广东省执信中学2012-2013学年高二上学期期末数学理试题

执信中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学文试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R ，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛210x x +=｝关系的韦恩（Venn ）图是2.若复数()()i bi ++21是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则=bA ．2B . 12C. 21-D.2-3. 若函数21()sin ()2f x x x R =-∈，则)(x f 是A.最小正周期为2π的奇函数； B.最小正周期为π的奇函数； C.最小正周期为2π的偶函数； D.最小正周期为π的偶函数.4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A.2xy =B.2log y x =C.||y x x =D.sin y x =5.“p∨q是真命题”是“p∧q为真命题”的A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件6. 关于直线a,b,c以及平面M，N，给出下面命题：①若a//M，b//M, 则a//b ②若a//M, b⊥M，则b⊥a③若a⊂M，b⊂M,且c⊥a，c⊥b,则c⊥M ④若a⊥M, a//N，则M⊥N，其中正确的命题是A．①②B．②③C．②④D．①④解：①选项不正确，平行于同一个平面的两条直线可能相交，平行，异面．②选项正确，垂直于一个平面的直线与该平面的平行的直线的关系是垂直；③选项不正确，由线面垂直的判定定理知，本命题中缺少两线相交的条件，故不能依据线面垂直的判定定理得出线面垂直．④选项正确，由a∥N知可在面N内找到一条直线与a平行，且可以由a⊥M证得这条线与M 垂直，如此则可得出面面垂直的判定定理成立的条件．故选C．7.运行如图的程序框图,输出的结果是A. 510B. 1022C. 254D. 2568一个四面体的顶点在空间直角坐系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面， 则得到的正视图可为ABCD9.在平面直角坐标系xOy 中，己知圆C 在x 轴上截得线段长为2，在y 轴上截得线段长为2.圆心C 的轨迹方程是A ． 122=+y xB ．122=-x y C. 522=+y x D. 122=-y x10.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表.()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示.下列关于函数()f x 的命题： ①函数()f x 在[]02，是减函数；②如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ③当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点. 其中真命题的个数是A ．0个B ．3个 C. 2个 D. 1个第二部分非选择题 (共 100 分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题.（一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．11.二元一次不等式组2,0,20,xyx y≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为 * ,yx+2最大值为* .12.已知函数32()log(0)xf xx x⎧≤=⎨>⎩　（x0)，那么1[()]3f f＝__*___13.已知两个单位向量ba,的夹角为bta tc)1(,60-+=ο，若,0=⋅cb则实数=t__*___（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做1题，2题全答的，只计算前1题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点22,4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sinρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB6=， CP 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若CPA ∠=30°，=PC ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值； （2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈0,2,2,0πβπα，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求()βα+cos 的值．17．（本小题满分12分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从 5 名学生中选2 人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程 a bx y +=∧.(附：回归直线的方程是 ： a bx y +=∧，.,)())((:121x b y a x x y yx x b ni ini ii-=---=∑∑==其中)故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率7P 10=. …………………………………………5分 （2）散点图如右所示. ……………………………………………6分可求得： x =59795939189++++=93，y =59392898987++++=90， ……………………………………………8分51()()30iii x x y y =--=∑∑=-51i 2i)x x (=22222420)2()4(+++-+-=40，3040b ==0.75，a y bx =-=20.25， ……………………………………………11分故y 关于x 的线性回归方程是：ˆ0.7520.25yx =+. ……………………………………………12分 18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =， 1===AP AD AB ，2==PD PB ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点.