黄昆方程固体物理

《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。

第二章 固体的结合晶体结合的类型 晶体结合的物理本质固体结合的基本形式与固体材料的结构、物理和化学性质有密切联系 § 2.1 离子性结合元素周期表中第I 族碱金属元素（Li 、Na 、K 、Rb 、Cs ）与第VII 族的卤素元素（F 、Cl 、Br 、I ）化合物（如 NaCl ， CsCl ，晶体结构如图XCH001_009_01和XCH001_010所示）所组成的晶体是典型的离子晶体，半导体材料如CdS 、ZnS 等亦可以看成是离子晶体。

1. 离子晶体结合的特点以CsCl 为例，在凝聚成固体时，Cs 原子失去价电子，Cl 获得了电子，形成离子键。

以离子为结合单元，正负离子的电子分布高度局域在离子实的附近，形成稳定的球对称性的电子壳层结构；,,,Na K Rb Cs Ne Ar Kr Xe FClBrI++++−−−−⇒⇒⇒⇒离子晶体的模型：可以把正、负离子作为一个刚球来处理；离子晶体的结合力：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。

当排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体； 一种离子的最近邻离子为异性离子；离子晶体的配位数最多只能是8（例如CsCl 晶体）；由于离子晶体结合的稳定性导致了它的导电性能差、熔点高、硬度高和膨胀系数小；大多数离子晶体对可见光是透明的，在远红外区有一特征吸收峰。

氯化钠型(NaCl 、KCl 、AgBr 、PbS 、MgO)(配位数6) 氯化铯型(CsCl 、 TlBr 、 TlI)（配位数8）离子结合成分较大的半导体材料ZnS 等（配位数4） 2. 离子晶体结合的性质 1）系统内能的计算晶体内能为所有离子之间的相互吸引库仑能和重叠排斥能之和。

以NaCl 晶体为例，r 为相邻正负离子的距离，一个正离子的平均库仑能：∑++−++321321,,2/122322222102)(4)1('21n n n n n n r n r n r n q πε ——遍及所有正负离子，因子1/2—库仑作用为两个离子所共有，一个离子的库伦能为相互作用能的一半。

黄昆黄昆.固体物理学泰斗从“黄散射”到“黄方程”，从“黄—里斯因子”、“玻恩和黄”到“黄—朱模型”，他在固体物理学发展史上建树了一座座丰碑。

“玻恩和黄”(born and huang)，是诺贝尔奖获得者德国物理学家马克斯·玻恩和中国物理学家黄昆合著的《晶格动力理论》一书的简称，在固体物理学界尽人皆知。

40多年来，这本著作被世界各地的物理学研究者推崇备至，奉若“”一般。

而黄昆于1951年在北京完成这部经典之作时，才刚满32岁，可谓大器早成。

黄昆1919年出生于北京。

在燕京大学物理系完成大学学业，1942年以优异的成绩考入昆明西南联大，师从中国现代物理学奠基人之一吴大猷教授，并得到了许多名师的教导。

他像当时一大群有志青年一样，在困苦的生活环境中探求救国强民之道，孜孜不倦地追索科学的真谛。

1945年，黄昆赴英国布列斯托大学深造。

他的导师，固体物理学大师、诺贝尔奖获得者莫特爵士的治学风格对黄昆产生了重大影响，使他形成了专注于具体问题的严谨学风。

日后，这种治学风格又“散射”给他一代又一代的弟子。

黄昆到英国后写的第一篇论文是《稀固溶体的x光漫散射》，他从理论上预言了与晶体中杂质相关的x光漫散射，并在六十年代获得了实验证实。

这一理论成为研究固体中杂质状态的有力手段，被国际上称为“黄散射”。

1948年1月，年仅28岁的黄昆获得博士学位证书。

此后，黄昆在英国利物浦大学进行三年的博士后研究，在那里完成了三项他自认为毕生最有影响的科学工作，这三项工作的成果后来都以他的名字命名。

他的研究，对推动固体物理的发展起了重要作用。

其中一项工作是由黄昆和他的研究助手、以后的夫人艾夫·里斯合作拓展的多声子跃迁理论，以“黄—里斯因子”而著称于世。

在利物浦大学工作期间，黄昆的和敏锐，深深地吸引了里斯，而她对专业知识的精通、工作的勤恳以及她的美丽温柔也给黄昆留下难以磨灭的印象。

1950年，他们共同署名发表了《f中心的光吸收和非辐射跃迁理论》，这一开拓性的科研成果，得到国际同行的高度评价，被称为“黄—里斯理论”。

4.1，根据 k黄昆 固体物理 习题解答第四章 能带理论= ± π 状态简并微扰结果，求出与 E − 及 E +相应的波函数ψ − 及ψ+?，并说明它 a们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ψ2说明能隙的来源(假设V n =V n *)。

＜解＞令 k= + π ， k ′ = − π ，简并微扰波函数为ψ=A ψk( ) + B ψk( )a*a⎡E k ( ) − E A V B n= 0( )V A n+ ⎡E k − E B =取 E E +带入上式，其中 E += E k0( )+ V nV(x)<0,V n < 0 ,从上式得到 于是A ⎡ n π− n π ⎤πψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ =ixe a − e i x a =2A sin n x+⎣k⎢ L ⎣⎥ ⎦L a 取 E E − ， E −=E k0( )− V nV A n= −V B n,得到A BA ⎡ i nπx−i n πx⎤πψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ =e a − ea=2A cos n x−⎣ k⎦⎢ ⎣L a由教材可知，Ψ+及 Ψ − ν ( ) 为零．产生驻波因为电子波矢n kπ=时，电子波的波长aλ =2π=2a ，恰好满足布拉格发射条件，这kn时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。

