广东省佛山市高一下学期期末数学考试试卷

1−
2
=
1
−
1 2
−
1 5
=
3，
10
对于 A 项：甲不输的概率为 1 +
2
=
1 2
+
1 5
=
7 ，故
10
A
项正确；
对于 B 项：乙不输的概率为 1 +
3
=
1 2
+
3 10
=
4，故
5
B
项正确；
对于 C 项：乙获胜的概率为
3
=
3 ，故
10
C
项正确；
对于 D 项：乙输的概率为
2
=
1，故
5
D
项正确，
故选 ABCD．
∴
(
1 )2
>
0，
∴
⋅
(
1 )2
<
⋅(
1)2，即
1
2
<
1
2
，故
C
正确；
D 选项 : ∵ < ， 又 2+ − 2− = 2− 2 + −
=+ −+−
= − + +1 ∵ + + 1 的符号不定，∴ 2 + < 2 + 不一定成立，故 D 错误．
7 、【答案】 A;
【解析】
平行四边形
，由 → = 2 → ，
=
1 5
2+3+4+5+6
= 4，
=
1 5
25 +
0 + 50 + 56 + 64

广东省佛山市第一中学2021-2022高一数学下学期期末考试试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若，则下列不等式不能成立的是A. B. C. D.2.甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是A. 甲获胜的概率是B. 甲不输的概率是C. 乙输了的概率是D. 乙不输的概率是3.在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为A. B. C. D.4.是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，一般情况下浓度越大，大气环境质量越差如图所示的茎叶图表示的是某市甲、乙两个监测站连续10日内每天的浓度读数单位：，则下列说法正确的是A. 甲、乙监测站读数的极差相等B. 乙监测站读数的中位数较大C. 乙监测站读数的众数与中位数相等D. 甲、乙监测站读数的平均数相等5.如图，在中，点M为AC的中点，点N在AB上，，点P在MN上，，那么A. B.C. D.6.已知平面向量，的夹角为，设，，则A. 1B.C. 2D.7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为( )A.35B.310C.15D.1109. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，这些数叫做三角形数设第n 个三角形数为，则下面结论错误．．的是 A.B.C. 1024是三角形数D.10. 已知正三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，且球心O 在三棱锥的内部．若该三棱锥的侧面积为，，则球O 的表面积为 A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）11. 某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优据当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图一与人均月收入绘制成如图二所示的不完整的条形统计图现给出如下信息，其中正确的信息为（ ）A.10月份人均月收入增长率为；B.11月份人均月收入约为1442元；C.12月份人均月收入有所下降；D.从图中可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高． 12. 已知等差数列的前n 项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是 A. B. C. 当或时，取得最大值D. 当时，n 的最大值为21 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知数列{}n a 满足11a =，且*121()n n a a n N +=+∈，则5a =______．14. 已知向量(1,2),(2,2),(1,),a b c λ==-=，若(2)c a b ⊥+，则λ=______．15. 某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A ，B 两点间的距离如图，环保监督组织测绘员在同一平面内同一直线上的三个测量点C ，D ，从D 点测得，从C 点测得，，从E 点测得并测得，单位：千米，则A ，B 两点的距离为_____千米．16. 已知，且，则2xy 的最小值为 ，的最小值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题10分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，，． （1）求频率分布直方图中a 的值,以及该组数据的中位数(结果保留一位小数)（2）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．18.（本题12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AA ==，23AC =，（1）求三棱锥1C ABC -的体积；（2）求四棱锥111C ABB A -的表面积.19.（本题12分）关于x 的不等式； 若不等式的解集为，求实数k 的值； 若，且不等式对一切都成立，求实数k 的取值范围．20.（本题12分）如图，D 是直角斜边BC 上一点，． 