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第十二章 机械振动一、选择题（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）1. 在关于简谐运动的下列说法中，正确的是：（ ）A ．质点受到回复力（恒指向平衡位置的力）的作用，则该质点一定作简谐运动；B ．一小球在半径很大的光滑凹球面上来回滑动，如果它滑过的弧线相对凹球面的半径很短，则小球作简谐运动；C ．物体在某一位置附近来回往复的运动是简谐运动；D ．若一物理量Q 随时间的变化满足微分方程0d d 222=+Q tQ ω，则此物理量Q 作简谐运动（ω 是由振动系统本身的性质决定的常量）；E. 篮球运动员运球过程中，篮球作简谐运动。
解：选（B 、D ）。
因为一质点作简谐运动必须受到－个恒指向平衡位置，且与位移成正比的弹性力（或准弹性力）的作用。
根据牛顿第二定律，小球在运动时受到θs in τmg F -=回复力的作用，依题意，R y =≈θθtan sin （式中R 为凹球面半径），即回复力为y RmgF -=τ，满足简谐运动动力学判据。
简谐运动不仅是来回往复运动，而且应满足位移随时间是按正弦（或余弦）规律变化的。
简谐运动的运动学特征是0d d 222=+y ty ω，所以，物理量Q 的微分方程0d d 222=+Q t Q ω满足简谐运动运动学判据。
篮球运动员运球过程中，篮球除在拍打和地面反弹有瞬间碰撞力外，只受到始终向下的重力作用，不满足简谐运动动力学判据。
2. 一个沿y 轴作简谐运动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函数表示。
下面左侧是振子的初始状态，右侧列出了一些初相位值，试用连线的方法确定它们的对应关系：图12-2A ．过2A y =处向y 轴正方向运动 A /. 初相位为π43- B ．过2A y -=处向y 轴正方向运动 B /. 初相位为π±C ．过平衡位置处向y 轴正方向运动 C /. 初相位为π31-D ．过A y -=0 D /. 初相位为π21-解：由题意可画出各种条件下的旋转矢量。
第十三章（在下列各题中，均给出了4个～5个答案，其中有的只有1个正确答案，有的则有几1.在下列关于机械波的表述中，不正确的是 A.B.在波的传播方向上，相位差为2πC.D.波的振幅、频率、相位与波源相同;E.波线上离波源越远的质元，相位越落后。
（解：选（D ）。
简谐波的频率与波源的频率相同。
对于平面简谐波，我们假设了介质是均匀、无吸收的，那么各点的振幅将保持不变，且与波源的振幅相同，但对于简谐球面波，其振幅与离开波源的距离成反比。
波的相位与位置有关，且总是落后于波源的相位。
2.已知一平面简谐波的波函数为y =A cos （at -bx ）(a 、b 为正值)A.波的频率为a ；B.波的传播速度为abC.波长为πb D.周期为2πa解：选（D ）。
沿Ox 轴正方向传播的平面简谐波的波函数具有标准形式：cos 2π()λt xy A T =-。
将题中给出的波函数化为cos 2π()2π2πt x y A a b =-，与标准形式比较得：周期2πT a=，波长2πλ=b ，波速λ=a u T b =，频率1==2πaT ν。
3.A. 波的能量221kA E E E P K =+=B. 机械波在介质中传播时，任一质元的K E 和P E 均随时间t 变化，但相位相差π2C. 由于K E 和P E 同时为零，又同时达到最大值，表明能量守恒定律在波动中不成立；D.K E 和P E 同相位，表明波的传播是能量传播的过程。
（解：选（D ）。
在有波传播的介质中，任一体积元中的动能和势能随时间变化的规律完全相同，也就是说，当该体积元内的动能最大时，势能也最大，动能为零时，势能也为零。
但这并不表明能量守恒定律本身不成立，因能量守恒定律只适用于封闭（孤立）系统，而该体积元是开放系统，它不断从后面的介质中获得能量，又不断地把能量传给前面的介质。
这与单个质点的简谐振动不同，当单个质点做简谐振动时，其动能最大时势能为零，势能最大时动能为零，两者之和为221kA E E E P K =+=，机械能守恒。
大学物理机械波的总结引言机械波是通过介质的振动传递的一种能量，它在物质中传播并传递能量和动量。
大学物理中，我们学习了机械波的基本概念、性质以及传播规律。
本文将对大学物理机械波的相关知识进行总结。
