小学四年级数学下册思维训练专项练习+几何提升练习题(含答案)

备课说明：1、本讲共6道例题，前4道例题（用时1小时）分别介绍了数线段、角、三角形、正方形和长方形的基本方法.其中数线段（例1）的方法及计数公式是基础，应重点讲解；接着例2与例3可尝试着让学生先思考，看看学生能否举一反三；例4学生做题是可能较多采用枚举法，因此先让学生做教师再进行讲解，学生能更好的体会到乘法原理的简便性.例5、例6（1小时）为图形计数提高题，例5图形较为复杂，这时怎么合理分类，再进行计数就显得至关重要，学生的分类方法可能多种多样，只要合理都应给予肯定，并给一些时间，鼓励学生根据自己的思路来解题；例6数含有五角星的正方形，仍可用乘法原理解决问题.2、重点：熟练掌握线段、角的计数公式；能够根据图形特点，利用加法原理与乘法原理合理分类计数.难点：根据图形特点，合理分类计数.数线段与数图形实际上就是数几何图形中线段、角、三角形、四边形等的个数问题.在对图形计数时，通常采用的是枚举法，即把所要计数的对象一一列举出来，然后计算它的总和.在用枚举法计数时，要对计数对象合理地进行分类，并要按次序地数，只有这样，才能保证计数时既不重复，又不遗漏.把一条线段分成几段小线段，我们把这些小线段称为基本线段，线段计数都是由这些基本线段组成，即1)3()2()1(++-+-+-+ n n n n .数线段也可以按照点来计算，如果一条线段上有m 个点，根据这些点可以运用2)1(÷-⨯m m 进行计算.要想正确数出图形的个数，关键是从基本图形入手：✓ 弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个；✓ 从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少；✓ 有些图形被分成几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出包含图形的个数，再求各部分的总和.数一数，下面的图形中各有几条线段？F E D C B A解析：①对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数.（1） 以A 为左端点的线段有：AB 、AC 、AD 、AE 、AF ，共5条；（2） 以B 为左端点的线段有：BC 、BD 、BE 、BF 共4条；（3） 以C 为左端点的线段有：CD 、CE 、CF 共3条；（4） 以D 为左端点的线段有：DE 、DF 共2条；（5） 以F 为左端点的线段只有：EF 共1条.所以不同的线段共有：1525)15(12345=⨯+=++++（条） ②每条线段上有62313123=⨯+=++）（（条），共有5条这样的线段，所以不同的线段共有：3056=⨯（条）小结：一条线段被分成n 个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数为：2)1(21+=+++n n n 条. 在一线段上任取21个点（包括两端点），则一共有多少条线段？解：方法一：21个点构成20条基本线段，因此一共有线段：=++++1181920 210220120=÷⨯+）（（条）；方法二：21个点共有线段：21022021=÷⨯（条）数一数下图共有多少条线段.解：273123123=⨯++⨯++）（）（（条）.某地区有66条航空线，每两个城市之间都有一条直达的航空线，这66条航空线共连接这个地区的________个城市.解析：方法一：这是数线段，城市相当于点，而6611321=+++ ，所以有12个城市. 方法二：设这66条航线共连接这个地区的n 个城市，则662)1(=÷-⨯n n ，解得12=n .下图中有多少个小于︒90的角？ O G F E D C BA解析： 按照数线段的方法，有=+++++123456212661=⨯+）（（个） 小结：两条共端点的射线确定一个角（大于︒0、小于︒180），假设由某点引出n 个互不重叠的角（任意两条射线均不在同一直线上），那么这n 个互不重叠的角可以确定的角（大于︒0、小于︒180）的个数为2)1(+n n 个.数一数，下面图形中一共有几个角？（不包括平角）解：在中有152515=⨯+）（（个）角， 在中有2个角， 在中有1个角，综上一共有2521242515=⨯+⨯+⨯+）（（个）角. 下图中有多少个三角形？C B AD B A C C B A解析：第一个图中所有三角形必须都含有顶点A ，且必有一条边在BC 上，所以三角形的个数应该等于BC 边上的线段数.第二、三个图可以分为两步来计算个数.第一步包含顶点A 的三角形；第二步不包含顶点A 的三角形，必然包含顶点B .1）152551=⨯+）（（个） 2）35522515=+⨯⨯+）（（个） 3）（个））（（个），）（30523136042515=⨯⨯+=⨯⨯+，所以三角形共有903060=+（个） 下图中有多少个三角形？解：1）3032414=⨯⨯+）（（个） 2）21332313=+⨯⨯+）（（个） 数一数，下列图形中有多少个正方形？解析：上图中，边长是1个单位长度的正方形的个数有8×5=40，边长是2个单位长度的正方形的个数有7×4=28，边长是3个单位长度的正方形的个数有6×3=18，边长是4个单位长度的正方形的个数有5×2=10，边长是5个单位长度的正方形的个数有4×1=4. 综上，上述图形中含有正方形的个数为：1001425364758=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（个）.小结：一般地，一个长方形的长被分成n 份，宽被分成m 份（m n ≥，每小格均为相等的正方形），那么这个长方形中正方形的总数量为：.1)1()2)(2()1)(1(⨯+-++--+--+m n m n m n mn数一数下面三个图中各有多少个长方形？A B C D A B C D D C B A 解析：（1）在第一个图中，AB 边上有102414=⨯+）（（条）线段，这10条线段中的每一条，都可与线段AD 对应，唯一确定一个长方形，所以第一个图中共有10110=⨯（个）长方形；（2）与第一个图不同的是，在AD 上增加了一个分点，这样在AD 边上就有312=+（条）线段，这3条线段分别与AB 边上不同的线段构成长方形，所以第二个图中有30310=⨯（个）长方形；（3）同上，AD 边上有62313=⨯+）（（条）线段，所以共有60610=⨯（个）长方形. 小结：网格状图形中，长方形的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积.下图是55⨯的方格纸，小方格为边长1厘米的正方形，图中共有______个正方形，所有这些正方形的面积之和为_________平方厘米.