（1）求证： ⊥PA 底面ABCD ； （2）求证：平面//FBE 平面PAD ； （3）求三棱锥BCE F -的体积.（Ⅰ）证明：∵1===AP AD AB ，2==PD PB ,,222PD AD PA =+∴,∴=∠∴=+∴,90,0222PAD PD AD PA PA AD ⊥，同理可得：A AD AB AB PA =⋂⊥,∴PA ⊥底面ABCD ----4分（Ⅱ）证明：∵//AB CD ，2CD AB =，E 是CD 的中点，∴ABED 为平行四边形 ∴AD BE //----5分又∵⊄BE 平面PAD ，⊂AD 平面PAD ，----7分 ∴//BE 平面PAD .----8分由于PCD EF ∆是的中位线，,//DP EF ∴同理得,,//E BE EF PAD EF =⋂∴平面----10分所以：平面//FBE 平面PAD（Ⅲ）由（Ⅰ）知PA ⊥底面ABCD ，由已知1=AP ，F 是PC 的中点，得F 到底面ABCD 的距离为2121=PA ，----11分 由已知//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，1==AD AB ，∴三角形BCE 的面积为211121=⨯⨯，-----13分 ∴三棱锥BCE F -的体积为121212131=⨯⨯.-----14分19．（本小题满分14分） 已知函数R a x x a x a x f ∈++-=,21)1(ln )(2(1)讨论函数)(x f 的单调区间；(2)已知0)(≥x f 对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围.（1）()()()()(),1)1(1,,0,2xx a x x a x a x x a x a x f x --=++-=++-='+∞∈-----2分 令()()1,,01)(21===--=x a x x a x x g -----3分 ①当()()递减，要舍去，)(,0,1,0,0,01x f x f x a x a x a <'∈>-=≤()()递增，，)(,0,1x f x f x >'∞+∈()()∞+≤∴，递增区间是递减区间是1,1,0,0a -----5分 ②当,10<<a 减区间是(),1，a ，增区间是()();,1,,0+∞a -----7分 ③当()()）；，的增区间是（连续，∞+=≥-='=0)()(,1,01,12x f x f x xx x f a -----8分④当,1>a 减区间是(),,1a ，增区间是()();,,1,0+∞a -----10分 综上所述（略） (2)由于a f --=21)1(,若,0)1(,0<>f a 则此时，0)(≥x f 对定义域内的一切实数不是恒成立的；-----11分()()递减，由于当)(,0,1,0,,0x f x f x a <'∈≤()()递增，，)(,0,1x f x f x >'∞+∈,21)1()()(,1min a f x f x f x --====∴极小-----12分)(≥x f 对定义域内的一切实数恒成立等价于21021)1(0)(min -≤∴≥--=≥a a f x f ，，及（不排除其它说理的方法）----14分 20．（本题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足*2211,212N n a b a b a b nn n n ∈-=+⋅⋅⋅++ ，求{}n b 的通项公式；（3）求数列{}n b 前n 项和n T .解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由244S S =，122+=n n a a 得⎩⎨⎧+-+=-++=+1)1(22)12(48641111d n a d n a d a d a ----2分 解得11=a ，2=d -----4分∴*,12N n n a n ∈-=----5分（注：不写*N n ∈扣1分）(Ⅱ)由已知*2211,211N n a b a b a b nn n ∈-=+⋅⋅⋅++，---① 当1=n 时，*11,21N n a b ∈=；---6分 当2≥n 时，1112211211----=+⋅⋅⋅++n n n a b a b a b ，---② 将①-②，得n n n a b 211-=－)211(1--n =)2(21≥n n ，----7分)2(21≥=n a b n n n ， 由(Ⅰ)知*,12N n n a n ∈-=，∴)2(212≥-=n n b n n ------8分 ∴检验21121,11=⋅==b n ,符合，∴)N (212*∈-=n n b n n ---9分 由已知得n n n T 21223212-+⋅⋅⋅++=----③， 132212232232121+-+-+⋅⋅⋅+=n n n n n T ----④----10分 将③-④，得，132212)212121(22121+--+⋅⋅⋅+++=n n n n T ----11分 112122123+----=n n n -----13 ∴n n n T 2323+-=----14分21.(本小题满分14分)已知圆(),11:22=++y x M 圆(),91:22=+-y x N 动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；（2）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于B A ,两点，当圆P 的半径最长时,求AB .(1)图略：设动圆(),,y x P 半径设为,r 动圆P 与圆M 外切，即：,1+=r PM动圆P 与圆N 内切，即,3r PN -=两式相加得：c MN a PN PM 2224==>==+.