第七讲 薄壁杆件的组合扭转
上二讲分别讨论了薄壁杆件的自由扭转和约束扭转，建立了相应的扭转角微分方程。而实际工程中的杆件受扭时，扭转角应该是自由扭转和约束扭转的综合变形。即作用在截面上的扭矩T M （图7-1）为自由扭转剪应力（z τ）形成的扭矩Z M 及约束扭转剪应力（ωωττ或）形成的扭矩ϖM （或ϖM ）的组合，亦即ωτττ+=z T （或T z ωτττ=+）以及
开口截面 z T M M M ω+= （7-1-1） 闭口截面 T T M M M =+ω （7-1-2）
第一节 开口薄壁杆件组合扭转的微分方程
对于开口薄壁截面杆件自由扭转和约束扭转，分别取式（5-19）和式（6-27）代入式（5-1）有
T T GI EI M ωφφ''''-= （7-2）
上式对z 求导（见图7-2a ）），两边同时除以EI ω，得：
2T
m k EI ω
φφ''''''-=-
（7-3） 此式即为开口薄壁杆件扭转角微分方程。 式中：
ω
EI GI k T
=
（7-4） 称为薄壁截面的弯扭特征。即截面自由扭转刚度和约束扭转刚度之比。 而 T
T d d M m z
=
（7-5） T m 为扭矩沿杆长的分布集度。
ωτ+
a) 自由扭转
b) 约束扭转
c) 组合扭转
图7-1
第二节 闭口薄壁杆件组合扭转的微分方程
对于闭口薄壁杆件，仍从式（7-1）出发，此时约束扭转力矩ωM 以待定函数θ表示，即用式（6-44）代入，于是组合扭转微分方程可表达为：
T T m GI EI -=''-''''φθω （7-6）（7-1）
方程中包括两个未知函数θ及φ。现根据静力学条件建立未知量θ及φ间的关系，以便与式（7-6）联立求解。
设自由扭转与约束扭转产生的总剪力流为q ，它对扭转中心的扭矩应等于作用于截面的荷载扭矩T M 。即
T 0
d M s q =⎰ρ
（7-7）
根据虎克定律并引用式（6-2），剪力流可写成：
)(
z
s w Gt t G t q T ∂∂+∂∂===ξ
γτ 或 )(
0φρ'+∂∂=s
w
Gt q （7-8） 而 0w w θω'=-+ （7-9）（6-15）
上式对s 求导后代入式（7-8），再将式（7-8）代入式（7-7），积分化简得：
ρ
T
GI M μμφθ-'=
' （7-10） 其中： ρT 1I I -=μ （7-11） 称为截面翘曲系数。
对于单室截面 ⎰=t
s A I d 42
T
对于多室截面 ∑=i
i
T ]4A q I
而⎰
=
A
A I d 20ρρ为截面的极惯矩，下同。
式（7-10）推导如下： 由式（7-8）有： )(
0φρω
τ'+∂∂=S
G 而由式（7-9）有： )()()(0z s z w ωωθ+-= 则式（7-8）的第一项
w s s
ω
θ∂∂'
=-∂∂ （a ）
有式（6-13）有： i
0(2
)d s
q s t
ωρ=-⎰
将其代入式（a ）得：
]0(2)i q w
s t
θρ∂'=--∂ （7-13） 将式（7-13）代入式（7-8）有：
i T 00]
[(2
)]q G t
τθρρφ''=--+ （b ） 又截面内剪应力τ与内力T M 有如下关系：
T 0T A
d M A ρτ=⎰
将式（b ）代入后积分得：
]22
T 0i 00A
A
A
(d 2d )d M G A q s G A θρρφρ''=--+⎰⎰⎰ （c ）
又有式（5-46）有：
]z
T
i i M I q q 2=
（d ） 而 0d z i s
M q s ρ=
⎰
（e ）
将ρI 及式（d ）、（e ）代入式（c ）可得：
T T M GI GI GI ρρθθφ'''=-++
故
()
T T GI M G I I ρρφθ'-'=
-
或
T
M GI ρ
φθμμ''=
- 其中：ρ
μI I T
-=1。
若T M 为z 的二次或二次以下的函数，即有T
M ''，则由式（7-10）可得： φθμ
''''
''''=
（7-14）（7-10） 将其代入式（7-6），便得出闭口薄壁杆件的扭转变形微分方程
μ
φφω
EI m k T
-
=''-''''2 （7-15）（7-6）
其中： μ
ω
EI GI k T
=
（7-16）（7-4） 比较式（7-15）与式（7-3）和式（7-16）与式（7-4）可以看出，对于闭口截面，可利用开口截面的扭转微分方程的表达式，而以
EI ω
μ
代替EI ω即可。这一比拟关系，对以后直
接根据开口截面的变形公式写出闭口截面的变形公式，颇为有用。
务必注意，对于闭口截面，尽管可以用
EI ω
μ
代替EI ω，从而直接套用开口截面中关于
扭转角φ的微分方程，但因闭口截面约束扭转双力矩B 及扭转力矩M 均与θ的导数有关，故由式（7-10）有：
T T
T
m GI m GI m GI ρρρφθμμφθμμ
φθμμ⎫''''⎪
⎪
⎪''''⎪
'''=-⎬⎪⎪''''''''''⎪=-
⎪⎭
＝－ （7-17） 第三节 扭转角微分方程的初参数解法
扭转角微分方程式（7-3）及式（7-15）为四阶常系数（等截面）非齐次线性方程，其解由齐次解和特解两部分组成，齐次解将有四个积分常数，由问题的边界条件确定。
一、开口薄壁杆件扭转角微分方程的初参数解法
先讨论开口薄壁杆件扭转角微分方程式（7-3）的解法。微分方程
2T
m k EI ω
φφ''''''-=-
（7-18）（7-3） 其齐次解为：
1234
ˆsh ch c c z c kz c kz φ=+++ （7-19） 据此，不难求得各阶导数，进而得到扭转角的变化率ˆφ
'、约束扭转双力矩ˆB 、总扭矩ˆT
M 的表达式。 231ˆ(cosh sinh )c k c kz c kz φ'=++ （7-20） 34ˆ(sinh cosh )T B EI GI c kz c kz ωφ''=-=-+ （7-21-1） 34ˆ(cosh sinh )T M EI GI k c kz c kz ωωφ'''=-=-+ （7-21-2） 2
ˆT T T M GI EI GI c ωφφ''''=-= （7-22）
