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排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。
排列组合和二项式定理一、排列组合1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分进行操作，按照一定的顺序进行排列。
在排列中，每个元素只能使用一次。
例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行排列，可以得到以下6个排列： 12、13、21、23、31、32。
排列的数目可以用符号P表示，表示从n个元素中选取r 个进行排列。
排列数的计算公式如下所示： P(n, r) = n! / (n - r)!其中，!表示阶乘，例如4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。
1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分进行操作，不考虑元素的顺序。
与排列不同，组合中的元素只有选择与不选择两种情况。
例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行组合，可以得到以下三个组合： 12、13、23。
组合的数目可以用符号C表示，表示从n个元素中选取r 个进行组合。
组合数的计算公式如下所示： C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)二、二项式定理二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开任意幂的二项式。
二项式定理公式如下所示： (a + b)^n = C(n, 0) × a^n × b^0 + C(n, 1) × a^(n-1) × b^1 + C(n, 2) × a^(n-2) × b^2 + … + C(n, n) × a^0 × b^n其中，C(n, r)表示组合数，表示从n个元素中选取r个进行组合。
a和b表示两个变量，n表示幂。
在二项式定理中，展开后的式子包含了各个组合数和变量的乘积，这些乘积的和即为二项式定理的展开结果。
二项式定理在代数学中有着广泛的应用，它可以用于计算各种复杂的代数表达式的展开结果。
二项式定理也是高中数学课程中常见的内容，通过学习二项式定理，可以帮助学生更好地理解代数学中的概念。
排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。
排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。
排列主要有两种情况：1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。
此时，P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。
此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。
它用于展开一个二项式的幂。
二项式定理的公式为：(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。
三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。
在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。
举例说明，当n=3时，展开式为：(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后，得到：(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出，展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。
二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。
高中数学公式大全排列组合与二项式定理高中数学公式大全：排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是高中数学中重要的概念和公式，它们在概率论、组合数学、代数等领域都有广泛应用。
本文将为您详细介绍排列组合与二项式定理的相关内容。
一、排列组合排列和组合是排列组合问题中最基础的概念。
排列表示从一组元素中选取若干元素按照一定顺序排列的方式，而组合则表示从一组元素中选取若干元素，顺序不考虑。
下面是排列组合中常见的公式：1. 排列公式：排列公式用于求解从 n 个元素中取出 m 个元素，按照一定顺序排列的方式。
排列的数量表示为 P(n,m)，计算公式如下：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n! 表示 n 的阶乘。
2. 组合公式：组合公式用于求解从 n 个元素中取出 m 个元素，顺序不考虑的方式。
组合的数量表示为 C(n,m)，计算公式如下：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)二、二项式定理二项式定理是高中数学中另一个重要的公式，它表示了任意实数a、b 和正整数 n 的 n 次幂展开后，各项的系数。
二项式定理为：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2+ ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n其中，C(n,m) 表示组合数，表示从 n 个元素中选取 m 个元素的方式数。
三、应用举例1. 排列组合的应用：在一群人中选出特定的几个人组成小组，或者在一串数字中找出满足某种条件的特定数字。
排列组合在组合数学、概率论等领域有广泛的应用。
2. 二项式定理的应用：在数学展开、概率计算、代数运算等方面常常用到二项式定理。
它在概率论中常用于计算二项分布的概率，也可以用于计算方程式的展开。