----3分点P 的轨迹是以N M ,为焦点的椭圆，,3,1,2222=-===c a b c a ----4分 因焦点在x 轴上，所以P 的轨迹方程是13422=+y x ,---5分 （2）动圆P 的半径设为,r 则()111,122-++=-=∴+=y x PM r r PM ---6分 把22,43322≤≤--=x x y 代入整理得()[]04,2,2,14412>+-∈-+==x x x r Θ---7分 ,2,2,12124max ==+=-+==∴r x x x r 此时圆心()，，02P 圆P 的方程是()4222=+-y x ---8分l Θ与圆P ,圆M 都相切，若倾斜角等于090=x ，切线ο为所求；32=∴AB ---9分 倾斜角不等于，ο90,0=+-⇔+=m y kx m kx y 设直线方程是： l Θ与圆P ：()4222=+-y x ,圆(),11:22=++y x M 都相切， ∴)1(,21022=++-k m k ,且)2(,1102=++--k m k 整理（1）（2）得--10分 )4(12);3(,4422=+-=+m km m km 联立（3）（4），得,42,2,22±=±==k m m --12分 切线方程为,242+=x y 或242--=x y ,由于对称性，两切线与椭圆相交的弦长相等 不妨联立,242+=x y 与13422=+y x 整理得：(),212,088722=∆=-+x x 7187811=∆⋅+=AB (求根公式，两点距离也可以)；（用另一条弦长公式也可以） 7187811=∆⋅+=∴AB --14分，综上（略）。

2012-2013学年广东省广州市执信中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）集合A={x|2012＜x＜2013}，B={x|x＞a}满足A∩B=∅．则实数a的取值范围是（）A．{a|a≥2012}B．{a|a≤2012}C．{a|a≥2013}D．{a|a≤2013}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据条件，可借助于数轴将集合A与集合B在数轴上表示出来，从而可求实数a的取值范围．解答：解：将集合A={x|2012＜x＜2013}，B={x|x＞a}画在数轴上根据A∩B=∅，∴a≥2013．故选C．点评：本题以集合为载体考查不等式运算，关键是利用集合运算，得出不等式，从而得解，属于基础题．2．（5分）（2012•福建）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（）A．x=﹣B．x=﹣1 C．x=5 D．x=0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可．解答：解：因为向量=（x﹣1，2），=（2，1），⊥，所以2（x﹣1）+2=0，解得x=0．故选D．点本题考查向量垂直条件的应用，充要条件的应用，考查计算能力．评：3．（5分）（2012•陕西）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53考茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．点：计算题．专题：直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．分析：解解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为：=46．答：众数是45，极差为：68﹣12=56．故选A．本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．点评：4．（5分）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．简单空间图形的三视图．考点：规律型．专题：根据几何体的正视图与侧视图，代入俯视图验证几何体的体积，判断即可．分析：解答：解：若俯视图为A，则V=1；若俯视图为B，则V=π；若俯视图为C，则V=；若俯视图为D，则V=，根据几何体的体积为，∴C正确．∴其直观图为：故选C．点评：本题考查几何体的三视图及利用三视图判断几何体的形状，求体积．5．（5分）设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则必有（）A．B．C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式先判断a2+b2与2ab的关系，然后以此对选项作出筛选．解答：解：因为对任意a，b∈R，a≠b，有a2+b2＞2ab，所以＞ab，故排除A、C、D，故选B．点评：本题考查基本不等式的应用，属基础题．6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的s值为（）A．3B．1C．﹣1 D．0考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i是否继续循环循环前1 1/第一圈 3 2是第二圈 4 3是第三圈 1 4是第四圈 0 5否故最终的输出结果为：S=0故选D．点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．7．（5分）（2012•江西）观察下列各式：a+b=1，a 2+b 2=3，a 3+b 3=4，a 4+b 4=7，a 5+b 5=11，…，则a 10+b 10=（ ）A ． 28B ． 76C ． 123D ． 199考点：归纳推理．专题：阅读型．分析： 观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．解答： 解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a 10+b 10=123，．故选C ．点评： 本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．8．（5分）（2012•福建）设函数则下列结论错误的是（ ）A ． D （x ）的值域为{0，1}B ． D （x ）是偶函数C ．