固体物理-第三章

第三章第三章 晶格振动与晶体热学性质

思 考 题

1. 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 其最大振幅是否相同? [解答]

以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子,

设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由本教科书的(3.16)可得两原子振幅之比

iqaem

AB

−+−+=

21221

(1) 其中m 原子的质量. 由本教科书的(3.20)和(3.21)两式可得声学波和光学波的频率分别为







+−−+=2/12221212122sin)(411)(qa

mA

, (2)







+−++=2/12221212122sin)(411)(qa

mO

. (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为

iqaeqa

AB

−+

+−+

=

212/1222121212sin)(41)(



, (4)

iqaeqa

AB

−+

+−+−

=

212/1222121212sin)(41)(



. (5) 由于

)cos-(12)()sin()cos(212212222121qaqaqaeiqa−+=++=+−

=2/1222121212sin)(41)(

+−+qa



，

则由(4)(5)两式可得

, 1=AB

. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常

数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.

2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么? [解答]

(1) (1) 方便于求解原子运动方程.

由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与

相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了

1 第一章 晶体结构和X射线

1、试证体心立方和面心立方各自互为正、倒格子

2、如果基矢a,b,c构成正交关系，证明晶面族（h k l）的面间距满足：

222)()()(1clbkahdhkl

3、证明以下结构晶面族的面间距：

（1） 立方晶系：dhkl=a[h2+k2+l2]-1/2

（2） 六角晶系：2/12222])()(34[clahkkhdhkl

4、等体积的硬球堆积成体心立方结构和面心立方结构，试求他们在这两种结构中的致密度分别为0.68和0.74。

5、试证密积六方结构中，c/a=1.633。

6、在立方晶胞中，画出（1 0 1），（0 2 1），（221）和（012）晶面。

7、如下图，B和C是面心立方晶胞上的两面心。

（1） 求ABC面的密勒指数；

（2） 求AC晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。

2 8、六角晶胞的基矢为

.,223,223kccjaiabjaiaa 求其倒格子基矢。

9、求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族（h1 h2 h3）之间的面间距（指导p30,10）。

10、讨论六角密积结构，X光衍射的消光条件。

11、求出体心立方、面心立方的几何因子和消光条件。

12、原胞和晶胞的区别？

13、倒空间的物理意义？

14、布拉格衍射方程，原子和几何结构因子在确定晶格结构上分别起何作用？

15、什么是布拉格简单格子，什么是复式格子？

第二章 自由电子气

1、设有一个长度为L的一维金属线，它有N个导电电子，若把这些导电电子看成自由电子气，试求：

（1） 电子的状态密度

（2） 绝对零度下的电子费米能级，以及费米能级随温度的变化关系。

（3） 电子的平均能量。

（4） 电子的比热。

2、二维电子气的能态密度2)(mEN，证明费米能

]1ln[/2TmknBFbeTkE

3、求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能以及一个电子对于比热的贡献。

第三章 晶体振动和晶体的热学性质

1第三章 晶体振动和晶体的热学性质

3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？

解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）

以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子

的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比

(1)

其中m 原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别

为

, (2)

. (3)

将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为 , (4)

. (5)

由于

=，

则由(4)(5)两式可得,1BA=. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数

倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.

3.2 试说明格波和弹性波有何不同？

解答：晶格中各个原子间的振动相互关系 第三章 晶体振动和晶体的热学性质

23.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？

解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2）

（1）方便于求解原子运动方程.

由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的

两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原

子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子

的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的

困难.

（2）与实验结果吻合得较好.

对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N个原子构成

的的原子链,

硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不

符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力

固体物理第三章

班级 成绩

学号Chapter 3 晶格振动与晶体的热学性质

姓名(lattice vibration and its heat characteristics)

⼀、简要回答下列问题(answer the following questions):1、在晶格常数为a 的⼀维单原⼦晶格中，波长λ=8a 和波长λ=8a/5的格波所对应的原⼦

振动状态有⽆不同? 试画图加以说明。

［答］对于⼀维单原⼦链，由q=2π／λ知，λ＝8a 时，q ＝π／4a ，λ＝8a ／5时，q ＝5π

／4a ，⼆者的aq 相差π，不是2π的整数倍，因此，两个格波所对应的原⼦振动状态不同。

如上图，当两个格波的位相差为2π的整数倍时，则它们所对应的原⼦的振动状态相同。 2、什么叫简正振动模式？简正振动数⽬、格波数⽬或格波振动模式数⽬是否是⼀回事？ ［答］在简谐振动下，由N 个原⼦构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独⽴的谐振⼦的

振动，每⼀个谐振⼦的振动模式称为简正振动模式。格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性叠加。

简正振动数⽬、格波数⽬或格波振动模式数⽬是是⼀回事，其数⽬等于晶体中所有原⼦的⾃由度之和，即等于3N 。3、晶体中声⼦数⽬是否守恒？在极低温下，晶体中的声⼦数与温度T 之间有什么样的关

系？

［答］频率为ωi 的格波的平均声⼦数为 ： 11)(/-=

T

k i B e

n ωω

即每⼀个格波的声⼦数都与温度有关，因此晶体中的声⼦数⽬不守恒，它随温度的改变⽽改变。

以德拜模型为例。晶体中的声⼦数⽬为

ωωωωd g n N D

)()('0

=

其中 令 T k x B ω= 则 123'2/0

3

3233

-=

x T

B e dx

x C T k V N D θπ

在极低温度下，θD ／T →∞，于是 33

133233

20

3

3233

)2(23123'T n

C T Vk e dx x C T k V N n B x B ∑

∞=∞

=-=