初二数学特殊三角形试题附答案

特殊三角形测试题参考答案与试题解析一、选择题（共14小题）7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（）二．填空题（共4小题）11．（2002•福州）等腰三角形的两边长分别为2和7，则它的周长是12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是13．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分，则它的底边长是．14．已知直角三角形的两直角边长为3cm和4cm，则斜边上的中线长是cm，斜边上的高为cm．斜边长为=5cm•3•4=•5•x cm故答案为，15．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠BCA的平分线AD、CD交于点D，若∠B=70°，则∠ADC=度．（∠（16．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要米长．解：根据勾股定理，楼梯水平长度为三．解答题（共5小题）17．如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=13，AC=5，则△ACD的周长为18．如图，已知在△ABC中，∠A=75°，∠B=35°，∠C=70°，请将这个三角形分成两个等腰三角形．（要求标出每个等腰三角形的内角度数）19．如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由．20．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等．试说明AE=DF的理由．考点：全等三角形的判定与性质．分析：可通过构建全等三角形来证明，连接CD，那么CD就是直角三角形斜边上的中线，那么DC=AD，∠DAC=∠DCA，在三角形AED和DFC中，已知的条件有AD=CD，ED=FC，只要再证得两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，由于ED、CF平行，那么∠EDA=∠DAF=∠DCA，这样就构成了两三角形全等的条件（SAS）就能得出AE=DF的结论了．解答：解：连接CD，∵∠ACB=90°，D是AB边的中点∴CD=AD，∠DAC=∠DCF∵DE与CF平行且相等∴∠EDA=∠DAC∴∠EDA=∠DCF在△AED和△CFD中AD=CD，∠EDA=∠DCF，DE=CF∴△AED≌△CFD（SAS）∴AE=DF．点评：此题考查简单的线段相等，可以通过构建全等三角形来证明．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．21．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE．22．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC=BD，DF=FE．求证：（1）△ABD≌△ACE；如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）在图①中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用①②解答中所积累的经验和知识，完成下题．如图②在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD）∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形．分析：（1）利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF（SAS），即CE=CF．（2）借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE．解答：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD,∠B=∠CDF=90°在△CBE和△CDF中BC=CD∠B=∠CDF=90°BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE=CF；（2）解：GE=BE+GD，理由：∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，在△ECG和△FCG中CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD；（3）解：过C作CG⊥AD于G，在直角梯形ABCD中AD∥BC，∠A=∠B=90°又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形，∴AG=BC=12，∵∠DCE=45°，由①②可得ED=BE+DG，设DE=x，则DG=x-4，∴AD=16-x在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2，∴x2=（16-x）2+82∴x=10，即DE=10．点评：本题是一道几何综合题，内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异．从阅卷的情况看，本题的得分在4-8分的学生居多．前两个小题学生做得较好，第三小题，因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题，数学学习能力不强，造成本小题得分率较低．。

第2章特殊三角形培优提高卷一、选择题。

（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．如图，等腰直角△ABC中AB=AC，将其按下图所示的方式折叠两次，若DA’=1，给出下列说法：①DC’平分∠BDA’；②BA’长为；③△BC’D是等腰三角形；④△CA’D的周长等于BC的长．其中正确的有﹙﹚A.1个B.2个C.3个D.4个2．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点成为格点．已知A，B是两个格点，如果点C 也是图中的格点，且使△ABC为等腰直角三角形，则点C的个数是﹙﹚A．6个B．7个C．8个D．9个(第2题) (第3题) (第4题)3．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF=α；②A1E=CF；③DF=FC；④BE=BF．其中正确的有﹙﹚A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．如图，△ABC中，AB=20㎝，AC=12㎝，点P从点B出发以3㎝/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2㎝/s的速度想点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）A.2.5s；B.3s;C.3.5s;D.4s请你帮他找来﹙ ﹚ A ．13，12，12B ．12，12，8C ．13，10，12D ．5，8，46．如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE +CF 的大小关系﹙ ﹚ A ．EF =BE +CF B ．EF ＞BE +CF C ．EF ＜BE +CF D ．不能确定(第6题) (第7题) (第8题)7．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为﹙ ﹚ A ．67 B ．65 C ．35 D ．348．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD =2，点P 在四边形ABCD 的边上．若点P 到BD 的距离为23，则点P 的个数为﹙ ﹚ A ．2 B ．3 C ．4 D ．59．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，AC 在直线l 上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1=2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2=23；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3=33；…，按此规律继续旋转，直到得到点P 2014为止，则P 1P 2014=﹙ ﹚A ．2012＋3B ．2013＋3C ．2014＋3D ．2015＋3(第9题) (第10题)10．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）A.6 B .23 C .5 D .4 二、填空题。

浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》测试卷含答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》测试卷考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.下列图形中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则这个等腰三角形的周长为（）A. 12B. 12或15 C. 15 D. 93.在中，，，则BC边上的高为（）A. 12B. 10C. 9D. 84.若等腰三角形一个外角等于100 ，则它的顶角度数为（）A. 20°B. 80°C. 20°或80° D. 50°或80°5.如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D 交AC于点E，那么下列结论中正确的是（）①△BDF和△CEF都是等腰三角形②DE=BD+CE③△ADE的周长等于AB和AC的和④BF=CFA. ①②③④B. ①②③C. ①②D. ①6.如图，将绕点A按逆时针方向旋转100°，得到，若点在线段BC 的延长线上，则的大小为（）A. 70°B. 80°C. 84°D. 86°（第5题）（第6题）（第7题）（第9题）7.如图，正方形A，B，C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为( )A. 4B. 15C. 16D. 188.以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（）A. 5，12, 13B.C. ，3，4 D. 2，3，49.如图由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，折断后树干上部分与地面成30度的夹角，折断前长度是（）A. B. C.D. .10.如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE 的长是（）A. 7B. 5C. 3D. 2（第10题）（第11题）11.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。

特殊三角形-练习题(含答案)特殊三角形-练习题(含答案)一、选择题1. 在直角三角形中，若一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，那么斜边的长度是：A. 5B. 7C. 9D. 122. 一个等腰三角形的两条等边分别为5，那么等腰三角形的底边长为：A. 2.5B. 4C. 5D. 103. 在等边三角形中，每个角的度数为：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4. 若一个三角形有一条边长为2，另外两条边长为3和4，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形5. 在等腰直角三角形中，两条直角边的长度分别为3和4，那么斜边的长度为：A. 5B. 7C. 9D. 12二、填空题1. 正三角形的每个角度数为__________。

2. 整数边长的直角三角形有__________组。

3. 锐角三角形的内角和为__________度。

4. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为__________。

5. 一个等腰三角形的两条等边分别为6，那么等腰三角形的底边长为__________。

三、解答题1. 证明等腰直角三角形的两条直角边相等。

解答思路：通过证明直角三角形两个角相等，并且直角三角形的两边长相等，可以得出等腰直角三角形的两条直角边相等。

2. 在等边三角形ABC中，边长为6。

连接点A和边BC的垂线段AD，求垂足D与点C之间的距离。

解答思路：利用等边三角形的性质，可以得出垂足D与点C之间的距离等于等边三角形的边长的一半。

四、答案选择题答案：1. A2. B3. B4. D5. A填空题答案：1. 60°2. 3组3. 180°4. 直角三角形5. 6解答题答案：1. 略2. 等边三角形的边长为6，所以垂足D与点C之间的距离为3。