若，求的大小； 若，且，求AD 的长．21.（本题12分）新能源汽车的春天来了年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2021年1月1日至2021年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税某人计划于2021年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：月份2021.12 2021.01 2021.02 2021.03 2021.04月份编号t 1 2 3 4 5销量（万辆）0.5 0.6 1 1.4 1.7 （1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量万辆与月份编号t之间的相关关系请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程，并预测2021年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；（2）2021年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程对购车补贴进行新一轮调整已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：补贴金额预期值区间（万元）[1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7) 频数20 60 60 30 20 10将对补贴金额的心理预期值在万元和万元的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取2名进行跟踪调查，求抽出的2人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率．参考公式：回归方程，其中，；22.（本题12分）若各项均为正数的数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；若正项等比数列，满足，，求；对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．佛山一中2021-2022下学期高一级期末考试数学答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B A ACD D D A C D ABC BC10.解：如图，由正三棱锥的结构特征得顶点S在底面正三角形ABC内的射影D为正三角形ABC 的外心，球心O在线段SD上，所以三棱锥的侧面积为，解得，在底面正三角形ABC中，所以，，所以，由得，解得，所以．故选D．二、填空题13. 31 14. 15. 3 16. 8，916. 解：因为，且，所以当且仅当时，等号成立，所以，故2xy的最小值为8；由得到，所以 ，当且仅当时，等号成立，故的最小值为9．故答案为8；9．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17.（本题10分）解：由，解得． ......................2分设中位数为b ，则10(0.0040.0060.022)0.028(70)0.5b +++-=，所以76.4b =. ......................5分（2）由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为． ......................9分 因为，所以食堂不需要内部整顿． ......................10分 18.（本题12分）解：（1）11111432232.332C ABC ABC V S C C -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ......................4分（2）因为AB AC ⊥，12AB AA ==，23AC =，所以14BC AC ==,125BC =,因为22211AB AC BC +=,所以1AB AC ⊥，故112442ABC S ∆=⨯⨯=, .....6分 又因为111111223232AA C A B C S S ∆∆==⨯⨯=,1112442BB C S ∆=⨯⨯=,14ABB A S =， ..............10分 故四棱锥111C ABB A -的表面积为1111111111243AA C A B C ABC BB C ABB A S S S S S S ∆∆∆∆=++++=+. ..............12分19. （本题12分）解：不等式的解集为，所以2和3是方程的两根且， ..............2分由根与系数的关系得， ..............3分解得； ..............4分令，则原问题等价于..............6分即 ..............8分解得 ..............10分又，所以实数k的取值范围是20,5⎛⎤⎥⎝⎦． ..............12分20.（本题12分）解：，，， ..............1分在中，由正弦定理可得：， ..............2分， ..............4分，或， ..............5分又，； ..............6分，， ..............7分在中，由勾股定理可得：，可得：，，，， ..............8分令，由余弦定理：在中，，在中，，可得： ..............10分解得：，可得：． ..............12分21.