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一类状态依赖时滞的脉冲微分方程的周期正解

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一
ｌ ａ ｍ ｉｍ 生 ｍ ｘａ ｘ
一
，
ｌ ｍ ｉ ｉ ｍ ｉ ｍ ｎ ｎ
一
ｌ （＝ ｆｑ） ＝ ＝，３． Ａ ｔ （ 一， ｒｋ １… ． ｙ） ， ） ， ２ ｙ ｔ
但 是， 里研究 的是滞量 为一个 定数 的情 形， 这 对于更 复 杂 的情况 比如滞量依赖于未知 函数， 类方程通常叫做 时滞 这 依赖于状态 的微分方程 。因此， 对于 脉冲微 分方 程周期解 有
夏 正 喜
Ｘｉ ｈ ｎ ｘ ａＺ ｅ ｇ ｉ
（ 九江职业技术学院信息工程系， 江西 九江 ３２ ０ ） ３０７
（ ｐ ｒ ｎ ｆｎｏｍａ ｏ ｎ ｉｅｒ ｇ Ｊ ｊ ｎ ｏ ａｏ ａ ａｄ ｅｈ ｏｏｙＣ ｌ ｇ， ｉ ｇ ｉｉ ｉ ｇ３ ２ ０ ） Ｄｅａｔ ｔ Ｉｆｒ ｔ ｎ ｇ ｅ ｎ ，ｉ ｉ ｇＶ ｃｔ ｎ ｌｎ ｃｎ ｌｇ ｏ ｅｅ Ｊ ｎ ｘ Ｊ ｊ ｎ ３ ０ ７ ｍｅ ｏ ｉ Ｅ ｎ ｉ ｕａ ｉ Ｔ ｌ ａ ｕａ 摘 要 ： 文 利 用 锥 理 论 和 不 动 点指 数定 理 ， 究 了一 类具 状 态 依 赖 时滞 的脉 冲 微 分 方 程 的 正 周 期 解 ， 得 了 关 于 正周 期 本 研 获
０ 引 言
） ，ｋ （ － （ 一 （＂， （ 和 Ｙ 分别是 为 Ｙ ｔ 的左 ） ／ｙ ｔ ｙ ）Ｙ ｔ Ｙ ） ） ｋ ） （ （ ｏ 右极 限 ， Ｙ ） ｙ ｔ 而 且存 在 ｑ 且 （ ＝ （ Ｏ， ∈Ｎ， 使 （ ） Ｉ（， ｔ ＝ｋｔ ｋ Ｙ ， ＋ ｃ Ｔ 且 当 ｋ ｏ时 ， 一 ａ 时滞 Ｔ （ ｔ） 最 大值 ） ｃｑ ｋ ， ｋ＝ ＋ —ｏ ｔ 。， Ｙ（ 是 ） 存在的非负连续 的 Ｔ 周期函数。 一
解 存 在 性 的若 干 新 的结 果 。
关键 词： 正周期解 ； 不动点指数定理 ； 状态依赖 时滞 中图分类号 ： ７ Ｏ１５ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：６ １４９ 一 ｏ １１０ ３ ．３ １７ ．７ ２（ ｉ）．０ ２０ ２
Ａｂ ｔ ｃ ： ｓｎ ｅｃ ｎ ｅ ｒ ｎ ｘ ｄ ｐ ｉ ｔ ｎ ｅ ｅ ｒ ｍ ｉ ｐ ｐ ｒｔ ｅｐ ｓ ｉ ｅ ｅ ｉｄ ｃｓ ｌ ｔ ｎ ｒ ｎｉ ｕ ｓｖ ｉ ｅ － ｓ ｒ ｔＢｙｕ ｉ ｇｔ ｏ ｅ ｈ ｏ ｙａ ｄ ｆ ｅ — ｏｎ ｄ ｘｔ ｏ ｅ ｉ ｔ ｓ ａ ｅ ， ｏ ｉ ｖ ｒｏ ｉ ｕ ｉ ｓ ｏ ａ ｈ ｔ ｉ ｉ ｈ ｎｈ ｈ ｔ ｐ ｏ ｏ ｆ ａ ｍｐ ｌｉ ｅｄ ｆ ｒ ｆ ｅ ｔ ｌ ｑ ａｉ ｎｗｉ ａ ｅ ｄ ｐ ｎ ｅ ｔ ｒ ｏ ｓｄ ｒ ｄ， ｎ ｍｅ ｅ ｒｓ ｌ ｂ ｕ ｅｅ ｉｔｎ ｅｏ ｐ ｓ ｉ ｅ ｅ ｏ ｉ ｌ ｔ ｎ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｎ ｉ ｕ ｔｏ ｔ ｓ ｔ — ｅ ｅ ｄ ｎ ｅ ｎ ｉ ｅ ｅ ａ ｄｓ ａｅ ｈ ｔ ａ ｃ ｏ ｗ ｕ ｔ ａ ｏ ｔ ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｆ ｏ ｉ ｖ ｒ ｄ ｃｓ ｕ ｉ ｓ ｅｏ ｔｉ ｅ ． ｎ ｅ ｓ ｔ ｔ ｐｉ ｏ ｏ ａ Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ｏ ｉ ｖ ｅ ｉ ｄ ｃＳ ｌ ｔ ｎ ； ｉｅ — ｏｎ ｄ ｘ Ｔ ｅ ｒ ｍ； ｔｔ ． ｅ ｅ ｄ ｎ ｌｙ ｙ ｒ ｓ Ｐ ｓｔ ｅＰ ｒ ｉ ｏ ｕｉ ｓ Ｆ ｘ ｄ－ ｉｔ ｎ ｅ ｈ ｏ ｅ Ｓ ｅ ｄ ｐ ｎ ｅ ｔ ｉ ｏ ｏ ｐ Ｉ ａ － Ｄｅ ａ
令：
ｍ ａｘ
．
自然 界 中 的 周 期 现象 通 常 导 致 人 们 去 研 究 泛 函 微 分 方
程周期解 的存 在性， 别是在 一些生态模型 中，由于现实意 特
义 的需要 ， 往往还 要求人 们讨 论周 期正解 的存在 性。另一方 面， 脉冲现象在 生态模型 中也普遍存在着 ， 有着特别的意 并 义， 而脉冲 微分方程 正是 这些脉冲现象最直 接的反 映， 是 于 讨论 脉冲微分方程的正周期解有 着重要的意义ｆ１ 其 中文 。 － ５ 献 【】 论了如下 非 自治时滞 脉冲微分方程的周期解 的存在 ６讨
～
Ｐ ｓ ｔ ｖ ｅ ｉ ｄ Ｃ Ｓ １ ｔ ｓ ｏ ｔ ｔ — ｅ ｅ ｄ ｎ ｅ ａ Ｉｐ ｌ ｉ ｅ Ｄ ｆ ｅ ｅ ｔ ａ ｑ ａ ｉ ｎ ｏ ｉ ｉ ｅ Ｐ ｒ ｏ ｉ ｏ ｕ ｉｎ ｆ ａ Ｓ ａ ｅ ｄ ｐ ｎ ｅ ｔ Ｄ ｌ ｙ ｍ ｕ ｖ ｉ ｆ ｒ ｎ ｉ ｌＥ ｕ ｔ Ｏ ｏ ｓ
待更进一 步的研究 ， 特别是在 脉冲 和时滞共存甚至更复杂的 情形 下， 系统解的规律与特征 尚需深入探讨 。 所以， 在许多实
蚓
．
ｌ ｉ Ｉ ｌ ｍｘ ｍａ ａ ｍ ｘ
川
， 一ｌ ｏ ｌ ｒ ｉ ｉ ａ ｉ ｍ ｍ ｎ ｎ
，
本文主要应用下面定理 １ 来证明正周期解的存在 性： 定理 Ａ：设 Ｅ是 Ｂａａｈ空 间 ， ｎｃ Ｋ是 Ｅ 中的一 个锥 ， 让 Ｋ￣｛ ∈Ｋ ：Ｊ ＜ ） 假设 Ｔ： ｒ － ｕ Ｉ Ｉ ｒ， Ｉ Ｘ －Ｋ是全连续算 子， 满 且
足 寸Ｖｘ Ｋ，１ ｘ∈ｃ ∈ Ｔ Ｖ ３ Ｋ
际问题 中， 要对其 准确地 描述 ， 就必须 同时考 虑时滞或 脉冲 对时滞 的影响 ， 这在 研究 脉冲时滞 微分 方程 解的形态方面具
有极为 重要的现实意义 。 本文将进一步考虑如下具有状态依 赖 时滞 的脉冲方程 ：
性。 ｌ ｍ Βιβλιοθήκη ｉ ｍ ａ ｘ…ｎ
ｌ ｍ ｉ ｍ ｉ ｎ
…
，
。
，
ｌ ｍ ：ｍ ｆｌ ， ａ ｘ ｌａ Ｌｉｘ ｍ ０ｍｎ 埘 丛 ＝ 等 一ｉ ｉ， ｍ
ｆ ＝ 口） ） 厂， —）ｔ ｋ （ 一 ｆ （ ＋ ， ｆ， ｆ ） ｔ
Ｉ Ｊ