一、机械波的分类机械波根据传播方向的不同，可以分为横波和纵波两类。
1.横波：介质振动方向与波的传播方向垂直的波称为横波。
例如光波、水波等都属于横波。
横波的特点是振动方向垂直于波的传播方向。
2.纵波：介质振动方向与波的传播方向平行的波称为纵波。
例如声波就是一种纵波。
纵波的特点是振动方向与波的传播方向平行。
二、机械波的传播特性机械波在传播过程中具有以下几个重要的特性：1.波长：波长表示一个波的一个完整周期所需要的距离。
用符号λ表示，单位为米（m）。
2.频率：频率表示单位时间内波的周期个数。
用符号f表示，单位为赫兹（Hz）。
3.波速：波速表示波的传播速度。
用符号v表示，单位为米每秒（m/s）。
4.振幅：振幅表示波的最大偏离程度。
振幅越大，波的能量越大。
5.周期：周期表示一个完整波形所需要的时间。
用符号T表示，单位为秒（s）。
这些传播特性之间满足以下关系：v = λ * f即波速等于波长乘以频率。
三、机械波的传播方式根据介质的不同，机械波的传播方式可以分为弹性波和表面波两种。
1.弹性波：弹性波是在固体或者类似固体的介质中传播的波动。
弹性波可以进一步分为纵波和横波。
–纵波：纵波是弹性波的一种，它的振动方向与波的传播方向平行。
–横波：横波是弹性波的一种，它的振动方向与波的传播方向垂直。
2.表面波：表面波是沿介质表面传播的波动。
表面波可以进一步分为Rayleigh波和Love波。
–Rayleigh波：Rayleigh波是地震波中的一种，其振动既包含横向也包含纵向成分。
–Love波：Love波是纵波无法在液体介质中传播而只能在固体介质中传播的一种波动。
四、机械波的干涉和衍射机械波在传播过程中会发生干涉和衍射现象。
1.干涉：当两个或多个波同时作用于同一位置时，它们会相互叠加，形成新的波形。
151第2章 机械波一．基本要求1．理解机械波产生的机制和波动的特征。
2．掌握简谐波的概念以及描述简谐波的物理量：波长、周期、波速和相位。
3．掌握波函数的建立过程，能根据任一点的振动方程写波函数，并理解波函数的物理意义．掌握振动曲线和波形曲线的区别和联系，能够从波形曲线获取有关信息。
4．理解波的能量以及与能量有关的物理量：能量密度、波的强度．掌握振动的能量和波的能量的差异。
5．了解惠更斯原理，并能用它解释波的衍射、反射和折射。
6．掌握波的迭加原理，特别波的干涉，以及干涉的特例——驻波。
7．掌握多普勒效应。
二．内容提要和学习指导（一）机械波的基本概念1．定义：机械振动在弹性媒质中传播形成机械波。
2．产生的条件：①产生振动的波源；②传播振动的弹性媒质；3．分类：①按振动方向分为：纵波和横波；②按波面形状分为：平面波、球面波和柱面波等；③按频率分为：次声波(ν<20Hz)、声波(20Hz <ν<2⨯104Hz)、超声波(ν>2⨯104Hz)；④按波源是否谐振分为：简谐波和非简谐波。
（二）波动的描述1．描述波的基本物理量：（1）波的周期T （频率ν、圆频率ω）：1/2/T νπω==，波场中各质元振动的周期，由波源决定，与介质无关，它反应波在时间上的周期性．．．．．．．．．．．．。
（2）波速u ：单位时间内振动所传播的距离．它决定于介质的弹性性质和介质的密度，与波源无关．值得注意的是：波速与质元的振动速度是两个不同的概念；（理想的流体中只能传播纵波，其波速ρ/K u =；固体中横波的波速ρ/G u =，纵波的波速ρ/E u =；柔软的轻绳中只能传播横波，其波速μ/T u =）；（3）波长uT λ=：沿波的传播方向两个相邻同相点之间的距离，或者说波在一个周期内向前传播的距离．它反应波在空间上的周期性．．．．．．．．．．．．． （4）波的相位：设0x =处的质元在t 时刻的振动相位是0t ωφ+，波沿x 轴正（反） 向传播，则位于x 处的质元在t 时刻的振动相位为0(/)t x u φωφ=+ ；2．波动的几何描述：①波线：表示波的传播方向的直线或曲线；②介质中位相相同的点构成的面叫等相面，位置在波的最前方的等相面称为波前或波面；③在各向同性均匀介质中，波线与波面正交；④沿波线单位长度上完整波的个数称为波数，2/k πλ= 称为角波数，2/k n πλ= 称为波矢量（n是沿波传播方向的单位矢量）；3．波动的解析函数描述：（1）平面波的微分方程 0122222=∂∂-∂∂tu x ξξ，其解满足叠加原理。
大物机械波知识点总结一、机械波的基本概念1. 机械波的定义：机械波是一种通过介质传播的能量随时间和空间而传播的波动现象。