结束语通过以上练习题的答案，我们可以对特殊三角形的性质和计算有更深入的了解。

三角形初二试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在三角形中，如果一个角是直角，那么这个三角形被称为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：B2. 三角形的内角和是（）A. 180°B. 360°C. 90°D. 120°答案：A3. 如果一个三角形的两边相等，那么这个三角形被称为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形答案：B4. 在三角形中，如果有一个角大于90°，那么这个三角形被称为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：C5. 一个三角形的两边之和大于第三边，这个性质被称为（）A. 三角不等式B. 勾股定理C. 欧拉公式D. 费马原理答案：A6. 如果一个三角形的三边都相等，那么这个三角形被称为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形答案：A7. 三角形的外角和是（）A. 180°B. 360°C. 90°D. 120°答案：B8. 在三角形中，如果一个角是锐角，那么这个三角形被称为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：A9. 如果一个三角形的两边之差小于第三边，这个性质被称为（）A. 三角不等式B. 勾股定理C. 欧拉公式D. 费马原理答案：A10. 在三角形中，如果有一个角等于90°，那么这个三角形被称为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 在三角形中，如果一个角是60°，那么这个三角形可能是等边三角形，也可能是等腰三角形，还可能是______三角形。

答案：锐角12. 一个三角形的两边之和大于第三边，这个性质被称为三角形的______。

第2章特殊三角形一、选择题1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．60°3．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5°C．20° D．22.5°5．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12 B．9 C．12或9 D．9或76．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或127．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或128．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80° B．90° C．100°D．105°9．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（）A．114 B．123 C．132 D．14710．已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（）A．7 B．8 C．6或8 D．7或811．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或1712．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．60°13．已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）A．21 B．20 C．19 D．1814．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A．30° B．45° C．60° D．90°15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．70°16．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或1717．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°18．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36° B．60° C．72° D．108°19．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A．150°B．160°C．130°D．60°20．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题21．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是______．22．如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC=AD=DB ，∠BAC=102°，则∠ADC=______度．23．如图，a ∥b ，∠ABC=50°，若△ABC 是等腰三角形，则∠α=______°（填一个即可）24．一个等腰三角形的两边长分别是2cm 、5cm ，则它的周长为______cm ．25．若等腰三角形的两条边长分别为7cm 和14cm ，则它的周长为______cm ．26．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是______．27．如图，∠BOC=9°，点A 在OB 上，且OA=1，按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．第2章特殊三角形参考答案一、选择题1．D；2．C；3．A；4．A；5．A；6．B；7．C；8．B；9．B；10．D；11．A；12．B；13．A；14．B；15．A；16．D；17．B；18．C；19．A；20．A；二、填空题21．120°；22．52；23．130；24．12；25．35；26．110°或70°；27．9；。

八年级上特殊三角形复习一、等腰三角形1、如图，∠AOB=30̊，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于D，PE垂直OA于E，若OD=4cm，求PE的长．2、如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：EF=CF．3．如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．4．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ． （1）求证：△ADE 是等边三角形．（2）求证：AE =21AB ．5．如图所示，D 、E 分别是 △ABC 的边 BC 、AC 上的点，且 AB =AC ，AD =AE ． （1）若 ∠BAD =20̊，则∠EDC = ； （2）若 ∠EDC =20̊，则∠BAD = ；（3）设∠BAD =ɑ ，∠EDC =β，你能由（1）（2）中的结果找到 ɑ、β 所满足的关系吗?请说明理由．6．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN=α，求∠BDC的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．7．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形。

