同角三角函数的基本关系与诱导公式考点与提醒归纳1.同角三角函数的基本关系：在一个单位圆上，以原点为中心，作出一个角度为θ的角。
那么，角θ的终边与单位圆交于一点P，点P的坐标可以表示为(Px,Py)。
根据三角函数的定义，可以得到以下关系：(1) 正弦函数（sin）：sinθ = Py(2) 余弦函数（cos）：cosθ = Px(3) 正切函数（tan）：tanθ = Py / Px2.诱导公式：诱导公式是利用同角三角函数的基本关系，通过一些简单的代数运算推导出来的公式。
下面是一些常用的诱导公式：（1）tanθ = sinθ / cosθ -> sinθ = tanθ * cosθ（2）tanθ = py / Px -> Py = tanθ * Px（3）cotθ = 1 / tanθ -> cotθ = cosθ / sinθ（4）secθ = 1 / cosθ -> secθ = 1 / cosθ（5）cscθ = 1 / sinθ -> cscθ = 1 / Py3.开放、诱导角的关系：开放角和诱导角是同角三角函数中的两个重要概念。
（1）开放角：开放角是指角θ的终边所在的象限。
根据角度θ所在的象限，可以确定sinθ、cosθ、tanθ的正负关系。
（2）诱导角：角θ的终边与x轴正半轴之间的夹角记为θ0，称为角θ的诱导角。
根据θ0所在的象限，可以确定sinθ0、cosθ0、tanθ0的值。
4.注意事项：（1）需要记住各个象限中正弦函数、余弦函数、正切函数的正负关系。
通过画图和思考可以帮助记忆。
（2）要掌握正弦函数、余弦函数、正切函数在不同象限中的取值范围，充分理解诱导角与开放角的关系。
（3）熟练掌握诱导公式，能够熟练地根据一个三角函数的值求得其他三个函数的值。
（4）在解决实际问题和解题时，要善于利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三个函数，以便更好地解题。
总之，同角三角函数的基本关系与诱导公式是学习三角函数的重要内容，掌握和理解好这一知识点对后续学习和解题非常有帮助。
3.2三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学1．同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：αααcos sin tan =；倒数关系：1cot tan =⋅αα 同角三角函数的基本关系式可用图表示（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方； （2）对角为倒数关系；（3）每个三角函数为相邻两函数的积.诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3．诱导公式解决常见题型（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识导析1．三角变换的常见技巧“1”的代换；ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cos sin 22=+αα）；2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；3．已知角α的某个三角函数值，求角α的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围. 三、典型例题导讲 [例1]已知=∈=+θπθθθcot 051cos sin ），则，（，__________错解：两边同时平方，由，与51cos sin 2512cos sin =+-=⋅θθθθ得57cos sin 2549cos sin 4)cos (sin cos sin 4cos cos sin 2sin )cos (sin 2222±=-∴=-+=-+⋅+=-θθθθθθθθθθθθθθ ∴.cot 53cos 54sin θθθ，进而可求，-==解得：43cot -=θ 或.cot 54cos 53sin θθθ，进而可求，=-=解得：34cot -=θ 错因：没有注意到条件),0(πθ∈时，由于0cos sin <⋅θθ 所以θθcos sin -的值为正而导致错误.正解： ），，（，πθθθ051cos sin ∈=+ 两边同时平方，有联立，与51cos sin 02512cos sin =+<-=⋅θθθθ 求出，，53cos 54sin -==θθ∴43cot -=θ [例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、B 为锐角且a ＞1,0＜b ＜1，求tanA 的值 错解：由⎩⎨⎧== ② ①B b A B a A cos cos sin sin 得tan A=batan B 错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示正解：由⎩⎨⎧== ② ①B b A B a A cos cos sin sin ①2+②2得a 2sin 2B+b 2cos 2B=1∴cos 2B=2221b a a -- ∴sin 2B=2221b a b -- ∴tan 2B=1122--a b∵B 为锐角 ∴tan B=1122--a b②①得tan A=b a tan B =1122--a b b a [例3]（05年高考重庆卷）若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(xx a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值..15,.444111sin ),sin(441sin 2cos 212cos2sin cos 4cos 2)(:2222±==++=++=+=+=a a ax a x ax xx a x x x f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ点评：本试题将三角函数“απαπ-+,2”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础. [例4] （05年高考北京卷）已知tan2α=2，求（1）tan()4πα+的值； （2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．解：（1）∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+； （2）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. [例5]化简：)()414cos()414sin(z n n n ∈-++--απαπ错解：原式)]4(cos[)]4(sin[αππαππ-+++-=n n)4cos()4sin(απαπ--+=)4cos()]4(2sin[απαππ----=0)4cos()4cos(=---=απαπ错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误. 正解：原式)]4(cos[)]4(sin[αππαππ-+++-=n n（1）当)(12z k k n ∈+=，时原式)]4(2sin[απππ+-+=k +)]4(2cos[απππ-++k )4sin(απ+=)4cos(απ--)4cos(απ-=)4cos(απ--=0（2）当)(2z k k n ∈=，时 原式)]4(2sin[αππ+-=k +)]4(2cos[αππ-+k)]4sin(απ+-=+)4cos(απ-=0[例6]（05年高考江苏卷）若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97-B ．