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勾股定理的内容勾股定理，又称勾股定理，是古代数学中的一个重要定理。
在直角三角形中，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
其数学表达形式为：a^2 + b^2 = c^2其中a、b、c分别代表直角三角形的两条直角边和斜边。
起源与发展勾股定理虽然现在被称为勾股定理，但最早是在《周髀算经》中发现的，成为世界上最早的几何著作之一。
据传，勾股定理是周公提出的，故得名“周公定理”。
后来被《算经》作者张丘建列入《增衍之术》中，并首次用文字表达了这一定理。
在中国古代，勾股定理的应用非常广泛，不仅用于地测和农业，还被运用在建筑和军事领域。
随着数学的发展，勾股定理也在世界各地广泛传播，并成为数学中的重要定理之一。
数学证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯定理利用几何形状和平行移动来证明直角三角形的两个边的平方和等于斜边的平方。
这一证明方法被后人发扬光大，成为数学学科中的一个经典证明。
应用场景勾股定理在现代生活中的应用也非常广泛。
例如，在建筑领域中，利用勾股定理可以计算建筑物的结构稳定性；在工程设计中，可以测量距离和角度；在电子领域中，可以应用于信号传输和数据处理等方面。
总的来说，勾股定理是数学中的一个重要定理，不仅对几何学有重要意义，还在现代科学技术中有着广泛的应用。
结语通过对勾股定理的介绍，我们可以看到它在数学史上的重要地位和广泛应用。
了解勾股定理不仅有助于我们理解数学知识的深层含义，还可以帮助我们应用数学知识解决现实生活中的问题。
在学习数学的过程中，我们应该对勾股定理有更多的了解和探索，进一步探索数学世界的奥秘。
勾股定理的相关公式勾股定理是数学中一个超级重要的定理，咱们从小学到高中都能看到它的身影。
这定理就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多几何难题的大门。
先来说说勾股定理的公式，那就是：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用字母表示就是 a² + b² = c²，这里的 a和 b 是两条直角边，c 就是斜边。
我记得有一次给学生们讲这个定理的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
那是一节数学课，我像往常一样在黑板上画了一个直角三角形，然后开始给学生们讲解勾股定理。
我讲得那叫一个起劲儿，可一瞅台下，有几个小家伙眼神都开始发直了。
我心想，这可不行，得想个办法让他们提起精神。
于是，我灵机一动，说：“同学们，咱们来做个小游戏。
假设咱们现在是建筑师，要建一个直角三角形的小房子。
两条直角边的长度就由你们来决定，然后咱们一起算算斜边得多长，看看谁设计的房子最稳固。
”这一下，同学们的兴趣都被提起来了，一个个开始积极地思考和计算。
有个调皮的小男孩儿，他说他要让一条直角边是 3 米，另一条是 4 米。
我笑着让他自己算算斜边。
他拿起笔，皱着眉头，嘴里还念念有词，不一会儿就兴奋地喊起来：“老师，我算出来了，斜边是 5 米！”我给他竖起了大拇指，接着又有好多同学都积极参与进来，课堂气氛一下子变得特别活跃。
讲完这个小例子，咱们继续说勾股定理。
其实勾股定理不仅在数学题里有用，在生活中也有不少应用呢。
比如说，工人师傅要搭建一个直角的架子，如果知道两条直角边的长度，就能用勾股定理算出斜边的长度，从而准备合适长度的材料，避免浪费。
再比如，咱们出去郊游，看到一个直角三角形的小山坡，想知道从这头到那头有多远，只要能测量出两条直角边的距离，就能用勾股定理算出斜边的距离啦。
在解题的时候，咱们得灵活运用勾股定理。
有时候题目不会直接告诉咱们直角边和斜边的长度，而是通过一些其他条件让咱们去推导。
这就需要咱们开动脑筋，把隐藏的条件找出来。
和勾股定理有关的历史故事嘿，你知道吗？勾股定理那可是相当了不起啊！这背后还有个特别有意思的历史故事呢。
在很久很久以前，有个叫毕达哥拉斯的人，他可牛了！他和他的学派那是整天研究各种数学问题。
有一天呢，他们发现了直角三角形三边之间的这种神奇关系。
你想想看，就那么一个简单的三角形，它的三条边居然有着这么固定又奇妙的联系，是不是很神奇？就好像你有三个小伙伴，平时各玩各的，但突然发现他们之间存在着一种特别的纽带，能不让人兴奋嘛！毕达哥拉斯他们发现这个定理的时候，肯定高兴坏了。
这就好比你找了好久的宝贝，突然在一个角落里发现了，那种惊喜啊！勾股定理在生活中用处可大了去了。
盖房子的时候，工人师傅得保证墙角是直角吧，这时候勾股定理就能派上用场啦。
还有啊，我们走路的时候，有时候也会不自觉地用到它呢。
你说神奇不神奇？你再想想，如果没有勾股定理，那我们的世界得变成啥样啊？盖的房子歪歪扭扭的，走路都走不直，那多滑稽呀！这勾股定理就像是数学世界里的一盏明灯，照亮了我们前进的道路。
而且哦，勾股定理还引发了好多其他的数学研究呢。
就像一颗种子，长出了好多好多的枝叶。
这就是知识的力量啊，从一个小小的发现，能引出一大串的东西。
咱们老祖宗不是也有很多厉害的数学成就嘛，和勾股定理一样让人惊叹！这就像我们国家的文化宝藏，越挖越有惊喜。
你说，这勾股定理是不是特别有意思？它不仅仅是几个数字和几条线的组合，更是人类智慧的结晶啊！它见证了人类对知识的追求和探索，让我们能更好地理解这个世界。
所以啊，可别小看了这小小的勾股定理，它背后的故事和意义可深远着呢！它就像一把钥匙，打开了数学世界的大门，让我们看到了无尽的奥秘和精彩。
你难道不觉得它很了不起吗？。
勾股定理与函数勾股定理知识点：1、勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C＝Rt∠a 2＋b 2=c 2⇔2、勾股定理及逆定理的应用（1）作已知线段a 的，， ……倍235（2）计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 （3）证明线段的平方关系等。
3、勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数.4、勾股数的推算公式（1）罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
（2）如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
212-k 212+k （3）如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。
122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K 122+⎪⎭⎫⎝⎛K （4）如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