（1）求证：AE=CD；（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论。

8．如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．（1）求证：AD=CE；（2）求∠DFC的度数．9．如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？二、直角三角形1．如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1．她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形．设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，即可求出x的值．参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4．请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长．（画图所用字母与图1中的字母对应）2．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B 运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）t为时，△PBQ是等边三角形？（2）P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．3．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，图中AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=900，B,C,E在同一条直线上，连结DC．（1）图2中的全等三角形是_______________ ,并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）指出线段DC和线段BE的关系，并说明理由．4．已知：如图T5-6,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2=AD2+DB2．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长．6．如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB=3cm，长BC=5cm．求EC的长．7．已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC=10，BD=6．（1）求证：EF⊥BD；（2）求EF的长．8．在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．9．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点P 在AC 上运动，点D 在AB 上，PD 始终保持与PA 相等，BD 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接DE ． （1）判断DE 与DP 的位置关系，并说明理由； （2）若AC =6，BC =8，PA =2，求线段DE 的长．10．如图， C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB BD ，ED BD ，连结AC 、EC ，已知线段AB =5，DE =1，BD =8，设CD =x （1）用含x 的代数式表示AC +CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件时，AC +CE 最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式9)12(422+-++x x 的最小值．11．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝＿＿＿＿＿＿°；②线段AD、BE之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD 的长．一、等腰三角形1．过点P 作PH ⊥BO 于点H ，则PE =PH =21PD =2 2．证明：（1）∵AB =AC ，D 是B C 的中点，∴∠BAE =∠EAC ， ∴△ABE ≌△ACE （S A S ），∴BE =CE ； （2）∵∠BAC =45°，BF ⊥AF ，∴△ABF 为等腰直角三角形，∴AF =BF ， ∵AB =AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF +∠C =90°， ∵BF ⊥AC ，∴∠CBF +∠C =90°，∴∠EAF =∠CBF ，∴△AEF ≌△BCF （A S A ）．∴EF =CF 3．延长AD 、BC ，两条延长线交于点E ∵∠B =90°，∠A =30°∴∠E =60° ∵∠ADC =120°∴∠CDE =60°∴△CDE 是等边三角形，则CD =CE =DE 设CD =x ，则CE =DE =x ，AE =x +4，BE =x +1∵ 在Rt △ABE 中，∠A =30°，∴ x +4=2(x +1)，解得：x =2，∴CD =2 4．（1）∵△ABC 为等边三角形∴∠A =∠ABC =∠C =60° ∵DE ∥BC ，∴∠AED =∠ABC =60º，∠ADE =∠C =60º∴∠AED =∠ADE =∠A =60º，∴△ADE 是等边三角形 （2）∵△ABC 为等边三角形，∴AB =BC =AC ∵AB =BC ，BD 平分∠ABC ，∴AD =21AC ∵△ADE 是等边三角形，∴AE =AD ，∴AE =21AB 5．（1） 10° （2）40°（3） α=2β．理由如下：（4）因为 AB =AC ，AD =AE ，所以 ∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ． 又∠ADC =∠B +∠BAD ，得∠AED +∠EDC =∠B +∠BAD ．所以∠EDC +∠C +∠EDC =∠B +∠BAD ，所以2∠EDC =∠BAD ，即α=2β ．6．