线性代数1-4

第十五次课 正定矩阵

一、］授课内容

正定矩阵的概念及其判定定理

习题选讲

二、授课过程及说明

１．阵的定义

首先给出正定二次型定义，再根据正定二次型定义给出正定矩阵的定义。

定义６：n个变数的二次型()TqxxAx，若对任意的nxR

(1) 若()0()0qxqx，且，当且仅当x=0，则称()qx为正定二次型；

(2) 若()0nqxvR，但至少有一非零向量，使()0qv，则称()qx为正半定二次型；

由定义６，当(())qx为正定或正半定时，就分别称()qx为正定或正半定二次型；若()qx既能取正值有能取负值，则称()qx为不定二次型；

例１９ 用定义判别二次型的正定性

(1) 222123()23qxxxx

(2) 221122()2qxxxxx

(3) 121323()qxxxxxxx

定义７：对给定的n阶实对称矩阵A，若对应的二次型()qx是正定、正半定、负定，负半定时，就称A是正定、正半定、负定，负半定矩阵，分别记为0,0,0,0AAAA。

说明：由定义及例１９，对二次型标准形和对角矩阵，讨论正定或负定可分别根据二次型标准型的系数和对角线元，较为简单。

对一般二次型和实对称矩阵，可有如下判别定理

定理８：n阶实对称阵A或n个变数的二次型()TqxxAx为正定的充分必要条件是n。

推论１ n阶实对称阵A或n个变数的二次型()TqxxAx为正定的充分必要条件是矩阵A具有n个正的特征值。

推论２ 对称正定矩阵A的行列式必取正值。

定理１０：n阶实对称阵A或n个变数的二次型()TqxxAx为正定的充分必要条件是矩阵A的各阶前主子式都大于零，即120,0,.0nDDD，其中iD为A的i阶前主子式。

推论 n阶实对称阵A或n个变数的二次型()TqxxAx为负定的充分必要条件是

[](1)det0,(1)0kkkkAD即

行列式按行（列）展开

一、填空题

1.若三阶行列式D的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8，x，19，则x = .

2.行列式cbdcabcba，则312111AAA= .

二、解答题

1.计算下列行列式．

(1)4444333322225432154321543215432111111； (2)00000000xyyxyxxy；

(3)2000012000000130012000101；

2.设4322321143113151D，计算44434241AAAA的值.

其中)4,3,2,1(4jAj是D 的代数余子式.

第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1)381141102

解 381141102

2(4)30(1)(1)118

0132(1)81(4)(1)

2481644

(3)222111cbacba

解 222111cbacba

bc2ca2ab2ac2ba2cb2

(ab)(bc)(ca)

4 计算下列各行列式

(1)71100251020214214

解

71100251020214214010014231020211021473234cccc34)1(143102211014

14310221101401417172001099323211cccc

(2)2605232112131412 解

2605232112131412260503212213041224cc041203212213041224rr

0000003212213041214rr

(3)efcfbfdecdbdaeacab

解 efcfbfdecdbdaeacabecbecbecbadf

abcdefadfbce4111111111

(4)dcba100110011001

解

dcba100110011001dcbaabarr10011001101021

[试题分类]：线性代数

1．排列13546287的逆序数为：____

A．8

B．6

C．10

D．9

答案：B

题型：单选题

知识点： 1.3 行列式的定义

难度：1

2．设208A=315297，则代数余子式11A=____

A．-28

B．28

C．0

D．-11

答案：A

题型：单选题

知识点： 1.6 行列式的运算

难度：1

3.4阶行列式410200203D=30400401的值为 则必有：____

A. 20

B. -20

C. 10

D. -10 答案：A

题型：单选题

知识点：3.1矩阵的运算

难度：1

4．设矩阵1,1,1AB=1，则AB

A.0

B.1-1，

C.1-1

D.11-1-1

答案：D

题型：单选题

知识点：3.1 矩阵的运算

难度：1

5.设222123112132233(,,)642fxxxxxxxxxxxtx若其秩为2，则t的值为:____

A . 1

B. 78

C. 4

D.-3

答案：B

题型：单选题

知识点：5.1 二次型及其矩阵表示

难度：2

6设向量1212____===（5,1,2），（3,2，-1），则

答案：（8,3,1）

题型:填空题

知识点：2.4 n维向量空间

难度：1

7．实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是______

答案：正交的

题型：填空题

知识点：4.3 矩阵可对角化的条件 难度：1

8. 设方程组121220=20有非零解，则kxxxkx_____

答案：4

题型：填空题

知识点：2.7 线性方程组有解判别定理与解的结构

难度：2

9．矩阵120A=011，则TA=____

答案：102-101

题型：填空题

知识点： 3.1 矩阵的运算

难度：1

10．将向量=0,12,2，单位化，得：______