重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
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重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若向量，，满足，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由，可得，从而可得结果.
详解：，，，
，
解得，故选B.
点睛：本题考查向量垂直的坐标表示，属于简单题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
2. 已知为等差数列中的前项和，，，则数列的公差（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由，可得,解方程组即可的结果.
详解：由等差数列中的前项和，，，
得，
解得，故选B.
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.
3. 中，分别是角所对应的边，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：直接利用正弦定理求解即可.
详解： ，，，
由正弦定理可得，，故选B,
点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于简单题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
4. 已知实数满足且，下列选项中不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以．
对于A，因为，所以；
对于B，因为，所以，又，所以；
对于D，因为，所以，又，所以；
对于C，因为且，所以或，因此与的大小不能确定，即不一定成立．故选C．
5. 已知函数在处取得极值，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：求出，利用可得结果.
详解：由题意知函数的定义域为，
由可得，
函数在处取得极值，，
，经检验时函数在处取得极大值，故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于简单题.已知函数的极值求参数的一般步骤是：（1）列方程求参数；（2）检验方程的解的两边导函数符号是否相反.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 若与共线，则或者
B. 若，则
C. 若中，点满足，则点为中点
D. 若，为单位向量，则
【答案】C
【解析】分析：由与共线可得，错误；由与可以同垂直于可得错误；由向量加法法则可得正确；由单位向量方向不确定得错误.
详解：由与共线得，故“若与共线，则或者”不正确，错误；
由与可以同垂直于可得“若，则”不正确， 错误；
由平面向量加法法则可得“若中，点满足，则点为中点”正确，正确.
由单位向量的方向不确定得“若，为单位向量，则”不正确，错误，故选C.
点睛：本题主要考查平面向量的基本概念与基本运算，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.
7. 若是整数，则称点为整点，对于实数，约束条件所表示的平面区域内整点个数为（ ）个
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：画出可行域，根据可行域列举出整点，从而可得结果.
详解：
画出所表示的可行域，
如图中的，
由图可知，在可行域内的整点有
共有个，故选C.
点睛：本题考查线性规划问题，以及新定义问题，属于中档题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，使问题得以解决.
8. 已知各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：利用等比数列的性质，结合基本不等式可得结果.
详解：等比数列 与的等比中项为，，
等比数列各项均为正数，
，
当且仅当时，取等号，
的最小值是，故选C.
点睛：本题主要考查等比数列的性质的应用，属于简单题.等比数列最主要的性质是下标性质，解答比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则.
9. 若直线（，）平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：利用直线始终平分圆的周长，可得圆的圆心在直线上，再利用“”的代换，结合基本不等式，即可求出最小值.
详解：因为利用直线
始终平分圆的周长，
所以，圆的圆心在直线上，
，，
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，故选A.
点睛：本题主要考查圆的方程与性质，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
10. 在中，若，则是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】由得，则
，即，所以，则，即，又是的内角，所以，则，即，所以是等腰三角形。故选A。
11. 数列中，，（），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由，可得是公比为的等比数列，由等比数列的性质可得
为公比是等比数列，利用等比数列求和公式可得结果.
详解： ，
是公比为的等比数列，
为公比是等比数列，
首项，
，故选D.
点睛：本题考查主要考查等比数列的定义、性质以及等比数列的通项公式与求和公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
12. 已知有且仅有两个零点，那么实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：有且仅有两个零点等价于有两个非零零点，利用单调性结合函数图象可得结果.
详解：有两个零点，
有两个非零根，
设，
则有两个非零零点，
，
由选项可知，，
在上递增，在上递减，
有两个非零零点，得，故选D.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点或；两个零点或；三个零点且.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若满足约束条件，则的最小值为__________．
【答案】.
【解析】分析：画出可行域，将变形为，平移直线由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，最小，从而可得结果.
详解：
由满足约束条件，作出可行域如图，
联立，解得，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最大，最小值为，故答案为.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14. 圆与圆相外切，则半径的值为__________．
【答案】4.
【解析】分析：利用两圆心距等于两圆半径之和，列方程求解即可.
详解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距为，
两圆外切，，解得，故答案为.
点睛：本题主要考查圆与圆的位置关系，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.
15. 是正三角形，，点为的重心，点满足，则__________．
【答案】.
【解析】分析：以为轴，的中垂线为轴建立坐标系，可得，利用平面向量数量积公式可得结果.
详解：以为轴，的中垂线为轴建立坐标系，
因为，点为的重心，点满足，
所以，
，
，故答案为.
点睛：本题考查向量的坐标运算以及平面向量数量积公式，属于中档题.
平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
16. 已知圆，直线，如果圆上总存在点，它关于直线的对称点在轴上，则的取
值范围是__________．
【答案】.
【解析】分析：设圆上一点关于的对称点在轴上为，则，消去化为，利用辅助角公式结合三角函数的有界性列不等式求解即可.
详解：圆方程化为，
设圆上一点关于的对称点在轴上为，
则，
消去化为，
设，
，
得，即，
，，
，
的取值范围是，故答案为.
点睛：本题主要考查圆的标准方程与参数方程的应用，辅助角公式以及点关于直线对称问题，属于难题. 本题主要考查解析几何中的轴对称问题，属于中档题. 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数
（1）求函数在处切线方程；
（2）求函数的最大值和最小值．