解：图中共有正方形 5514916251122334455=++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（个）； 这些正方形的面积之和为)(259)55(1)44(4)33(9)22(16)11(252cm =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.数一数下图中有多少个长方形？解：9025512331=⨯+⨯⨯+）（）（（个） 数一数，下图中有多少个正方形？解：先算出长方形ABCD 中正方形的个数，再还原成原图，算出接上长方形DEFG 后新生出的正方形的个数，然后将两部分的正方形相加即可.第一部分：90172839410=⨯+⨯+⨯+⨯（个）第二部分：202222324=+⨯+⨯+⨯（个）综上所述，共有1102090=+（个）.数一数，下图中有多少个正方形？（中环杯，第五届决赛）解析：设最小正方形的边长为1，则边长为1的正方形有 122224=⨯+⨯（个）边长为2的正方形有 523=+（个）综上，一共有正方形 17512=+（个）数一数下图中有多少个正方形包含“☆”号，又有多少个长方形包含“☆”号？解析：（1）我们把最短的一条线段看作基本线段，那么边长为1且包含“☆”号的正方形有1个，边长为2且包含“☆”号的正方形有4个，边长为3且包含“☆”号的正方形有2个.所以上述图形中包含 “☆”号的正方形有：7241=++（个）.（2）方法一：第1类：由1个小正方形组成的含有 “☆”号的长方形共有1个；第2类：由2个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有4个；第3类：由3个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有3个；第4类：由4个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有5个；第5类：由6个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有6个；第6类：由8个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有2个；第7类：由9个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有2个； 第8类：由12个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有1个；所以上述图形中包含“☆”号的长方形共有：2412265341=+++++++（个）；方法二：长方形有4条边，每一条边可以在不同边上选，所以包含“☆”号的长方形共有 243222=⨯⨯⨯（个）.【备用】图2-1中有_______个角（不包括平角），_______个三角形；图2-2中有_______个三角形.图2-1 图2-2解：21个角；12个三角形；15个三角形.下图中有______个正方形.解：38516273=⨯+⨯+⨯（个）.图4-1中有______个长方形；图4-2中有______个长方形（新知杯，第一届2试）.图4-1 图4-2（1）解：150)12345()1234(=++++⨯+++（个）（2）解：如下图所示：如图一所示，33⨯的正方形格子中有36)123)123=++⨯++（（（个）长方形； 如图二所示，分别包含A 、B 的长方形各有4个；如图三所示，分别包含C 、D 的长方形各有5个，同时包含C 、D 的长方形有1个； 所以图中有 531554436=-++++（个）长方形.下图中有很多长方形，其中有_________个长方形包含阴影部分.（一个或两个都算）解：522222433322=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯⨯（个）. 数一数，下面图形中一共有几个长方形？解析：可以将原图形拆成两个图形（如下图所示）分别数出上面两个图形的长方形个数，再将它还原成原图，数出新生出的长方形个数，（如图中的阴影部分）.最后用拆分成的两个图形中的长方形的总数量减去重复数的长方形（如图中含有字母的部分），再加上新生出的长方形的个数.12021231234=⨯++⨯+++）（）（（个）重复数的长方形个数：321=+（个）新生出的长方形个数：16222122=++⨯+⨯）（）（（个） 综上所述，图中长方形的总个数是：133163120=+-（个）.6、下图中包含“☆”号的长方形一共有几个？（有一个或有两个“☆”号都可以）解析：方法一：分九类数，然后相加.第1类：由1个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有2个；第2类：由2个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有8个；第3类：由3个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有8个；第4类：由4个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有11个；第5类：由6个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有12个；第6类：由8个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有6个；第7类：由9个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有4个；第8类：由12个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有4个；第9类：由16个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有1个.所以上述图形中包含“☆”号的长方形一共有：5614461211882=++++++++（个）.方法二：先按照例6方法2算出分别包含一个“☆”的长方形数量，最后再减去重复的数. 56163636222233223322=-+=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯（个）7、a 、b 两条直线上分别有4个点和5个点(如图) 用这9个点作为顶点共可组成_____个不同的四边形，_____个不同的三角形.（走美杯，第四届决赛）解析：可以组成四边形 60)123()1234(=++⨯+++（个）；可以组成三角形 705)123(4)1234(=⨯+++⨯+++（个）.。