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一类高维时滞微分方程正周期解的存在性

一类高维时滞微分方程正周期解的存在性

．
Ｋ ｙ ｗｏ ｄ ｅ ｒ ｓ：ｈｇ ｅ— ｉ ｎ ｉｎ；ｐ ｓｔ ｅｐ ｒ ｄｃｓ ｌｔ ｎ；Ｌ ｒｙ Ｓ ｈ ｕ ｅ ｈ ｒ ａｉｅｐ ｉｃｐｅ ｅａ ｉｈ ｒｄｍｅ ｓ ｏ ｏ ｉｖ ｅｉ ｉ ｏｕｉ ｉ ｏ ｏ ｅａ —ｃ ａ ｄ ｒａ ｅｎ ｔ ｒｎ ｉｌ ；ｄ ｌｙ ｖ
记 ］ 实数 集 ， 为 非 负实数 集．考 虑如 下 ｎ维 时滞微 分 方程 Ｒ为 Ｒ＋
Ｘ （ ）＝Ａ（） （）＋ （ ， （ 一７ ｔ ） ｔ ｔＸ ￡ ， ￡Ｘ解的存在性 ， 其中
Ａ（ ）： ｄａ （ ｌ ｔ ，２ ｔ ， ，， ｔ ） ｔ ｉｇ ａ （ ） ａ （） … ａ （ ）
是 对角 矩 阵 函数 ，对任 意 的 ｉ ，， ，，ａ∈Ｃ ：， ； 对任 意 的 ｔ ：１２ … ｎ （ Ｒ） 且 ∈Ｒ， 有 都
ａ（ ＋Ｔ ＝ａ （） ｔ ） ｔ ；
∈Ｃ Ｒ， ） 对 任意 的 ｔ （ ， ∈曼， 有 都
ｒ ｔ ） ＝ ｒｔ ； （ ＋Ｔ （ ）
ｆ ｔＸ） （， ∈Ｃ（ Ｒ×Ｒ ，Ｒ ） 对 任意 的 ｔ ， ∈Ｒ， Ｘ∈Ｒ ， 有 ｆ ｔ 都 （ ， ， ｔ ，） ）＝ （ ＋ＴＸ ． 文献 ［ ］ １ 应用锥 不 动点定 理 研究 了标 量方 程
Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｕｓｎ ｈ ｒ ｙ Ｓｃ ａ ｄ ｒｎ ｎ ｉ ａ ｌｅ ｎ ｔ ｅ ｔ ｅ ａ ｔ ｏ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｉ ｖ ｅ ｉｄｉ ｉ ｇ ｔ ｅ Ｌｅ ａ — ｈ ｕ ｅ ｏ ｌ ｎｅ ｒａｔｒ ａｉ ｖ ｈ ｕ ｈ ｒｐ ｏ ｅ ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔ ｅ ｐ ｒｏ ｃ ｉ
ｇ∈Ｃ Ｒ＋ Ｒ＋ ， 对任 意 的 ∈］＋ 均有 ０＜ｚ （ ≤Ｌ＜∞ ； （ ， ）且 Ｒ ， ｕ ≤ｇ ） ／∈Ｃ Ｒ＋ Ｒ＋ ； 任 意 的 ＞０ 均有 （ ， ）对 ，
具有状态依赖时滞的微分方程的周期正解的存在性与多解性

