________．)99()2)(1()(---=x x x x x f )0(f '5、是的一个原函数，则________________________．()f x cos x ⎰='dx x f x )(6、 ，其中为常数．dxd =⎰dx e x bax 2,a b 7、在[0,4]上的最大值为．x x x f 2)(+=8、心形线的全长为_______ .)cos 1(θρ+=a 9、________________________．dx xe x ⎰∞+-02=10、过三个点(1,0,0)、(0,2,0)、(0，0，3)的平面方程为_______ .得分评卷人三、计算题（每题7分，共计49分）1、求(-) ．0lim →x 21x xx tan 12、设函数， 问满足什么条件函数在处可⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f kk )(x f 0=x 导．得分评卷人3、设函数由参数方程所确定，求．)(x y y =⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin 22d ydx 4、求．⎰dx x x xsin cos tan ln 5、计算，其中是常数且.dt te pt -∞+⎰p 0>p 姓名 学号 课头号 封 线6、求积分．⎰7、求由曲线,直线,与轴所围成平面图形的面积及其分别绕、2x y =1=x 2=x x x 轴旋转一周所得旋转体的体积.y 得分评卷人四、证明题（11分）设是连续函数，（1）利用定义证明函数可导，且()f x 0()()xF x f t dt =⎰；（2）当时，若单减，则单()()F x f x '=0≥x ()f x ⎰-=Φxdt t f x t x 0)()2()(减．要开展一党誓誓备选题线⎪⎭⎫⎝⎛=1212y 2，在点x 处法线与曲线所围成图形的面积解： 先找出法线方程，＝2y y 2' 1111,21=='=⎪⎭⎫ ⎝⎛y yy 法线方程 y －1＝（－1）（x －21） x ＋y ＝23曲线x 2y 2=和法线x ＋y ＝23的另一交点为⎪⎭⎫⎝⎛-329， 所求面积 S ＝316223132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-dy y y 设抛物线通过点，且当. 试确定a , b , c 的值，c bx ax y ++=232)0,0(0]1,0[≥∈y x 令令使得抛物线与直线所围成图形的面积为，且使该图形绕c bx ax y ++=2320,1==y x 31x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.解：抛物线通过原点bxax y c 23,0)0,0(2+=∴=⇒2分合础该抛物线与直线所围成图形的面积0,1==y x ⎰+=12)23(dx bx ax A 4分[]1023bx ax +=，即 31=+=b a a b -=316分该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积⎰+=1022)23(dx bx axV π8分)34359(22b ab a ++=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=22)31(34)31(359a a a a π10分， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=)31(38)231(3518a a a da dV π12分，故 43,1250=-=⇒=b a da dV 令x x y 23452+-=14分河南农业大学2011-2012学年第一学期《工科大学数学A 》期末考试试卷答案（A ）一、题号12345678910对错×√√√√×√×√√二、1、2、3、4、2011！6e )(20xf '1y x =+5、6、C x x x ++cos sin (2,)+∞7、8、 9、10、121.2e πa 214132=++z y x 1三、1、解： （“”型）————2分0011(1)lim lim 1(1)x x x x x e x x e x e →→--⎛⎫-= ⎪--⎝⎭00＝————5分001lim lim (1)x xx x xx xx x e e e xe e e xe →→-=-+++＝.————7分011lim22x x →=+2、解：————2分()()()()'++++++'+='22221ln 11ln 1x x x x x x y———()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅+++++++=22222111111ln 1x x x x x xx xx5分————7分()11ln 122++++=x x xx3、解：， ————2分tt t t t dt dx dt dydx dy 11221111222=+++== ————7分3222221111t t t t t dt dx t dt d dx dy dx d dx y d +-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=4、解：————3分()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+=>+22221111101x x d x x dxx x xdx—()C x x C tt tdtt x+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++-=+++-=+-=⎰222111ln 1ln 11令—7分5、解：方法一：由于，故是反常积分.1lim x -→=+∞⎰令，有，——1分arcsin x t =sin x t =[0,2)t π∈——222220000sin cos 2cos sin (cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰ 1，“学印发关于”学严、创进一以上3分————5分222222001sin 21sin 2sin 2441644t t t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰————7分222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：————1分0⎰12201(arcsin )2x d x =⎰————3121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰分令，有，arcsin x t =sin x t =[0,2)t π∈ ————5分12222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx t tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰故，原式————7分21164π=+6、解： ————2分23()f x x '==令得，并且使得没有意义 ————4分()0f x '=25x =0x =()f x '因为，，， —(0)0f =(1)2f -=-1()2f =2()5f ==—6分所以最大值为；最小值为-------------7分(0)0f =(1)2f -=-7、解：（1）画出图形，显示出交点坐标， ------------- 1分)1,1()4,2(所围图形的面积为：． -------------2分37212==⎰dx x S （2）绕轴旋转一周所得旋转体的体积为x ． -------------4分ππ5312141==⎰dx x V （3）绕轴旋转一周所得旋转体的体积为y ． -------------7分23211522V x dx ππ==⎰，处为贯彻省人民的廉洁、建立业要识、员意的县员领认三立五大发（一主交流习为得开党格党章党〈16四、解：（1） ---------00()()()()x xxF F x x F x f t dt f t dt +∆∆=+∆-=-⎰⎰1分-------------()x xxf t dt +∆=⎰2分由于是连续函数，所以由连续函数的积分中值定理有f x （），其中介于和之间。
河南农业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》（工科）试卷（A）一、判断题（每小题2分，共20分）（）1.平面的法向量不唯一.（）2.向量→→⨯ba与二向量→a及→b的位置关系是垂直的.（）3.若),(yxfz=在点),(yxP处的两个偏导数存在，则),(yxf函数必在该点连续.（）4.沿梯度方向时，方向导数取得最大值.（）5.二重积分σdyxfD⎰⎰),(表示以),(y x fz=为顶，D为底，以D的边界曲线为准线，母线平行于z轴的柱面为侧面的曲顶柱体的体积．（）6.曲线积分⎰+Ldyxxydx2与路径无关．（）7.闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数),(yxP在D上具有一阶连续偏导数，则D LPdxdy Pdyx∂=∂⎰⎰⎰.（）8.若级数1nnu∞=∑收敛，1nnv∞=∑发散，则级数∑∞=+1)(nnnvu可能发散，也可能收敛.（）9.设L为圆周221x y+=，则2Ldsπ=⎰.（）10.若幂级数nnna x∞=∑在点1-处收敛，则该级数的收敛半径1≥r.二、填空题（每空2分，共20分）1. xoz坐标面上的直线5z x=绕ox轴旋转而成的旋转曲面方程为.2．曲面222231x y z+-=在点)1,1,1(-处的法线方程.．系班级姓名学号课头号座号密封线3．__________42lim0=+-→→xy xy y x .4．交换积分次序⎰⎰---=22111),(y y dx y x f dy ____________________________.5．函数y xe z 2=在点)0,1(P 处沿点P 到点)1,2(-Q 的方向导数为_______.6．级数11(2)n n x n∞=-∑的收敛区间为______________.7．设D 表示整个xOy 平面，则⎰⎰=--Dy xdxdy e 22__________________.8．设cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦，则两类曲面积分间关系是Pdydz Qdzdx Rdxdy ++∑⎰⎰＝___________________.9．由2x y =与1=y 所围成的均匀薄片（面密度为μ）对直线1-=y 的转动惯量为 .10．设()f x 是以4为周期的周期函数，在)2,2[-上定义为1,20(),02x f x x x -≤≤⎧=⎨<<⎩，则其傅立叶级数在点1=x 处收敛于________________.三．计算题（每题10分，共60分）1. 计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由椭球面1222222=++c z b y a x 所围成的空间闭区域．2．设⎩⎨⎧=+++=,2032,22222z y x y x z 求 dx dz dx dy ,．3．求幂级数1211(1)(21)n n n x n n -+∞=--∑的收敛域．4．计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑是锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分．密 封 线5．计算曲线积分222(cos 2sin )(sin 2)x x Lx y x xy x y e dx x x ye dy +-+-⎰，其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a y x ．6．设)57()3(b a b a -⊥+，)27()4(b a b a -⊥-，求向量b a,的夹角．。
2024年河南省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。
河南农业大学2011-2012学年第一学期 《经济类高等数学》期末考试试卷（A ）一、选择题（每小题2分，共计20分）1．设函数()21x f x e x =+-，则当0x →时，有 【 】A .()f x 与x 是等价无穷小 B. ()f x 与x 是同阶无穷小C . ()f x 与x 是高阶无穷小 D. ()f x 与x 是低阶无穷小 2．1=x 是2sin(1)()1x f x x -=-的哪种类型的间断点． 【 】 A . 连续点 B. 无穷间断点 C. 跳跃间断点 D.可去间断点3．函数()1f x x =-在1x =处 【 】A.不连续B.连续又可导C. 连续但不可导D.既不连续又不可导4．已知(3)2f '=，则0(32)(3)lim2h f h f h h→+--= 【 】A.3 B .32C.2D. 1 5．下列函数中，在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 【 】A.2ln y x = B. y x = C.cos y x = D. 211y x =- 6．设()f x '为连续函数，则10()2xf dx '=⎰ 【 】A.12[()(0)]2f f - B.2[(1)(0)]f f -C. 11[()(0)]22f f -D.1[(1)(0)]2f f -7. 若)(x f 的一个原函数为x ln ，则)(x f '等于 【 】A.1x B. x x ln C. x ln D. 21x- 8．20tx d e dt dx=⎰ 【 】 A . 2x e B . 2xx e C. 2x e - D .22x xe -9．若2z x y =，则(1,2)dz= 【 】A ．22xydx x dy + B ．2 C ．4dx dy + D ．010. 设区域D 由y 轴及直线,1y x y ==所围成，则Ddxdy ⎰⎰= 【 】A ．1B ．12C ．13D ．16二、填空题（每题2分，共计20分） 1．2lim(1)xx x →+= ． 2．lim sinn xn n→∞= ． 3．设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=0,,2sin )(x a x x x x f 在点0=x 处连续，则a ＝ ．4．已知⎩⎨⎧==t y t x 2cos sin ，则==4πt dx dy． 5．设0x y =⎰，则(1)y '= ．6．不定积分2sin cos xdx x=⎰． 7．定积分11-⎰= ． 8．已知积分区域D 为：221,0,0x y x y +≤≥≥，则Ddxdy ⎰⎰=____________.9．10(,)xdx f x y dy ⎰⎰交换积分次序变为 10．函数z e =则zy∂=∂ 三、计算题（每题5分，共计40分）1．计算20tan lim sin x x x x x →-． 2．计算2020ln(1)lim xx t dt x→+⎰． 3．计算(0)xy x x =>的导数． 4．设()y y x =是由方程221y x e y +=所确定的函数，求(1,0)dy dx．5．计算⎰，(0)x >． 6．计算0π⎰．7．已知arctanyz x=，计算全微分dz ． 8．计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 由抛物线2y x =与直线2y x =所围成．三、应用题（每题10分，共20分）1、 某工厂生产两种型号的精密机床，其产量分别为,x y 台，总成本函数为22(,)2C x y x xy y =-+（单位：万元）。
2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝R，集合A＝{x|2x≤2}，B={x|x2≥14}，则（∁U A）∩B＝（）A．(−∞，−12]B．(−12，1]C．(12，1]D．（1，+∞）2．已知i为虚数单位，则复数z=21+i−21−i=（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i3．为了得到函数y＝sin（4x+2）的图象，可以将函数y＝sin（4x﹣6）的图象（）A．向右平移8个单位长度B．向左平移8个单位长度C．向右平移2个单位长度D．向左平移2个单位长度4．在一个空旷的房间中大声讲话会产生回音，这种现象叫做“混响”．用声强的大小来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为W0，则经过t秒后这段声音的声强变为W(t)=W0e−tτ（τ为常数）．把混响时间（T R）定义为声音的声强衰减到讲话之初的10﹣6倍所需时间，则T R约为（）（参考数据ln2≈0.7，ln5≈1.6）A．4.2τB．9.6τC．13.8τD．23τ5．下列函数中，满足f（xy）＝f（x）+f（y）﹣1的为（）A．f（x）＝lg（1+x）B．f（x）＝1+lgxC．f（x）＝21+x D．f（x）＝1+2x6．若cos2θ=35，则tan2θ−1tan2θ=（）A．−154B．−1316C．1316D．1547．已知函数f（x）的定义域为R，设p：y＝|f（x）|的图象关于y轴对称；q：f（x）是奇函数或偶函数，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．记S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝2，a2＝﹣3，a n+2=a n+12−13a n，n∈N*，则∑2024k=1S k=（）A．﹣2024B．﹣1012C．﹣506D．0二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知函数f(x)=√3sin x 4+cos x4，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为8πB ．f （x ）的最大值为√3+1C ．f （x ）在区间（﹣π，π）上单调递增D ．y ＝f （x ）的图象关于点(4π3，0)中心对称 10．下列函数中，满足f （x ）≥f （1）的为（ ） A ．f （x ）＝x 2﹣2x +2 B ．f （x ）＝e x ﹣2+e ﹣xC ．f(x)=x +1xD ．f(x)=x 2+4x 2+111．已知数列{a n }各项均为正数，S n 为数列{a n }的前n 项和，且{S na n}是公差为d （d ∈R ）的等差数列，n ∈N *，下列命题正确的是（ ） A ．若{a n }为等比数列，则d ＝1 B ．若d =12，则{a n }为等差数列C ．若d ＞1，则{a n }为递减数列D ．若d ＞1，则{na n }为递增数列12．设函数f （x ）＝2x ﹣ax ﹣b （a ，b ∈R ），下列命题正确的是（ ） A ．若f （x ）存在负零点，则b ＞1B ．若a ＜0，则f （x ）有且只有一个零点C ．若f （x ）有且只有两个正零点，则b ＜1D ．若a （b ﹣1）＜0且f （x ）存在零点，则f （x ）的零点都是正的 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f （x ）＝x 4e x﹣1在点（1，f （1））处的切线方程为 ．14．若向量a →，b →满足|a →+3b →|=10，|a →−3b →|=4，则a →•b →= ．15．若函数f （x ）＝sin x +alnx 的图象在区间(π2，π)上单调递增，则实数a 的最小值为 ．16．已知函数f(x)=2√33sin(ωx −π6)(ω＞0)，曲线y ＝f （x ）与x 轴的两个相邻交点为P ，Q ，曲线y ＝f （x ）与直线y ＝1的一个交点为M ，若tan ∠PMQ =−√2，则实数ω＝ ． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知在平面直角坐标系中，点A （1，2），B （4，6），C （0，3）． （1）若t ＞0，且（AB →+t AC →）⊥（AB →−t AC →），求t 的值；（2）记AB →在AC →方向上的投影向量为u →，求u →的坐标． 18．（12分）在△ABC 中，已知3tan A +3tan B +2tan C ＝0． （1）求tan A tan B ；（2）若△ABC 的面积为√3，tanA +tanB =2√33，求AB 的长度． 19．（12分）已知函数f(x)=13x 3+(a −1)x 2−4ax +1，a ∈R ．