4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 k π= 的 0 级波函数。

2a11r2π1π 2π1i2π1xi mx i x i mx(m+ )ψ* ＜解＞( ) = ikx=eikx ae e= e2a⋅ea= e a 4k L⋅π=L*Lπ1 i2xL第一能带：m0, m = 0,ψ( ) = e a2ab b′则b′ →,k2π⋅= −L2π, m= −1,i2πx i π∴ψ *( )= 13πi xe第二能带：a a即（e a=e ）2a k L2a2π2π 1 π2π 1 5π第三能带：c′ →, ⋅=aa即m =,*1,ψk( ) = Li x i xe2a⋅ea= L i xe2a解答（初稿）作者季正华- 1 -4.3 电子在周期场中的势能．黄昆 固体物理 习题解答1 2 2 2 2 m ω ⎡b − −( x na ⎤) ,当na b x na b + V x ( ) =0 ，当(n-1)a+b ≤ ≤x na b −其中 d ＝4b ， ω 是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带 度．＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见， V x ( ) 是个以 a 为周期的周期函数，所以V x ( )= 1∫ V x L( )=1∫a( )=1a b( )L a ba ∫−b题设 a = 4b ，故积分上限应为 a b − = 3b ，但由于在 [b b ,3 ] 区间内[− , ] 区间内积分．这时， n = 0 ，于是V x ( ) 0=，故只需在= 1∫b= m ω2∫b22=m ω2 ⎡ 2b− 1x 3b ⎤ = 1m ωb 2V( )b − x dx )( b x ⎢ −b −b⎥ 。

黄昆中国固体物理和半导体物理的奠基人阅读答案《黄昆中国固体物理和半导体物理的奠基人》阅读材料1937年，黄昆通过潞河中学的保送考试，进入燕京大学物理系学习。

潞河中学和燕京大学求真务实和相对开放的环境熏陶了年轻的黄昆，使他养成了独立思考，不盲目随从的习惯。

1945年8月，黄昆到英国做了物理学家莫特两年的研究生。

在他的指导下，黄昆提出固体中杂质缺陷导致X光漫射的理论，这一理论自20世纪60年代起为外国学者证实并得到应用，被称为“黄散射”。

后来，黄昆到诺贝尔奖获得者、爱丁堡大学玻恩教授处工作。

他接受玻恩的建议，用了四年时间完成玻恩只写了若干章节的《晶格动力学》。

在潜心撰写此书期间，黄昆在学术上还有两项开拓性的贡献：一项是，他和夫人里斯提出了在晶格弛豫基础上的多声子光跃迁与无辐射跃迁理论，这个理论被称为“黄-里斯理论”;另一项是，他首次提出晶体中声子和电磁波的耦合振荡模式，在国际上被称为“黄方程”。

1951年底，黄昆回到了祖国。

为了给祖国建设事业培养急需的科技人才，黄昆不惜中断个人的研究工作。

他到了北大，就全身心地投入到《普通物理》的教学工作。

尽管这只是大学物理系学生的入门基础课，他还是一遍又一遍地认真备课，他的课在北大以至全国物理界有口皆碑。

五十年代初，作为学科基础的半导体物理学，国际上还没有专门的教科书。

1955年，黄昆邀请物理系三位同仁和他一起，在北大第一次开设了这门课程。

1956年暑假，北大、复旦等五校联合在北大物理系开设了我国第一个半导体专业，培养的二百余名学生成为我国半导体事业的中坚力量。

1958年他和谢希德合著的《半导体物理》是我国半导体领域最早和最重要的著作，其学术水平在当时也属国际前沿。

他指导培养的一批研究生和助手如莫党、秦国刚、甘子钊等，都成为固体物理学科研与教学的骨干人才。

1977年11月，黄昆调任中国科学院半导体研究所所长。

在他主持下，针对多声子无辐射跃迁理论中出现的国际疑难问题重新开展研究，他与同事朱邦芬共同完成的“黄-朱模型”就是那个时代的代表性成果。

§1.5 晶体的宏观对称性晶体在几何外形上表现出明显的对称性，同时这些对称性性质也在物理性质上得以体现。

—— 介电常数可以表示为一个二阶张量：),,,(z y x =βαεαβ—— 电位移分量∑=ββαβαεE D可以证明对于立方对称的晶体：αβαβδεε0=——对角张量所以：E D KK 0ε=—— 介电常数可以看作一个简单的标量。

在六角对称的晶体中，如果将坐标轴选取在六角轴和垂直于六角轴的平面内，介电常数具有如下形式： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⊥⊥εεε000000//对于平行轴（六角轴）的分量：//E //////E D ε=对于垂直于轴（垂直于六角轴的平面）的分量：⊥E ⊥⊥⊥=E D ε正是由于六角晶体的各向异性，而具有光的折射现象。

而立方晶体的光学性质则是各向同性的。

原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏观对称性，怎样描述晶体的宏观对称性？ 概括晶体宏观对称性的系统方法就是考察晶体在正交变换的不变性。

在三维情况下，正交变换表示为：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛z y x a a a a a a a a a z y x z y x 331313232212131211'''—— 矩阵是正交矩阵。

3,2,1,},{=j i a ij —— 如图XCH001_062所示，绕z 轴转θ角的正交矩阵： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−1000cos sin 0sin cos θθθθ—— 中心反演的正交矩阵：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−100010001—— 一个变换为空间转动，矩阵行列式等于＋1； —— 变换为空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1。

一个物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个对称操作，物体的对称操作越多，其对称性越高。

1 立方体的对称操作1) 绕三个立方轴转动：23,,2πππ，共有9个对称操作；如图XCH001_026_01所示。

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