2018高中数学必修1课件：1.2 习题课函数及其表示 探究导学课型 精品

[归纳升华] 1．判断一个对应关系是不是函数关系的方法 (1)A，B 必须都是非空数集；(2)A 中任意一个数在 B 中必须有并且是唯一 的实数和它对应． [注意] A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余． 2．函数的定义中“任意一个 x”与“有唯一确定的 y”说明函数中两变量 x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.
[归纳升华] 求函数值域的方法
求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过 配方转化为能直接看出其值域的方法； (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反 比例函数类”的形式，便于求值域； (4)换元法：对于一些无理函数(如 y＝ax±b± cx±d)，通过换元把它们转化 为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域.
3．求下列函数的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (3)y＝2xx－＋31； (4)y＝2x－ x－1.
解析： (1)(观察法)因为 x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域 为{2,3,4,5,6}．
(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由 x∈[0,3)，再结合函数的图象， 可得函数的值域为[2,6)．
2．函数的定义域与值域 函数 y＝f(x)中，x 叫__自__变__量___，_x_的__取__值___范__围___叫函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做__函__数__值___，函数值的集合_{f_(_x_)|_x_∈__A_}_叫做函数的值 域．显然，值域是集合 B 的_子__集___．

2．已知函数 y＝f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求 函数的解析式．
解析： 题图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段对应的 函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．
根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为 y＝kx＋b(x<1)． ∵点(1,1)，(0,2)在射线上， ∴bk＝＋2b，＝1， 解得kb＝ ＝－2，1， ∴左侧射线对应的函数的解析式为 y＝－x＋2(x<1)． 同理，x>3 时，函数的解析式为 y＝x－2(x>3)．
[化解疑难] 1．理解分段函数应注意的问题 (1)研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分 段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象； (2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域” 的并集．写定义域时，区间端点需不重不漏； (3)求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段，就用哪 一段的解析式．
2．映射和一一映射的区别与联系
映射 f：A→B
一一映射 f：A→B
定义
A 到 B 的映射满足：A 中的每一个 对于集合 A 中的每一个元素 x，B
元素在 B 中都有唯一的像与之对 中总有唯一的一个元素 y 与之对
应，A 中的不同元素的像也不同； 应，就称这样的对应为 A 到 B 的
B 中的每一个元素都有原像，则该 映射
再设抛物线对应的二次函数解析式为 y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)． ∵点(1,1)在抛物线上，∴a＋2＝1，a＝－1. ∴1≤x≤3 时，函数的解析式为 y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)． 综上可知，函数的解析式为
y＝－ －xx＋ 2＋24，x－x<2，1，1≤x≤3， x－2，x>3.

[易错误区] 相等函数判断中的误区 [示例] 下列各组函数表示相等函数的是( ) A．y＝x＋1 与 y＝xx2－－11 B．y＝|x|＋1 和 y＝(x－1)2＋1 C．y＝2x 和 y＝2x(x≤0) D．y＝x2＋1 和 y＝t2＋1 [答案] D
[解析] A 错误，由于函数 y＝xx2－－11中要求 x－1≠0，即 x≠1， 故两个函数的定义域不同，故不表示相等函数．
答案：不一定．应是{y|y＝f(x)，x∈A}⊂B.
类型 1 相等函数 [要点点击] 对函数相等的两点说明 (1)函数值域是由函数的定义域和对应关系决定的，因此判断 两个函数相等，关键是看定义域和对应关系即可． (2)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用不同的字母 表示自变量是无关紧要的．
[典例 1] 判断下列各组函数是不是相等函数： (1)f(x)＝x＋2，g(x)＝xx2－－24； (2)f(x)＝(x－1)2，g(x)＝x－1； (3)f(x)＝|x|，g(x)＝ x2； (4)f(x)＝|xx|，g(x)＝1－，1x，≥x0<，0. [思路点拨] 分别判断每对函数的定义域及对应法则是否相 同．
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝xx2－－11与 y＝x＋1
B．y＝ x与 y＝1x
C．y＝ x2－1 与 y＝x－1
D．y＝x 与 y＝3 x3
答案：D
3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同， 则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为 y＝2x2＋1， 值域为{3,9}的“孪生函数”共有________个．
解：若函数 f(x－1)的定义域为[2,3]，即 2≤x≤3，有 1≤x －1≤2，则 f(x)的定义域为[1,2]．

下列函数中，与 f(x)＝x＋2 相等的是( A．g(x)＝ x＋22 C．F(x)＝( x＋2)
2
)
x＋22 B．h(x)＝ x＋2 D．G(x)＝ x＋23 3
【解析】 g(x)＝ x＋22＝|x＋2|与 f(x)的对应关系不一致；h(x)的定义域为 (－∞， －2)∪(－2， ＋∞)， 与 f(x)的定义域(－∞， ＋∞)不同； F(x)的定义域为[－ 2，＋∞)与 f(x)的定义域不同，故选 D.
【答案】 D
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
[小组合作型]
函数的概念
(1)(2016· 中山高一检测)下列四个图象中，不是函数图象的是( )
(2)下列各组函数是同一函数的是( 【导学号：97030025】 ①f(x)＝ －2x3与 g(x)＝x －2x； ②f(x)＝x 与 g(x)＝ x2； 1 ③f(x)＝x 与 g(x)＝x0；
【精彩点拨】 (1)根据函数的定义，函数的图象与平行于 y 轴的直线最多 只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案． (2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案． (3)利用函数的定是 x 的函数中，x 确定一个值，y
就随之确定一个值， 体现在图象上， 图象与平行于 y 轴的直线最多只能有一个交 点，对照选项，可知只有 B 不符合此条件．故选 B. (2)①f(x)＝ －2x3＝|x| －2x与 y＝x －2x的对应法则和值域不同， 故不是同 一函数． ②g(x)＝ x2＝|x|与 f(x)＝x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． 1 ③f(x)＝x 与 g(x)＝x0都可化为 y＝1 且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．