《等差数列求和》说课课件 PPT

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《等差数列求和》说课ppt课件

用
式
应
C公
都比它下面一层多放1 支，最上面一层放120 支 . 这个 V 形架上共放了多少支铅笔?解：由题意知，这个V型架自下而上是个由120层的铅笔构成的等差数列，上一则公差为1。运用等差数列的公；可得n=120,a1=1,a2=120,Sn=7260
练习3:简单变式，针对全体学生如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层
教学程序
C公式应用
布置作业：1. 课本P55 ex13,14,15,16.2.用其它方法推导公式。
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教学程序
B公式推导
Sn=na₁+ d2
教学程序
n(n- 1)
an=a1+(n-1)d
C公式应用
教学程序必怎样记忆公式?应用公式时应注意那些问题?等差数列的通项公式an=aq+(n-1)d等差数列的性质：若m+n=q+P> 则am+an=ap+aa
高斯 Gauss.C.F
方案
记：S,= 1+2+3+ …+(n-2)+(n-1)+n∴2S,=n(n+1)∴
求和：1+2+3+4++n=?n+(n-1)+(n-2)+ …+3+2+1
问题2:S=
问题3:现在把问题推广到更一般的情形：等差数列{a,} 的首项为a, 公差为d, 如何求等差数列的前n项和Sn=a₁ +a₂ +a₃ + …+an?Sn=a₁+a₂+a₃+ …+an-2+an- 1+aSn=an+an- 1+an-2+.+a₃+a₂+a₁2Sn=(a₁+an)+(a₂+an- 1)+(a₃+an-2)+...+(an-2+a₃)+(an- 1+a₂)+(a+a₁)=n(a₁+an)

等差数列前n项求和ppt

公式理解
01
公式意义
等差数列的前n项和公式表示等差数列前n项的和，其中首项为 a1，公差为d，项数为n。
公式结构
02
03
公式参数
公式由首项、公差、项数和求和符号组成，反映了等差数列的特性。
首项a1表示等差数列的第一项，公差d表示相邻两项的差，项数n 表示等差数列的项数。
公式应用
应用场景一
等差数列前n项求和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列求和的常见方法 • 等差数列求和的实际应用 • 等差数列求和的注意事项
01
等差数列的定义与性质
定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其特点是任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的整数集合，其中任意两个相邻项的差都等于一个常数，这个常数被称为公差。等差数列的一般形式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是第一项，d 是公差。
02
等差数列的前n项和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将前n项和表示为n/2乘以首项与末项的平均值，再利用等差数列的通项公式，推导出前n项和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的求和公式，将前n项和表示为首项与末项的和乘以项数再除以2，同样利用等差数列的通项公式，推导出前n项和公式。
日常生活中的应用
购物清单
在购物时，等差数列求和公式可用于计算购物清单中商品的总价，以便快速计算出总花费。
工资计算
在工资计算中，等差数列求和公式可用于计算工资总额，以便计算税款和扣除项。
日常理财
在理财中，等差数列求和公式可用于计算定期存款、基金定投等理财产品的收益。

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列分布，例如光的波长、音阶的频率等，等差数列的前n项和公式可以用于计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可以用等差数列的前n项和公式来解决，例如在求解一些物理问题的近似解时，可以利用等差数列的前n项和来简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益呈等差数列分布，例如定期存款、基金定投等，等差数列的前n项和公式可以用于计算这些投资组合的总收益。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指从第一项到第n项的所有项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法

等差数列求和(共24张PPT)

例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。

03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差数列的通项公式进行化简，最终得到等差数列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的项进行倒序相加，再利用等差数列的通项公式进行化简，最终得到等差数列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个常数被称为公差。

等差数列求和PPT优秀课件

113, 22
也满a足 n 2n12,
所以a数 n的列通项 an公 2n式 1 2. 为
由此可知， an数是列一个首23项，为
公差2为的等差数列。
例3、等差数列 { a n } 中，S 15 = 90，求 a 8 S15a1 2a151590 即 a 1 + a 15 = 12
m,n,p,q∈N★
am+an=ap+aq
5. 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1 = a3+ an-2 = …
引例：1＋2＋3＋…＋100=？
10岁的高斯（德国）的算法： • 首项与末项的和：1+100=101 • 第2项与倒数第2项的和：2+99=101 • 第3项与倒数第3项的和：3+98=101 • ……………………………………… • 第50项与倒数第50项的和：50+51=101 • ∴101×（100／2）=5050
Байду номын сангаас
新课学习
n(a1 an ) ㈠等差数列前n 项和Sn = 2 =
na1

n(n1) d
2
.
=an2+bn a、b 为常数
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1) Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)
(1)+ (2)得 2Sn=n(a1+ an)
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫倒序相加法； ②等差数列的前n项和公式类同于梯形的面积公式； ③{an}为等差数列 Sn=an2+bn ，这是一个关于 n 的

