无限循环小数化分数的方法

无限循环小数化为分数的方法

无限循环小数化为分数的方法如下：

一、等比数列法

无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。

例如：0.333333……

循环节为3

则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……

前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)

当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0

因此0.3333……=0.3/0.9=1/3

注意：m^n的意义为m的n次方。

再如：0.999999.......

循环节为9

则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……

前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)

当n趋向无穷时（0.1）^n=0

因此：0.99999.....=0.9/0.9=1

二、解方程法

无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数

纯小数纯循环小数

例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得： 10x-x=1.1111……-0.1111……

9x=1

X=1/9

例：0.999999.......=1

设x=0.9999999......

10x-x=9.999999.....-0.999999.....

9x=9

x=1

关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。

例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：

解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，

即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，

将（2式）中的无限循环小数0.26(··)更换为X得：100x=26+X，

100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99

无限循环小数如何化为分数

无限循环小数如何化为分数

由于小数部分位数是无限的,所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数.转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴"就剪掉了。

方法一：（代数法）

类型1：纯循环小数如何化为分数

例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数

例1： 0。33……×10＝3.33……

0。33……×10－0。33……=3。33……－0。33……

（10-1） ×0。33……=3

即9×0。33……=3

那么0.33……=3/9=1/3

例2：0.4747……×100＝47.4747……

0.4747……×100－0.4747……＝47。4747……－0。4747……

（100－1)×0.4747……=47

即99×0.4747……=47

那么 0.4747……=47/9

由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数:纯循环小数的循环节最少位数是几,分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

练习： 无限循环小数如何化为分数

（1)0.3……=3/(10-1)＝1/3

（2）0.31 31……=31/（100—1）＝31/99。

（3）0。312 312……=

类型2:混循环小数如何化为分数

例题:把0.4777……和0。325656……化成分数

例3： 0。4777……×10=4。777……①

0。4777……×100=47.77……②

用②－①即得:

0.4777……×90=47－4

所以：0.4777……=43/90

例4： 0.325656……×100=32.5656……①

把无限循环小数化成分数的方法

如何将无限循环小数化成分数

无限循环小数是指小数部分存在一个或多个重复的数字组合，无限重复下去的小数。例如，0.3333...就是一个无限循环小数，因为小数部分的3无限重复下去。

将无限循环小数化成分数是一种常见的数学运算，可以使得无限循环小数变成一个有限的数值。下面将介绍几种方法来实现这个转换。

方法一：设x为无限循环小数，将x乘以一个适当的倍数，使得小数点后的循环部分移到整数部分，然后用等式表示这个乘法，解方程求解x的值。

例如，将0.3333...乘以10，得到3.3333...。然后用等式表示这个乘法：10x = 3.3333...。接着，将等式两边减去原来的等式，得到9x = 3。解这个方程，得到x = 1/3。

方法二：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。解这个方程，得到x = y/(10^n - 1)。

例如，将0.3333...的循环部分移到整数部分后，得到3。然后用等式表示这个移位操作：0.3333... = 3 + 1/10^1。接着，将等式两边乘以10，得到10*0.3333... = 10*3 + 1。再将等式两边减去原来的等式，得到9*0.3333... = 3。解这个方程，得到0.3333... = 3/9 =

1/3。

方法三：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。解这个方程，得到x = y/(10^n - 1)。

- 1 - 把循环小数化成分数的方法

循环小数是指小数部分有无限循环的数字。例如，0.3333...就是一个循环小数，因为小数部分永远都是3无限循环。循环小数有时候会给我们带来麻烦，特别是在数学中。但是，将循环小数转换成分数是一个简单而有效的方法，可以让我们更方便地进行计算和理解。

本文将介绍如何将循环小数转换成分数的方法，包括使用长除法和使用公式的两种方法。这些方法都是非常简单易懂的，无需高深的数学知识，只需要一些基本的算术技巧和耐心。

使用长除法转换循环小数成分数

长除法是一种基本的算术技巧，可以帮助我们将循环小数转换成分数。下面是一个例子，演示了如何使用长除法将循环小数转换成分数：

例如，将0.6666...转换成分数。首先，让分数x等于0.6666...，然后将x乘以10，这样小数点右移一位，得到6.6666...。接下来，将6.6666...减去0.6666...，得到6。然后将6除以10，得到0.6。现在，让分数x等于0.6。将x乘以10，得到6，将6减去0.6，得到5.4。将5.4除以10，得到0.54。现在，让分数x等于0.54，将x乘以10，得到5.4，将5.4减去0.54，得到4.86。将4.86除以10，得到0.486。现在，让分数x等于0.486，将x乘以10，得到4.86，将4.86减去0.486，得到4.374。将4.374除以10，得到0.4374。以此类推，我们可以一直进行下去，直到我们得到一个分数为止。

在这个例子中，我们不断地将x乘以10，然后从中减去之前的 - 2 - 结果，直到得到一个不再循环的小数。这个不再循环的小数就是我们想要的分数。在这个例子中，我们得到的分数是2/3。

使用公式转换循环小数成分数

除了长除法外，我们还可以使用公式来将循环小数转换成分数。这个公式是：

x = a + b/(c-1)