（1）（2）解：∵点A 与点D 关于CN 对称， ∴CN 是AD 的垂直平分线， ∴CA =CD ． ∵∠AC N=α， ∴∠ACD =2α．∵等边△ABC ，∴CA =CB =CD ，∠ACB =60°． ∴∠BCD =∠ACB +∠ACD =60°+2α． ∴∠BDC =∠DBC =21（180°∠BCD ）=60°-α． （3）结论：PB =PC +2PE ． 本题证法不唯一，如：证明：在PB 上截取PF 使PF =PC ，连接CF ． ∵CA =CD ，∠ACD =2 ∴∠CDA =∠CAD =90°-α．∵∠BDC =60°-α， ∴∠PDE =∠CDA ∠BDC =30°． ∴PD =2PE ． ∵∠CPF =∠DPE =90°∠PDE =60° ∴△CPF 是等边三角形． ∴∠CPF =∠CFP =60°∴∠BFC =∠DPC =120°∴△BFC ≌△DPC ． ∴BF =PD =2PE ∴PB = PF +BF =PC +2PE ．7．因为,△ABD ,△BCE 都是等边三角形，AB =BD ，BE =BC ∠ABD +∠DBE =∠EBC +∠DBE ，所以∠ABE =∠DBC 所以△ABE 全等△DBC ，所以AE =CD （2）等边三角形8．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠B =60°,AB =AC 又∵AE =BD ,∴△AEC ≌△BDA ，∴ AD =CE（2）解由（1）△AEC ≌△BDA ，得∠ACE =∠BAD ∴∠DFC =∠FAC +∠ACE =60° 9．(1)证明：∵CO ＝CD ，∠OCD ＝60°，∴△COD 是等边三角形；(2)解：当α＝150°时，△AOD 是直角三角形．(5分)理由如下：由题意可得△BOC ≌△ADC ，∴∠ADC ＝∠BOC ＝150°．又∵△COD 为等边三角形，∴∠ODC ＝60°，∴∠ADO ＝90°．即△AOD 是直角三角形；(3)解：①要使AO ＝AD ，需∠AOD ＝∠ADO ．∵∠AOD ＝190°－α，∠ADO ＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°．②要使OA ＝OD ，需∠OAD ＝∠ADO ．∵∠OAD ＝180°－(∠AOD ＋∠ADO )＝180°－(190°－α＋α－60°)＝50°，∴α－60°＝50°．∴α＝110°；③要使OD ＝AD ，需∠OAD ＝∠AOD ，∴190°－α＝50°，∴α＝140°．综上所述，当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD 是等腰三角形．二、直角三角形1．参考小萍的做法得到四边形AEGF ，∠EA F =60°， ∠EGF =120°，∠AEG =∠AFG = 90°，AE =AF =AD =4． 连结EF ，可得 △AEF 为等边三角形．∴ EF =4． ∴ ∠FEG =∠EFG = 30°．∴ EG =FG ．在△EFG 中，可求，EG =334． ∴△EFG 的周长＝BG +CG +BC =BG +CG +EB +FC =2EG =338．2．（1）要使，△PBQ 是等边三角形，即可得：PB =BQ ， ∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =18cm ．∴AB =36cm ， 可得：PB =36﹣2t ，BQ =t ，即36﹣2t=t ，解得：t=12，故答案为；12（2）当t 为9或572时，△PBQ 是直角三角形，理由如下： ∵∠C =90°，∠A =30°，BC =18cm ∴AB =2BC =18×2=36（cm ）∵动点P 以2cm/s ，Q 以1cm/s 的速度出发∴BP =AB ﹣AP =36﹣2t ，BQ =t∴∠4＝∠B ＝45°，BD ＝CE ∴∠ECF ＝∠3+∠4＝90°， ∴CE 2+CF 2＝EF 2，∴BD 2+FC 2＝EF 2，∵AF 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，∴△DAF ≌△EAF ∴DF ＝EF ∴BD 2+FC 2＝DF 2．（3）解：过点A 作AG ⊥BC 于G ，由（2）知DF 2＝BD 2+FC 2＝32+42＝25∴DF ＝5， ∴BC ＝BD +DF +FC ＝3+5+4＝12，∵AB ＝AC ，AG ⊥BC ，∴BG ＝AG ＝21BC ＝6，∴DG ＝BG ﹣BD ＝6﹣3＝3， ∴在Rt △ADG 中，AD ＝53．6．由折叠可知AD=AF=5cm ，DE=EF∵∠B ＝90°∴ AB 2+BF 2= AF 2，∵AB=3cm ，AF=5cm∴BF=4cm ，∵BC=5cm ，∴FC=1cm ∵∠C ＝90°，∴ EC 2+FC 2= EF 2 设EC ＝x ，则DE=EF=3－x ∴（3－x ）2＝12+x 2∴ x ＝347．证明：（1）连接BE ，DE∵∠ABC =∠ADC =90°，点E 是AC 的中点，∴BE =21AC ，DE =21AC ∴BE =DE ∵点F 是BD 的中点，BE =DE ∴EF ⊥BD（2）∵BE =21AC ∴BE =5 ∵点F 是BD 的中点∴BF =DF =3在Rt △BEF 中，EF ==48．作AD ⊥BC 于D ，如图所示：设BD = x ，则CD =x -14． ∴2222)14(1315x x --=-， 解之得：9=x ． ∴． ∴84=S9．（1）DE ⊥DP ，理由如下：连接OD ，∵PD =PA ，∴∠A =∠PDA ，∵EF 是BD 的垂直平分线，∴EB =ED ，∴∠B =∠EDB ，∵∠C =90°，∴∠A +∠B =90°，∴∠PDA +∠EDB =90°，∴∠ODE =180°﹣90°=90°，∴DE ⊥DP （2）连接PE ，设DE =x ，则EB =ED =x ，CE =8﹣x ，∵∠C =∠PDE =90°，∴PC 2+CE 2=PE 2=PD 2+DE 2，∴42+（8﹣x ）2=22+x 2，解得：x =4．75，则DE =4．75． （10分）10．（1）125)8(22+++-x x（2）解：当点C 为AE 和BD 的交点时，根据两点之间线段最短，所以AC +CE 的值最小（3）解：如图（1），C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB BD ，ED BD ，连接AC ，ED 。

浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形一、选择题1．下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（ ）A．B．C．D．2．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）A．∠A＝∠C－∠B B．a2＝b2－c2C．a：b：c＝2：3：4D．a＝34，b＝54，c＝13．等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）A．50°B．65°或50°C．65°D．80°4．在锐角△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长度为（ ）A．16B．15C．14D．135．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A．直角都相等B．全等三角形的对应角相等C．在Rt△ABC中，30°角所对的边是斜边的一半D．在△ABC中，a、b、c为三角形三边的长，若a2=(b+c)(b―c)，则△ABC是直角三角形6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）A．5B．4C．3D．27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）A ．1cmB ．43cmC ．53cmD ．2cm8．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x 尺，根据题意，可列方程为（ ）A ．x 2+42=102B ．(10―x)2+42=102C ．(10―x)2+42=x 2D ．x 2+42=(10―x)29．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ：S △ABC =1：3.A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在△ABC 中，AB =2，∠B =60°，∠A =45°，点D 为BC 上一点，点P 、Q 分别是点D 关于AB 、AC 的对称点，则PQ 的最小值是（ ）A．6B．8C．4D．2二、填空题11．在三角形ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则AC的长为 .12．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．13．小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ．14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC= °．15．如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H 为BC中点．若BC=5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为 ．16．如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D为BF上一动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，则∠CFE的大小是 ．三、解答题17．如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，BC=DC．求证：∠1=∠2．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC=5，BC=9，AD=4，求AB的长．19．如图，△ABC中，CA=CB，D是AB的中点，∠B=42°，求∠ACD的度数．20．如图所示，若MP和NQ 分别垂直平分AB和AC．（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；（2）∠BAC=105°，求∠PAQ 的度数．21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．22．（1）如图1，点D、E分别是等边△ABC边AC、AB上的点，连接BD、CE，若AE=CD，求证：BD=CE （2）如图2，在（1）问的条件下，点H在BA的延长线上，连接CH交BD延长线于点F，．若BF=BC，求证：EH=EC．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接AP．（1）当t=3秒时，求AP的长度；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】D10．【答案】A11．【答案】2612．【答案】同位角相等，两直线平行13．【答案】∠A=60°（答案不唯一）14．【答案】3015．【答案】1216．【答案】90°17．【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC∴∠B=∠D=90°又∵在Rt△ABC和Rt△ADC中AC=AC BC=DC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)．∴∠1=∠2．18．【答案】21319．【答案】48°20．【答案】（1）12；（2）30°．21．【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴M 是BC 的中点，∵AB ＝5，BC ＝6，∴BM ＝CM ＝3，∴AM ＝AB 2―BM 2=52―32＝4，∴△ABC 的面积＝12BC•AM ＝12×6×4＝12；（2）解：过点B 作BN ⊥AC 于点N ，如图所示：∵BD ＝AB ，∴AN ＝DN ＝12AD ，∵△ABC 的面积＝12AC•BN ＝12×5•BN ＝12；∴BN ＝245，AN ＝AB 2―BN 2=75∴AD ＝2AN ＝145．22．【答案】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠A=∠ABC=∠BCA.∴在△AEC 和△CDB 中AE =CD ∠EAC =∠DCB AC =CB∴△AEC ≌△CDB （SAS ）∴BD=CE.（2）证明：如图：由（1）△AEC≌△CDB，∴∠ACE=∠CBD.∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，即∠ABD=∠ECB.∵BC=CF，∴∠BCF=∠BFC，又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，∴∠ECH=∠H，∴EH=EC.23．【答案】（1）241（2）当△ABP为等腰三角形时，t的值为45、16、5；（3）当t的值为5或11时，PD平分∠APC．。