等差数列及求和PPT课件

少？30是此数列中的第几项？项数是多少？
有没有更简单的方法计算此题呢？
等差数列的相关公式：
末项＝首项＋（项数－1）×公差
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
例3. 2，11，20，29，38， … 是按一定规律排
列的一串数，第21项是多少？
解：从第二项起每一项与前一项的差是9，所以此数列是等差数列，公差是9，将第21项看作是末项，
＝（600－2）÷2＋1
＝300.
2＋4＋6＋8＋…＋598＋600
＝(2+600) ×300÷2
＝90300
(2) 项数＝（399－3）÷4＋1 ＝100.
3＋7＋11＋…＋399 ＝（3＋399）×100÷2 ＝20100
练习：计算数列的和：（1） 2＋6＋10＋14＋ …… ＋122＋126 （2） 2 ＋ 5 ＋ 8 ＋ 11 ＋ 14 …… ＋ 47
所以d=6 则a8=a6+2 ×d =33+12=45
(2)因为a3=a1+2 × d 又a3=16, 则 a1=16-2 × d
又a11=a1+10 ×d a11=72 所以a1=72-10 ×d
得： 16-2 × d=72-10 ×d，
解出d=7 a1=72-10 ×7=2
可得：a6=2+5 ×7=37
例8、计算：（1＋3＋5＋7＋…＋2009）－（2＋4＋6＋…＋2008）. （1＋3＋5＋7＋…＋2009）－（2＋4＋6＋…＋2008）. ＝ 1＋（3－2）＋（5－4）＋（7－6）＋ … ＋（2009－2008）＝1 ＋1 ＋ … ＋1 共1005个1 ＝1005
练习：计算： 5000 －124 －128 －132 － … －272 －276

等差数列的前n项求和公式ppt课件

则 2Sn nn 1
Sn
nn 1
2
4
推导
下面对等差数列前n项公式进行推导
设等差数列 a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由(1)+(2) 得 2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2)+.. 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
高斯的问题，可以看成是求等差数列 1，2，3，…， n，…的前100项的和，求:1+2+3+4+…+n=?
如果令 Sn=1 + 2 + 3 + ... +（n-2）+（n-1）+ n
颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+ ... + 3 + 2 + 1
将两式相加 2Sn=（1+n）+（2+n-1）+...+（n+1）
例2 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前
20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素
个数, 并求这些元素的和.
7
解：将题中的等差数列记为｛an｝，Sn代表该数列的前n项

等差数列求和PPT优秀课件1

an

Sn
S1(n 1) Sn1(n 2)
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6； 4+6=10… 算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
解得
a4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
S 练习 1.根据下列条件，求相应的等差数列 a n 的 n
( ( (1 S 2 3 ) 5 ) )a a a S 0 1 1 1 15 0 5 1 0 1 3 2 ,1 a ,0 n a 0 ,(0 d n 5 25 0 9 （ 9 5 0 0 ,2 )5 n 2 5 2 3 0 ,1 ,n 5 )n 1 0 ( .;5 1 2 0 0 ); ;40 2S5 nSSnnn5 1ann0 （（ n（ aan211221)aadnn))
a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ，
为回避个数问题，做一个改写
S n a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n ，
S n a n a n 1 a n 2 a 3 a 2 a 1 ，
(则3)在a等m+差a数n=列{aapn+}中a，q 若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数），
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A ab 2

等差数列的求和PPT课件

3
知识新授
1、Sn

na1

n(n
1)d 2

d 2
n2

(a1

d 2
)n
当d≠0时，Sn是常数项为零的二次函数.
4
例1、已知数列{an}的前n项和为
Sn

n2

1 2
n, 求这个数列的通项
公式，这个数列是等差数列吗？
若Sn

n2

1 2
n
1呢？
5
2、若数列{an}的前n和Sn＝pn2＋qn，那么数列{an}是等差数列吗？
高一数学必修五第二章《数列》
2.3 等差数列的前n项和第2课时
1
复习巩固
1. an＝a1＋(n－1)d
an＝am＋(n－m)d 2.等差数列前n项和公式:
Sn

n(a1 2
an )
n(n 1)d
Sn n个等差数列的前4项和为21，末4项和为67,前n项和为286，求数列的项数n.
首项为 3
2
，公差为
3 2
,
项数为8.
11
课后作业
作业：P46习题2.3 A组：5；B组2，3，4 ；《学海》第6课时
12
2019/9/18
13
S偶 n 1
9
例3 已知一个等差数列的前12项之和为354，且前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求这个等差数列的公差.
d 5
例4《学海》34页第4题
10
练习：已知一个等差数列共有偶数项，
其中偶数项之和为30，奇数项之和为
24，末项与首项之差为10.5，求这个