总结：排列组合与二项式定理是高中数学中重要的概念和公式。
它们在概率论、组合数学、代数等领域都有广泛应用。
专题26 排列组合二项式定理命题规律内 容典 型１ 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题 2020年高考全国Ⅰ卷理数8 ２ 求二项式展开式的指定项或指定项系数 2020年高考全国Ⅲ卷理数14 ３ 求二项式展开式中奇数项系数 2020年高考浙江卷12 ４ 利用计数原理计算组合问题2020年高考山东卷3 ５利用计数原理计算排列组合的综合问题2020年高考全国Ⅱ卷理数14命题规律一 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题【解决之道】利用二项式定理展开式的通项，列出关于所求项的指定项指数的方程，通过解不定方程，即可确定指定项，利用通项公式即可求出指定项系数，注意分类讨论. 【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），∴2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积可表示为：56155rrrr rr r xT xC xy C xy --+==或22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==，在615r r rr xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5，∴33x y 的系数为10515+=，故选C ． 2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．命题规律二 求二项式展开式的指定项或指定项系数【解决之道】解决此类问题，设指定项为二项式展开式的第r 项，利用通项公式，列出关于r 的方程，解出r ，即可求出指定的系数.【三年高考】1.【2020年高考北京卷3】在)52的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10 【答案】C【解析】由题意展开式的通项为T r+1=C 5r（x 12）5−r(−2)r ==C 5r (−2)r x5−r2，令r=1得x 2的系数为-10，故选C ．2.【2020年高考全国Ⅲ卷理数14】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 （用数字作答）． 【答案】240【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其二项式展开通项：()62612rr rr C x x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r r r r xC x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅，当1230r -=，解得4r =，∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=．故答案为：240．3.【2020年高考天津卷11】在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．4.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．5.【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x的通项为919C (0,1,29)r r r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．6.【2018年高考浙江卷】二项式81)2x的展开式的常数项是__________． 【答案】7【解析】二项式812x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为848318811C C 22rr rrrr r T xx --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令8403r -=得2r =，故所求的常数项为2821C =72⋅．故答案为：7． 7.【2018年高考天津卷理数】在5(x 的展开式中，2x 的系数为__________．【答案】52【解析】二项式5(x -的展开式的通项公式为35521551C C 2r rr r r r r T x x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，令3522r -=可得：2r =，则2x 的系数为：225115C 10242⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：52．命题规律三 求二项式展开式中奇数项系数【解决之道】解决此类问题，要熟记二项式展开式的系数性质，利用赋值法，即可列出二项式系数的方程（组），系数和即赋值1x =，偶数项系数和减去奇数项系数和即赋值1x =-，通过解方程即可求出偶数项（奇数项）系数和.【三年高考】1.【2020年高考浙江卷12】设()2345123455612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ；123a a a ++= ．【答案】80；51【解析】由题意可知5a 表示4x 的系数，即4455280a C =⋅=，11a =，125210a C =⋅=，2235240a C =⋅=，∴12351a a a ++=．命题规律四 利用计数原理计算组合问题【解决之道】排列组合问题常见解法:（1）元素分析法：在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。
高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对这两个知识点进行总结和说明。
1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。