（1）若曲线y ＝f （x ）关于点（0，1）对称，求a 的值； （2）若f （x ）在区间[0，1]上的最小值为1，求a 的取值范围．20．（12分）已知函数f （x ）＝（cos2x +1）（cos x +a ），a ∈（﹣1，1），g(x)=f(x)−f(0)cosx−1．（1）求g （x ）的值域；（2）记g （x ）的值域为D ，试问是否存在a ，使得集合D ∩Z 有且只有2个元素？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考公式：a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）．21．（12分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知等比数列{b n }满足b n ＝a 3n ﹣2，n ∈N *，b 1+b 3＝5，b 2+b 4=52．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）若对任意n ∈N *，a 3n ﹣2，a 3n ﹣1，a 3n ，a 3n +1成等差数列． ①求S 1和S 4的值； ②求S 3n ﹣2．22．（12分）已知函数f （x ）＝xln （1+ax ）﹣x 2（a ＞0）． （1）若a ＝1，求f （x ）的单调区间；（2）若x ＝0是f （x ）的极小值点，求实数a 的取值范围．2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝R，集合A＝{x|2x≤2}，B={x|x2≥14}，则（∁U A）∩B＝（）A．(−∞，−12]B．(−12，1]C．(12，1]D．（1，+∞）解：由题意，得A＝{x|x≤1}，B={x|x≤−12或x≥12}，所以∁U A＝{x|x＞1}，所以（∁U A）∩B＝（1，+∞）．故选：D．2．已知i为虚数单位，则复数z=21+i−21−i=（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i解：21+i−21−i=2(1−i)(1+i)(1−i)−2(1+i)(1−i)(1+i)=(1−i)−(1+i)=−2i．故选：C．3．为了得到函数y＝sin（4x+2）的图象，可以将函数y＝sin（4x﹣6）的图象（）A．向右平移8个单位长度B．向左平移8个单位长度C．向右平移2个单位长度D．向左平移2个单位长度解：设g（x）＝sin（4x﹣6）．把函数y＝g（x）的图象平移a（向左a为正数，向右a为负数）个单位长度后，得到y＝g（x+a）＝sin（4x+4a﹣6）的图象．令f（x）＝sin（4x+2），易知f（x）＝sin（4x+2）的周期T=π2，为了得到函数y＝f（x）的图象，只需令4a﹣6＝2+kT，（k∈Z），得a=2+kT4=2+kπ8，k∈Z，根据选项可知，a＝2，即把函数y＝sin（4x﹣6）的图象向左平移2个单位长度即可得到y＝sin（4x+2）的图象．故选：D．4．在一个空旷的房间中大声讲话会产生回音，这种现象叫做“混响”．用声强的大小来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为W0，则经过t秒后这段声音的声强变为W(t)=W0e−tτ（τ为常数）．把混响时间（T R）定义为声音的声强衰减到讲话之初的10﹣6倍所需时间，则T R约为（）（参考数据ln2≈0.7，ln5≈1.6）A．4.2τB．9.6τC．13.8τD．23τ解：由题意，W(T R)=10−6W0，即e−T Rτ=10−6，所以T R=τ⋅ln106=τ×6×(ln2+ln5)≈13.8τ．故选：C．5．下列函数中，满足f（xy）＝f（x）+f（y）﹣1的为（）A．f（x）＝lg（1+x）B．f（x）＝1+lgxC．f（x）＝21+x D．f（x）＝1+2x解：（方法1）令g（x）＝f（x）﹣1，则g（xy）＝f（xy）﹣1，g（x）+g（y）＝f（x）+f（y）﹣2，由于f（xy）＝f（x）+f（y）﹣1，即f（xy）﹣1＝f（x）+f（y）﹣2，所以g（xy）＝g（x）+g（y），而满足g（xy）＝g（x）+g（y）的函数有对数函数g（x）＝log a x（a＞0，a≠1），所以f（x）＝g（x）+1＝1+log a x，只有B选项符合题意，其它选项均不符合．（方法2）令x＝y＝1，则f（1）＝f（1）+f（1）﹣1，得f（1）＝1．在四个选项中，只有B选项满足f（1）＝1，其它选项均不符合．故选：B．6．若cos2θ=35，则tan2θ−1tan2θ=（）A．−154B．−1316C．1316D．154解：方法1：因为cos2θ=2cos2θ−1=1−2sin2θ=3 5，所以cos2θ=45，sin2θ=15，故tan2θ=1 4，所以tan2θ−1tan2θ=14−4=−154．方法2：因为cos2θ=3 5，所以tan2θ−1 tan2θ=sin 2θcos 2θ−cos 2θsin 2θ=sin 4θ−cos 4θsin 2θcos 2θ=(sin 2θ+cos 2θ)(sin 2θ−cos 2θ)14sin 22θ =−4cos2θ1−cos 22θ=−4×351−925=−154． 故选：A ．7．已知函数f （x ）的定义域为R ，设p ：y ＝|f （x ）|的图象关于y 轴对称；q ：f （x ）是奇函数或偶函数，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：令g （x ）＝|f （x ）|，若f （x ）是奇函数或偶函数，则g （﹣x ）＝|f （﹣x ）|＝|f （x ）|＝g （x ）， 所以g （x ）是偶函数，所以y ＝|f （x ）|的图象关于y 轴对称，所以必要性成立； 反之，若f(x)={1，x ＜1，−1，x ≥1，则|f （x ）|＝1，所以y ＝|f （x ）|的图象关于y 轴对称，但是f （x ）图象不关于原点对称也不关于y 轴对称，故是非奇非偶函数，所以充分性不成立； 故p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．8．记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2，a 2＝﹣3，a n+2=a n+12−13a n，n ∈N *，则∑ 2024k=1S k =（ ） A ．﹣2024B ．﹣1012C ．﹣506D ．0解：依题意，由a n+2=a n+12−13a n，及a 1＝2，a 2＝﹣3，可得a 3=a 22−13a 1=−2，a 4=a 32−13a 2=3，a 5=a 42−13a 3=2，a 6=a 52−13a 4=−3，…∴数列{a n}是以4为最小正周期的周期数列，∴S1＝a1＝2，S2＝S1+a2＝2﹣3＝﹣1，S3＝S2+a3＝﹣1﹣2＝﹣3，S4＝S3+a4＝﹣3+3＝0，S5＝S4+a5＝0+2＝2，S6＝S5+a6＝2﹣3＝﹣1，…∴数列{S n}也是以4为最小正周期的周期数列，∵2024÷4＝506，∴∑2024k=1S k=506×(S1+S2+S3+S4)=506×(−2)=−1012．故选：B．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数f(x)=√3sin x4+cosx4，则（）A．f（x）的最小正周期为8πB．f（x）的最大值为√3+1C．f（x）在区间（﹣π，π）上单调递增D．y＝f（x）的图象关于点(4π3，0)中心对称解：f(x)=√3sin x4+cosx4=2sin(x4+π6)，故f（x）的最小正周期T=2π14=8π，故A选项正确；f（x）的最大值是2，B选项错误；令x4+π6∈(−π2，π2)，可得x∈(−8π3，4π3)为f（x）的一个单调递增区间，而(−π，π)⊆(−8π3，4π3)，所以f（x）在区间（﹣π，π）上单调递增，C选项正确；因为f(4π3)=2sin(π3+π6)=2≠0，所以f（x）的图象不关于点(4π3，0)中心对称，D选项错误．故选：AC．10．下列函数中，满足f（x）≥f（1）的为（）A．f（x）＝x2﹣2x+2B．f（x）＝e x﹣2+e﹣xC．f(x)=x+1xD．f(x)=x2+4x2+1解：对于A选项：f（x）＝（x﹣1）2+1，在x＝1处取最小值，正确；对于B选项：f(x)≥2√e x−2⋅e−x=2e−1，等号成立的条件是e x﹣2＝e﹣x，即x＝1，故f（x）≥f（1），正确；对于C选项：f（﹣1）＝﹣2，f（1）＝2，所以f（﹣1）＜f（1），不满足题意，错误；对于D选项：f(x)=x2+1+4x2+1−1≥2√(x2+1)⋅4x2+1−1=3，等号成立的条件是x2+1=4x2+1，x2+1＝2，即x＝±1，因此f（x）≥f（1）成立，正确．故选：ABD．11．已知数列{a n}各项均为正数，S n为数列{a n}的前n项和，且{S na n}是公差为d（d∈R）的等差数列，n∈N*，下列命题正确的是（）A．若{a n}为等比数列，则d＝1B．若d=12，则{a n}为等差数列C．若d＞1，则{a n}为递减数列D．若d＞1，则{na n}为递增数列解：因为S1a1=1，且数列{S na n}是公差为d的等差数列，所以S na n=1+(n−1)d，①所以S n＝[1+（n﹣1）d]a n，则S n+1＝（1+nd）a n+1，所以a n+1＝S n+1﹣S n＝（1+nd）a n+1﹣[1+（n﹣1）d]a n，整理得nda n+1＝[1+（n﹣1）d]a n．②对于A选项，若{a n}为等比数列，记a n=a1q n−1．当q＝1时，a n＝a1，S n＝na1，所以S na n=n，由①可得d＝1．当q≠1时，取n＝2可得S2a2=q−1+1=1+d，故d＝q﹣1；取n＝3可得S3a3=q−2+q−1+1=d2+d+1，再由①可得S3a3=1+2d，所以d2+d+1＝1+2d，即d2﹣d＝0，所以d＝0或d＝1．但是如果d＝0，则S2a2=1+d=1，从而a1＝0，这与{a n}各项为正数矛盾，因此，必有d＝1，故A选项正确；对于B选项，若d=12，由②得，n2a n+1=n+12a n，即a n+1n+1=a nn，因此a nn=⋯=a11，即a n＝na1，所以{a n}是以a1为公差的等差数列，故B选项正确；对于C选项，若d＞1，因为{a n}各项为正数，所以由②可得，a n+1a n=1+(n−1)dnd=1d+(n−1)n＜1+(n−1)n=1，所以{a n}是递减数列，故C选项正确；对于D选项，若d＞1，因为{a n}各项为正数，所以由②可得(n+1)a n+1na n=(n+1)[1+(n−1)d]n2d=n+1d+n2−1n2．