（本题12分）解：Ⅰ易知，，，，..............2分， ..............3分， ..............4分则y关于t的线性回归方程为， ..............5分当时，，即2021年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆． .................6分Ⅱ设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y人，由分层抽样的定义可知，解得． ................8分在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为，则所有的抽样情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共15种． ................10分其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况有9种． ................11分记事件A为“抽出的2人中至少有1名欲望膨胀型消费者”，则．.................12分22.（本题12分）解：因为，且，由得，又，所以，，因为，所以，所以， ................2分所以是公差为2的等差数列， ................3分又，所以． ................4分设的公比为q，因为，，所以舍或，，． ................5分记，， ................7分，．所以． ................8分不等式可化为，当n为偶数时，， ................9分记，所以，，时，，即，时，递增，，即； ................10分当n为奇数时，，记，所以，，时，，时，，即，时，递减，，所以． ................11分综上所述，实数的取值范围为 ................12分。

广东省佛山市南海区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一，单项选择题（共8小题,每小题5分,共40分）.1．设i是虚数单位,则复数z＝2i（1﹣i）地虚部是（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【结果】B【思路】z＝2i（1﹣i）＝2+2i,其虚部为2,故选：B．2．要得到函数y＝cos（2x+3）地图象,只要将函数y＝cos2x地图象（ ）A．向左平移个单位B．向左平移3个单位C．向右平移3个单位D．向右平移个单位【结果】A【思路】将函数y＝cos2x地图象象左平移个单位,可得函数y＝cos（2x+3）地图象,故选：A．3．棉花地纤维长度是棉花质量地重要指标,在一批棉花中随机抽到了60根棉花地纤维长度（单位：mm）,按从小到大排序结果如下：25 28 33 50 52 58 59 60 61 62 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195202 206 233 236 238 255 260 263 264 265 293 293 294 296 301 302 303305 305 306 321 323 325 326 328 340 343 346 348 350 352 355 357 357358 360 370 380 383 385．请你估算这批棉花地第75百分位数是（ ）A．334B．327C．328D．329【结果】A【思路】因为60×0.75＝45,且第45个数据为328,第46个数据为340,所以第75百分位数为．故选：A．4．在四边形ABCD中,若,则（ ）A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是菱形C．四边形ABCD是正方形D．四边形ABCD是平行四边形【结果】D【思路】∵,＝+,∴＝,∴ABDC ,∴四边形ABCD 是平行四边形．故选：D ．5．若函数地最大值为1,则实数m ＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣3【结果】B 【思路】＝＝＝+m ,当（k ∈Z ）,函数地最大值为2+m ＝1,解得m ＝﹣1．故选：B ．6．平面向量,已知＝（4,3）,＝（3,18）,则夹角地余弦值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【结果】C【思路】设＝（x ,y ）,∵a ＝（4,3）,2a +b ＝（3,18）,∴∴cosθ＝＝,故选：C ．7．△ABC 中,,,则cos A ＝（ ）A ．B ．C ．D ．﹣或【结果】A 【思路】∵,又∵C ∈（0,π）,∴＝,∵sin C ＞sin B ,∴B 必为锐角,即,∴＝,∴cos A ＝cos[π﹣（B +C ）]＝﹣cos （B +C ）＝﹣cos B cos C +sin B sin C ＝．故选：A ．8．设函数f （x ）＝cos （ωx +）在[﹣π,π]地图象大约如图,则f （x ）地最小正周期为（ ）A．B．C．D．【结果】C【思路】由图象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝,大于2×（）＝,排除A,D。