31-C ．31D ．97错解：⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =)]23(cos[αππ--=)23cos(απ-=1—2)6(sin 2απ-=97错因：诱导公式应用符号错. 正解：⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =)]23(cos[αππ--=—)23cos(απ-=—1+2)6(sin 2απ-=—97.故选A. [例7]．（05年高考福建卷）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （1）求sin x －cos x 的值；（2）求xx xx x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值. 解法一：（1）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x 又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π 故 .57cos sin -=-x x（2）xx x x x x xx x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x解法二：（1）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o s x x x x x π 或 故.57cos sin -=-x x（2）x x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 322++- x x x xsin cos 1sin 2sin 22++-=125108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -=+-⨯⨯-=--=x x x x 点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.[例8] (1)化简： sin 2αsec 2α－1＋1csc cos 22-αα+cos 2αcsc 2α (2)设sin(α+π2)=－14,且sin2α＞0求sinα,t an α解：原式=sin 2αtan 2α＋cos 2αcot 2α+cos 2αcsc 2α=cos 2α+sin 2α+cos 2αcsc 2α①②=1+cot 2α=csc 2α(2)解：由sin(α+π2 )=-14 ∴cosα=- 14∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+πkπ＜α<kπ+π2(k∈z) ∴α为第一象限或第二象限的角∵cosα=- 14＜0 ∴α为第三角限角sinα=-1－cos 2α＝154 tan α= sin αcos α= 15点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的探讨.[例9] 求函数y x x =-+162sin 的定义域. 解：由题意有 2244k x k x πππ≤≤+-≤≤⎧⎨⎩(*)当k =-1时，-≤≤-2ππx ；当k =0时，0≤≤x π； 当k =1时，23ππ≤≤x∴函数的定义域是[][]--40，，ππ点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数. [例10] （05年高考天津卷） 已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求. 解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027α-α=π-α= 即57cos sin =α-α ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α=故51sin cos -=α+α ②由①式和②式得 54cos ,53sin -=α=α.因此，43tan -=α，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan 313tan )4tan(-=+-=+-=α-+α=π+α 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得α-=α=2sin 212cos 257解得53sin ,259sin 2±=α=α即 由57cos sin ,1027)4sin(=α-α=π-α可得 由于057sin cos ,0cos 57sin <-α=α>α+=α且， 故α在第二象限，于是53sin =α.从而5457sin cos -=-α=α（以下同解法一）.点评：ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cos sin 22=+αα），在求值过程中要注意符号的讨论. 四、典型习题导练1． 当0＜x ＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为( ) A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,6лл B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,3лл C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫3л D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫32л 2．（05年高考全国卷Ⅰ）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是A ．①③ B.②④ C.①④ D.②③3．（05年全国卷Ⅲ）设02x π≤≤,sin cos x x =-,则A. 0x π≤≤B. 744x ππ≤≤C. 544x ππ≤≤D. 322x ππ≤≤4．函数y x =+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥sin()πππ222在，上是（）A. 增函数B. 减函数C. 偶函数D. 奇函数5．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 6．已知，且，则的值为sin cos cos sin θθπθπθθ⋅=<<-18427．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x ． (1) 求f (4π)的值； (2) 设α∈(0，π)，f (2α)sin α的值． 8．（05年高考湖南卷）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小. 9．（06年高考安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=- （1）求tan α的值；（2）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。