令n＝1，可得：2×a21×a1=2d．所以当d∈[2，+∞）时，2×a21×a1≤1，此时{na n}不是递增数列，故D选项错误．故选：ABC．12．设函数f（x）＝2x﹣ax﹣b（a，b∈R），下列命题正确的是（）A．若f（x）存在负零点，则b＞1B．若a＜0，则f（x）有且只有一个零点C．若f（x）有且只有两个正零点，则b＜1D．若a（b﹣1）＜0且f（x）存在零点，则f（x）的零点都是正的解：f（x）的零点等价于曲线y＝2x与直线y＝ax+b的交点，其中a是直线的斜率，对于A，D选项，取曲线y＝2x上位于第二象限的点P，Q，并固定点P（如图所示）：则当Q与y轴的距离充分大的时候，直线PQ的斜率a可以无限趋近于0，并且直线PQ与y轴的交点位于（0，1）的下方，于是当a＞0且0＜b＜1时，满足a（b﹣1）＜0，此时曲线y＝2x与直线y＝ax+b的交点的横坐标是负数，即f（x）的零点都是负的，故D选项错误；而此时f （x ）存在负零点，但不满足b ＞1，故A 选项错误； 对于B 选项，若a ＜0，则f （x ）在R 上单调递增， 取x 1＝log2（|b |+1），则x 1≥0，所以f （x 1）≥|b |+1﹣b ＞0， 再取x 2=1+|b|a，则x 2＜0， 所以f （x 2）＜﹣ax 2﹣b +1＝﹣|b |﹣b ≤0，所以f （x ）有且只有一个零点，并且这个零点位于区间（x 2，x 1）中，B 选项正确； 对于C 选项，若f （x ）有且只有两个正零点， 因为f ′（x ）＝2x ln 2﹣a ，而函数f ′（x ）单调递增， 所以f （x ）至多只有一个极值点x 0，且2x 0ln 2﹣a ＝0， 则这个极值点必为正，且f （x 0）＜0，并且f （x ）在（0，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增， 故必有f （0）＞0，即1﹣b ＞0，解得b ＜1，故C 选项正确． 故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f （x ）＝x 4e x﹣1在点（1，f （1））处的切线方程为 y ＝5x ﹣4 ．解：因为f （x ）＝x 4e x ﹣1，所以f （1）＝1，f ′（x ）＝（x 4+4x 3）e x ﹣1，则f ′（1）＝5， 故函数f （x ）＝x 4e x﹣1在点（1，f （1））处的切线方程为y ﹣1＝5（x ﹣1），即y ＝5x ﹣4．故答案为：y ＝5x ﹣4．14．若向量a →，b →满足|a →+3b →|=10，|a →−3b →|=4，则a →•b →= 7 ． 解：由|a →+3b →|=10，|a →−3b →|=4，可得|a →+3b →|2=|a →|2+6a →⋅b →+9|b →|2=100，① |a →−3b →|2=|a →|2−6a →⋅b →+9|b →|2=16，② 联立①②，可得12a →⋅b →=84， 所以a →⋅b →=7． 故答案为：7．15．若函数f （x ）＝sin x +alnx 的图象在区间(π2，π)上单调递增，则实数a 的最小值为 π ．解：因为f （x ）＝sin x +alnx ，所以f ′(x)=cosx +a x =xcosx+a x．由f（x）的图象在区间(π2，π)上单调递增，可知不等式f′（x）≥0，即x cos x+a≥0在区间(π2，π)上恒成立．令g（x）＝x cos x+a，则g′（x）＝cos x﹣x sin x，当x∈(π2，π)时，g′（x）＜0，所以g（x）在(π2，π)上单调递减，故要使f′（x）≥0在x∈(π2，π)上恒成立，只需g（π）≥0．由g（π）＝﹣π+a≥0，解得a≥π，故实数a的取值范围为[π，+∞），则a的最小值为π．故答案为：π．16．已知函数f(x)=2√33sin(ωx−π6)(ω＞0)，曲线y＝f（x）与x轴的两个相邻交点为P，Q，曲线y＝f（x）与直线y＝1的一个交点为M，若tan∠PMQ=−√2，则实数ω＝√2π6．解：令f（x）＝0，得ωx−π6=kπ，k∈Z，解得x=π6ω+kπω，k∈Z；所以f（x）的零点为x=π6ω+kπω，k∈Z．设P（x P，0），Q（x Q，0），并且x Q−x P=πω＞0．因为∠PMQ是钝角，所以M（x M，1）满足x M∈（x P，x Q）（否则，∠PMQ是锐角）．不妨取x P=π6ω，x Q=7π6ω，令f（x M）＝1，则sin(ωx M−π6)=√32，由x∈（x P，x Q），可得x M=π2ω或x M=5π6ω．根据对称性，不妨取x M=π2ω．在△PMQ中，∠MPQ+∠MQP＝π﹣∠PMQ，所以tan(∠MPQ+∠MQP)=−tan∠PMQ=√2．因为tan∠MPQ=1x M−x P=3ωπ，tan∠MQP=1x Q−x M=3ω2π，所以tan(∠MPQ+∠MQP)=tan∠MPQ+tan∠MQP1−tan∠MPQ⋅tan∠MQP=3ωπ+3ω2π1−3ωπ⋅3ω2π=9ω2π1−9ω22π2=√2，即9√2ω22π2+9ω2π−√2=0．所以根据二次函数求根公式可得ωπ=−9±(9)−4×9√2×(−√2)2×9√22=−92±1529√2．而ω＞0，所以ω=−92+15292=√2π6．故答案为：√2π6． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知在平面直角坐标系中，点A （1，2），B （4，6），C （0，3）． （1）若t ＞0，且（AB →+t AC →）⊥（AB →−t AC →），求t 的值； （2）记AB →在AC →方向上的投影向量为u →，求u →的坐标． 解：（1）由题意，得AB →=(3，4)，AC →=(−1，1)， 所以AB →+tAC →=(3−t ，4+t)， AB →−tAC →=(3+t ，4−t)， 因为(AB →+tAC →)⊥(AB →−tAC →)， 所以(AB →+tAC →)⋅(AB →−tAC →)=0， 即（3﹣t ）（3+t ）+（4+t ）（4﹣t ）＝0， 即9﹣t 2+16﹣t 2＝0，又t ＞0，故t =5√22； （2）AB →⋅AC →=3×(−1)+4×1=1，|AC →|=√2， 由投影向量的定义得，u →=λAC→|AC →|其中，λ=|AB →|⋅cos(AB →，AC →)=AB →⋅AC→|AC →|=1√2，所以u →=AC →√2⋅1|AC →|=12AC →=(−12，12)．18．（12分）在△ABC 中，已知3tan A +3tan B +2tan C ＝0． （1）求tan A tan B ；（2）若△ABC 的面积为√3，tanA +tanB =2√33，求AB 的长度． 解：（1）由于A +B +C ＝π，所以tanC =tan(π−A −B)=−tan(A +B)=−tanA+tanB1−tanAtanB．由3tan A +3tan B +2tan C ＝0，得(tanA +tanB)⋅(3−21−tanAtanB )=0．因为C ∈（0，π）， 所以tanA +tanB =sinA cosA +sinB cosB =sinAcosB+cosAsinB cosAcosB =sin(A+B)cosAcosB =sinCcosAcosB≠0．故3−21−tanAtanB=0，解得tanAtanB=1 3．（2）（方法1）因为tanA+tanB=2√3 3，所以tanC=−32(tanA+tanB)=−√3．而C∈（0，π），故C=2π3．所以cosC=−cos(A+B)=sinAsinB−cosAcosB=−12，①由（1）知，sinAsinB=13 cosAcosB．②由①②可得sinAsinB=14，cosAcosB=34．由于△ABC面积为√3，所以12absinC=√3．又asinA=bsinB=csinC，因此12⋅csinAsinC⋅csinBsinCsinC=√3，即c2sinAsinB=2√3sinC，又sinAsinB=14，sinC=sin2π3=√32，解得c=2√3，即AB的长度为2√3．（方法2）因为tanA+tanB=2√3 3，所以tanC=−32(tanA+tanB)=−√3．而C∈（0，π），故C=2π3．由S△ABC=12absinC=12ab×√32=√3，得ab＝4，因为tanA+tanB=2√33，tanAtanB=13，得tanA=tanB=√33，故A=B=π6，a＝b＝2，由正弦定理得，a sinA=csinC ，即22=√32， 解得c =2√3，即AB 的长度为2√3．19．（12分）已知函数f(x)=13x 3+(a −1)x 2−4ax +1，a ∈R ．（1）若曲线y ＝f （x ）关于点（0，1）对称，求a 的值； （2）若f （x ）在区间[0，1]上的最小值为1，求a 的取值范围． 解：（1）设g(x)=f(x)−1=13x 3+(a −1)x 2−4ax ．由题意知，g （x ）是奇函数，所以﹣g （x ）＝g （﹣x ），即对任意x ∈R ，有−[13x 3+(a −1)x 2−4ax]=−13x 3+(a −1)x 2+4ax ，化简得（1﹣a ）x 2＝（a ﹣1）x 2， 所以a ﹣1＝0，即a ＝1．（2）方法1：由题意知f(x)=13x 3+(a −1)x 2−4ax +1≥1，即13x 3+(a −1)x 2−4ax ≥0，又x ∈[0，1]，x ＝0时，13x 3+(a −1)x 2−4ax =0，所以f （x ）≥1等价于13x 2+(a −1)x −4a ≥0，令m(x)=13x 2+(a −1)x −4a ，分情况讨论，①{3(1−a)2＞1m(1)=13+a −1−4a ≥0，即{a ＜13a ≤−29，故a ≤−29； ②{0≤3(1−a)2≤1m[3(1−a)2]=3(1−a)24−3(1−a)22−4a ≥0，即{13≤a ≤1−3≤a ≤−13，无解； ③{3(1−a)2＜0m(0)=−4a ≥0，即{a ＞1a ≤0，无解． 综上所述，a 的取值范围是(−∞，−29]．