具有状态依赖时滞的微分方程的周期正解的存在性与多解性

。
ｒ（ ＋ ）＝ｒ（ ， ， ≤ ≤，ｇＥｃ （ Ｒ， ，（， ）＝ｇ ｔ ，（， ）＝ ， ０是常数． ‘ｆ ， ‘ｆ ０ ｌ Ｒ× Ｒ）ｇ ｔ ） ， ＋ （， ｇ ｔｏ ｏ ＞ ）
采用与文［ ］ １不同的方法， 导出了保证方程（ ） ６ 正 一周期解的存在性和多解性的充分条件， ３ 一（ ） 这些条件改进了文 ［］ １ 中的结果．
秦 发 金
（ 柳州师范高等专科学校 数学与计算机科学系， 广西 柳州５５０ ） ４０４ 摘锥不动点定理， 获得 了这类问题正解存在性和
多重性的充分条件 ， 推广了［］ １的结果． 关键词 ： ａＳ时滞； 正周期解； 锥不动点定理； 存在性
一
中图分类￣－０ ７ ．４ 文献标识码 ： 文章￣ －１０ ７ ２ ｛０ ７ ０ — １８ ６ ： １５ １ Ａ ：０ ３— ０ ０ ２０ ） １ ０ １ —０
文［ ］ １研究了如下形式的具有状态时滞的微分方程
（） ＝一ａ ｔｘ ｔ ／ ｔｘ ｔ ＇ ￡ｘ ｔ ） ，（ — 。ｔｘ ｔ ） ， ，（ —ｒ （ ，（） ） ｔ （） （）＋ ，（ —ｑ （， （） ） ｘ ｔ ｒ （，（） ） … ｘ ｔ ｔｘ ｔ ） ） Ｏ ｘ（） ＝ａ ￡ｘ ￡ 一，ｔ ￡ ｒ（，（ ） ） ｘ ｔ ｌｔ （） ） … ，（ 一ｒ（ ，（ ） ） ｔ （） （ ） － ， 一． １ｘ １ ） ，（ —ｒ （， ｔ ） ， ｔ ． ｔ ｔ ） ） （ ０ （） １ （） ２
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第 ２ 卷第 １ ２ 期 ２０ ０７年 ３月
柳
州
师
专
学
报
Ｖｏ． ２ Ｎ０ １ １２ ．
Ｍａ ．２ ｏ ｒ ｏ７
Ｊ ｕ ａ ｆＬｕ ｈ ｕ Ｔ ａ ｈ ｒ ｏｌｇ ｏ ｒ ｌ ｉｚ ｏ ｅ ｃ ｅｓＣ ｌ ｅ ｎ ｏ ｅ
具有状态依赖时滞的微分方程初值问题的解