特殊三角形单元培优卷一、选择题（每题3分，共30分）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）A．9 B．7C．12 D．9或122．如图，等边△ABC的边长为4，点E是边AB的中点，且BE=CF，则CD的长为（ ）第2题图第4题图第5题图A．4B．3C．2D．1 3．在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以，1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）.A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，△ABC的面积为6，AB=5，AD平分∠BAC．若E，F分别是AC，AD上的动点，则FE+FC的最小值（ ）A．245B．125C．52D．35．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4，QD=3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（ ）A．7B．8C．10D．12 6．如图：点C在AB上，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M，N，则下列结论①AE=DB，②CM=CN，③△CMN为等边三角形，④MN//BC.正确的有个．（ ）第6题图第7题图第8题图A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.若已知AC×BC=12，则S1+S2+S3+S4的值为（ ）A．18B．24C．25D．36 8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90∘；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）A．①②④B．①②③C．③④D．①③9．如图，已知∠AOB=120°，点D是∠AOB的平分线上的一上定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF=60°.下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；①当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，DF也平行于OA. 其中正确的个数是（ ）第9题图第10题图A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AP=PC；④BD+CE=BC；⑤SΔPBA：SΔPCA=AB：AC，正确的有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .第11题图第13题图第14题图12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .13．如图，在△ACD中，∠ACD=90°，∠A=30°，AC=b，CD=a，以C为圆心，CD为半径画弧，交斜边AD于点B，AB=c，则下列说法正确的是 .(填序号)①△BCD是等边三角形，②a+c<b，③a=c，④b=2a14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=55°，M，N分别是边BC，CD上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN= °．15．如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB=AE，在AB边上取点D，连接DE，DE=AC，若S△ABC=5S△ADE，BH=1，则BC= ．第15题图第16题图16．如图，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，CD⊥AB于点D．F，G分别是线段AD，BD上的点，H，Ⅰ分别是线段AC，BC上的点，沿HF，GI折叠，使点A，B恰好都落在线段CD上的点E处．当FG=EG时，AF的长是 ．三、综合题（17-19每题6分，20-21题每题8分，22题12分，共46分）17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：（1）△ABC的周长；（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？18．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.（1）求证：BE=BF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数.19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数.20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.（1）求CD的长.（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等?若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.21．在△ABC中，∠B=40°，∠ACB=110°，D为边BC延长线上一点，连接AD．（1）如图1，当∠D=∠B时，求证：AB=CD；（2）如图2，当∠D=2∠B时，求证：AB=AD+CD；、（3）如图3，当AB=CD时，求证：∠D=∠B．22．概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.（1）理解概念如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”（2）概念应用如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°.求证：CD为△ABC的等角分割线.（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数.