2019-2020学年广东省佛山市南海区高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）某工厂有三组员工，第一组有105人，第二组有135人，第三组有150人，工会决定用分层抽样的方法从这三组中随机抽取几名员工进行问卷调查．如果从第一组抽取得人数为7，那么从第二组抽取的人数为（）A．8B．9C．10D．113．（5分）若函数f（x）＝4x+（x＞0，a＞0）当且仅当x＝2时取得最小值，则实数a的值为（）A．12B．24C．16D．364．（5分）两个相关变量满足如下关系：两个相关变量满足如下关系：x23456y25•505664根据表格已得回归方程＝9.4x+9.2，表中有一组数据模糊，请推算该数据是（）A．37.4B．39C．38.5D．40.55．（5分）班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如表：认为作业多认为作业不多总数喜欢电脑游戏18927不喜欢电脑游戏81523总数262450如果校长随机地问这个班的一名学生，估计认为作业多的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．a2+a＜b2+b7．（5分）已知点E为平行四边形ABCD所在平面上一点且满足＝2．点F为AE与BD的交点，若＝，＝，则＝（）A．+B．﹣+C．+D．+8．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形9．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（）附随机数表034 743 738 636 964 736 614 698 637 162332 616 804 560 111 410 959 774 246 762A．5%B．10%C．45%D．90%10．（5分）已知||＝1，||＝2，则|+|+|﹣|的最大值等于（）A．4B．+C．2D．5二、多项选择题：本大题共有2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 11．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，下面结论正确的是（）A．甲不输的概率B．乙不输的概率C．乙获胜的概率D．乙输的概率12．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+a n+1＝2n+1，n∈N*，S n是数列{}的前n项和，则下列结论中正确的是（）A．S2n﹣1＝（2n﹣1）•B．S2n＝S nC．S2n≥﹣+S n D．S2n≥S n+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分其中第14题第一空3分，第二空2分.13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（2，﹣2），则cos＜，＞＝．14．（5分）一个棱长为a的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是，球的体积是．15．（5分）甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，若从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，则选出的2名医生性别不相同的概率是．16．（5分）在数列{a n}中，若a1＝1，a n+1＝2n a n，则a n＝．四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝1．（Ⅰ）求三棱锥A1﹣ABC的表面积；（Ⅱ）求B1到面A1BC的距离．18．（12分）已知{a n}是公比q＝2，a3＝12的等比数列，其前n项和为S n．（Ⅰ）是否存在正整数k，使得S k＞2020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求（a1+a3+a5+……+a2i+1）．19．（12分）在△ABC中，已知A＝45°，D是AC上一点，DC＝6，BC＝14，∠BDC＝120°．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△ABD的面积．20．（12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案（2）规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（Ⅲ）假设公司中所有骑手都选择了你在（Ⅱ）中所选的方案，已知公司现有骑手400人，某骑手希望自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，求他每天的平均业务量至少应达多少单？21．（12分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，（b+c）（sin B﹣sin C）＝（a﹣c）sin A．且∠A＜∠C．（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）给出三个条件：①b＝2；②AC边的中线为m（≤m≤）；③c＝2a．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求c的值（只需写出二个选定方案即可）．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝．（Ⅰ）求证：{a n}是等差数列；（Ⅱ）已知{b n}是公比为q的等比数列，a1＝b1，a2＝b2≠a1，记T n为数列{b n}的前n项和．（1）若b k＝a m（m，k是大于2的正整数），求证：T k﹣1＝（m﹣1）a1；（2）若b3＝a i（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项．2019-2020学年广东省佛山市南海区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【分析】先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣5x+6≥0}＝（﹣∞，2]∪[3，+∞）B＝{x|x＞0}＝（0，+∞）∴A∩B＝（0，2]∪[3，+∞）故选：D．【点评】本题考查集合的性质和运算，解题时要根据实际情况，注意公式的灵活运用．2．（5分）某工厂有三组员工，第一组有105人，第二组有135人，第三组有150人，工会决定用分层抽样的方法从这三组中随机抽取几名员工进行问卷调查．如果从第一组抽取得人数为7，那么从第二组抽取的人数为（）A．8B．9C．10D．11【分析】由题意根据分层抽样的定义和方法，求出从第二组抽取的人数．【解答】解：设第二组抽取的人数为x，则由题意利用分层抽样可得＝，∴x＝9，故选：B．【点评】本题主要考查分层抽样，属于基础题．3．（5分）若函数f（x）＝4x+（x＞0，a＞0）当且仅当x＝2时取得最小值，则实数a的值为（）A．12B．24C．16D．36【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数当且仅当x＝2时取得最小值，∴f（x）≥2＝4，当且仅当x＝＝2时取等号，解得a＝16．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）两个相关变量满足如下关系：两个相关变量满足如下关系：x23456y25•505664根据表格已得回归方程＝9.4x+9.2，表中有一组数据模糊，请推算该数据是（）A．37.4B．39C．38.5D．40.5【分析】根据回归方程过样本中心点，求得的值，从而求得看不清的数据a．【解答】解：计算＝×（2+3+4+5+6）＝4，根据回归方程＝9.4x+9.2过样本中心点，得＝9.4×4+9.2＝46.8；设看不清的数据为a，则25+a+50+56+64＝5＝234，解得a＝39．故选：B．【点评】本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题．5．（5分）班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如表：认为作业多认为作业不多总数喜欢电脑游戏18927不喜欢电脑游戏81523总数262450如果校长随机地问这个班的一名学生，估计认为作业多的概率为（）A．B．C．D．【分析】由列联表求出50名学生中认为作业多的学生数，计算所求的概率值．【解答】解：由列联表知，对全班50名学生进行了作业量多少的调查，认为作业多的学生有26人，所以所求的概率为P＝＝．故选：C．【点评】本题考查了由列联表求古典概型的概率问题，是基础题．6．（5分）若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．a2+a＜b2+b【分析】根据不等式的基本性质和基本不等式逐一判断即可．【解答】解：非零实数a，b满足a＜b，A．取a＝﹣1，b＝﹣，则，故A不正确；B．∵0＜a＜b，∴由基本不等式知，故B不正确；C．∵非零实数a，b满足a＜b，∴，∴，即，故C正确；D．取a＝1，b＝，则，故D不正确．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质和基本不等式的应用，属基础题．7．（5分）已知点E为平行四边形ABCD所在平面上一点且满足＝2．点F为AE与BD的交点，若＝，＝，则＝（）A．+B．﹣+C．+D．+【分析】由已知结合向量加法的平行四边形法则及向量的线性表示即可求解．【解答】解：由题意可得，＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础试题．8．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】利用正弦定理化简a cos A＝b cos B，通过两角差的正弦函数，求出A与B的关系，得到三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，若a cos A＝b cos B，所以sin A cos A＝sin B cos B，所以2A＝2B或2A＝π﹣2B，所以A＝B或A+B＝90°．所以三角形是等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题主要考查了考查正弦定理在三角形中的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力，属于基础题．9．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（）附随机数表034 743 738 636 964 736 614 698 637 162332 616 804 560 111 410 959 774 246 762A．5%B．10%C．45%D．90%【分析】由题意，用1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨；利用随机数表中这20组随机数，求出这三天中恰有一天下雨的基本事件，计算所求的概率值．