向量代数平面与直线方程

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2014-9-27-空间向量、直线方程、平面的方程

将其代入所设方程, 得
上述方程叫做平面的截距式方程 , 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距.
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为 n =(A, B, C). 讨论： 1.填写下表: 平面方程法线向量 By＋Cz+D=0 n=(0, B, C) Ax+Cz+D=0 n=(A, 0, C) Ax+By+D=0 n=(A, B, 0) Cz+D=0 n=(0, 0, C) Ax+D=0 n=(A, 0, 0) By+D=0 n=(0, B, 0)
例8 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, -1)且垂直于平面 x+y+z=0, 求它的方程. 解从点M1到点M2的向量为n1=(-1, 0, -2), 平面x+y+z=0的法线向量为n2=(1, 1, 1). 方法二：所求平面的法线向量n可取为n1n2-(z-1)=0, 即 2x-y-z=0.
s=(i+j+k)(2i-j+3k)=4i-j-3k. 所给直线的对称式方程为所给直线的参数方程为 x=1+4t, y=-2-t, z=-3t .
提示：先求直线上的一点, 再求这直线的方向向量s.
练习：将一般方程化成标准方程及参数方程.
解先在直线上找一点. y + z = -2 ,得 y = 0 , z = -2 令 x = 1, 解方程组 y - 3z = 6
例1 求过点(2, -3, 0)且以 n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0.

线性代数：平面与直线方程

从代数上看，即方程组
A1 x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
*
有没有解？有多少解？
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14
14
(1) 1 // 2
A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2
方程组*系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不等
Ax By Cz D 0 *
D ( Ax0 By0 Cz0 )
注： (1) 三元一次方程* 一一对应空间中的平面, 此即三元一次方程的几何意义.
(2) 以上5种形式的方程可相互转化
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6
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例：求经过点 A(1, 2, 3)，B(1, 4, 2)，C(0, 1, 1)
n M0M
n M0M 0
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
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2
2
2 点位式方程
给定M0，和两个不共线的向量，，那么过M0且平行于，的平面可唯一确定.
称向量，为平面的方位向量 M0
设M0 ( x0 , y0 , z0 )，
M
{ X1,Y1, Z1}， { X2 ,Y2 , Z2 }
M( x, y, z) M0M,, 共面
x x0 y y0 z z0
(M0M,, ) 0 X1
Y1
Z1 0
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3
X2
Y2
Z2 3
3 三点式方程
M1( x1 , y1 , z1 )
M2( x2 , y2 , z2 ) M3 ( x3 , y3 , z3 )，
从几何上看，它们可能是相交、平行、重合.

高等数学课件：12向量与直线_平面

【例】求经过两点(3,2,9),(6,0,4)且与平面 2x y 4z 8 0 垂直的平面方程。
【例】过点 (3,5,4) 且在三坐标轴上截距相等的平面方程。
【例】求与平面 5x 14 y 2z 36 0平行，且与之距离为 3 的平面。
三．直线方程：
（1）一般方程：
A1 A2
z2
x2 2y2 1 (2).
xyz2
2x2
x2
y2 y2
z2 z2
16 0
在xoy面上的投影曲线。
x2 2 y2 16 z 0
2. 下列旋转曲面是由什么曲线怎么旋转得到？ (1) x 2 y2 2z2 0 (2) 2x2 2 y2 z2 1
3. 写出下列曲线的参数方程?
x2 y2 z2 5
(1).
x3 y2 z4 13 23 2
【例】已知直线 x a y z 1在平面 3x 4 y az 3a 1，
3 2 a
求 a 的值。
a1
四.过直线的平面束方程方程：
过L
:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 的平面束方程是 0
:
( A1x B1 y C1z D1) ( A2x B2 y C2z D2 ) 0
a b a1 a2 a3
b1
b2
b3
1.已知 a 1,1,1, b 3, 2 ,1,求 a b, a b
2.已知
a
3,
5,
4
,
b
2,
1
,8
,
求
,
使
a
b
与 z 轴垂直.
3. 求与a 1, 3, 1, b 2, 1,3垂直,长为3的向量.