2. 机械波的分类：机械波可分为横波和纵波两种。
二、机械波的传播1. 机械波的传播特点：机械波的传播具有振动传递和能量传递两个基本特点。
2. 波的传播速度：波速实际上是波在一定介质中传播的速率。
它往往取决于介质的性质和波的频率。
三、机械波的特性1. 波的叠加原理：当两个或多个波在同一介质中同时传播时，它们彼此之间会相互叠加。
2. 波的衍射：波的衍射是指波传播到某一障碍物后，在障碍物的后方会出现波的扩散现象。
3. 波的干涉：波的干涉是指两个或多个波在特定位置相遇时，彼此之间会出现增强或衰减的现象。
四、机械波的性质1. 机械波的频率和周期：波的频率是指波动在一个时间单位内的周期数，通常用赫兹（Hz）来表示。
2. 波长：波长是指相邻两个波峰或波谷之间的距离，通常用λ来表示。
3. 振幅：波的振幅是指正弦波图像中垂直于振动方向的最大位移。
五、机械波的能量1. 波动能量：波动能量是指波在传播过程中携带的能量。
2. 波的能量传递：波在介质中传播时，能量是从波源处传递到接收器处的。
六、机械波的数学描述1. 波动方程：波动方程是用来描述波动的物理规律的数学方程。
2. 波函数：波函数是波的空间和时间分布规律的数学表示。
七、机械波的应用1. 波的传播：机械波的传播被广泛应用在通信、声学、医学等领域。
2. 声波：声波是一种机械横波，被广泛运用在音响、通讯、医学等领域。
结语机械波是物质振动的传播方式，其在日常生活中有着广泛的应用。
通过以上的知识点总结，我们对机械波的基本概念、传播特点、特性、性质、能量、数学描述和应用有了更深入的了解。
希望能够帮助大家更好地理解和应用机械波的知识。
第十三章 机械波一、选择题（在下列各题中，均给出了4个～5个答案，其中有的只有1个正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）1.在下列关于机械波的表述中，不正确的是A.机械波实际上就是在波的传播方向上，介质中各质元的集体受迫振动；B.在波的传播方向上，相位差为2π的两质元之间的距离称为波长；C.振动状态在介质中传播时，波线上各质元均可视为新的子波波源；D.波的振幅、频率、相位与波源相同;E.波线上离波源越远的质元，相位越落后。
（ ）解：选（D ）。
简谐波的频率与波源的频率相同。
对于平面简谐波，我们假设了介质是均匀、无吸收的，那么各点的振幅将保持不变，且与波源的振幅相同，但对于简谐球面波，其振幅与离开波源的距离成反比。
波的相位与位置有关，且总是落后于波源的相位。
2.已知一平面简谐波的波函数为y =A cos （at -bx ）(a 、b 为正值)，则：A.波的频率为a ；B.波的传播速度为a b ； C.波长为πbD.周期为2πa（ ） 解：选（D ）。
沿Ox 轴正方向传播的平面简谐波的波函数具有标准形式：cos 2π()λt x y A T =-。
将题中给出的波函数化为cos 2π()2π2πt x y A a b=-，与标准形式比较得：周期2πT a =，波长2πλ=b ，波速λ=a u T b =，频率1==2πa T ν。
3.在下列关于波的能量的表述中，正确的是A. 波的能量221kA E E E P K =+=；B. 机械波在介质中传播时，任一质元的K E 和P E 均随时间t 变化，但相位相差π2； C. 由于K E 和P E 同时为零，又同时达到最大值，表明能量守恒定律在波动中不成立； D.K E 和P E 同相位，表明波的传播是能量传播的过程。
（ ）解：选（D ）。
在有波传播的介质中，任一体积元中的动能和势能随时间变化的规律完全相同，也就是说，当该体积元内的动能最大时，势能也最大，动能为零时，势能也为零。
但这并不表明能量守恒定律本身不成立，因能量守恒定律只适用于封闭（孤立）系统，而该体积元是开放系统，它不断从后面的介质中获得能量，又不断地把能量传给前面的介质。
这与单个质点的简谐振动不同，当单个质点做简谐振动时，其动能最大时势能为零，势能最大时动能为零，两者之和为221kA E E E P K =+=，机械能守恒。
4.传播速度为100m/s ，频率为50Hz 的平面简谐波，在波线上相距为0.5m 的两点之间的相位差为： A.π3 ； B.π6； C.π2； D.π4。
（ ） 解：选（C ）。
波长m 250100===νλu ，相位差x ∆=∆λϕπ22π5.02π2=⨯=。