排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。
1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。
其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。
二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。
它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。
3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。
例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。
二项式定理与组合数的计算二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与组合数的计算密切相关。
在数学中，组合数是一种用于计算选择的方法，它在概率论、统计学和组合数学中都有广泛的应用。
本文将探讨二项式定理与组合数的计算方法，并且通过一些实例来加深理解。
一、二项式定理的基本概念二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n，有如下等式成立：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也可以表示为n个元素中取k个元素的方式数。
二、组合数的计算方法组合数的计算方法有多种，常见的有排列组合法、杨辉三角法和递推法。
1. 排列组合法排列组合法是一种直观的计算组合数的方法。
对于从n个元素中选取k个元素的组合数，可以通过以下公式计算：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
2. 杨辉三角法杨辉三角是一种特殊的数列，它可以用来计算组合数。
杨辉三角的第n行第k 个数等于C(n,k)，可以通过以下规律进行计算：- 第n行有n+1个数；- 第n行的第一个数和最后一个数都是1；- 第n行的第k个数等于第n-1行的第k-1个数和第k个数之和。
通过杨辉三角法，可以方便地计算组合数，尤其适用于大规模的组合数计算。
3. 递推法递推法是一种基于递推关系计算组合数的方法。
对于从n个元素中选取k个元素的组合数，可以通过以下递推关系计算：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)这个递推关系的含义是，从n个元素中选取k个元素的组合数等于从n-1个元素中选取k-1个元素的组合数加上从n-1个元素中选取k个元素的组合数。
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理在高中数学中，排列组合是一种重要的概念与工具，它涉及到对对象的选取和排列的方式。
而在排列组合的基础上，我们还能引出二项式定理，进一步探讨多项式的展开与计算。
本文将对这些数学知识点进行归纳总结和讨论。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行排列，可以得到的排列数记为P(n,r)。
P(n,r) = n!/(n-r)!1.2 组合组合是指从给定的一组对象中，无视其顺序，选择若干个对象。
同样假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行组合，可以得到的组合数记为C(n,r)。
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)1.3 重复排列与重复组合当给定的一组对象中存在重复的元素时，我们可以计算可能的重复排列与重复组合。
计算公式如下：重复排列：P(n1,n2,...,nk) = n!/(n1!n2!...nk!)重复组合：C(n+r-1,r) = (n+r-1)!/(r!(n-1)!)二、排列组合的应用2.1 生日问题生日问题是指在一个房间里，至少有两个人生日相同的概率有多大。
利用排列组合的思想可以很方便地解决这个问题。
在一个房间里，有n 个人，假设有365天可以选作生日。
我们可以计算至少有两个人生日相同的概率，即为1减去没有人生日相同的概率。
P(at least two people have the same birthday) = 1 - P(no two people have the same birthday)= 1 - C(365,n)/365^n2.2 二项式定理与展开二项式定理是代数中的重要定理之一，它描述了两个数之和的幂展开后的表达式。
假设有实数a和b以及正整数n，根据二项式定理可以将(a+b)^n展开为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n2.3 二项式系数与组合恒等式二项式系数指的是二项式展开中各项的系数。
二项式定理与排列组合的应用知识点总结在数学中，二项式定理与排列组合是两个重要的概念。
二项式定理是代数中的一项基本定理，而排列组合是组合数学中的重要概念。
本文将对二项式定理和排列组合的应用进行知识点总结。
一、二项式定理二项式定理是数学中的一个重要定理，它是关于二项式与幂的展开公式。
二项式定理的公式表达如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。
组合数的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二项式定理给出了二项式的展开公式，使我们可以快速求解幂指数较大的二项式。
其应用广泛，包括代数、概率统计等领域。
二、排列组合排列组合是组合数学中的一个分支，研究的是从给定的元素集合中选取出若干元素，按照一定规则进行排列或组合的方法。
排列和组合的计算公式如下：排列：P(n, k) = n! / (n-k)!组合：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示元素的总个数，k表示选取的元素个数。