方法2：因为f （x ）在[0，1]上的最小值为1， 故f(1)=13+(a −1)−4a +1≥1，解得a ≤−29． f ′（x ）＝x 2+2（a ﹣1）x ﹣4a ＝（x ﹣2）（x +2a ） 当x ∈[0，1]时，x ﹣2＜0．若−12＜a≤−29，则−2a∈[49，1)．当x∈（0，﹣2a）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2a，1）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，﹣2a）上单调递增，在（﹣2a，1）上单调递减．而f（0）＝1，f（1）≥1，因此f（x）在[0，1]上的最小值为1，满足题意．若a≤−12，则﹣2a≥1，当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，所以f（x）在（0，1）上单调递增，故f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）＝1，满足题意．综上所述，a的取值范围为(−∞，−29 ]．20．（12分）已知函数f（x）＝（cos2x+1）（cos x+a），a∈（﹣1，1），g(x)=f(x)−f(0) cosx−1．（1）求g（x）的值域；（2）记g（x）的值域为D，试问是否存在a，使得集合D∩Z有且只有2个元素？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考公式：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．解：（1）g（x）的定义域为{x|cos x≠1}＝{x|x≠2kπ，k∈Z}，因为f（x）＝2cos2x（cos x+a）＝2cos3x+2a cos2x，所以当cos x≠1时，g(x)=f(x)−f(0)cosx−1=2(cos3x−1)cosx−1+2a(cos2x−1)cosx−1=2(cosx−1)(cos2x+cosx+1)cosx−1+2a(cosx−1)(cosx+1)cosx−1＝2（cos2x+cos x+1）+2a（cos x+1），设函数u(t)=2(t2+t+1)+2a(t+1)=2(t+a+12)2+2(a+1)−(a+1)22，则u（t）是二次函数，t∈[﹣1，1）时恰好满足g（x）＝u（cos x）＝u（t），g（x）的值域与u（t）在[﹣1，1）上的值域相同，故可讨论u（t）在[﹣1，1）上的值域，因为a∈（﹣1，1），故−a+12∈(−1，0)，则u（t）在[﹣1，1）上的最小值为u(−a+12)=−12a2+a+32，又u（1）＝4a+6，则u(t)∈[−12a2+a+32，4a+6)，即g（x）的值域为[−12a2+a+32，4a+6）．（2）存在，证明如下：因为D∩Z有且只有2个元素，而u（﹣1）＝2，所以D是区间（0，4）的子集，由（1）知，u（t）在[−1，−a+12)上单调递减，在[−a+12，1)上单调递增，且u(t)∈[−12a2+a+32，4a+6)，故u（1）＝4a+6∈（2，4]，则a∈(−1，−12 ]，D∩Z有且只有2个元素可分成下面2种情况：①若D∩Z＝{1，2}，此时u（1）＝4a+6∈（2，3]，且u(−a+12)=−12a2+a+32=−12(a−1)2+2∈(0，1]，解得a∈(−1，−34 ]；②若D∩Z＝{2，3}，u（1）＝4a+6∈（3，4]，且u(−a+12)=−12a2+a+32=−12(a−1)2+2∈(1，2]，无解．综上，a的取值范围是(−1，−34 ]．21．（12分）记S n为数列{a n}的前n项和，已知等比数列{b n}满足b n＝a3n﹣2，n∈N*，b1+b3＝5，b2+b4=5 2．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若对任意n∈N*，a3n﹣2，a3n﹣1，a3n，a3n+1成等差数列．①求S1和S4的值；②求S3n﹣2．解：（1）设{b n}的公比为q，则b2+b4＝（b1+b3）q，代入b1+b3＝5，b2+b4=52，可得q=12．又由b1+b3=b1(1+q2)=5，得b1＝4．则{b n}的通项公式为b n=4(12)n−1=23−n．（2）①因为对任意n∈N*，a3n﹣2，a3n﹣1，a3n，a3n+1成等差数列，所以a3n﹣1+a3n＝a3n﹣2+a3n+1．S1＝a1＝b1＝4；S4＝a1+a2+a3+a4＝2a1+2a4＝2（b1+b2）＝12．②当n≥3时，S3n﹣2＝a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+…+（a3n﹣4+a3n﹣3+a3n﹣2）＝a1+（a1+a4+a4）+（a4+a7+a7）+…+（a3n﹣5+a3n﹣2+a3n﹣2）＝2a1+3a4+3a7+…+3a3n﹣5+2a3n﹣2＝2b1+3b2+3b3+…+3b n﹣1+2b n=3×4[1−(12)n]1−12−b1−b n=24−24(12)n−4−23−n＝20﹣25﹣n．当n＝1，2时上式也成立，因此，对任意正整数n，S3n−2=20−25−n．22．（12分）已知函数f（x）＝xln（1+ax）﹣x2（a＞0）．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）若x＝0是f（x）的极小值点，求实数a的取值范围．解：（1）若a＝1，则f（x）＝xln（1+x）﹣x2，f（x）的定义域是（﹣1，+∞）．f′(x)=ln(1+x)+x1+x−2x．令g（x）＝f′（x），则g′(x)=11+x+1(1+x)2−2=−x(2x+3)(1+x)2．当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．因为g（0）＝0，所以当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＝g（x）≤g（0）＝0恒成立，当且仅当x＝0时等号成立．所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，+∞），无单调递增区间．（2）f（x）的定义域为(−1a，+∞)，f′(x)=ln(1+ax)+ax1+ax−2x．由（1）得，当x＞0时，xln（1+x）﹣x2＜0，即ln（1+x）＜x；当x＜0时，xln（1+x）﹣x2＞0，即ln（1+x）＜x．所以当x≠0时，ln（1+x）＜x．因此，当x≠0时，f′(x)=ln(1+ax)+ax1+ax−2x＜ax+ax1+ax−2x=x(a−2+a1+ax)．①（ⅰ）若0＜a≤1，则当x＞0时，由①可得f′（x）＜x（2a﹣2）≤0．所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，故x＝0不可能为f（x）的极小值点．（ⅱ）若a＞1，当−1a＜x＜0时，0＜1+ax＜1，所以a−2+a1+ax＞2a−2＞0，则由①可得f′（x）＜x（2a﹣2）＜0；当0＜x＜a−12a时，1＜1+ax＜a+12，设m(x)=f′(x)=ln(1+ax)+ax1+ax−2x，则m′(x)=a1+ax+a(1+ax)2−2＞2aa+1+4a(a+1)2−2=2(a−1)(a+1)2＞0，所以m（x）在区间(0，a−12a)上单调递增，从而f′（x）＝m（x）＞m（0）＝0．故f（x）在(−1a，0)上单调递减，在(0，a−12a)上单调递增，所以x＝0为f（x）的极小值点．综上所述，a的取值范围为（1，+∞）．。
河南农业大学2013-2014学年第二学期 《工科类高等数学B 》期末考试试卷(B)一、判断题（每题2分，共20分，正确的打√，错误的打×）（ ）1、若向量0a b ⋅=，则0a =或0b =． （ ）2、在空间直角坐标系下，方程224x y +=代表一个柱面. （ ）3、二元函数(,)f x y 在00(,)x y 处连续，则(,)f x y 在该点的极限存在． （ ）4、二元函数(,)f x y 在00(,)x y 存在偏导数，则),(y x f 在该点可微． （ ）5、设M 为(,)f x y 在积分区域D 上的最大值，σ是区域D 的面积，则(,)D f x y d M σσ≤⎰⎰． （ ）6、空间区域V 的体积为V dV ⎰⎰⎰． （ ）7、设,,αβγ是空间曲线Γ在点(,,)x y z 处切向量的方向角，则 (cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓΓ++=++⎰⎰. （ ）8、(,)D f x y dxdy ⎰⎰的极坐标形式为(cos ,sin )D f r r drd θθθ⎰⎰. （ ）9、若级数1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑收敛. （ ）10、级数sin (1)n n n α∞-∑绝对收敛. 二、填空题（每空2分，共计20分） 1、过点 (4,1,3)-且平行于1324x y z -==+-的直线方程为_______________________． 2、直线2332x y z -=-=+与平面210x y z +-+=的夹角是___________． 3、00sin()lim (1)x y xy x y →→=+___________． 4、函数22(,)f x y x y =-在点(1,1)处沿从(1,1)到(2,1的方向导数为_________. 5、曲线23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩在点(1,1,1)--处的切线方程为_______________________． 6、交换积分次序210(,)x x dx f x y dy =⎰⎰_______________________________________．院、系 班级 姓名学号座号密封线7、把(,,)f x y z dV Ω⎰⎰⎰转化成柱面坐标下的三重积分为_________________________．8、23123!!nx x x x n ++++++=_________. 9、设L 为圆周222x y +=沿逆时针方向，则22Lxy dy x ydx -⎰=___________. 10、级数(1)n nx ∞-∑的收敛域为 ．三、计算题（每题10分，共计60分）1、计算下列函数的偏导数： ⑴(本小题5分)设043342=-+y x y x ，求.dy dx⑵(本小题5分)设函数sin ,,cos ,t z uv t u e v t =+==求.dtdz2、计算二重积分2(2)D x y d σ-⎰⎰，其中D 是由直线1x y +=及坐标轴所围成的闭区域.3、计算曲线积分22()()L x y dx x y dy -+-⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点（0,0）到点（1,1）的一段弧．4、计算曲面积分⎰⎰∑xyzdS ，其中Σ是平面1x y z ++=在第一卦限的部分．院、系 班级 姓名学号座号密封线5、设长方体三边的长度之和为9，问三边各取什么值时，所得的长方体体积最大？6、求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数,并计算级数1113nn n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的和.。