【解答】解：每一天下雨的概率均为40%，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；随机数表中这20组随机数，表示这三天中恰有一天下雨的基本事件有9个，所以所求的概率为P＝＝45%．故选：C．【点评】本题考查了利用随机数表法求概率的问题，是基础题．10．（5分）已知||＝1，||＝2，则|+|+|﹣|的最大值等于（）A．4B．+C．2D．5【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得，|+|+|﹣|≤2×，进而变形可得答案．【解答】解：根据题意，|+|+|﹣|≤2×＝2×＝2，当且仅当|+|＝|﹣|，即⊥时等号成立，即|+|+|﹣|的最大值等于2；故选：C．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．二、多项选择题：本大题共有2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 11．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，下面结论正确的是（）A．甲不输的概率B．乙不输的概率C．乙获胜的概率D．乙输的概率【分析】利用互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，对于A，甲不输的概率为：P＝＝，故A正确；对于B，乙不输的概率为：P＝1﹣＝，故B正确；对于C，乙获胜的概率为：P＝1﹣＝，故C正确；对于D，乙输的概率就是甲胜的概率，∴乙输的概率为：P＝，故D正确．故选：ABCD．【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+a n+1＝2n+1，n∈N*，S n是数列{}的前n项和，则下列结论中正确的是（）A．S2n﹣1＝（2n﹣1）•B．S2n＝S nC．S2n≥﹣+S n D．S2n≥S n+【分析】易知，a2＝2，由a n+a n+1＝2n+1，a n+1+a n+2＝2n+3，两式相减，得a n+2﹣a n＝2，即此数列每隔一项成等差数列，可得a n＝n．A令n＝2，即可判断出正误；B令n＝1，即可判断出正误；C作差，利用，即可判断出正误；D作差：，设，判断出其单调性，即可判断出正误．【解答】解：易知，a2＝2，由a n+a n+1＝2n+1，a n+1+a n+2＝2n+3，两式相减，得a n+2﹣a n＝2，即此数列每隔一项成等差数列，由a1＝1，可得数列1的奇数项为1，3，5，…，由a2＝2，可得其偶数项为2，4，6，…，故a n＝n．A令n＝2，，，，A错；B令n＝1，，，，B错；C∵，又2n＞2n﹣1，∴，∴，故C正确；D∵，设，∵，∴f（n+1）＞f（n），∴f（n）单增，∴，∴，∴（n∈N*），故D正确．故选：CD．【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了“作差法”、推理能力与计算能力，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分其中第14题第一空3分，第二空2分.13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（2，﹣2），则cos＜，＞＝．【分析】根据条件即可求出，和的值，从而可得出的值．【解答】解：∵，∴，，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）一个棱长为a的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是3πa2，球的体积是．【分析】求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积和体积即可．【解答】解：正方体的棱长为a，则正方体的体对角线长为，因为一个棱长为a的正方体的顶点都在球面上，于是正方体的体对角线长即球的直径长，设球的半径为R，则⇒，于是球的表面积S＝4πR2＝3πa2，球的体积．故答案为：3πa2；．【点评】本题考查球的体积和表面积，正方体的外接球的知识，仔细分析，找出二者之间的关系：正方体的对角线就是球的直径，是解题关键，本题考查转化思想，是中档题．15．（5分）甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，若从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，则选出的2名医生性别不相同的概率是．【分析】从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，基本事件总数n＝＝9，选出的2名医生性别不相同包含的基本事件个数m＝＝5，由此能求出选出的2名医生性别不相同的概率．【解答】解：甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，基本事件总数n＝＝9，选出的2名医生性别不相同包含的基本事件个数m＝＝5，则选出的2名医生性别不相同的概率是p＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）在数列{a n}中，若a1＝1，a n+1＝2n a n，则a n＝．【分析】通过数列的递推关系式，利用累加法转化求解即可．【解答】解：数列{a n}中，若a1＝1，a n+1＝2n a n，可得＝2n﹣1•2n﹣2•2n﹣3…22•21＝21+2+3+…+（n﹣1）＝．