思维训练题一、填空。

（共20分，每小题2分）1．被除数是3320，商是150，余数是20，除数是（）。

2．3998是4个连续自然数的和，其中最小的数是（）。

3.有一个两位数，在它的某一位数字的前面加上一个小数点，再和这个两位数相加，得数是20.9。

这个两位数是（）4．填一个最小的自然数，使225×525×（）积的末尾四位数字都是0。

5．在下面的式子中填上括号，使等式成立。

5×8+16÷4-2=206．从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数中，任取3个数组成一组，使它的平均数是5，有（）种取法。

7．某地的邮政编码可用ABCCDD表示，已知这六个数字的和是8，A与B的和等于2个D，A是最小的自然数。

这个邮政编码是（）。

8．两个数之和是444，大数除以小数商11，且没有余数，大数是（）9．把5、11、14、15、21、22六个数填入下面的括号内，使等式成立。

（）×（）×（）=（）×（）×（）10．正方体有6个面，每个面上分别写有1个数字，它们是1、2、3、4、5、6，而且每个相对面上两个数的和是7（1和6，2和5，3和4）。

下图是正方体六个面的展开图，请填出空格内的数。

二、判断。

（对的在括号内画“√”，错的画“×”，共10分，每小题2分）11．大于0.9997而小于0.9999的小数只有0.9998。

（）12．一张长方形彩纸长21厘米，宽15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸上剪下一个最大的正方形。