排列组合在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在概率统计中，排列组合可用于计算事件发生的可能数；在密码学中，排列组合可用于计算密码的破解难度；在传统的魔方游戏中，排列组合可用于计算还原魔方的步骤等。
三、应用举例1. 掷硬币问题：将一枚硬币连续投掷3次，求出正反面出现的不同可能性。
解：根据排列组合的知识，将硬币的正反面看作两个元素，共有2个元素，从中选择3个元素排列，即为排列问题。
根据排列问题的计算公式，可得 P(2, 3) = 2! / (2-3)! = 2。
故，正反面出现的不同可能性为2种。
2. 发牌问题：从一副扑克牌中，随机抽出5张牌，在这5张牌中有几种同花色的可能性？解：根据排列组合的知识，将扑克牌的花色看作4个元素，从4个元素中选取1个元素，即为组合问题。
高中数学排列组合与二项式定理第一篇：高中数学排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理1．（西城区）在(2x2-A．－5 1x)的展开式常数项是 6 D．60（）B．15 C．－602．（东城区）8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有（）A．360种 B．4320种 C．720种 D．2160种3．（海淀区）从3名男生和3名女生中，选出2名女生1名男生分别担任语文、数学、英语的课代表，则选派方案共有（）A．18种B．36种C．54种D．72种4．(崇文区)某运动队从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员举行乒乓球混合双打比赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的选法共有A．50种B．150种C．300种 D．600种（）5．（丰台区）把编号为1、2、3、4的4位运动员排在编号为1、2、3、4的4条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同的排法种数是()A． 3B．6C．12D．246．（朝阳区）从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种x6B．186种 7C．180种 D．90种 7．（东城区）已知(x-)展开式的第4项的值等于5，则x= 48．（海淀区）在(ax-1)的展开式中x的系数是240，则正实数a9．（宣武区）设二项式(33x+1x)的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，n若P+S=272，则n=,其展开式中的常数项为.210．(崇文区)若(x+1x2)展开式中只有第四项的系数最大，则，展开式中的第五n项为11．（丰台区）.在(x+1a)的展开式中，含x与x项的系数相等，则a的值是 75412．（朝阳区）若(1－ax)6的展开式中x4的系数是240，则实数a的值是13．（宣武区）现有A、B、C、D、E、F、共6位同学站成一排照像，要求同学A、B相邻，C、D不相邻，这样的排队照像方式有DBCCBC7.-1715x411.53;12.±213.144第二篇：高中数学排列组合与二项式定理知识点总结排列组合与二项式定理知识点１．计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)２．排列（有序）与组合（无序）Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)!Ann =n!Cnm = n!/(n-m)!m!Cnm= Cnn－mCnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!－k!３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.４．二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m最大二项式系数在中间。
（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn ７+ Cn９+…=2n-1 ③通项为第r+1项： Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。
第三篇：高中数学：排列组合与二项式定理测验试题(A)《数学》第十章—排列组合与二项式定理测验试题(A卷)班别：学号：姓名：成绩：一、填空题：(每空2分，共30分)1.加法原理和乘法原理的主要区别在于：加法原理针对的是问题；乘法原理针对的是问题。
2.一般地，从n个不同元素中，任取m(m n)个元素，按照排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
3.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关，与顺序的属于组合问题。
4.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
5.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2)(c1+c2+c3+c4)展开后共有6.从3个不同元素a、b、c中任取2个元素的所有组合是。
7.A1+A2+A3+A4=。
C1+C2+C3+C4444=8.已知9!=362880，则A79=9.已知A32320=6840，则C19+C19=10.(n+m+1)!=(n+m)!11.(x+3x)12的展开式共有13项，其中，中间的项是第项。
12.(x3+2x)7的展开式的第6项的二项式系数是6项的系数是二、选择题：(每题3分，共15分)1.下列各式中，不等于n!的是()。
A．AnnB．1n+1An+1nn-1n+1C．An+1D．nAn-12.已知Cn-1n+1=21，那么n等于()。
A．5B．6C．7D．83.5名同学听同时进行的4个外语讲座，每名同学可自由选择听其中1个讲座，不同选法的种数是()。