等差数列求和ppt课件

Sn

n a1
2
an

n个
(a1 an )
6
思考：若已知a1及公差d，结果会怎样呢？
an a1 (n 1)d
公式2
Sn

na1

n(n 1) 2
d
7
等差数列前n项和公式
Sn

n a1
2
an

（公式一）
nn 1
Sn na1
2
d（公式二）
一、两个公式的相同的是a1和n,不同的是:公式一中有an,公式二中有d 。若a1，d, n, an中已
11
反馈达标
练习1. 在等差数列{an}中, a1=20, an=54, sn =999,求n。
12
例3 ：求和
例
(1) 1+3+5+ ···+(2n-1)
题解
（2）－10,－6,－2, 2, ···, （4n-14)
解：（1）原式= 1 (2n 1) n =n2
2
（2）原式= －10－6－2 + 2 + ···+（4n-14)
500
解：2 Sn

na1Leabharlann n(n 1) 2d
50100 50 (50 1) -2 2550
2 9
例题讲解
例2、已知一个等差数列{an} 的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件可以确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
10
例题讲解
用公式一做做
知三个量就可以求出Sn 。
二、 a1，d, n, an，Sn五个量可“知三求二”。 8

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Sn
n(a1 an) 2
可得n=120,ɑ1=1,ɑ2=120,Sn=7260
教学程序
D小结作业
❖布置作业：
1．课本P55 ex13,14,15,16. 2.用其它方法推导公式。
变式，针对全体学生
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支. 这个V形架上共放了多少支铅笔？
解：由题意知，这个V型架自下而上是个由120
层的铅笔构成的等差数列，上一层比下一层多1，
则公差为1。运用等差数列的公式Sn=
记:Sn= 1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n
2Sn n(n1)
Sn
n(n 1) 2
教学程序
B公式推导
问题3：现在把问题推广到更一般的情形：等差数列 {an} 的首项为a1，公差为d，如何求等差数
列的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an? Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1
独立思考
→ 提出方案
→
评价
教学程序
A问题探究
问题1：若把问题变成求：1+2+3+4+‥ ‥ +99=？可
以用哪些方法求出来呢？
方案
1 求一组数的和
常规方案：交点法
高斯求和法
1+2+3+ … +98+99+100= ？
101
高斯 Gauss.C.F
教学程序
B公式推导
问题2: 求和:1+2+3+4+…+n=? Sn= n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1
教：学难点公式推导过程中的转化思想
1、知识与技能目标
教学目标
教学目标
2、过程与方法目标
3、情意目标
教学目标
2
1
感受公式简洁的数学美
初步体验公式在代数中的重要作用
教法学法
1、学情分析
A
学习基础
B
学习障碍
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
教法学法
2、教学方法
ENIM
“学生为主体，教师为主导”的自主合作式的教学方法
教法学法
3、学习指导
数学学习必须注重概念、原理、公式、法则的形
1 成过程，突出数学本质
2 •通过观察、比较、思考、探索、交流、应用等活动
，在潜移默化中领会
教学程序
A问题探究 B公式推导 C公式应用 D小结作业
教学程序
A问题探究
如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2， 3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法来计算？
2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
教学程序
C公式应用
Sn
n1an
(n1)d 2
an=a1+(n-1)d
Sn
n(a1an) 2
教学程序
C公式应用
❖怎样记忆公式？应用公式时应注意那些问题？ ❖等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d ❖等差数列的性质：若m+n=q+P ❖则am+an=ap+aq
《等差数列求和》说课课件
LOREM IPSUM DOLOR 教材分析教学方法反馈评价
目录
教学目标教学程序
结束
1、教材的地位和作用
教材分析
等差数列是重要工具，为进一步用代数方法研究数列问题奠定了基础。
教材分析
2、教学的重点、难点
教学重点
等差数列通项公式的推导过程及蕴含在其中的数学思想方法