D （x ）不是周期函数 D ． D （x ）不是单调函数考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：证明题．分析：由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断D结论错误，故选C解答：解：A显然正确；∵=D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）==D（x），∴T=1为其一个周期，故C错误；∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，D正确；故选 C点评：本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义，属基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9．（5分）比较大小：＞（用“＞”或“＜”符号填空）．考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：平方作差，可得（）2﹣（）2=2（﹣）＞0，进而可得其平方的大小，可得原式的大小．解答：解：（）2﹣（）2=13+2﹣（13+4）=2﹣4=2﹣2=2（﹣）＞0，故（）2＞（）2，故＞，故答案为：＞点评：本题考查平方作差法比较大小，属基础题．10．（5分）中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=1：2，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设a=2t，b=t，则c==t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==，故答案为：．点评：本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．11．（5分）（2013•茂名一模）已知等比数列{a n}的公比q为正数，且，则q= ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项，由等比数列的通项公式写出a3，a9，a5，代入后可直接求得q的值．解答：解：设等比数列的首项为a1，由，得：，即，∵a1≠0，q＞0，∴q=．故答案为．点评：本题考查了等比数列的通项公式，解答时注意等比数列中不含有为0的项，是基础的计算题12．（5分）函数有3个零点，则m的取值范围是．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：已知条件转化为函数有两个极值点，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可．解答：解：由函数有三个不同的零点，则函数有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；由y′=x2﹣2x﹣3=（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=3，x2=﹣1，所以函数y=f（x）的两个极值，当x∈（﹣∞，﹣1），f′（x）＞0，x∈（﹣1，3），f′（x）＜0，x∈（3，+∞），f′（x）＞0，∴函数的极小值f（3）=m﹣9和极大值f（﹣1）=m+．因为函数有三个不同的零点，所以，解之，得﹣＜a＜9．故实数a的取值范围是（﹣，9）．故答案为：．点评：本题是中档题，考查函数的导数与函数的极值的关系，考查转化思想，计算能力．13．（5分）（2012•佛山一模）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为 1 ．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：先作出不等式组表示的平面区域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由题意可得A（2，2k+2），B（0，2），C（2，0）∴（d为B到AC的距离）==2k+2=4∴k=1故答案为：1点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域，属于基础试题14．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为2．考点：正弦定理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．解答：解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a= c=符合题意因此最大值为2故答案为：2点评：本题主要考查了正弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（12分）在△ABC中，，．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，求最小边的边长．考点：两角和与差的正切函数；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据tanC=﹣tan（A+B），利用两角和的正切公式求出结果．（Ⅱ）根据，可得AB边最大为，又，所以∠A最小，BC边为最小边，求出sinA的值，由正弦定理求得BC的值．解答：解：（Ⅰ）∵C=π﹣（A+B），∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2'又∵0＜C＜π，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4'（Ⅱ）∵，∴AB边最大，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6'又，所以∠A最小，BC边为最小边．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8'由且，得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10'由得：．所以，最小边．