河南农业大学2012—2013学年第一学期《农产品物流与贸易》考试试卷（A卷）11级物流、管理、项管专业专用一、选择题（1-10题单选，11-15题多选，每小题2分，共30分）1、农产品产出时间较为集中，但是人们的消费天天都有，而农产品物流可以通过系统、科学的方法解决这一矛盾，这是农产品物流（）A、弥补时间创造价值B、创造场所价值C、实现加工价值D、缩短时间创造价值2、从（）角度来看，农产品物流可分为农产品包装、农产品装卸、农产品运输、农产品储藏、农产品加工。
A、农产品供应链 B 农产品物理特性 C 物流主题 D 农产品物流功能3、在进行物品包装时，为了降低成本，采用了轻薄的包装材料，但在运输过程中，可能因此出现很多运输过程中的物品破损，这些破损的成本支出可能会大大高于在包装上节省下来的成本。
这种现象属于（）现象A、物流冰山B、效益背反C、收益递减D、物流延迟4、（）具有运输量大、通达性好、运费低廉、运输速度慢、对货物适应性强、风险较大等特点。
A、水上运输B、铁路运输C、公路运输D、航空运输5、“农户+运销企业”、“农户+加工企业”、“农户+客商”模式属于（）配送模式。
A、直销型B、契约型C、联盟型D、第三方物流6、配送中心的基本流程是（）A、进货-储存-配货-拣货-送货B、进货-储存-拣货-配货-送货C、进货-拣货-配货-储存-送货 C、储存-配货-送货-拣货-送货7、（）在物流领域中最大的应用是在物流分析方面，主要是利用其强大的地理数据功能来完善物流分析技术，可以集成车辆路线模型、最短路径模型、网络物流模型等。
A、GISB、EDIC、GPSD、RFID8、条形码是一种（）A、利用无线电波对记录媒体进行读写的技术，识别的距离可达到几米B、从计算机到计算机的电子传输方式C、为地理研究和地理决策服务的计算机技术系统D、由不同宽度的亮暗条纹组合而成的图像，用来表示物品的各种信息9、电子商务下的物流充分发挥了技术的优势，在运输、装卸、配送、保管和包装等物流功能中，利用信息技术和机电设施最大限度地减少人工参与，提高运作效率。
中国农业大学2012～2013 学年秋季学期 高等数学B （A 卷）试题答案本套试卷共八道大题一、填空题（每小题3分，共计15分，请将答案填写在每题的横线上） 1. ()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的 充分 条件. 2. 函数21x y e +=的微分dy =212x e dx +.3. 1x =是函数21()x f x e -=的 第二类 间断点.4. 反常积分2111dx x +∞=+⎰4π. 5. 已知2321lim 231n x ax x x x →∞++=++，则a = 2 ，n = 3 . 二、选择题（每小题3分，共计15分，请将答案填写在每题的括号中） 1.若()()F x f x '=，则()dF x =⎰( A ) .A . ()F x C +；B . ()f xC +； C . ()F x ；D . ()f x . 2. 下列积分中，值为零的是（ D ）.A .121x dx -⎰； B .231x dx -⎰；C . 111dx x -⎰； D .121sin x xdx -⎰. 3. 若在(,)a b 内，函数()f x 的一阶导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<,则函数()f x 在此区间内( D ).A . 单调减少，曲线是凹的；B . 单调减少，曲线是凸的；C . 单调增加，曲线是凹的；D . 单调增加，曲线是凸的.4. 若函数()y f x =在点0x 处的导数0()1f x '=，则曲线()y f x =在点(00,()x f x ) 处的法线（ B ）.A . 与直线0y x -=平行；B . 与直线0y x +=平行；C . 与0y x -=垂直；D . 与直线0y x +=即不平行也不垂直. 5. 当0x →x 的（ C ）阶无穷小.A .2；B .13； C .16； D .12.三、求下列极限（每题5分，共计15分） 1.2203arcsin limxx tdt x→⎰2202202arcsin (2)=lim ........................3'32(2)=lim ....................................4'38=...................................................5'3x x x xx x →→原式 2.tan 2lim(sin )x x x π→3tan lnsin 0lnsin cot 0cos sin csc 0cos 0sin 0=lim ........................1'=lim =lim .............................4'=lim 1......................5'x x x xx x x x x x x xx e eeee →→-→-→==原式3.20x →202000=lim ........................3'1sin cos 2=lim ......................................4'1sin cos 4=lim2sin cos 44lim ................................sin 3cos 3x x x x x x x xx x x xxx x xx x x →→→→+-+-+==-+原式5'四、求下列导数（每题5分，共计15分）1. 求由方程x y xy e +=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx. 解：方程两边同时求导得'(1')....................3''............................5'x y x yx y y xy e y y e y e x++++=+-⇒=- 2. 函数()y y x =由参数方程 确定，求202|x d y dx =. 2=0222-=(t+1),=,2--1=............................3'(2-)(t+1)-(t+1)+2-e =|=0.................5'(2-)(t+1)t t ttt tt t dx dy e e dt dt e dy dx e d y e dx e 解：则 3. 设(0)xx y x x =>，求dydx. ln ln ln ln -1'=()'....................................................2'1=[()'ln +].............................3'=[(1+ln )ln +].................5'xx x xxx x x x x xx x x y e e x x x x ee x x x 解：五、计算下列积分（每题4分，共计12分）,2tt y x te e e ⎧=⎨+=⎩1. ⎰222ln 1,,.............2'2-11==(ln(t-1)-ln(t+1))+C.........................3'-121 =+..............................4'2t tt x dx dt t dt t C -==⎰（）则原积分为2. 121(1)x x dx -+⎰112-1-1=+.................3'22=+0=...................................................4'33x dx x xdx ⎰⎰原式3. 10⎰211110,,=2.............................................2'=2=2=2-2.........................3'=2-2|=2.............................................................tttt t t x t dx tdt te dt tde te e dt e e =⎰⎰⎰则原式4'六、证明下列不等式（每题6分，共计12分） 1. 当02x π<<时，31tan 3x x x >+. 322221()=tan --................2'3'()=sec -1-=tan -...........5'(0,),tan ,'()02()(0)=0,........6'f x x x x f x x x x x x x x f x f x f π∈>>>解：设因为所以即原不等式成立2. 当b a e >>时, b a a b >.2ln ().............................................................2'1ln '()..........................................................3''()0,()ln ln ()(),,. (x)f x x xf x xx e f x f x a bf a f b a b=-=><>>设当时，函数单调递减，则即.................................5'........................................................'