具有状态依赖时滞的微分方程初值问题的解

具有状态依赖时滞的微分方程初值问题的解邓瑞娜;赵爱民【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(033)001【摘要】考虑具有状态依赖时滞的泛函微分方程x’(t)=f(t,x(t-r(x1))),对其满足初始条件x0=φ的解的基本性质进行了研究,其中f:[0,∞)×R→R,φ∈C.利用步法构造迭代序列,证明了此方程初值问题的解在区间[-h,∞)上存在唯一,且Lipschitz连续.该结论推广了H.O.Walther的相关结果.%The functional differential equation with state-dependent delay x' (t)=f(t,x(t-r(x,))) , was considered and the basic properties of its solution that satisfying the initial conditions xn = f, in which /.[0,oo) XR-*R, p6C. Was studied by using the method of steps. By constructing the iterative sequence, the existence of unique solution of this equation with initial value conditions in the interval [-h,oo) was obtained, and it was Lipschitz continuous. The above work extends the corresponding results from H. O. Walther.【总页数】4页(P36-39)【作者】邓瑞娜;赵爱民【作者单位】山西大学数学科学学院,山西太原030006;山西大学数学科学学院,山西太原030006【正文语种】中文【中图分类】O175【相关文献】1.具有状态依赖时滞的微分方程的周期正解的存在性与多解性 [J], 秦发金2.讨论一类有状态依赖时滞和连续时滞积分微分方程系统正周期解的存在性 [J], 任芳3.时滞依赖状态的随机脉冲随机集值微分方程解的存在性 [J], 李文胜4.时滞依赖状态的随机脉冲随机集值微分方程解的存在性 [J], 李文胜5.具有小时滞的泛函微分方程的解关于时滞的依赖性 [J], 胡作生因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

具有状态依赖时滞的脉冲微分的方程周期解的存在性

具有状态依赖时滞的脉冲微分的方程周期解的存在性


正周期解 的存 在性 ．
本 文 考 虑 具 状 态 依 赖 时 滞 脉 冲 方 程
ｚ （ ）＝～ ａ ｆｚ（） 厂（ ， （— ｒ （ ） ） ， ｔ ＝女 ￡ ＝ ＝ （） ｆ ＋ ｆ ｆ （ ｆ ） ） ＝ ｔ， ／
Ａ ｚ（ ） Ｉ （ ｔ ） ｆ 一 女 （ 一） ， ｔ ｔ ，志 １ ２ ３， — 女 一 ， ， …
则 Ａ 在 Ｋｎ（ ＼ ） 。 中有一个不 动点。
其 证 明见 ［ ］ ４．
在 ［］ １ 中研究 了一类 非 自治 时滞脉 冲方程
（） － ａ （ ） 厂（ ， ｔ ） ， ≠ ｔ ， 一 ｙ ＋ ｔ （ —ｒ ）
△ ｊ（ ） ， （ｙ ｆ ）， ￡ ｔ ， ｆ 一 ．（ ） 一 ，志： ｌ， ３， ２， …
第２ ６卷第 １ 期
２１ ０ ０年 ２月
大 学 数 学
Ｃ０ ＬＬＥＧＥ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ０ ． ６ № ． １２ ， １
Ｆｅ ． ０１ ｂ２ ０
具 有状 态依 赖 时滞 的脉 冲微分 的方程 周 期解 的存在 性
陈攀 峰
（ 宿州 学 院 应 用 数 学 系 ， 徽 宿 州 ２ ４ Ｏ ） 安 ３ ０ Ｏ
通过 多年对 时滞泛 函微分方程 的研究 ， 绝大 多数 的结 果 是研究 滞 量 为一个 定 数或 者 为分 布时滞 的 情 形 ， 于更复杂 的情况 比如滞量依 赖于未 知 函数 ， 对 在最 近几 年才 被 引起 注意 ， 些方 程通 常 叫做 时滞 这 依 赖于状 态微分方 程． 同时 脉冲现象 在生态模 型 中也是普 遍存 在 的 ， 有着 特 别 意义 ， 冲微分 方程 正 并 脉 是 这些脉 冲现象最 直接 的反应． 然而 脉冲微 分方程 周期解 的研究有 待进一 步深入 ， 特别是 在脉 冲和时滞