初三数学反比例函数知识点及经典例题

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反比例函数知识点及经典例题

一、基础知识

1. 定义：一般地，形如xky（k为常数，ok）的函数称为反比例函数。xky还可以写成kxy1

2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.

⑵比例系数0k

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，xky（k为常数，0k）中自变量0x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy或xy）。

⑷反比例函数xky（0k）中比例系数k的几何意义是：过双曲线xky （0k）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。

4．反比例函数性质如下表：

k的取值图像所在象限函数的增减性

ok 一、三象限在每个象限内，y值随x的增大而减小

ok 二、四象限在每个象限内，y值随x的增大而增大

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用

二、例题

【例1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

【例2】在反比例函数xy1的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y 。若3210xxx则下列各式正确的是（）

A．213yyy B．123yyy C．321yyy D．231yyy

【例3】如果一次函数的图像与反比例函数xmnymnmxy30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为

o y x y

x o y

x o

A B C

【例4】如图，在AOBRt中，点A是直线mxy与双曲线xmy在第一象限的交点，且2AOBS，则m的值是_____.

三、练习题

1.反比例函数xy2的图像位于（）

A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限

2.若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（）

A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定

3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为（）

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）

A、不小于54m3 B、小于54m3 C、不小于45m3 D、小于45m3

5．如图，A、C是函数xy1的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB的面积为S1，RtΔCOD的面积为S2则（）

A． S1 ＞S2 B． S1

6．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=1nx的图象都经过点A（-2，1）.

求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；

（3）△AOB的面积．

7. 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝kx的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（12，m）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

Oyx

OCAB

8．某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．

（1）蓄水池的容积是多少？

（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？

（3）写出t与Q的关系式．

（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.

（1）请写出y关于x的函数关系式；（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？

10．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数myx的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；

(2)求△AOB的面积。

四、课后作业

1．对与反比例函数xy2，下列说法不正确的是（）

A．点（1,2）在它的图像上 B．它的图像在第一、三象限 C．当0x时，的增大而增大随xy D．当0x时，的增大而减小随xy

2.已知反比例函数0kykx的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（）

A、（2，1） B、（2，-1） C、（2，4） D、（-1，-2）

3．在同一直角坐标平面内，如果直线xky1与双曲线xky2没有交点，那么1k和2k的关系一定是（）

A. 1k+2k=0 B. 1k·2k<0 C. 1k·2k>0 D.1k=2k

4. 反比例函数y＝kx的图象过点P（－1.5，2），则k＝________．

5. 点P（2m－3，1）在反比例函数y＝1x的图象上，则m＝__________．

6. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________．

7. 已知反比例函数xmy21的图象上两点2211,,,yxByxA，当210xx时，有21yy，则m的取值范围是？

8.已知y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，求：

(1)求y和x之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y的值； (3)y＝-2时，x的值。

9. 已知3b,且反比例函数xby1的图象在每个象限内，y随x的增大而增大,如果点3,a在双曲线上xby1，求a是多少？

初三数学《反比例函数》复习题

1 9（上）第五章反比例函数复习（一）

一、反比例函数的定义

例1 下列函数中是反比例函数的是（）

A y=x+1, B y=x8, C y= —2x, D y=2x2

【说明】本题的四个选项呈现了一次函数、反比例函数、正比例函数（也是一次函数）、二次函数的表达形式，应让学生会识别、区分它们。

本题答案：B

例2 已知函数12yyy，1y与x成正比例，2y与x成反比例，且当1x时，1y；当3x

时，5y．求y关于x的函数关系式．

【说明】由于正比例函数定义式是y=kx,反比例函数定义式是y=xk,两式都使用了字母k,受此影响，学生解答此题时易犯的错误是：设y1=kx、设y2=xk，而本题中的正比例和成反比例的比例系数未必相同，因此应设y1=k1x、设y2=xk2，以示两个比例系数的不同。尽管本题最后结论y关于x的函数关系式是复合函数的形式，但这类型的题目还是比较常见的，有时也会考到这种题型，还是建议在复习中作补充训练。

本题答案：y=2x-x3

二、反比例函数的图像和性质

例3（1）图象经过点（2，-3）的反比例函数是（）

A y= -x6 B y=x6 C y= x23 D y=-x23

(2) 已知反比例函数y=xk的图象经过点（2，3），那么下列在函数的图象上的点是（）

A (4,1) B (21,-1) C (-23，-11) D (-3 ,-21)

【说明】本例是已知图像上一点的坐标，用待定系数法确定反比例函数解析式。

例4（1）已知反比例函数21myx的图象在一，三象限，那么m的

取值范围是______________．

（2）已知反比例函数xm21－＝y的图像上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2是，有y1＜y2．则m的取值范围是（）．Ａ．m＜0， B．m＞0，Ｃ．ｍ＜21，Ｄ．ｍ＞21

初三数学反比例函数试题答案及解析

1. 若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数（k＞0）的图象上，则m n（填“＞”“＜”或“=”号）．【答案】＜．

【解析】∵P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数（k＞0）的图象上，

∴﹣1•m=k，﹣2•n=k．∴m=﹣k，n=．

∵k＞0，∴m＜n．

【考点】1．曲线上点的坐标与方程的关系；2．实数的大小比较．

2. 如图，反比例函数（x＞0）的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k的值为

【答案】20．

【解析】如答图，过D点作x轴的垂线交x轴于H点，

∵△ODH的面积=△OBC的面积=，△OAC的面积为5，∴△OBA的面积=.

∵AD：OD=1：2，∴OD：OA=2：3.

∵DH∥AB，∴△ODH∽△OAB. ∴，即.解得：k=20．

【考点】1.反比例函数系数k的几何意义；2.相似三角形的判定和性质．

3. 已知函数y=的图象如图，以下结论：

①m＜0； ②在每个分支上y随x的增大而增大；

③若点A（﹣1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＜b；

④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上．

其中正确的个数是（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【解析】①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，可得m＜0，故正确；

②在每个分支上y随x的增大而增大，正确；

③若点A（﹣1，a）、点B（2，b）在图象上，由图象可知a>b，所以a＜b错误；

④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上，正确，

故选B．

【考点】1、反比例函数的性质；2、反比例函数图象上点的坐标特征

4. 如图，A、B、C是反比例函数（k＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）

初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析

知识要点梳理

知识点一：反比例函数的应用

在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．

知识点二：反比例函数在应用时的注意事项

1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题．

2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系．

3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．

知识点三：综合性题目的类型

1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等.

2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．

规律方法指导

这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．

经典例题透析

类型一：反比例函数与一次函数相结合

1．（2010四川成都）如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．

（1）试确定这两个函数的表达式；

（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．

思路点拨: 由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．

解析：（1）∵已知反比例函数经过点，

∴，即

∴

∴A(1，2)

∵一次函数的图象经过点A(1，2)，

初中反比例函数讲解及习题

第十七章反比例函数