所以a n＝．故答案为：．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，是中档题．四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝1．（Ⅰ）求三棱锥A1﹣ABC的表面积；（Ⅱ）求B1到面A1BC的距离．【分析】（Ⅰ）由已知求解三角形可得AB⊥AC，然后由直角三角形面积及长方形面积求得三棱锥A1﹣ABC的表面积；（Ⅱ）连接AB1，交平面A1BC于D，则B1D＝AD，可得B1到面A1BC的距离等于A到平面A1BC的距离，求出三角形A1BC的面积，再由求解B1到面A1BC 的距离．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由AB＝1，BC＝2，AC＝，得AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，则△ABC为Rt△．∴三棱锥A1﹣ABC的表面积S＝2×＝；（Ⅱ）连接AB1，交平面A1BC于D，则B1D＝AD，∴B1到面A1BC的距离等于A到平面A1BC的距离．在△A1BC中，∵，，BC＝2，∴＝．设A到平面A1BC的距离为h，由，的，解得：h＝．故B1到面A1BC的距离为．【点评】本题考查多面体表面积与体积的求法，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．18．（12分）已知{a n}是公比q＝2，a3＝12的等比数列，其前n项和为S n．（Ⅰ）是否存在正整数k，使得S k＞2020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求（a1+a3+a5+……+a2i+1）．【分析】（Ⅰ）由等比数列的通项公式可得首项，运用等比数列的求和公式，以及不等式的解法，可判断存在性，再求最小值；（Ⅱ）由等比数列的求和公式，结合数列的分组求和，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）由q＝2，a3＝12，可得a1＝＝3，可得S n＝＝3（2n﹣1），假设存在正整数k，使得S k＞2020，则3（2k﹣1）＞2020，由3×（29﹣1）＝1533，3×（210﹣1）＝3069，可得k≥10，则存在k，且k的最小值为10；（Ⅱ）（a1+a3+a5+……+a2i+1）＝（a1+a3）+（a1+a3+a5）+…+（a1+a3+…+a2n+1）＝（3+12）+（3+12+48）+…+（3+12+…+3•4n）＝（42﹣1）+（43﹣1）+…+（4n+1﹣1）＝（42+43+…+4n+1）﹣n＝﹣n＝（4n﹣1）﹣n．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．19．（12分）在△ABC中，已知A＝45°，D是AC上一点，DC＝6，BC＝14，∠BDC＝120°．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△ABD的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理里的应用求出结果．（2）利用正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，已知A＝45°，D是AC上一点，DC＝6，BC＝14，∠BDC ＝120°．如图所示：在△ADC中，利用余弦定理BC2＝BD2+DC2﹣2•DB•DC•cos∠BDC，整理得BD2+6BD﹣160＝0，解得BD＝10．（Ⅱ）在△ABD中，利用正弦定理，整理得，在△ABC中，BC2＝AB2+AC2﹣2•AB•AC•cos∠A，整理得AC＝5．所以AD＝5＝5．所以＝．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20．（12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案（2）规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（Ⅲ）假设公司中所有骑手都选择了你在（Ⅱ）中所选的方案，已知公司现有骑手400人，某骑手希望自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，求他每天的平均业务量至少应达多少单？【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列出方程，级求出a．（Ⅱ）由频率分布直方图求出快递公司人均每日完成快递数量的平均数为62．由此分别求出方案（1）日工资和方案（2）日工资，从而求出骑手应选择方案（2）．（Ⅲ）由频率分布直方图得前4个小组的频率之和为0.6，前5个小组的频率之和为0.8，从而该骑手的平均业务量应在[65，75）内，设他的平均业务量为x，则0.6+（x﹣65）×0.02≥0.75，由此能求出他每天的平均业务量至少应达73单．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（0.005+0.005+a+0.03+a+0.015+0.005）×10＝1，解得a＝0.02．（Ⅱ）快递公司人均每日完成快递数量的平均数是：30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15+90×0.05＝62．方案（1）日工资为：50+62×3＝236，方案（2）日工资为：150+（62﹣44）×5＝240＞236．