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12'点评：本题考查两角和的正切公式，正弦定理以及根据三角函数的值求角，判断∠A最小，BC边为最小边，是解题的关键．16．（12分）已知关于x的方程x2+2ax+b=0，其中，，b∈[0，2]．（1）求方程有实根的概率；（2）若a∈Z，b∈Z，求方程有实根的概率．考点：几何概型；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，由一元二次方程的性质，可得x2+2ax+b=0有实根的充要条件为b≤a2，（1）由题意分析可得，这是几何概型，将表示为平面区域，进而可得其中满足b≤a2的区域的面积，由几何概型公式，计算可得答案．（2）由题意分析可得，这是古典概型，由a、b分别从{﹣1，0，1}，{0，1，2}中任取的数字，易得一共可以得到9个不同方程；可得满足b≤a2的全部情况数目，结合古典概型公式，计算可得答案．解答：解：方程x2+2ax+b=0有实根⇔△≥0⇔4a2﹣4b≥0⇔b≤a2，（1）点（a，b）所构成的区域为，面积SΩ=；设“方程有实根”为事件A，所对应的区域为，其面积，这是一个几何概型，所以（2）因为a∈Z，b∈Z，所以（a，b）的所有可能取值有9个，分别是：（﹣1，0），（0，0），（1，0），（﹣1，1），（0，1），（1，1），（﹣1，2），（0，2），（1，2），其中，满足△≥0即b≤a2的有5个：（﹣1，0），（0，0），（1，0），（﹣1，1），（1，1）．设“方程有实根”为事件B，这是一个古典概型，所以答：（1）所求概率为；（2）所求概率为．点评：本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，注意两者的不同．17．（14分）（2013•茂名一模）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：（1）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MN∥AC，再根据线面平行的判定定理可得答案．（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．解答：解：（1）证明：连接PC，交DE与N，连接MN，在△PAC中，∵M，N分别为两腰PA，PC的中点∴MN∥AC，…（2分）又AC⊄面MDE，MN⊂面MDE，所以AC∥平面MDE．…（4分）（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），所以，，…（6分）设平面PAD的单位法向量为，则可取…（7分）设面PBC的法向量，则有即：，取z=1，则∴…（10分）设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，∴…（11分）∴θ=60°，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°…（12分）点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离．18．（14分）（2012•佛山二模）已知椭圆E ：的一个交点为，而且过点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的定义；椭圆的标准方程．分析：（Ⅰ）解法一：根据椭圆E ：的一个交点为，过点，可得a2﹣b2=3，，联立即可求得椭圆E的方程；解法二：椭圆的两个焦点分别为，利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），求出，同设圆G的圆心为，利用，即可得到线段OT的长度；解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），求出，，可得，由切割线定理可得线段OT的长度．解（Ⅰ）解法一：由题意，∵椭圆E：的一个交点为答：，∴a2﹣b2=3，①∵椭圆过点．∴，②①②解得a2=4，b2=1，所以椭圆E的方程为．…（4分）解法二：椭圆的两个焦点分别为，由椭圆的定义可得，所以a=2，b2=1，所以椭圆E的方程为．…（4分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），直线PA1：，令y=0，得；直线PA2：，令y=0，得；设圆G 的圆心为，则r2=，而，所以，所以，所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），直线PA1：，令y=0，得；直线PA2：，令y=0，得；则，而，所以，所以，由切割线定理得OT2=|OM|•|ON|=4所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆为综合，考查线段长的求解，认真审题，挖掘隐含是关键．19．（14分）已知数列{a n}是等差数列，a1=1，a1+a2+…+a20=590 （1）求数列{a n}的通项a n；（2）设数列{b n}的通项（其中a＞0，且a≠1），记S n是数列{b n}的前n项和．试比较S n 与的大小，并证明你的结论．等差数列的通项公式；数列的求和．考点：等差数列与等比数列．专题：分析（1）设数列{a n}的公差为d ，由题意得，解之可得首项：和公差，可得通项公式；（2）可得S n=log a[（1+1）（1+）…（1+）]，=，问题转化为比较（1+1）（1+）…（1+）与，推测（1+1）（1+）…（1+）＞，下面由数学归纳法证明，可得最后结论．解答解：（1）设数列{a n}的公差为d ，由题意得：解得，所以a n=3n﹣2．（2）．由a n=3n﹣2，，知S n=log a（1+1）+log a（1+）+…+log a（1+）=log a[（1+1）（1+）…（1+）]，==要比较S n 与log a a n+1的大小，先比较（1+1）（1+）…（1+）与取n=1有（1+1）＞，取n=2有（1+1）（1+）＞，…，由此推测（1+1）（1+）…（1+）＞．①若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a＞1时，S n ＞log a a n+1；当0＜a＜1时，S n ＜log a a n+1下面用数学归纳法证明①式．