原子物理学习题及解答

第一章 原子的基本状况

1． 若卢瑟福散射用的粒子是放射性物质镭'C放射的，其动能为67.6810电子伏特。散射物质是原子序数79Z的金箔。试问散射角150所对应的瞄准距离b多大？

解：根据卢瑟福散射公式：

200222442KMvctgbbZeZe

得到：

2192150152212619079(1.6010)3.97104(48.8510)(7.681010)ZectgctgbK米

式中212KMv是粒子的功能。

2． 已知散射角为的粒子与散射核的最短距离为2202121()(1)4sinmZerMv ，试问上题粒子与散射的金原子核之间的最短距离mr多大？

解：将1.1题中各量代入mr的表达式，得：2min202121()(1)4sinZerMv

1929619479(1.6010)1910(1)7.68101.6010sin75

143.0210米

3． 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个e电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？

解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：

220min124pZeMvKr，故有：2min04pZerK 19291361979(1.6010)9101.1410101.6010米

由上式看出：minr与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410米。

4． 钋放射的一种粒子的速度为71.59710米/秒，正面垂直入射于厚度为710米、密度为41.932103/公斤米的金箔。试求所有散射在90的粒子占全部入射粒子数的百分比。已知金的原子量为197。

解：散射角在d之间的粒子数dn与入射到箔上的总粒子数n的比是：

dnNtdn

其中单位体积中的金原子数：0//AuAuNmNA

而散射角大于090的粒子数为：2'dndnnNtd

所以有：2'dnNtdn

222180029030cos122()()4sin2AuNZetdAMu

等式右边的积分：180180909033cossin2221sinsin22dId

故

'22202012()()4AuNdnZetnAMu

64008.5108.510

即速度为71.59710/米秒的粒子在金箔上散射，散射角大于90以上的粒子数大约是4008.510。

5． 粒子散射实验的数据在散射角很小15（）时与理论值差得较远，时什么原因？

答：粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而粒子通过金属箔，经过好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的角，那是多次小角散射合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以，粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。

6． 已知粒子质量比电子质量大7300倍。试利用中性粒子碰撞来证明：粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

证明：设碰撞前、后粒子与电子的速度分别为：',',0,evvv。根据动量守恒定律，得：''evmvMvM

由此得：'''73001eevvMmvv …… (1)

又根据能量守恒定律，得：2'2'2212121emvMvMv

2'2'2evMmvv ……（2）

将（1）式代入（2）式，得：

整理，得：0cos73002)17300()17300('2'2vvvv

00)730017300'2'vvvv（上式可写为：

即粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

7．能量为3.5兆电子伏特的细粒子束射到单位面积上质量为22/1005.1米公斤的银箔上，粒子与银箔表面成60角。在离L=0.12米处放一窗口面积为25100.6米的计数器。测得散射进此窗口的粒子是全部入射粒子的百万分之29。若已知银的原子量为107.9。试求银的核电荷数Z。

解：设靶厚度为't。非垂直入射时引起粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度't，而是60sin/'tt，如图1-1所示。

因为散射到与d之间d立体

角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为：

60º t,

t 20º

60°

图1.1 2'2'2)(7300vvvvdnNtdn (1)

而d为：

2sin)()41(422220dMvzed （2）

把（2）式代入（1）式，得：

2sin)()41(422220dMvzeNtndn……（3）

式中立体角元0'0'220,3/260sin/,/tttLdsd

N为原子密度。'Nt为单位面上的原子数，10')/(/NAmNtAgAg，其中是单位面积式上的质量；Agm是银原子的质量；AgA是银原子的原子量；0N是阿佛加德罗常数。

将各量代入（3）式，得：

2sin)()41(324222200dMvzeANndnAg

由此，得：Z=47

8． 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为1010米的球形原子内，如果有能量为610电子伏特的粒子射向这样一个“原子”，试通过计算论证这样的粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于090的散射。这个结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影响可以忽略）。

解：设粒子和铅原子对心碰撞，则粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有下式决定：

电子伏特焦耳3160221036.21078.34/221RZeMv

由此可见，具有610电子伏特能量的粒子能够很容易的穿过铅原子球。粒子在到达原子表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：3022024/24/2RrZeFRZeF和。可见，原子表面处粒子所受的斥力最大，越靠近原子的中心粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使粒子发生散射最强的垂直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。设粒子擦原子表面而过。此时受力为2024/2RZeF。可以认为粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作用，即作用距离为原子的直径D。并且在作用范围D之内，力的方向始终与入射方向垂直，大小不变。这是一种受力最大的情形。

根据上述分析，力的作用时间为t=D/v, 粒子的动能为KMv221，因此，MKv/2，所以，KMDvDt2//

根据动量定理：000MvppFdtt

而202020204/24/2RtZedtRZeFdttt

所以有：MvRtZe2024/2

由此可得：MRtZev2024/2

粒子所受的平行于入射方向的合力近似为0，入射方向上速度不变。据此，有：

32202202104.24/24/2MvRDZeMvRtZevvtg

这时。弧度，大约是很小，因此‘2.8104.23tg

这就是说，按题中假设，能量为1兆电子伏特的 粒子被铅原子散射，不可能产生散射角090的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当粒子无限靠近原子核时，会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生090的散射，甚至会产生0180的散射，这与实验相符合。因此，原子的汤姆逊模型是不成立的。

附加题：

1、 一束粒子垂直射至一重金属箔上，试求粒子被散射后，散射角大于060的粒子数与散射角大于090的粒子数之比。

解：在卢瑟福散射中，散射角大于的粒子数可用下式求出：

)(2bnNtnNtn

散射角1的散射截面等于半径为)(1b的圆面积：

)()(121b 散射角2的散射截面等于半径为)(2b的圆面积：

)()(222b

因此散射角大于060的粒子数与散射角大于090的粒子数之比

1:34530)90()60()90()60(02020220120201ctgctgbbnn

注：粒子打金属箔S上某一小圆盘)(2b面积上的几率：Sb2，

而打在任意的一个这样的小圆盘2b面积上的粒子都将被散射到得方向。

一个粒子被散射到方向的几率： )()()(22bntSbnStdp

2．能量为MeV2的质子，射向金原子核，试问该质子能接近金核到什么程度就会被弹出？

解：在库伦散射过程中，散射粒子与靶核中心能靠近的最近距离：

12csc4212csc20221KmEeZZar

可见它们对心碰撞0180时入射粒子与靶核中心的最近距离最小，然后入射粒子即被弹开。此时：fmEeZZrKm5740221

第二章 原子的能级和辐射

1． 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。

解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件，

2hnmvrp

可得：频率 21211222mahmanhav

赫兹151058.6

速度：61110188.2/2mahav米/秒

加速度：222122/10046.9//秒米avrvw

2． 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。

解：电离能为1EEEi，把氢原子的能级公式2/nRhcEn代入，得：RhchcREHi)111(2=13.60电子伏特。

电离电势：60.13eEVii伏特

第一激发能：20.1060.134343)2111(22RhchcREHi电子伏特

第一激发电势：20.1011eEV伏特

3． 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？

解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：

)111(22nhcREH 其中6.13HhcR电子伏特

2.10)211(6.1321E电子伏特

1.12)311(6.1322E电子伏特

8.12)411(6.1323E电子伏特

其中21EE和小于12.5电子伏特，3E大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的