2020届高三数学精品资料：处理三角函数易错题的六绝招第一招 三角函数中，隐含条件的挖掘【例1】方程240x ++=的两个实数根是tan ,tan αβ，且,(,)22ππαβ∈-，那么αβ+等于〔 〕A ．23π B ．23π- C ．3π或23π- D ．2-33ππ或 【解】tan ,tan αβtan tan tan tan 4αβαβ+==∴又,(,22ππαβ∈-因此,(2παβ∈-从而0παβ-<+<，又tan tan tan()1tan tan 1αβαβαβ++===-，23παβ+=-∴第二招 三角形中，角大正弦大【例2】在ABC ∆中，35sin ,cos ,513A B ==求cos C 的值。
【解】5cos ,sin 13B B ===∴123sin sin ,135B A B =>=>∴∴因此，A 一定是锐角，从而4cos5A==因此()()cos cos cosC A B A Bπ=-+=-+⎡⎤⎣⎦(cos cos sin sin)A B A B=--1665=．第三招三角函数值求角错因分析【例3】假设sin510αβ==，且,αβ均为锐角，求αβ+的值．【错解】α为锐角，cosα=∴=。
又β为锐角，cosβ∴=。
且sin()sin cos cos sinαβαβαβ+=+=由于090,090αβ<<<<，0180αβ<+<∴，故45αβ+=或135。
缩角是一种重要技巧〖点拨〗因为cosy x=在[]0,π上是单调函数，因此此题先求cos()αβ+不易出错。
正解α为锐角，5cosα=∴=。
又β为锐角，10cos β=∴=。
且cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=， 由于090,090αβ<<<<，0180αβ<+<∴，故45αβ+=。
〖练习〗假设Ａ、B 均为锐角，且1tan ,sin 710A B ==，那么A+2B 的值为 ． 【解】∵sin B =B 为锐角，∴cos B =∴1tan ,3B = ∴22tan 3tan 2,1tan 4B B B ==- ∴22tan tan(2)1,1tan BA B B+==- 又∵1sin sin 30102B =<=，∴030B <<， ∴02150A B <+<，∴A+2B=45．第四招 你确信会错【例4】〔2007全国Ⅰ—理17〕设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分不为a b c ，，，2sin a b A =〔Ⅰ〕求B 的大小；〔Ⅱ〕求cos sin A C +的取值范畴【解】〔Ⅰ〕由2sin a b A =，依照正弦定理得sin 2sin sin A B A =，因此1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =〔Ⅱ〕cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos sin 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由ABC △为锐角三角形知：22263A B πππππ>>-=-=， 从而 2336A ππ5π<+<， 因此1sin 232A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭ 由此有3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 因此，cos sin A C +的取值范畴为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，〖练习〗〔2018湖南—文14〕在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==那么cos ACA的值等于 2 ， AC 的取值范畴为 )3,2( .〖点拨〗因为ABC ∆是锐角三角形锐角，因此2A B π+>，且2B π<，从而有64A ππ<<，因此2cos A <<AC <<第五招 数形结合也未见得好【例5】在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭范畴内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点的个数为〔 〕 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 【解】 在同一坐标系中，作出sin y x =与tan y x =，在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的图象，专门难做到精确，容易误认为3个交点．联想到不等式〝sin tan x x x <<〔x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭〕〞，故sin y x =与tan y x =，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图象无交点，又它们差不多上奇函数，从而sin y x =与tan y x =，在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内的图象也无交点，因此在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范畴内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点的个数为1个，即坐标原点()0,0．第六招 同角正余弦的和、差、积、倍互化中的陷阱铲除sin cos αα+或sin cos αα-求sin α、cos α、tan α、cot α、sin 2α、cos2α的值。