A．45B．54C．C445D．A54.在(1+x)11展开式中，C021*******+C11+Λ+C11()C11+C11+Λ+C11。
A．>B．=C．>D．无法确定5.凸8边形的对角线的条数是()。
A．8⨯72B．8⨯7C．8⨯52D．8⨯5三、计算题：(每题8分，共40分)1.(1)用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数，其中有多少个是偶数？(2)壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种不同的币值？2.从1、3、5、7、9中任取三个数，从2、4、6、8中任取两个数，组成没有重复数字的五位数，一共可组成多少个？3.幼师某实习小组7名同学站成一排照相，(1)如果甲、乙两人必须站在两端，有多少种照相方法？(2)如果7名同学站两排，其中3个女同学站在前排，4个男同学站在后排，四、证明题：(15分)m+1m-1mm+11．求证：Cn+Cn+2Cn=Cn+2(7分)有多少种照相方法？4.区教育厅幼儿园某兴趣班有10名小朋友,其中正副班长各1名，现选4名小朋友参加某项活动：(1)如果正副班长必须在内，有多少种选法？(2)如果正副班长至少有一人参加，有多少种选法？5.在(1-12x)10展开式中，求含x-5的项的系数。
2.用二项式定理证明9910-1能被100整除。
(8分)第四篇：高中数学知识点总结---二项式定理高中数学知识点总结---二项式定理0n01n-1rn-rrn0n1.⑴二项式定理：(a+b)n=Cnab+Cnab+Λ+Cnab+Λ+Cnab.展开式具有以下特点：① 项数：共有n+1项；012r,Cn,Cn,Λ,Cn,Λ,Cn② 系数：依次为组合数Cnn;③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.（a+b)n展开式中的第r+1项为：Tr+1=Cnarn-rrb(0≤r≤n,r∈Z).⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.．．．．．nI.当n是偶数时，中间项是第+1项，它的二项式系数C2n最大；2n+1n+1II.当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第它们的二项式系数C+1项，22n-1n+12=C2nnn最大.③系数和：01nCn+Cn+Λ+Cnn=202413Cn+Cn+Cn+Λ=Cn+Cn+Λ=2n-1附：一般来说(ax+by)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求．．．．．．．．．．．⎧Ak≥Ak+1,⎧Ak≤Ak+1或⎨(Ak为Tk+1的系数或系数A≥AA≤Ak-1k-1⎩k⎩k解.当a≠1或b≠1时，一般采用解不等式组⎨的绝对值）的办法来求解.⑷如何来求(a+b+c)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,r∈N,且p+q+r=n把r(a+b+c)n=[(a+b)+c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(a+b)n-rCr，另一方面在npqrqn-r-qqqpq(a+b)n-r中含有bq的项为Cn-rab=Cn-rab，故在(a+b+c)中含abc的项为rqpqrrCnCn-rabc.其系数为CnCn-qr=(n-r)!n!n!pqr⋅==CnCn-pCr.r!(n-r)!q!(n-r-q)!r!q!p!第五篇：1排列组合与二项式定理教案(多份)2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组§16.1 计数原理1—乘法原理（分步计数原理）一、问题引入常见船上悬挂有红、蓝、白三种颜色的旗帜，代表了不同的信号、不同的含义，随着排列顺序不同、悬挂数目不同，能表达多少种不同的信号？路上有10盏路灯，为了节能，关闭其中三盏灯有多少种关法？如果三盏灯还要不相邻，又有多少种关法？这便是我们这一章节主要要学习、讨论的内容，先从最基本的计数原理讲起．二、教学过程1、（1）参照《课本》P49图，讨论从A到B的不同走法情况．答：（2）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？2、乘法原理①一般地，如果做成一件事情要分为n个步骤，而完成其中每一步骤又有若干种不同方法，则做成这件事情的方法总数，可以用分步计数原理得到．乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2m3Λmn种不同的方法．②注意：m1、m2、mn对应的都是完成每一相应步骤的方法数，必须所有步骤都完成后，整件事情才算完成．例1、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？（3）4名同学争夺跑步项目的前三名，有多少种可能？（4）4名同学中选3人分别报名跑步、跳高、跳远三个项目，有多少种报名方法？（5）3封信投4个邮箱，几种投法？（6）四种型号电视机搞促销，3个顾客各选购一台，几种选法？（7）四台不同型号电视机搞促销呢？（8）5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座例2、（1）(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2)展开后共有多少项？（2）540的不同正约数有多少个？2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组例3、已知x∈{-1,-2,3,4,5}，y∈{-3,4,5,6}，则M(x,y)共可以表示多少个不同的点？多少个第2象限点？多少个不在直线y=x上的点？例4、（1）0、1、2、3、4、5能组成多少四位数？（2）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位数？（3）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位奇数？