4、平面向量与复数

平面向量与复数的关系在数学中，平面向量和复数之间有着紧密的关联。

通过将平面向量用复数表示，我们能够更加直观地理解和计算向量的性质和运算。

本文将探讨平面向量与复数的关系，并阐述它们之间的转换和应用。

一、平面向量的表示与性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

一般来说，我们可以用坐标系中的两个有序数对来表示一个平面向量。

比如，对于平面上的点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以定义AB为一个平面向量，记作AB = (x2 - x1, y2 - y1)。

平面向量有以下重要的性质：1. 零向量：零向量是指模为0的向量，表示为0。

它的所有分量都为0，方向没有明确的定义。

2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的方向角相等或相差180度，则称它们为平行向量。

3. 向量的模：一个向量的模表示向量的长度，记作|AB|或∥AB∥，计算公式为∥AB∥ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。

4. 单位向量：如果一个向量的模为1，则称其为单位向量。

5. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将向量的起点放到另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点，得到一个新的向量作为它们的和。

6. 数乘：将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。

二、复数的定义与性质复数是由一个实部和一个虚部组成的数，形式为a + bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

复数可用于表示在复平面上的点，其中实部表示实轴上的坐标，虚部表示虚轴上的坐标。

复数具有以下重要的性质：1. 共轭复数：对于一个复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。

即共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。

2. 模：一个复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|或∥z∥，计算公式为∥z∥ = √(a^2 + b^2)。

3. 乘法：两个复数相乘的结果是一个复数。

如果两个复数分别为a + bi和c + di，则它们的乘积为(ac - bd) + (ad + bc)i。

复数与平面向量的应用知识点总结复数与平面向量在数学和物理等领域中有着广泛的应用，本文将对这两个知识点进行总结和概述。

一、复数的应用知识点复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部。

复数的应用包括以下几个方面：1. 复数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。

通过复数的四则运算，可以解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、计算多项式的根等。

2. 复数的共轭：复数的共轭表示实部不变，虚部取负的复数，即 a + bi 的共轭为 a - bi。

共轭复数在求解方程、计算模长等问题中起到重要的作用。

3. 复数的模长和辐角：复数的模长表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。

复数的辐角可以通过计算反三角函数得到，常见的辐角有 [-π, π) 范围内的角度表示。

4. 欧拉公式：欧拉公式指出e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位。

欧拉公式将复数与三角函数联系起来，简化了一些复杂的运算。

二、平面向量的应用知识点平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有序对 (a, b)，也可以表示为以起点和终点表示的箭头。

平面向量的应用包括以下几个方面：1. 平面向量的加法和减法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以连接线段为对角线构建平行四边形，那么连接线段的终点即为两个向量相加的结果。

减法类似，只需将一个向量取相反向量再进行加法。

2. 平面向量的数量积和夹角：平面向量的数量积可以用来计算两个向量的夹角的余弦值。

数量积满足交换律和分配律，可以通过向量的坐标进行计算。

3. 平面向量的模长：平面向量的模长表示向量的长度，可以通过勾股定理计算，即模长为√(a^2 + b^2)。

4. 单位向量：单位向量是模长为 1 的向量，可以通过将向量除以其模长得到。

单位向量有很多重要的应用，例如在求解向量的投影、计算向量的夹角等问题中。

平面向量与复数的联系与应用一、引言平面向量和复数是高中数学中常见的概念，它们在几何学和代数学中有着密切的联系与应用。

本文将探讨平面向量和复数之间的联系，以及它们在数学和物理中的应用。

二、平面向量与复数的定义和表示方法1. 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。

通常用字母加上一个箭头来表示向量，如A B⃗，其中A和B表示向量的起点和终点。

平面向量也可以用坐标表示，如A B⃗= (x,y)，其中(x,y)为向量的坐标。

2. 复数的定义和表示方法复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为a+bi，其中a 和b为实数，i为虚数单位。