∴骑手应选择方案（2）．（Ⅲ）该骑手要使自己的收入在公司众骑手中处于前100名内，则平均业务量应超过75%的骑手，前5个小组的频率分别为0.05，0.05，0.2，0.3，0.2，前4个小组的频率之和为：0.05+0.05+0.2+0.3＝0.6，前5个小组的频率之和为0.05+0.05+0.2+0.3+0.2＝0.8，故该骑手的平均业务量应在[65，75）内，设他的平均业务量为x，则0.6+（x﹣65）×0.02≥0.75，解得x≥72.5，又x∈N*，∴x的最小值为73．∴他每天的平均业务量至少应达73单．【点评】本题考查频率、平境外数、分位数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．（12分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，（b+c）（sin B﹣sin C）＝（a﹣c）sin A．且∠A＜∠C．（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）给出三个条件：①b＝2；②AC边的中线为m（≤m≤）；③c＝2a．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求c的值（只需写出二个选定方案即可）．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简，结合余弦定理可得答案；（Ⅱ）选择条件：①b＝2；③c＝2a．根据∠B，利用余弦定理即可求解c的值．选择条件：②AC边的中线为m（≤m≤）；③c＝2a．根据余弦定理和平行四边形性质列方程，解方程求解c的值．选择条件：①b＝2；②AC边的中线为m．根据余弦定理和平行四边形性质列方程，解方程求解c的值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，可得（b+c）（b﹣c）＝（a﹣c）a．即b2﹣c2＝a2﹣ac，根据余弦定理，cos B＝＝＝，∵0＜B＜180°，∴B＝60°．（Ⅱ）方案1：①b＝2；③c＝2a．由（Ⅰ）可知B＝60°，根据余弦定理cos B＝＝＝，解得c＝；方案2：②AC边的中线为m（≤m≤）；③c＝2a．由平行四边形性质得：b2+4m2＝2a2+2c2，因为c＝2a，于是b2+4m2＝2a2+2（2a）2，b2＝10a2﹣4m2，由余弦定理可得，即b2＝a2+c2﹣ac＝a2+4a2﹣2a2＝3a2，那么，故，．方案3：①b＝2；②AC边的中线为m（≤m≤）．由平行四边形性质得：4+4m2＝2a2+2c2，所以a2+c2＝2+2m2，由余弦定理可得：，则a2+c2＝4﹣ac，于是4＝2+2m2﹣ac，所以ac＝2m2﹣2，那么（a+c）2＝6m2﹣2，即①，那么（a﹣c）2＝6﹣2m2，因为∠A＞∠C，所以a＞c，即a﹣c＞0，所以②，由①②得．【点评】本题主要考查正余弦定理的应用，着重考查推理推理能力和计算能力，属于中档题．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝．（Ⅰ）求证：{a n}是等差数列；（Ⅱ）已知{b n}是公比为q的等比数列，a1＝b1，a2＝b2≠a1，记T n为数列{b n}的前n项和．（1）若b k＝a m（m，k是大于2的正整数），求证：T k﹣1＝（m﹣1）a1；（2）若b3＝a i（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项．【分析】（Ⅰ）利用通项与前n项和之间的关系得到a n+1+a n﹣1＝2a n，进而证明{a n}是等差数列；（Ⅱ）（1）由b k＝a m得到a（q k﹣1﹣1）＝（m﹣1）d，再结合等比数列求和公式即可证明T k﹣1＝（m﹣1）a1；（2）先证i＝2时与题意矛盾，当i＝1时，q＝﹣1此时满足题意，当i≥3时，由b3＝a i 得q＝i﹣2（q≠1），所以i＞3，然后利用数学归纳法即可证明数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，，又，所以，所以a1＝na n+2a n+1﹣（n+1）a n+1＝na n﹣（n﹣1）a n+1，①又因为，，所以，所以a1＝（n﹣1）a n﹣1+（2﹣n）a n，②由①②得（n﹣1）a n﹣1+（2﹣n）a n＝na n﹣（n﹣1）a n+1，所以（n﹣1）（a n+1+a n﹣1）＝2（n﹣1）a n（n⩾2），即a n+1+a n﹣1＝2a n，所以{a n} 是等差数列．（Ⅱ）（1）设a1＝a，d＝a2﹣a1，由已知，a+d＝aq，即d＝a（q﹣1），由b k＝a m得aq k﹣1＝a+（m﹣1）d，即a（q k﹣1﹣1）＝（m﹣1）d，所以．（2）当i＝2时，b3＝a2＝b2，从而q＝1，b2＝b1＝a1，与题意不符；当i＝1时，b3＝b1，从而q2＝1，q＝﹣1 （上面已证q≠1），{b n} 成为a，﹣a，a，﹣a，a，﹣a，…，每一项都是数列{a n}中的项（a＝a1，﹣a＝a2）；当i≥3时，由aq2＝a+（i﹣1）d＝a+（i﹣1）•a（q﹣1），得q2＝1+（i﹣1）（q﹣1），即q2﹣（i﹣1）q+（i﹣2）＝0，所以q＝1（舍去），q＝i﹣2．于是i＞3，q为正整数i﹣2．设已有b k＝a j，则因为aq＝a+d，＝a j′（其中j′＝j+q k﹣1），因此数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查等差数列定义，等比数列求和公式，通项与前n项和之间的关系，着重考查学生分析问题解决问题的能力，属于难题．。