（4）1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的三位偶数？例5、（1）已知A={0,1,2,3}，若a,b,c∈A，且a,b,c互不相等，则可表示的所有一元二次方程ax2+bx+c=0有多少？（2）若a∈{1,2,3,5}，b∈{1,2,3,5}，则能表示多少条不同的直线y=bx？a22（3）若a∈{3,4,5}，b∈{0,2,7,8}，r∈{1,8,9}，可表示多少不同的圆(x-a)+(y-b)=r2？2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组§16.2 排列一、教学过程1、排列：一般地，从n个元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．特点：元素顺序不同，对应了不同的情况．如果问题3中改为选取2人充当主持而不分正副，则还是排列问题吗？2、如何判断两个排列是否相同？答：判断元素是否相同；排列顺序是否相同．例1、判断下列问题是否排列问题：（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除），可得多少种不同的结果？（2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘），可得多少种不同的结果？（3）有12个车站，共需要准备多少种普通票？（4）在（3）中共有多少种不同的票价？（5）某班有50名同学，假期约定每2人通一次信，共需写信多少封？（6）把（5）中写信问题改为会面，共需通电话多少次？（7）把（5）中通信换成互赠照片，共需准备照片多少张？3、排列数从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pnm 表示．注：关于排列数的计算，Pn1表示n个元素里选取1个元素排成一列的情况，即n个元素选1个元素的选法，所以Pn1=n，至于其他情况，有如下分析．4、排列数公式：一般地，排列数Pnm可以按从n个不同元素中取出m个元素依次填入m个空位来考虑． Pnm=n(n-1)(n-2)Λ⎡)⎤⎣n-(m-1⎦1444442444443共m项例2、用排列数表示(n-m)(n-m+1)Λ(n-m+15)，其中m,n∈N，m<n．5、全排列①n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．这时，排列数公式中的m=n，即有*Pnn=n⋅(n-1)⋅(n-2)⋅Λ⋅3⋅2⋅1 这就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积．②正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．规定，0!=1．③Pnn=n!为了保证全排列m=n 时也能成立，我们规定0!=1．例3、1!+2!+3!+4!+5!+Λ+100!的个位数字是多少？2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组例4、解方程：（1）(n-3)!1m-1 =（2）P23n=10Pn3（3）5P9m=3mP10(n-2)!3nn-1n例5、求证：Pm+nPm=Pm+1．例6、从0，1，2，3，4中选取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中比200大的三位数有几个？例7、15支球队进行双循环赛，即每队都要与其余各队在主客场分别比赛1场，共进行多少场比赛？（如改为单循环赛呢？）例8、10个人排队，按以下要求有多少种不同排法？（1）任意排成一排；（2）排成两排，每排5人；（3）甲不在队首；（4）甲乙丙必须在奇数位上；（5）甲在奇数位上，乙丙在偶数位上；（6）甲乙丙三人必须在一起；（7）甲乙丙三人必须在一起，丙又在甲乙中间；（8）甲乙丙三人中任意两人不排在一起；（9）甲始终坐在乙的右侧．例9、5男5女共10个同学排成一行，（1）女生都排在一起，有几种排法？（2）女生与男生相间，有几种排法？（3）任何两个男生都不相邻，有几种排法？（4）5名男生不排在一起，有几种排法？（5）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？（6）5名男生坐在一起，男生甲在乙的右侧，有几种排法？例10、用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位数中，若2，4，6次序一定，有多少种不同的七位数？如改为1，3，5，7次序一定呢？2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组§16.3 计数原理2—加法原理（分类计数原理）一、教学过程1、加法原理如果完成一件事有n类的办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+Λ+mn种不同的方法．2、注意①各类方法间相互独立，通过每一类方法都能完成整件事；②分类时，确定一个分类的标准，不重复不遗漏；③分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性；分步时要注意“步”与“步”之间的连续性．例1、给定数字0，1，2，3，4，5，每个数字最多用一次，（1）可以组成多少个自然数？（2）可以组成多少个奇数？（3）可以组成多少个四位偶数？（4）可以组成多少个比2300大的四位数？（5）可以组成多少个比240135大的数？（6）可以组成多少个能被5整除的四位数？（7）可以组成多少个能被25整除的四位数？例2、在3000和8000之间，有多少个无重复数字的奇数？例3、某天课程表排入数学、物理、化学、语文、英语、体育各一节，（1）体育不排第一节，也不排第三节，几种不同排法？（2）第一节不排体育，第三节不排数学，有多少种不同的排法？二、课后练习1、将a、b、c、d、e、f六个不同元素排成一列，其中a不排在首位，b不排在末位，有几种排法？2、从9本不同的书中取出6本排在书架上，满足下列条件之一，分别有几种方法？（1）某一本书必须排在左端或右端；（2）某一本书不能排在两端；（3）某两本书，A不能排在左端，B不能排在右端．