5.一列平面余弦波t 时刻的波形如图13-1所示，则该时刻能量为最大值的介质质元的位置是：A.e c a ,, ；B.f d b ,, ；C.e a , ；D.c 。
（ ）解：选（B ）。
由图可知，该时刻b 、d 、f 三个质元位移为零，说明此时它们正通过平衡位置，因此动能最大，根据波动过程中能量传播的规律，它们的势能也最大。
6.一频率为500Hz 的平面简谐波，波速为360m/s ，则同一波线上相位差为3π的两点间距离为：A. 0.24m ；B.0.48m ；C.0.36m ；D.0.12m 。
（ ） 图13-1解：选（D ）。
波长m 72.0500360===νλu ，又因相位差x ∆=∆λϕπ2，所以2πx λφ∆=∆ 0.72π0.122π3=⨯=m 。
7.一平面简谐波沿Ox 轴负方向传播，其振幅A =0.01m ，频率ν=550Hz ，波速u =330m/s 。
若t =0时，坐标原点处的质点达到负的最大位移，则此波的波函数为：A.y=0.01cos ［2π（550t+1.67x ）+π］；B.y=0.01cos ［2π（550t-1.67x ）+π］；C.y=0.01cos ［2π（550t+1.67x ）-π/2］；D.y=0.01cos ［2π（550t-1.67x ）+3π/2］。
（ ）解：选（A ）。
沿Ox 轴负方向传播的平面简谐波的波函数具有标准形式：cos 2π(+)+λt x y A T ϕ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中11=s 550T ν=，3303m 5505u λν===，由旋转矢量法易知，=πϕ，故选A 。
8.在下列关于波的干涉的表述中，正确的是：A.两列波在空间相遇，叠加的结果形成干涉；B.两列相干波干涉的结果，使介质中各质元不是“加强”，就是“减弱”（即极大或极小）；C.干涉加强意味着合振幅A 有极大值，干涉减弱意味着合振幅A 有极小值；D.干涉加强点意味着该质元的y 不随时间变化，始终处于极大值位置；E.两列相干波形成干涉，某时刻介质中P 点处的质元距平衡位置为y ，且m i n m a x A y A <<，表明P 点一定既不是加强点，也不是减弱点。
（ ）解：选（C ）。
波的干涉是指频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强、某些地方振动始终减弱的现象。
干涉加强的点合振幅有极大值max A ，干涉减弱的点合振幅有极小值min A ，其它点的合振幅则在极大值和极小值之间。
9.一列火车驶过火车站时，站台上的观察者测得火车汽笛声的频率由1200Hz 变为1000 Hz ，空气中的声速为330m/s ，则火车的速度为A.30m/s ；B.55m/s ；C.60m/s ；D.90m/s 。
（ ）解：选（A ）。
注意，题中给出的两个频率都是观察者接收到的频率o ν，不是波源（火车）的频率s ν。
由多普勒效应的频率公式知，观察者接收到的频率=o o s su u υννυ± 上式中，假若观察者接近波源，o υ前取正号，反之取负号（本题观察者的速度为0o υ=）；波源向着观察者运动时，s υ前取负号，远离时取正号，因此有3301200=330s s νυ- 3301000=330+s sνυ 消去s ν，得到30m/s s υ=。
10.人耳能辨别同时传来的不同声音，这是因为：A.波的反射和折射；B.波的干涉；C.波的独立传播性；D. 波的强度不同。
（ ）解：选（C ）。
二、填空题1.已知波源在坐标原点（x =0）的平面简谐波的波函数为y =A cos （Bt -Cx ），其中A 、B 、C 为正值常数，则此波的振幅为 A ，波速为/B C ，周期为2πB ，波长为2πC 。
在任意时刻，在波传播方向上相距为D 的两点的相位差为DC 。
解：参见本章选择题2。
此题不需要明确哪点相位超前或落后，故相位差2πΔ=x DC ϕλ∆=。
若将此题改成，求在波传播方向上坐标为M x 和N x 的两点的相位差，则应写成MN M N ϕϕϕ∆=-2π()M N x x λ=--，注意下标M 、N 的顺序不能颠倒。
2.波源位于x =-1m 处，其振动方程为y =0.05cos （2πt+π/3）m ，此波源产生的波无吸收地分别向X 轴正、负方向传播，波速u =2m/s 。