答案解析部分1-5．【答案】CDCBC6-10．【答案】DAACB11．【答案】6412．【答案】71°或19°13．【答案】①③14．【答案】7015．【答案】5216．【答案】2517．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16∴AB= AD2+BD2=122+162=20同理：AC= AD2+CD2=122+52=13∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；（2）解：∵BC2=（BD+DC）2=212=441，AB2=202=400，AC2=132=169 ∴BC2≠AB2+ AC2∴△ABC不是直角三角形．18．【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中{AE=CFAB=BC，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴BE=BF.（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB−∠CAE=45°−30°=15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.19．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE＝∠CAD在△ABE 和△ACD 中{∠ABD =∠ACD AB =AC ∠BAE =∠CAD，∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴AE ＝AD ；（2）解：∵∠ACB ＝65°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝65°，∴∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠ABD ＝∠ACD ，∠AOB ＝∠COD ，∴∠BDC ＝∠BAC ＝50°.20．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB =62+82=10.∵CD ⊥AB 于点D ，∴S △ABC =12AC·BC =12AB·CD ，∴ 10CD=6×8，即CD =245.（2）解：如图1，∵3AE=2CE ，AC=8，CD =245，∴CE =35×8=245，即CE=CD.∵CD ⊥AB ，EF ⊥AC ，∴∠CDF=∠CEF=90°.∵CF=CF ，∴△CEF ≌△CDF(HL)，∴∠ECF=∠DCF ，∴CF平分∠ACD.（3）解：存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等.由题意，以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等，CF是公共边，有四种情形：①如图2，若点E，F在线段AC，AD上.当CE=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF，∴CE=CD=245，AE=8−245=165.∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，∴FD2+(165)2=(325−FD)2，∴FD=125.②如图3，若点E，F在射线AC，AB上.同①可得△CEF≌△CDF，∴CE=CD=245，AE=8+245=645.∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，∴FD2+(645)2=(FD+325)2，∴FD=485.③如图4，若点E在线段AC上，点F在线段BD上.当EF=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≅△FDC，∴EF=CD=245，CE=FD.∵E F2+A E2=A F2，∴(245)2+(8−FD)2=(325+FD)2，∴FD=85.④如图5，若点E在射线CA上，点F在射线BA上.当EF=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≅△FDC，此时△ACD≅△AFE，∴FD=AF+AD=AC+AD=8+325=725.综上，所有符合条件的DF的长是85，125，485，725.21．【答案】（1）证明：∵∠ACB=110°，∴∠ACD=180°−∠ACB=70°，∵∠D=∠B=40°，∴AB=AD，∠CAD=180°−∠D−∠ACD=70°，∴∠ACD=∠CAD，∴CD=AD，∴AB=CD；（2）证明：如图所示，在AB上截取一点E使得AE=AD，连接CE，∵∠ACB=110°，∴∠ACD=180°−∠ACB=70°，∵∠D=2∠B=80°，∴∠CAD=180°−∠ACD−∠ADC=30°，∵∠BAC=180°−∠B−∠ACB=30°，∴∠CAE=∠CAD，又∵AE=AD，AC=AC，∴△CAE≌△CAD(SAS)，∴CD=CE，∠AEC=∠D，∵∠AEC=∠D=2∠B=∠B+∠BCE，∴∠B=∠BCE，∴BE=CE，∴BE=CD，∵AB=AE+BE∴AB=AD+CD；（3）证明：如图所示，在射线CD上取一点H，使得AB=AH，连接AH，∴∠B=∠AHB由（1）同理可证明AB=CH，又∵AB=CD，∴CH=CD，∴点H和点D重合，∴∠B=∠ADB．22．【答案】（1）解：△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°∵CD为角平分线，∠ACB=40°，∴∠ACD=∠DCB=12∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A，∴CD=DA，∵在△DBC中，∠DCB=40°，∠B=60°，∴∠BDC=180°−∠DCB−∠B=80°，∴∠BDC=∠ACB，∵CD=DA，∠BDC=∠ACB，∠DCB=∠A，∠B=∠B，∴CD为△ABC的等角分割线；（3）解：∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°.。