5、熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。
简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，经典提高习题：1．如图所示，在中,,且,Rt ABC ∆90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒3BD =,求的长.4CE =DE2．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由．3、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。
4 如图，长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，则重叠部分△AFC 的面积是 。
E5如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为2cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?6 如图，长方体的高为3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5AB7、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
第三章 勾股定理专题10 勾股定理有关的计算知识解读勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理几种表达式：在ABC Rt ∆中，90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b .c ，则222b a c +=，222b c a -=,222a c b -=；22b a c +=，22b c a -=，22a c b -=.勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系。
应用勾股定理的时候，一定要弄清哪条边是直角边，哪条边是斜边.培优学案典例示范一、已知直角三角形的两边关系，常考虑运用方程思想 例1直角三角形的两直角边长的比是4:3，斜边长是25，则它的两直角边长分别是 . 【提示】可设直角三角形的两直角边长分别为x 3和x 4，然后根据勾股定理列出关于x 的方程。
【技巧点评】根据两边关系设未知数，根据勾股定理，列方程求未知数的值，是解决此类问题常用的方法。
跟踪训练1.在ABC Rt ∆中，90=∠C ，30=∠A ，6=b ，则c = ，a = . 二、没有提供图形的几何题，要留意可能出现多解例2在ABC ∆中，13=AB ，15=AC ，BC 边上的高12=AD ，求BC 的长.【提示】本题已知条件的三条线段AB ，AC 和AD ，都是从点A 出发的，需要分两种情况讨论。
【解答】【技巧点评】几何题目如果没有明确图形形状的时候，一般这个图形形状会出现几种情况，解题时需要仔细分析题意，找出所有可能的情况。
跟踪训练2. 已知一个直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边长为 .三、等腰三角形底边上的高例3 如图3-10-1，在ABC ∆中，10==AC AB ，8=BC ，AD 是BC 边上的中线，求AD 的长. 【提示】由于AD 是BC 边上的中线，可知BC AD ⊥，于是由10==AC AB ，8=BC ，利用勾股定理即求.【解答】图3-10-1等腰三角形底边上的高和底边上的中线是同一条线段，根据这一性质，可运用勾股定理求得等腰三角形底边上的高。
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。
它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。
本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。
一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。
”这就是我们通常所说的勾股定理。
勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。
几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。
代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。
1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。
2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。
3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。
四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。
1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。
2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。
对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。
3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。
勾股定理相关内容
勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的数学表达式为：a² +
b² = c²，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，他最初是利用勾股定理来解决土地测量问题的。
勾股定理在数学和几何学中有着广泛的应用。
勾股定理可以解决以下类型的问题：
1. 已知两条直角边的长度，求斜边的长度；
2. 已知一条直角边和斜边的长度，求另一条直角边的长度；
3. 给定一个直角三角形，求它的内角的度数。
勾股定理的应用不仅限于直角三角形，还可以推广到非直角三角形、多边形等图形中。
在解决问题时，可以利用勾股定理或其推广形式来求解边长、角度、面积等相关数值。
另外，勾股定理还与平方数有着关联。
根据勾股定理的数学表达式，如果a、b、c都是整数，并且满足a²+ b²= c²，那么a、b、c构成一个勾股数。
例如，3、4、5就是一个勾股数，因为