复数可以用平面上的点表示，其中实数部分对应横坐标，虚数部分对应纵坐标。

三、平面向量与复数的联系平面向量和复数之间有着密切的联系，具体体现在以下几个方面。

1. 向量的加法与复数的加法向量的加法满足平行四边形法则，即A B⃗ +B C⃗ =A C⃗。

复数的加法满足实部相加，虚部相加的规则，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

2. 向量的数量积与复数的乘法向量的数量积满足A B⃗·B C⃗=|A B⃗||B C⃗|cosθ，其中θ为两向量夹角。

复数的乘法满足(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

3. 平面向量与复数的相互转换对于平面上的向量A B⃗，可以与点B对应的复数表示形式相互转换。

即向量A B⃗对应的复数表示为z=x+yi，其中x和y分别为向量的分量。

四、平面向量与复数的应用平面向量和复数在数学和物理中有广泛的应用。

1. 平面向量的应用平面向量常用于解决几何学中的问题，如直线的判定、线段的长度和夹角的计算等。

此外，在力学和电磁学中，平面向量也被广泛应用于力的合成、力矩的计算等物理问题的求解。

2. 复数的应用复数在代数学的求解中有重要的应用。

它可以用于解决各类代数方程，如一元二次方程、三角方程等。

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.5复数最新考纲1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a ，b 为实数)复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.概念方法微思考1．复数a ＋b i 的实部为a ，虚部为b 吗？提示不一定．只有当a ，b ∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部．2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．(×)(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)题组二教材改编2．设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于()A ．0 B.12C ．1D.2答案C 解析∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是()A ．1－2i B ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i答案D解析CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1答案A解析∵z 为纯虚数，2－1＝0，－1≠0，∴x ＝－1.题组三易错自纠5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析∵复数a ＋bi＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.6．(2020·模拟)若复数z 满足i z ＝2－2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析由题意，∵z ＝2－2i i ＝(2－2i )·(－i )i·(－i )＝－2－2i ，∴z ＝－2＋2i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限．故选B.7．i 2014＋i 2015＋i 2016＋i 2017＋i 2018＋i 2019＋i 2020＝________.答案－i解析原式＝i 2＋i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝－i.题型一复数的概念1．(2018·武汉华中师大一附中月考)若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则复数z 的虚部为()A.35B ．－35C.35i D ．－35i答案B解析因为(1＋2i)z ＝1－i ，所以z ＝1－i 1＋2i＝(1－i )(1－2i )5＝－1－3i5，因此复数z 的虚部为－35，故选B.2．(2019·钦州质检)复数2＋i1＋i的共轭复数是()A ．－32＋12iB ．－32－12iC.32－12iD.32＋12i 答案D解析由复数2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ，所以共轭复数为32＋12i ，故选D.3．(2018·烟台模拟)已知复数a ＋2i2－i是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a 等于()A ．－4B ．4C ．1D ．－1答案C解析a ＋2i 2－i ＝(a ＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2a －2＋(a ＋4)i5，∵复数a ＋2i2－i为纯虚数，∴2a －2＝0且a ＋4≠0，解得a ＝1.故选C.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例1(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于()A ．－3－iB ．－3＋iC ．3－iD ．3＋i答案D解析(1＋i)(2－i)＝2＋2i －i －i 2＝3＋i.(2)i (2＋3i )等于()A ．3－2iB ．3＋2iC ．－3－2iD ．－3＋2i答案D解析i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D.命题点2复数的除法运算例2(1)(2018·全国Ⅱ)1＋2i1－2i等于()A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案D解析1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z (1＋i)＝1－i ，则z 等于()A ．iB ．－iC ．1＋iD ．1－i答案A解析由题意，复数z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－i ，所以z ＝i ，故选A.命题点3复数的综合运算例3(1)(2018·达州模拟)已知z (1＋i)＝－1＋7i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|z |等于()A.2B ．3＋4i C ．5D ．7答案C解析z ＝－1＋7i 1＋i＝(－1＋7i )(1－i )2＝3＋4i ，故z ＝3－4i ⇒|z |＝5，故选C.(2)(2018·成都模拟)对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i ；③|αβ|＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；②αβ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，故②正确；③|αβ|＝|－i |＝1，故③正确；④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i －1＋1＋2i －1＝0，故④正确．故选C.思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练1(1)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝3＋a i ，z ·z ＝4，则a 为()A ．1或－1B ．1C ．－1D ．不存在的实数答案A解析由题意得z ＝3－a i ，故z ·z ＝3＋a 2＝4⇒a ＝±1，故选A.(2)(2018·潍坊模拟)若复数z 满足z (2－i)＝(2＋i)·(3－4i)，则|z |等于()A.5B ．3C ．5D ．25答案C解析由题意z (2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i ，则z ＝10－5i 2－i ＝(10－5i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5，所以|z |＝5，故选C.题型三复数的几何意义例4(1)(2018·天津河东区模拟)i 是虚数单位，复数1－ii在复平面上对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C解析由题意得1－i i ＝(1－i )i i 2＝1＋i－11－i ，因为复数－1－i 在复平面上对应的点在第三象限，故选C.(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③B 点对应的复数．解①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．