这时纸的长是6厘米。

（）13．一个箱子里放着几顶帽子，除2顶以外都是红的，除2顶以外都是蓝的，除2顶以外都是黄的。

箱子中一共有3顶帽子。

（）14．一个占地1公顷的正方形苗圃，边长各加长100米，苗圃的面积增加3公顷。

（）15．有铅笔180支，分成若干等份，每份不得少于7支，也不能多于25支，共有7种不同的分法。

一、倍数问题“和倍”与“差倍”问题的应用题，一般都在条件中告诉我们：两个数量的和（或差）与这两个数量的倍数关系，要我们求这两个数量分别是几。

解答这类应用题时，我们采用代换的思路，用1倍数去代替几倍数，看和(或差)相当于1倍数的几倍，即除以几，先求出1倍数，然后再求出几倍数，解题公式是：1、和倍问题和÷（倍数＋1）=1倍数1倍数×几倍=几倍数或和－1倍数=几倍数2、差倍问题差÷（倍数—1）=1倍数1倍数×几倍=几倍数或 1倍数+差=几倍数在解答这类题目时，线段图是一个很好的帮手。

我们要根据题意，画出线段图进行分析，这样能很快地理清解题思路，找到解题的方法。

【例1】弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本。

哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？【点拨】.画线段图如下：哥哥：20本给弟弟的本数弟弟：2倍在观察上图的基础上，可先思考以下几个问题：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目里不变的数量是什么？（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？（3）如果把哥哥剩下的课外书看做1倍数，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看做是哥哥剩下的课外书的几倍？在思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。

根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。

如果我们把哥哥剩下的课外书看做1倍数，那么这时弟弟的课外书可看做是哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而兄弟俩课外书的总数始终是不变的数量。

【解答】（20＋25）÷（2＋1）=15（本） 25—15=10（本）答：哥哥给弟弟10本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍。

【操身演练】1、甲、乙两数之和是180，已知甲数是乙数的2倍，甲、乙两数各是多少？2、一个长方形的周长是64厘米，长是宽的7倍，长、宽各是几厘米？3、果园里有梨树、苹果树和桃树共1800棵，其中梨树的棵树是苹果树的2倍，桃树的棵树是苹果树的3倍。

四年级下册数学思维题一、基础运算计算：(3/4) ×(7/9) ÷(1/6)。

把4.08的小数点向右移动两位，结果是多少？二、空间几何有一块正方形菜地，它的边长为10米。

现将这块菜地分成两半，一边种土豆，一边种番茄。

土豆的种植面积是多少平方米？用一条直线把一个正方形分成两个相等的部分，这样的直线有多少条？三、逻辑思维小明、小红、小刚和小芳四人一起做拼图游戏，他们各拼好一个正方形后发现：小明拼的边长是8厘米，小红拼的边长是10厘米，小刚拼的边长是12厘米，而小芳拼的边长是15厘米。

请问谁的拼图面积最大？是多少平方厘米？有一个三位数，十位上的数是个位上数的(2/3)，个位上的数比十位上的数多2，个位上的数是百位上数的2倍。

请问这个三位数是多少？四、应用题解小华家养了10只鸡和8只鸭，每只鸡每天能下一个蛋，每只鸭每天能下两个蛋。

请问小华家一天能得到多少个蛋？一辆公共汽车上原有乘客30人，到站后下去了一些人，又上来了7人。

现在车上的人数是原来的人数增加了多少？五、组合数学在5、3、9、0组成的四位数中，最大的数是多少？最小的数是多少？有5根木棍，长度分别是2厘米、3厘米、4厘米、5厘米和6厘米。

从中选出三根木棍围成一个三角形，一共可以围成多少种三角形？六、数学谜题一位著名数学家出一道很有趣的谜语，谜面是：比最小的六位数少1的数是多少。

请回答这个谜语，并解释你的答案。

下面是一个数字序列：1、2、3、5、8、13、21。

请找出这个序列的规律，并预测下一个数字是什么。

七、计数原理从一副扑克牌中抽出两张王牌，从剩下的52张中任意抽多少张，才能保证有两张是相同花色的？一个袋子中有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个。

要保证摸出的小球至少有两个同色，至少要摸出多少个小球？。