则向X 轴正向传播的波动方程为：y 1=1π0.05cos 2π23x t ⎡+⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，向X 轴负向传播的波动方程为y 2=1π0.05cos 2π+23x t ⎡+⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。
解：仅分析波沿X 轴正方向传播时的情况（如图）。
所谓“求波动方程”其实就是求任意质点在任意时刻的位移，其理论依据是：（1）波的传播是状态的传播（这里的“状态”是指质点振动的位移、速度、加速度等）；（2）状态的传播需要时间。
为此，任取坐标为x 的一点P ，显然， P 点在t时刻的位移，应该等于波源处（M 点）在1x t u +-时刻的位移，于是有11π0.05cos 2π23x y t ⎡+⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦m 。
3.一沿x 轴正方向传播的平面简谐波，波速为u =10m/s ，频率为ν=5Hz ，振幅A =0.02m 。
在t =0时，位于坐标原点处的质元的位移为y 0=0.01m ，速度d 0d y t >，则此列波的波动方程为：y =π0.02cos 10π--m 103x t ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；位于x 1=4m 和x 2=4.1m 处两质元的相位差：Δφ=0.1π。
解：把坐标原点作为参考点，设参考点的振动方程为cos()y A t ωϕ=+，其中A =0.02m ，=2π=10πωνrad/s ，如图，由旋转矢量法求得初相π=-3ϕ，因此π0.02cos(10π-)m 3y t =。
在x 轴正向任取一点P,P 点在t 时刻的位移等于参考点在-x t u时刻的位移，因此，波动方程为π0.02cos 10π--m 103x y t ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。
波长10=2m 5u λν==，位于x 1=4m 和x 2=4.1m 处两质元的相位差：2π2π=0.1=0.1π2x φλ∆=∆⨯。
4.频率为500Hz 的波，其传播速度为350m/s ，相位差为2π3的两点间距为730m 。
解：3507=m 50010u λν==,由2πx φλ∆=∆可求出730x ∆=m 。
M O P u X Y -1 x5.一列波由波疏介质向波密介质传播，在两介质的分界面上反射，则反射波的相位将 损失π，这个现象称为 半波损失 。
解：(略)6.已知驻波方程为y =0.04cos20x cos800t （SI ），则形成该驻波的两列行波的振幅A = 0.02 m ，波速u = 40 m/s ，相邻两波节的距离为Δx =π20 m 。
解：驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿着相反方向传播时叠加形成的。
若设这两列相干波的振幅均为A 、频率均为ν、波长均为λ、且坐标原点处的初位相都为零，则驻波方程可以写成2π2cos cos 2πy A x t νλ=与题目中给出的驻波方程比较，可以求得0.02m A =，π=m 10λ，400=Hz πν。
从而，波速40m/s u λν==。
由于相邻两波节之间的距离为半个波长，所以πm 220x λ∆==。
7.设入射波的表达式为y 1=Acos2π（νt+x /λ），波在x =0处发生反射，若反射点为固定端，则反射波的表达式为y 2=cos 2π-+πx A t u ν⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；若反射点为自由端，则反射波的表达式为y 3=cos 2π-x A t u ν⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。
解：入射波在x =0处引起振动的方程为cos 2πy A t ν=。
若反射点为固定端，则应计入半波损失，于是反射波在x =0处引起振动的方程为cos 2π+πy A t ν=（），因此，反射波的表达式（亦称反射波的波动方程）为2cos 2π-+πx y A t u ν⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（参见本章填空题第2题解答）。