3² + 4² = 5²。
总之，勾股定理是解决直角三角形问题的重要工具，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
勾股定理有关的历史故事说到勾股定理，这可是数学里的老古董了。
记得小时候，老师在课堂上讲，古代中国的数学家们老早就发现了这个定理，还给它起了个名字叫“勾股定理”，听着就很有文化味。
据说，这个定理最早是商高告诉周公的，他俩的对话被记载在《周髀算经》里。
商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五。
”意思就是，如果直角三角形的两条直角边一个是3，另一个是4，那斜边就是5。
这可是公元前的事儿，比那个叫毕达哥拉斯的古希腊人早了不知道多少年。
后来，三国时期的赵爽对这个定理做了详细的注释，还用“勾股圆方图”给出了证明。
再后来，刘徽也用“出入相补法”证明了这个定理。
但你知道吗？这个定理不光在中国，古巴比伦人、古埃及人、古印度人也都发现了它。
据说，毕达哥拉斯发现这个定理的时候，他的学派还杀了一百头牛来庆祝，这个定理也被人叫做“百牛定理”。
不过，这帮人不是吃素的吗？感觉有点扯。
这个定理不光是数学课本上的一个知识点，它在实际生活里也有大用处。
比如，建房子、造桥、搞工程什么的，都得用到它。
而且，它还告诉我们，有时候，数和形是分不开的，就像油条和豆浆，绝配！现在，勾股定理的证明方法已经有好几百种了，每个人都能找出自己的方式来证明它。
不过，对我来说，还是赵爽和刘徽的方法最直观，也最接地气。
毕竟，咱们中国人的老祖宗就是厉害，早早就把这定理给整明白了。
勾股定理不光是数学上的一个里程碑，它还告诉我们一个道理：很多事情，从不同的角度去看，可能会有意想不到的发现。
就像这个定理，不同的文明古国，不同的人，都从自己的角度发现了它，但最后，大家都走到了同一条路上。
这大概就是数学的魅力吧，简单，却又深不可测。
杨氏定理勾股定理
杨氏定理，又称勾股定理，是欧几里得几何中的一个基本定理。
它描述了直角三角形三边之间的关系：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体来说，设直角三角形ABC中，∠C为直角，AB、BC分别为直角边，AC为斜边，那么根据勾股定理，我们有：
AB² + BC² = AC²
这里的“²”表示平方，也就是说AB的长度乘以它自己（AB×AB）加上BC的长度乘以它自己（BC×BC）等于AC的长度乘以它自己（AC×AC）。
勾股定理不仅适用于直角三角形，而且是直角三角形的定义性质之一。
如果一个三角形满足上述等式，则该三角形必定是一个直角三角形，其中角C是直角。
勾股定理在数学的许多分支中都有应用，包括代数、几何、三角学和数论等。
它也是实际生活中测量和工程计算的基础，例如在建筑、导航和物理学中。
此外，勾股定理也是数学教育中的一个重要组成部分，通常是学生学习几何的第一个定理之一。
勾股定理百科名片勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。
数学公式中常写作a²+b²=c²目录概述内容勾股数组推广勾股定理定理勾股定理的来源毕达哥拉斯树常见的勾股数勾、股、弦的比例最早的勾股定理应用《周髀算经》中勾股定理的公式与证明伽菲尔德证明勾股定理的故事勾股定理的多种证明方法证法1证法2证法3证法4证法5(欧几里得的证法)证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）证法七（赵爽弦图）证法8（达芬奇的证法）习题及答案概述内容勾股数组推广勾股定理定理勾股定理的来源毕达哥拉斯树常见的勾股数勾、股、弦的比例最早的勾股定理应用《周髀算经》中勾股定理的公式与证明伽菲尔德证明勾股定理的故事勾股定理的多种证明方法证法1证法2证法3证法4证法5(欧几里得的证法)证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）证法七（赵爽弦图）证法8（达芬奇的证法）习题及答案展开编辑本段概述内容勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。
目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。
勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。
据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a^2＋b^2＝c^2勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。
我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。
”它被记录在了《九章算术》中。
勾股数组满足勾股定理方程a^2＋b^2＝c^2;的正整勾股定理数组(a,b,c)。
例如(3,4,5)就是一组勾股数组。
由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。
勾股数组的通式：a=M^2-N^2b=2MNc=M^2+N^2(M>N,M,N为正整数）推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。
即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。
2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。
编辑本段勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么A^2+B^2=C^2;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。
古埃及人用这样的方法画直角如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：AB=根号（AC²+BC²），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。
（称勾股定理的逆定理）勾股定理的来源毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
毕达哥拉斯在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