2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组§16.4 组合一、教学过程1、组合：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的次序有关，而组合与元素的次序无关．2、如何判断两个组合是否相同？元素相同（不管元素的次序是否相同）3、组合数从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm 表示． 1注：关于排列数的计算，Cn表示n个元素里选取1个元素的情况，即n个元素选1个元素的选法，所100n=Pn1=n；Cn=1；Cn 以Cn表示n个元素里一个都不选的选法数，显然Cn表示n个元素里选取n个元素的选法数，显然，Cnn=1，至于其他情况，有如下分析． Pnmn(n-1)(n-2)Λ⎡n!⎣n-(m-1)⎤⎦=4、组合数公式：C=m=，其中m≤n． m!m!(n-m)!Pmmn例1、解方程：C+C=C．m+1m+1m例2、证明：Cn=Cn+1．n+15、组合的应用题例3、现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，（1）男甲、女A都必须当选，有几种选法？（2）男甲必须当选，女A不能当选，有几种选法？（3）至少有一个女同学当选，有几种选法？（4）最多有三个女同学当选，有几种选法？例4、要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选；（2）A、B、C三人不能入选；（3）A、B、C三人只有一人入选；（4）A、B、C三人至少一人入选；（5）A、B、C三人至多二人入选．2n2n-12n+2 2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？例6、（1）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷．现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？（2）由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌，也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？6、组合数的性质①性质1、Cnm=Cnn-m mm+1m+1+Cn=Cn②性质2、Cn+1 例7、计算：C+C例8、解方程：x+12x-283=C17=Cn（1）C17（2）Cn-n3n12n-3+C21例9、求值：（1）C338（2）C2nn--n+n；3+Cn+1例10、计算：***6+C4+C5+C6+C7+C8+C9+C6+C7+C8+C9+C7+C8+C9（1）C4；（2）C5；（3）C52+C613m-12+C32+C4+Λ+Cm=Cm例11、证明：C2+1-1 131**** ****届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组§16.5 二项式定理一、教学过程1、二项式定理：①一般地，对于任意正整数n有(a+b)n0n01n-112n-22n-rrn-rn-11n-1n0n=Cnab+Cnab+Cnab+Λ+Cnab+Λ+Cnab+Cnab ②右边的多项式叫做(a+b)的二项展开式，它一共有n+1项，其中各项的系数Cnr（r=0，1，2，Λ）叫做二项式系数，式中的Cnran-rbr叫做二项展开式的通项，它是二项展开式中的第r+1项，用Tr+1表示，即 rn-rrTr+1=Cnab． n例1、求 1+⎪的二项展开式．x⎭⎛⎝1⎫41⎫⎛例2、求 2x-⎪的二项展开式．x⎭⎝612例3、（1）求(x+a)的二项展开式的中间项；1⎫⎛（2）求 x-⎪的展开式中第四项的系数及二项式系数；x⎭⎝91⎫⎛（3）求 2x-⎪的展开式中x3的系数及二项式系数；x⎭⎝91⎫⎛2（4）求 x+⎪的二项展开式中x的系数．x⎭⎝8⎛x3⎫例4、（1）求 +⎪的二项展开式中的常数项；x⎭⎝31⎫⎛（2）求 3x-⎪的二项展开式中的常数项；x⎝⎭2⎫⎛（3）求 x+4⎪的二项展开式中的有理项；x⎭⎝1⎫5⎛（4）若 x2+⎪的二项展开式中x3的系数为，求a的值．ax⎭2⎝6915162013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组1⎫⎛例5、已知 x+4⎪的二项展开式中，前三项系数成等差数列，求二项展开式中的所有有理项．2x⎭⎝n1⎫⎛例6、（1）设 x2+⎪的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值；2x⎭⎝n（2）若(x+2)=xn+xn-1+Λ+ax3+bx2+cx+2n（n∈N，n≥3）且a:b=3:2，求n．例7、计算：1n-12n-2rn-rn（1）2n-Cn；2+Cn2+Λ+(-1)Cn2+Λ+(-1)Cn01n-1n+Cn+Λ+Cn+Cn（2）Cn；12n-1n+4Cn+Λ+2n-1Cn+2nCn（3）1+2Cn；例8、求5051被7除所得的余数．二、二项式系数性质： nrn1、观察二项式系数表，探究规律①每一行中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；②每一行两端都是1，其余位置的每一个数都等于它“肩上”两个数的和；③每一行中，二项式系数先是逐渐增大至最大，然后逐渐减小，越靠近中间越大，左右对称．2、一般地，二项式系数有如下两个性质：①性质1、(a+b)的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；这一性质可直接由公式Cnm=Cnn-m得到．②性质2、(a+b)的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n． 1n-1n 将a=b=1分别代入(a+b)和它的二项展开式中，即有2n=Cn0+Cn+Λ+Cn+Cn． nnn例8、求证：在(a+b)的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．n 9。
