笔算开方法——精选推荐
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笔算开⽅法
笔算开⽅
笔算开平⽅法，⽤这个⽅法可以求出任何正数的算术平⽅根。
（并⾮是近似值，⽽是精确值）
原理：
⽅法可简记为——⼆⼗倍初商加试商
预备：
下⾯具体来讲⼀下计算步骤：
1. 以⼩数点为起点，将被开⽅数的整数部分和⼩数部分分别以2位为⼀组分隔（整数从右往左分，⼩数从左往
右分，不⾜则⽤0补齐），分成n段，则表明所求平⽅根是n位数
2. 确定平⽅根的第⼀位：最⼤平⽅数。在不超过第⼀组数中取最⼤数x(1..9)，将x作为除数和第⼀组的商，求
出开⽅余项（第⼀组余数+第⼆组）
3. 再求平⽅根第⼆位：假设第⼆位为a，取算式估计出a的最⼤值（此为试商），使得结果不⼤于开⽅余项。
新的除数与新商得出乘积，算出新的余数
4. 把下⼀组数补齐到新余数后，重复步骤3
5. ⼩数点对齐，运算⾄所需精度
这样讲述显得苍⽩⽆⼒（有⼀个⼤概印象即可），我们直接看例⼦：
例如对105625进⾏开⽅：
⾸先对105625进⾏分段，从右往左每两位数字分为1段，也就是10，56，25三段数字。先算出平⽅根的第⼀位数字，
在平⽅不超过10的数字⾥取最⼤的，⽐如1的平⽅为1，2的平⽅为4，3的平⽅为9，4的平⽅为16，16已经超过10
了，1，2，3的平⽅都⽐10⼩，那平⽅根⾸位数字取3，因为 1，2，3当中3最⼤10-3的平⽅=1，将被开⽅数第⼆段数字补上去，得到156。现在算平⽅根第⼆位数字。假设这第⼆位数字为a，取算式
a*(20*3+a)，式⼦中20是⼀个固定不变的数（不论被开⽅数是多少）3就是刚刚计算出的平⽅根的⾸位数字。对a的值
进⾏估计，使得 a*(20*3+a)不超过156。取a=1，a(20*3+a)=61,a=2时a(20*3+a)=124，a=3时 a*(20*3+a)=189，189
已经超过156，所以a在1，2之间取值取最⼤的⼀个数，也就是2，平⽅根的第⼆位数字就是2了a(20*3+a)=124，62 乘以平⽅根第⼆位数字，也就是62*2=124，156-124=32，将被开⽅数第三段数字补上去，得到
3225，与前⾯类似，取算式 b(20*32+b)，式⼦中20还是固定不变的数字，32是刚刚算出的平⽅根的前两位数字，对b
取值，使得b(20*32+b)不超过3225，由计算 可知b=5，平⽅根第三位数字即为5
如果平⽅根还有第四位数字，或者更多，假设325后⾯还有第四位数字，算第四位数字时取算式 a(20*325+a)，式⼦
中的325即是已经算出的平⽅根的⼏位数字，后⾯算法都跟前⾯类似。对于被开⽅数是⼩数，分段时要注意，⽐如计
算1.323 的平⽅根，它的⼩数位有3位，位数是奇数个，要补⼀个0上去，即1.3230，然后从左往右每两位数字分为⼀
段。⽐如开⽅数是3.7478，⼩数位有4位数字，是偶数个位数，不⽤补0，可以直接分段，⼩数和整数的开⽅计算⽅法
是⼀样的。
练习：
上述笔算开⽅⽅法是我们⼤多数⼈上学时课本附录给出的⽅法，实际中运算中太⿇烦了。我们可以采取下⾯办法，实
际计算中不怕某⼀步算错⽽上⾯⽅法就不⾏。
⽐如136161这个数字，⾸先我们找到⼀个和136161的平⽅根⽐较接近的数，任选⼀个，⽐⽅说300到400间的任何⼀
个数，这⾥选350，作为代表。 我们计算0.5*(350+136161/350)得到369.5
然后我们再计算0.5*(369.5+136161/369.5)得到369.0003，我们发现369.5和369.0003相差⽆⼏，并且，369^2末尾
数字为1。我们有理由断定369^2=136161 ⼀般来说能够开⽅开的尽的，⽤上述⽅法算⼀两次基本结果就出来了。再
举个例⼦：计算469225的平⽅根。⾸先我们发现600^2<469225<700^2,我们可以挑选650作为第⼀次计算的数。即
算 0.5*(650+469225/650)得到685.9。⽽685附近只有685^2末尾数字是5，因此685^2=469225
对于那些开⽅开不尽的数，⽤这种⽅法算两三次精度就很可观了，⼀般达到⼩数点后好⼏位。
实际中这种算法也是计算机⽤于开⽅的算法