则原不等式成立6 七、（10分）求抛物线21y x =-在(0,1)x ∈内的一条切线，使它与两坐标轴及抛物线所围成的图形的面积最小.解: 设抛物线上切点为2(,1)M x x -则该点处的切线方程为2(1)2()Y x x X x --=---------------------3分它与 x , y 轴的交点分别为212(,0)x xA +，2(0,1)B x +所指面积()S x =22(1)122x x+12(1)d x x --⎰22(1)243x x+=--------5分22214()(1)(31)x S x x x '=+⋅-,令()0S x '=，得[ 0 , 1]上的唯一驻点x =………………………………………………………………8分又()0x S x '<<，()0x S x '>>，因此x =是S(x )在[0，1]上的唯一极小点.且为最小点 .故所求切线为433Y X =-+………..10’ 八、（6分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明:在(,)a b 内存在一点ξ，使()()()f f a f b ξξξ-'=-成立.()()[()()]................3'()[,](,)()()0....................................................5','()0,()'()[()()]0,.........F x b x f x f a F x a b a b F b F a a b F b f f f a ξξξξξ=--==∈=---=证明：设则在连续，在可导，且由罗尔定理知，至少存在（）,使得即结论成立....................................................6'。
河南农业大学2008-2009学年第一学期 《高等数学》（工科）期末考试试卷（A ）一、判断题（每题2分，共20分，正确的打√，错误的打×）（ ）1、若数列{}n a 无界，则数列{}n a一定不收敛．（ ）2、可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数． （ ）3、当x →∞时，()cos f x x x =为无穷大量． （ ）4、0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±．（ ）5、若()f x 在点0x 可微，则()f x 在点0x 处连续．（ ）6、若()f x '在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可导、连续． （ ） 7、若()f x 在[],a b 上有定义，则ξ∃∈[],a b ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰．（ ）8、[]2ln 1ln 2ln ln 12121=-==--⎰x dx x . （ ）9、1()b padx x a -⎰()a b < 在1p <时收敛，在1p ≥时发散．（ ）10、5(')cos 1y y x ''+=为2阶微分方程．二、填空题（每空2分，共计20分）1、222111lim()12n n n n n n n n→∞+++=++++++____________ ．2、0x →=___________．3、22()(1)x x f x x x -=-的可去间断点为___________．院、系 班级 姓名 学号密 封 线4、圆221x y +=上点)21,23(处的切线斜率为___________． 5、曲线2x y e -=的上凸区间是______________________．6、若(0)(0)f g >，当0x >时，()()f x g x ''>，则当0x >时，()f x ()g x .7、已知()f x 的一个原函数为ln x ，则'()xf x dx =⎰． 8、设=⎰．9、由曲线12y x y x x===，，及y 0＝所围成平面图形的面积A ＝_____________． 10、40y y ''+=的通解为______ ．三、计算题（每题8分，共计48分）1、设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，求a 和b .2、设21cos x t y t⎧=+⎨=⎩，求22d y dx3、求． 4、求1-⎰.5、求抛物线2x y =介于1=x 与2=x 之间的一段弧绕着y 轴旋转所得曲面的面积.6、求初值问题230(1)0xy y x x y '-=>=，，.院、系 班级 姓名 学号密 封 线四、综合题（每题6分，共计12分）1、东西走向的铁路上AB 段的距离为100千米,且B 在A 的东边.工厂C 在A 正南方20千米处,为了运输需要,要在AB 段上选一点D 向工厂修一条笔直公路.已知铁路每千米货运费与公路每千米货运费之比为3:5.为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省,问D 点应选在何处?2、设)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，0)(>c f ，b c a <<，证明：至少存在一个(,)a b ξ∈，使得()0f ξ''<.。
河南农业大学2005-2006学年第二学期 《高等数学》（工科）期末考试试卷（A ）一、判断题（每小题2分，共计20分）( R )1、两个单位向量的数量积一定等于1. ( W )2、设有向量,,a b c ，则()()a b c a b c ⋅=⋅. (R )4、沿梯度方向时，方向导数取得最大值. ( R )5、若σ为D 的面积，则Ddxdy σ=⎰⎰.( W )6、设平面闭区}{(,),Dx y a x a x y a =-≤≤≤≤，}{1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤，则14DD xydxdy xydxdy =⎰⎰⎰⎰.( R )7、设L 是任意一条分段光滑的曲线，则220Lxydx x dy +=⎰.( W )8、若级数1nn u∞=∑收敛，1nn v∞=∑发散，则级数()1nn n uv ∞=+∑可能发散，也可能收敛.( R )9、对级数1nn u∞=∑，lim 0nn u →∞=是该级数收敛的必要非充分条件.( R )10、若级数1nn n a x∞=∑在2x =-处收敛，该级数的收敛半径一定大于等于2.二、填空题（每空2分，共计20分）.1、已知两点(4,0,5),(7,1,3)A B ,则与向量AB 方向一致的单位向量为______________.2、曲面222231xy z +-=在点(1,1,1)处的法线方程为________________________.3、向量(2,1,1),(2,3,)a k β==-，且a β⊥，则k ＝______________.4、交换积分次序112203y oIdy x y dx -==⎰⎰____________________________.5、设2x z y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则zx∂=∂_______________________. 6、级数11(2)n n x n∞=-∑的收敛区间为______________. 7、设L 为圆周221xy +=，则22()Lx y ds +=⎰__________________.8、设cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的单位余弦，则两类曲面积分间关系是Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰＝_____________________.9、设∑为球面2222xy z R ++=的外侧，则32222()xdydz ydxdz zdxdy x y z ∑++=++⎰⎰_________.1 / 1110、设()f x 是以4为周期的周期函数，在[]2,2-定义为120()02x f x x x -≤≤⎧=⎨<<⎩，则傅立叶级数在2x =收敛于________________.三、计算题（每题10分，共计60分） 1、计算二重积分2Dy xydxdy -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域．2、设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且22()z f x y =+满足22220z zx y∂∂+=∂∂.证明：()()0f u f u u '''+=．3、将函数2()2xf x x x =+-展成x 的幂级数．4、计算曲面积分：xyzdS ∑⎰⎰，其中∑是球面2221xy z ++=外侧在0,0x y ≥≥的部分．5、利用格林公式计算：3222(2cos )(12sin 3)Lxy y x dx y x x y dy -+-+⎰，其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到(,1)2π的一段弧．6、设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，求此平面方程．河南农业大学2005-2006学年第二学期 《高等数学》（工科）期末考试试卷（B ）题号 一 二 三 总分 分数得分 评卷人一、判断题（每小题2分，共计20分）1、若(,)f x y 在00(,)x y 处偏导数存在且取到极值，则00(,)x y 是(,)f x y 的驻点.( )2、函数),,(z y x f 在点),,(000z y x P 偏导数都存在，则),,(z y x f 在该点连续. ( )3、函数),(y x f z =在),(00y x 沿i e l =的方向导数存在，则在该点对x 偏导数必存在.( )4、设向量0α≠，向量β平行于α的充要条件是：存在唯一的实数λ，使βλα=.( )5、有界闭区域上D 的多元函数，必定在D 上有界. ( )6、函数在一点的梯度方向可以与等值线在该点的法线方向不同.( )7、σσd y x f d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤),(),( .