跟踪训练2(1)(2018·洛阳模拟)已知复数z ＝5i 3＋4i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 对应的点在()A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限答案A解析∵z ＝5i 3＋4i ＝5i·(3－4i )(3＋4i )·(3－4i )＝45＋35i ，∴z ＝45－35i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第四象限．故选A.(2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．答案5解析由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )，x ＋y ＝3，x －y ＝－2，＝1，＝4，故x ＋y ＝5.1．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2等于()A ．－8－6iB ．－8＋6iC ．8＋6iD ．8－6i答案C解析∵z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，∴z 1z 2＝6－8i －i ＝(6－8i )i －i 2＝8＋6i.2．(2018·聊城模拟)设复数z ＝(1－i )21＋i，则|z |等于()A ．4B ．2 C.2D ．1答案C解析z ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－i(1－i)＝－1－i ，|－1－i|＝2，故选C.3．(2018·海淀模拟)已知复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，则()A ．z ＋1是实数B ．z ＋1是纯虚数C ．z ＋i 是实数D ．z ＋i 是纯虚数答案C解析由题意得复数z ＝1－i ，所以z ＋1＝2－i ，不是实数，所以选项A 错误，也不是纯虚数，所以选项B 错误．所以z ＋i ＝1，是实数，所以选项C 正确，z ＋i 是纯虚数错误，所以选项D 错误．故选C.4．已知i 为虚数单位，若复数z 满足z ＋iz －i＝1＋i ，那么|z |等于()A ．1 B.2C.5D ．5答案C解析∵z ＋i z －i＝1＋i ，z ＋i ＝(1＋i)(z －i )，i z ＝(2＋i)i ，∴z ＝2＋i ，∴|z |＝1＋4＝5，故选C.5．(2018·成都七中模拟)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若i －2a －i为纯虚数，则a 等于()A.12B ．－12C ．2D ．－2答案B 解析由题意知i －2a －i ＝(i －2)(a ＋i )(a －i )(a ＋i )＝(－2a －1)＋(a －2)i a 2＋1＝－2a －1a 2＋1＋a －2a 2＋1i ，又由i －2a －i为纯虚数，所以－2a －1＝0且a －2≠0，解得a ＝－12，故选B.6．若复数z 满足(3＋4i )z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于()A ．－15－75iB ．－15＋75iC ．－125－725iD ．－125＋725i 答案D解析由题意可得z ＝1－i 3＋4i ＝(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－1－7i25，所以z ＝－125＋725i ，故选D.7．(2018·济南模拟)设复数z 满足z (1－i)＝2(其中i 为虚数单位)，则下列说法正确的是()A ．|z |＝2B ．复数z 的虚部是i C.z ＝－1＋iD ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限答案D解析z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝2，复数z 的虚部是1，z ＝1－i ，复数z 在复平面内所对应的点为(1,1)，显然在第一象限．故选D.8．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．答案3或6解析∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．9．(2018·江苏)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．答案2解析由i·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii＝2－i ，∴z 的实部为2.10．(2018·天津)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________.答案4－i解析6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.11．已知复数z 满足z ＋3z ＝0，则|z |＝________.答案3解析由复数z 满足z ＋3z＝0，则z 2＝－3，所以z ＝±3i ，所以|z |＝ 3.12．若复数z ＝1－i ，则z ＋1z 的虚部是________．答案－12解析z ＋1z ＝1－i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 2＝32－12i ，故虚部为－12.13．(2018·厦门质检)已知复数z 满足(1－i)z ＝i 3，则|z |＝________.答案22解析由题意知z ＝i 31－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－i ＋12＝12－12i ，则|z |＝22.14．(2019·天津调研)已知i 为虚数单位，复数z (1＋i)＝2－3i ，则z 的虚部为________．答案－52解析由z (1＋i)＝2－3i ，得z ＝2－3i 1＋i ＝(2－3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－5i 2＝－12－52i ，则z 的虚部为－52.15．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解(1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，2－4>0，4m >0，解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．16．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝又z ＋3＝a ＋3＋b i 的实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，0，＋3＝－b ，因为b ≠02＋b 2＝5，＝－b －3，＝－1，＝－2＝－2，＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.17．(2018·威海模拟)若复数a ＋i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案C 解析由题意得z ＝a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 2，因为z 在复平面内对应的点在第一象限，＋1>0，－a >0，所以－1<a <1.故选C.18．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若复数z ＝a ＋3i 3＋i∈R ，则复数z ＝________.答案3解析∵复数z ＝a ＋3i 3＋i ＝(a ＋3i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3(1＋a )＋(3－a )i 4＝3(1＋a )4＋3－a 4i ∈R ，∴3－a 4＝0，即a ＝3.则复数z ＝3(1＋a )4＝434＝ 3.19．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是()A ．[－1,8] B.－916，1C.－916，7 D.916，7答案A 解析由复数相等的充要条件可得＝2cos θ，－m 2＝λ＋4sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋4sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－4sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－4sin θ＋4＝4sin 2θ－4sin θ＝θ－1，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－4sin θ∈[－1,8]．20．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案④解析由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则a ＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．。