如何挖掘三角函数中的隐含信息陈俭宝三角函数是中学数学重要内容之一，但是由于内容繁杂，公式多且性质灵活，同学们在解题时稍有不慎，就会忽视题中的隐含条件导致错解。
本文列举几种常见的情况，仅供参考。
一、条件隐含在基本公式和概念中 例1 已知θ是第二象限角，且满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=5k k 24cos 5k 3k sin θθ，求k 的值。
解：因1cos sin 22=+θθ，可得1)5k k 24()5k 3k (22=+-++-，解得k=0或k=8。
①当k=0时，053sin <-=θ，054cos >=θ，知θ为第四象限角。
②当k=8时，0135sin >=θ， 01312cos <-=θ，知θ为第二象限角。
由①②知，k=8。
注意：本题若忽视1cos sin 22=+θθ这一隐含条件或解后不进行验证，将会出现错解。
例2 已知A 、B 、C 是△ABC 的内角，且53A cos =，135B sin =，求cosC 的值。
错解：由53A cos =，知)20(A π，∈，得54A sin =。
由135B sin =，知），（π0B ∈，得1312B cos ±=。
∴65566515B sin A sin B cos A cos )B A cos(C cos 或-=+-=+-=。
注意：错解的根本原因是忽略了条件中的隐含信息：A 、B 均为锐角且A>B 。
正解：若），（ππ2B ∈，则），（20B ππ∈-。
由A sin 54135B sin )B sin(=<==-π，得A B <-π，即π>+B A ，矛盾。
故A 、B 均为锐角且A>B ，于是1312B cos =，可得6516C cos -=。
二、条件隐含在公式变形过程中例3 已知2)cos(sin sin 22=-++βαβα，求βαsin sin +的取值范围。
处理三角函数的绝招挖掘隐含条件<2006春•上城区檢级期中）已知方程以形辱“4 = 0的两个实数根是“nd, "n 0 ,且j卩€（-％却，则口沖等于（）£ £A.¥B•-著c-扌或亠¥s晋或¥两角和与差的正切函数.r<^i计算题.I分析】先根攥韦达宗理求得tan^^tan^和is 口诈的值，逬而利用口和貯的范H确定口+ P的范圉，进而根摇正切的两甬和公式求再>的值，进而求得a-P的值.■韶答】解：•「方程x2-3j3x+4=0的两个实数根是t列口，tan^ -■» tan &+1 an =~3* tan a tan P =4'/ ft j 卩€(一£ ,半)「tan a -tan P <0 »tan a ran P >0丄£-|r O>r-at p€(从而—JT VOL +P<0Ytan (-M J込f尊1-tanatanp，■- m + p =-2I L3故谨B•点评】本题主要考苣了两角和与差的正弦函數以及韦达走理的应用•考查了学生数学函數的思想的运用以斥分析推理的能力.B・2 C. 3 D. 4（2011秋•保定校级期末〉在区间（-学扌）范围内，函数y=tanx与国数y=sinx的图象交点的个数为【考点】正切函数的图象；正弦函数的图象・综台题.K分析】通过sinx<x<tanx «x€（0, y）> »以及y=sinx与尸"nx的奇偶性，分（0,号），（-号，0）求解即可・【解咅】解:因为-sinx<x<tanx （x€（0, |））w，故y=sinx与円anx，在（0，牛）内的图象无交帥又它们都是奇函如从而y=sinx与产“血，在（-学0）内的囹象也无交点，所以在区间（-鈔》范国内•函数v=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为1个，即坐标原点（0, 0）・故选AtjS#l本题是基64題，考査正切函数，正弦函数的图竄及性馬；可以左同一坐标系中，作出y=sinx与尸1疔（一》丰）内的图象，咨易渓U为3个交为若A 、B 均为锐角，且tarU=*, sinB = ^,则A-2B 的值为45°【考点】两角和与差的正切函数.【分析】由sinB=|结合B 为锐角求出tanB=i>然后由二倍角的正切可求tan2B ，利用两角和的正切公式进一步求 tan (A+2B ) =1再由sinB=|<|可判断0°<B <30°，0°<A<90°，从而可得A2B 的值【解普】解：-sinB=^且B 为锐角, 10••・CO$〃 =刍叵， 10•••tanB =扌，t 沁 4-tan2Bl-tan.4tan2B又•・•“”豁V 严涙0。
