等差数列及其前n项和专题练习(含参考答
案)
数学27 等差数列及其前n 项和
一、选择题
1．数列{2n －1}的前10项的和是( C )
A ．120
B ．110
C ．100
D ．10
[解析] ∵数列{2n －1}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴S 10＝(a 1＋a 10)×102＝(1＋19)×102
＝100.故选C ． 2．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金缍，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”( D )
A ．6斤
B ．7斤
C ．8斤
D ．9斤
[解析] 设这根金锤从头到尾每一尺的重量构成等差数列{a n }，由已知得a 1＝4，a 5＝
2，求a 2＋a 3＋a 4，∵a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3×a 1＋a 52
＝9，故选D ． 3．设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝( C )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
[解析] ∵{a n }是等差数列，∴2a 4－a 6＝a 4－2d ＝a 2＝7，∵a 1a 2＝35，∴a 1＝5，∴d ＝a 2－a 1＝2，故选C ．
4．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1008＋a 2014＝( B )
A ．10
B ．15
C ．20
D ．40
[解析] 因为a 1，a 2015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1＋a 2015＝10.由等差数列
的性质可知，a 1008＝a 1＋a 20152
＝5，a 2＋a 2014＝a 1＋a 2015＝10，所以a 2＋a 1008＋a 2014＝10＋5＝15.故选B ．
5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( D )
A ．20
B ．40
C ．60
D ．80
[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，
由已知得⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×
42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4. ∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D ．
6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列{S n n
}的前11项和为( D ) A ．－45
B ．－50
C ．－55
D ．－66
[解析] ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴S n ＝
n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列{S n n
}是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列{S n n }的前11项和为11×(－1)＋11×102
×(－1)＝－66，故选D ． 7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( B )
A ．1升
B ．6766升
C ．4744
升 D ．3733
升 [解析] 设该等差数列为{a n }，公差为d ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩
⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766.
∴a 5＝1322＋4×766＝6766
.故选B ．
8．等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]，则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大的正整数n 的值是( B )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
[解析] 由dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]得，d <0且9d ＋2a 1＝0，∴a 1＝－92d ，S n ＝d 2
n 2＋(a 1－d 2)n ＝d 2n 2－5dn ＝d 2
(n 2－10n )，当n ＝5时，S n 取得最大值，故选B ． 二、填空题
9．中位数为1011的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__3___．
[解析] 设首项为a 1，则a 1＋2019＝2×1011，解得a 1＝3.故填3．
10．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13
(n ∈N *)，则a 10＝ 14 ． [解析] 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14
． 11．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝__14___．
[解析] 解法一：设数列{a n }的公差为d ，
则a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝14，
又∵a 3＝0，∴d ＝2，∴a 7＝a 3＋4d ＝8，
又a 3＝a 1＋2d ，∴a 1＝－4，
∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×(－4＋8)2
＝14． 解法二：设数列{a n }的公差为d ，
则a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝14，又∵a 3＝0，
∴d ＝2，∴a 4＝a 3＋d ＝2．
∴S 7＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝7a 4＝14．
12．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为__9___．
[解析] 解法一：∵S 4＝1，S 8＝4，∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成首项为1，公差为2的等差数列，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝1＋2×(5－1)＝9．