复数的应用平面向量复数的应用——平面向量复数是数学中的一个重要分支，它在平面向量的研究中起到了关键作用。

平面向量是指在平面内具有大小和方向的量，它可以用复数来表示。

本文将介绍复数在平面向量中的应用。

一、复数的定义与基本运算复数是由实数和虚数构成的数，形式可表示为a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。

复数的加减法与实数的加减法相似，乘法与实数的乘法也遵循相同的规律。

二、复数表示平面向量复数可以表示平面向量的长度和方向。

对于平面上的向量AB，可以用复数表示为a+bi，其中a和b分别为向量的水平分量和竖直分量。

复数的模表示向量的长度，辐角表示向量的方向。

三、复数的加法平面向量的加法可以转化成复数的加法。

设有两个向量A和B，分别表示为a+bi和c+di，则其相加的结果为(a+c)+(b+d)i，即两个复数实部相加得到新复数的实部，虚部相加得到新复数的虚部。

四、复数的乘法平面向量的乘法可以通过复数的乘法运算来实现。

设有两个向量A和B，分别表示为a+bi和c+di，则其相乘的结果为(ac-bd)+(ad+bc)i，即两个复数的实部和虚部按照一定规律相乘。

五、复数的共轭与模的平方复数的共轭指将复数的虚部取相反数，记作z*。

对于复数z=a+bi，其共轭为z*=a-bi。

复数的模表示复数到原点的距离，可以通过复数的实部和虚部计算得到，即|z|=√(a²+b²)。

复数的模的平方可以表示为|z|²=a²+b²。

六、复数表示向量的旋转复数的辐角可以表示向量的旋转角度。

将平面上的向量表示为复数z=a+bi，其辐角θ可以通过计算得到，即θ=arctan(b/a)。

同时，可以通过构造模为1的复数来表示旋转角度θ的向量，即z=cosθ+isinθ。

七、复数的应用举例1. 平面向量的加减法可通过复数的加法和减法来实现，简化了运算过程。

2. 复数的乘法可以用于向量的缩放和旋转操作，方便了平面向量的变换。

平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。

复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。

高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。