( )8、区域G 是一个单连通域，函数),(y x P ，),(y x Q 在G 内具有一阶连续偏导数，若xQ y P ∂∂=∂∂，则⎰+L Q dy Pdx 在G 内与路径无关. ( ) 9、如果级数∑∞=1n nu收敛，则一般项n u 趋于零.( )10、若交错级数不满足莱布尼兹判别法的条件，则该交错级数必发散.( )二、填空题（每空2分，共计20分）.1、两平面062=-+-z y x 和052=-++z y x 的夹角为_____.2、点)1,1,2(到平面01=+-+z y x 的距离为______.3、交换积分次序，则⎰⎰=xxdy y x f dx 22__________________),(. 4、幂级数()111!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是____________. 5、若函数22ln y x z +=，则_______2222=∂∂+∂∂yzx z .6、_______2=⎰+∞∞--dx ex .7、高斯公式为__________________________=++⎰⎰∑Rdxdy Qdzdx Pdydz . 得分 评卷人3 / 118、设()f x 是以4为周期的周期函数，在[]2,2-定义为120()02x f x x x -≤≤⎧=⎨<<⎩，则傅立叶级数在2x =收敛于________ .9、设L 为抛物线y x =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段，则_____22=+⎰Ldy x xydx .10、周期为π2的奇函数的傅立叶级数只含有_____弦项. 得分 评卷人三、计算题（每题10分，共计60分） 1、计算Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由2yx =及直线2y x =+所围成的闭区域．2、设0,1,xu yv yu xv -=+=求,u u x y∂∂∂∂．3、求幂级数1211(1)(21)n n n x n n -+∞=--∑的收敛域．4、计算⎰⎰∑xyzdS ，其中:∑由0,0,0x y z ===及0x y z ++=所围成的四面体的整个边界曲面．5、计算曲线积分222()L ydx xdy x y -+⎰，其中L 为圆周22(1)2,x y L -+=的方向为逆时针方向．5 / 116、求曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程．河南农业大学2006-2007学年第二学期判断题（每小题2分，共计20分） （ ）1．平面的法向量不唯一.（ ）2．向量→→⨯b a 与二向量→a 及→b 的位置关系是垂直的. （ ）3．若),(y x f z=在点),(000y x P 处的两个偏导数存在，则),(y x f 函数必在该点连续.（ ）4．沿梯度方向时，方向导数取得最大值. （ ）5．二重积分σd y x f D⎰⎰),(表示以),(y x f z =为顶，D 为底，以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面为侧面的曲顶柱体的体积．（ ）6．曲线积分⎰+Ldy x xydx 2与路径无关．（ ）7．闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰=∂∂LD Pdy dxdy x P. （ ）8．若级数1nn u∞=∑收敛，1nn v∞=∑发散，则级数∑∞=+1)(n n nv u可能发散，也可能收敛.（ ）9．设L 为圆周221xy +=，则⎰=Lds π2.（ ）10．若幂级数nn n a x∞=∑在点1-处收敛，则该级数的收敛半径1≥r.二、填空题（每空2分，共计20分） 1．将xoz 坐标面上的直线x z5=绕ox 轴旋转而成的旋转曲面方程为 .2．曲面222231xy z +-=在点)1,1,1(-处的法线方程_________________.3．__________42lim0=+-→→xy xy y x .4．交换积分次序⎰⎰---=221110),(y y dx y x f dy ____________________________.5．函数y xe z2=在点)0,1(P 处沿点P 到点)1,2(-Q 的方向导数为_______.6．级数11(2)n n x n∞=-∑的收敛区间为______________. 7．设D 表示整个xOy 平面，则⎰⎰=--Dy xdxdy e 22__________________.8．设c o s ,c o s ,c o αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦，则两类曲面积分间关系是P d y d zQ d z d x R ++∑⎰⎰＝___________________. 9．由2x y =与1=y 所围成的均匀薄片（面密度为μ）对直线1-=y 的转动惯量为 .10．设()f x 是以4为周期的周期函数，在)2,2[-定义为120()02x f x xx -≤≤⎧=⎨<<⎩，则其傅立叶级数在1=x 收敛于________________三．计算题（每题10分，共计60分）1．计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由椭球面1222222=++c z b y a x 所围成的空间闭区域．2．设⎩⎨⎧=+++=,2032,22222z y x y x z 求dx dzdx dy ,．7 / 113．求幂级数1211(1)(21)n n n x n n -+∞=--∑的收敛域．4．计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑是锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分．5．计算曲线积分⎰-+-+Lxx dy ye x x dx e y x xy x y x)2sin ()sin 2cos (222，其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a y x ．6．设)57()3(b a b a -⊥+，)27()4(b a b a-⊥-，求向量b a ,的夹角．河南农业大学2006-2007学年第二学期 《高等数学》（工科）试卷（B ）题号 一 二 三 四 总分 分数一、判断题（每小题2分，共计20分）（ ）1．两个向量互相垂直当且仅当其数量积等于0.得分 评卷人（ ）2．方程042222=+-++y x z y x 表示一个空间球面.（ ）3．极限y x xyy x +→→00lim 存在.（ ）4．若函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数存在，则函数必在该点连续.（ ）5．函数),(y x f z =的两个混合偏导数xy zy x z ∂∂∂∂∂∂22,未必相等. （ ）6．积分区域D 由x 轴，y 轴及直线1=+y x 围成，则σσd y x d y x DD⎰⎰⎰⎰+≤+32)()(. （ ）7．设L 为圆周221x y +=，则⎰=Lds π2.（ ）8．设L 是任意一条分段光滑的曲线，则022=+⎰xydy dx y L. （ ）9．对级数1n n u ∞=∑，若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑一定收敛.（ ）10．若幂级数0n n n a x ∞=∑在点2=x 处收敛，则该级数在点1-=x 处必定绝对收敛.二．填空题（每空3分，共计30分）.1．将xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕ox 轴旋转而成的旋转曲面方程为 .2．yxy y x )sin(lim 02→→ = . 3．设函数)ln(tanxyz =，则函数的全微分z d 为 . 4．设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=-')1,1,0(x f .5．交换积分次序112203yoI dy x y dx -==⎰⎰____________________________.6．二重积分dxdy y x y x ⎰⎰≤++422)(在极坐标下的二次积分为 .7．设cos ,cos,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦，则两类曲面积分间关系是⎰⎰∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz = .8．设∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则⎰⎰∑++++23222)(z y x zdxdy ydxdz xdydz =_____.9．级数11(2)n n x n∞=-∑的收敛区间为______________.10．设()f x 是以4为周期的周期函数，在[]2,2-定义为120()02x f x xx -≤≤⎧=⎨<<⎩，则其傅立叶级数在2x =收敛于_________.得分 评卷人9 / 11三、计算题（每题8分，共计40分）1．计算dxdy y x D)(22⎰⎰+，其中D 为由圆y y x 222=+，y y x 422=+及直线y x 3-0=，03=-x y 所围成的平面闭区域.2．计算⎰+++=Ldy y x dx xy x I )()2(422,其中L 为从点)0,0(O 到点)1,1(A 的曲线x y 2sinπ=.3．计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由椭球面1222222=++c z b y a x 所围成的空间闭区域．4．计算⎰⎰∑xyzdS ，其中是由0,0,0x y z ===及0x y z ++=所围成的四面体的整个边界曲面．得分 评卷人密 封 线5．将函数x x x f --=41)(在1=x 处展开成泰勒级数（展开成)1(-x 的幂级数）.四、证明题（10分）设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z y z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.得分 评卷人。
