【典型题】高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(含答案)
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【典型题】高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(含答案)
一、选择题
1．已知a，b是两条异面直线，且ab，直线c与直线a成30角，则c与b所成的角的大小范围是( )
A．60,90 B．30,90 C．30,60 D．45,90
2．中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥PABC为鳖臑，PA⊥平面,2,4ABCPAABAC，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．8π B．12π C．20π D．24π
3．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）
A．3 B．23 C．43 D．12
4．已知三棱锥SABC的每个顶点都在球O的表面上，ABC是边长为43的等边三角形，SA平面ABC，且SB与平面ABC所成的角为6，则球O的表面积为（ ）
A．20 B．40 C．80 D．160
5．从点(,3)Pm向圆22(2)(2)1xy引切线，则切线长的最小值( )
A．26 B．5 C．26 D．42
6．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A．814 B．16 C．9 D．274
7．已知AB是圆22620xyxy内过点(2,1)E的最短弦，则||AB等于（ ）
A．3 B．22 C．23 D．25
8．若方程21424xkxk 有两个相异的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．13,34 B．13,34 C．53,124 D．53,124
9．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．
A．130 B．140 C．150 D．160 10．如图，在正方体1111ABCDABCD中，M，N分别是1BC，1CD的中点，则下列说法错误．．的是( )
A．MN与1CC垂直 B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行 D．MN与11AB平行
11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm）是（ ）
A．43 B．1033 C．23 D．833
12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A．64 B．643 C．16 D．163
二、填空题
13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________． 14．如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1
O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则12VV 的值是_____
15．已知三棱锥PABC中，侧面PAC底面ABC，90BAC，4ABAC，23PAPC，则三棱锥PABC外接球的半径为______.
16．若直线yxb与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是______．
17．直线10axy与连接A（4，5），B（-1，2）的线段相交，则a的取值范围是___．
18．如图所示，二面角l为60,,AB是棱l上的两点，,ACBD分别在半平面内,，且ACl，，4,6,8ABACBD，则CD的长______．
19．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，AB=3，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是________.
20．已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点．如果2ABAC，22BC，则球心到平面ABC的距离为__________．
三、解答题
21．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且1AE,2AB.
(Ⅰ)求证：AB平面ADE；
(Ⅱ)求凸多面体ABCDE的体积.
22．已知ABC的三个顶点,Amn、2,1B、2,3C.
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD的方程为2360xy，且7ABCS，求点A的坐标.
23．如图，ABCD是正方形，O是该正方体的中心，P是平面ABCD外一点，PO平面ABCD，E是PC的中点.
（1）求证：//PA平面BDE；
（2）求证：BD平面PAC.
24．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，//ABCD，90BCD，22ABADDC.PAD△ 为正三角形，二面角P-AD-C的大小为23.
（1）线段AD的中点为M.求证：平面PMB平面ABCD；
（2）求直线BA与平面PAD所成角的正弦值.
25．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，45AEF．
（1）设线段CDAE、的中点分别为PM、，求证：//PM平面BCE；
（2）求二面角FBDA所成角的正弦值．
26．如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，1ADDCBC，60ABC，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，1CF.
(1)证明：BC⊥平面ACFE；
(2)设点M在线段EF上运动，平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，求cos的取值范围.
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a垂直的直线b的平行线，与直线c平行线的夹角.
【详解】
在直线a上任取一点O，过O做//cc，则,ac确定一平面，
过O点做直线b的平行线b，所有平行线b在过O与直线a垂直的平面内，
若存在平行线1b不在内，则1b与b相交又确定不同于的平面，
这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b都在平面内，
且,l，在直线c上任取不同于O的一点P，
做PPl于P，则PP，POP为是c与所成的角为60，
若bl，则,bbc，若b不垂直l且不与l重合，
过P做PAb，垂足为A，连PA，则b平面PPA，
所以bPA，即1,cos2OAOPOAPAAOPOPOP，
60AOP，综上b与c所成角的范围为[60,90]，
所以直线b与c所成角的范围为60,90.
故选：A.
【点睛】
本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
先作出三棱锥PABC的图像，根据PABC四个面都为直角三角形和PA⊥平面ABC，可知PC中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24SR计算即得.
【详解】
三棱锥PABC如图所示，由于PABC四个面都为直角三角形，则ABC是直角三角形，且2ABC，2223BCACAB，又PA⊥平面ABC，且PAC是直角三角形，球O的直径2222PCRPAABBC2025，5R，则球O的表面积2420SR.
故选：C
【点睛】
本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】 由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论
【详解】
由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，
底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，
与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，
故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为23，半径为3
三棱锥的外接球体积为343433
故选C
【点睛】
本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据线面夹角得到4SA，计算ABC的外接圆半径为42sinarA，2222SARr，解得答案.
【详解】
SA平面ABC，则SB与平面ABC所成的角为6SBA，故4SA.
ABC的外接圆半径为42sinarA，设球O的半径为R，
则2222SARr，解得25R，故球O的表面积为2480R.
故选：C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
设切线长为d,则2222(2)51(2)24dmm再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】
设切线长为d,则2222(2)51(2)24dmm, min26d.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高1PO上，
记为O，PO=AO=R，14PO，1OO=4-R，
在Rt△1AOO中，12AO，
由勾股定理2224RR得94R，
∴球的表面积814S，故选A.
考点：球的体积和表面积
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．
【详解】
圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝10，则圆心坐标为C（3，﹣1），半径为 10，
过E的最短弦满足E恰好为C在弦上垂足，则CE22(32)[11]5（），
则|AB|222(10)(5)25，
故选D．
【点睛】