常用勾股数组(3, 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 12 ,13);(8, 15, 17) ;(7,24,25)有关勾股定理书籍《数学原理》人民教育出版社《探究勾股定理》同济大学出版社《优因培教数学》北京大学出版社《勾股书籍》新世纪出版社《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社《几何原本》（原著：欧几里得）人民日报出版社毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。
又因为重复数次后毕达哥拉斯树的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。
直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。
两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。
利用不等式A²+B²≥2AB可以证明下面的结论：三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。
常见的勾股数顺序：勾，股，弦3，4，56，8，105，12，137，24，258，15，179，40，41勾、股、弦的比例1：√3：2编辑本段最早的勾股定理应用从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。
例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。
问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米∵a=√[l^2-（l-h)^2]=√[5^2-(5-1)^2]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。
编辑本段《周髀算经》中勾股定理的公式与证明《周髀算经》算经十书之一。
约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。
唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。
首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2] ——昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。
故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五，是谓积矩。
故禹之所以治天下者，此数之所生也。
”周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。
于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。
《周髀算经》证明步骤“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。
”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。
“故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。
”：开始做图——选择一个勾三（圆周率三）、股四（四方）的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。
“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。
“两矩共长③二十有五，是谓积矩。
”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。
因三角形为长方形面积的一半，可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积，所以勾方+股方=弦方。
注意：①矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。
古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。
②“既方之，外半其一矩”此句有争议。
清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。
经陈良佐[3]、李国伟[4]、李继闵[5]、曲安京[1]等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。
③长指的是面积。
古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。
赵爽注称:“两矩者, 句股各自乘之实。
共长者, 并实之数。
由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。
所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。
其实不然，摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》[2]——“句股各自乘, 并之为弦实, 开方除之即弦。
案：弦图又可以句股相乘为朱实二, 倍之为朱实四, 以句股之差自相乘为中黄实, 加差实亦成弦实。
”赵爽弦图注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。
下为赵爽证明——青朱出入图三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。
以盈补虚，将朱方、青方并成弦方。
依其面积关系有A^2+B^2=C^2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。
以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。
以盈补虚，只要把图中朱方（A2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（C……2 ）．由此便可证得A^2+B^2=C^2编辑本段伽菲尔德证明勾股定理的故事1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。
由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。
”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。
他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
如下:解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的的正方形面积。