（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞．那么，当n=k+1时，（1+1）（1+）…（1+）（1+）＞（1+）=（3k+2）．因为==，所以（3k+2）＞．因而（1+1）（1+）…（1+）（1+）＞．这就是说①式当n=k+1时也成立．由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：当a＞1时，S n ＞log a a n+1；当0＜a＜1时，S n ＜log a a n+1由于①等价于k＜g（α），k∈Z∴k的最大值为2本题考查等差数列的通项公式，涉及数学归纳法的应用，属中档题．点评：20．（14分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）当x∈（﹣∞，0）时，求f（x）的单调区间；（3）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f'（x）+x+1＞0，求k的最大值．利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．考点：专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，建立方程，可求a的值；（2）对a分类讨论，利用导数的正负，可得当x∈（﹣∞，0）时，求f（x）的单调区间；（3）由题意，x＞0时，不等式等价于，求出右边函数的值域，即可求k的最大值．解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=e x﹣a，则∵f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，解得a=e；（2）f′（x）=e x﹣a若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；若a＞0，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna①当0＜a＜1时，x=lna＜0，∴函数的单调递减区间是（﹣∞，lna）；单调增区间是（lna，0）；②当a≥1时，x=lna＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；（3）由于a=1，∴（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1，∴x＞0时，不等式等价于①令g（x）=，则由①知，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0 ∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，∴g′（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为α，则α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）∵g′（α）=0，∴eα=α+2∴g（α）=α+1∈（2，3）∵①等价于k＜g（α）．k∈Z∴k的最大值为2．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查函数的值域，属于中档题．。

2012-2013学年广东省佛山市高二上学期期末数学（理科）一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知点A1,2，B−3,6，则过A，B两点的直线斜率为 A. −1B. 12C. 1D. 22. 若直线l1:ax−4y+1=0，l2:ax+y+1=0，且l1⊥l2，则实数a的值为 A. 2B. ±2C. 4D. ±43. 若命题p:∃x>0，x2−3x+2>0，则命题¬p为 A. ∃x>0，x2−3x+2≤0B. ∃x<0，x2−3x+2≤0C. ∀x>0，x2−3x+2≤0D. ∀x≤0，x2−3x+2≤04. 如图所示的几何体为正方体的一部份，则它的侧视图可能是 A. B.C. D.5. 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c A. 一定平行B. 一定垂直C. 一定是异面直线D. 一定相交6. 若集合A=0,m，B=1,2，则“m=1”是“A∪B=0,1,2”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件7. 过双曲线x29−y216=1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 A. 3x+4y−15=0B. 3x−4y−15=0C. 4x−3y+20=0D. 4x−3y−20=08. 已知命题p:y=sin x，x∈R是奇函数；命题q：已知a，b为实数，若a2=b2，则a=b．则下列判断正确的是 A. p∧q为真命题B. ¬p∨q为真命题C. p∧−q为真命题D. ¬p∨¬q为假命题9. 点P−1,3到直线l:y=k x−2的距离的最大值等于 A. 2B. 3C. 3D. 210. 点P到图形E上每一个点的距离的最小值称为点P到图形E的距离，已知点A1,0，圆C:x2+2x+y2=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是 A. 双曲线的一支B. 椭圆C. 抛物线D. 射线二、填空题（共4小题；共20分）11. 棱长为1的正方体的外接球的表面积是______．12. 若直线2x−y+1=0平分圆x2+y2+2x−my+1=0的面积，则m= ______．13. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线BD1与AM所成角的余弦值为______．14. 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部份，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是______ cm．三、解答题（共6小题；共78分）15. 如图，已知四边形OABC是矩形，O是坐标原点，O，A，B，C按逆时针排列，A的坐标是3,1， AB =4．（1）求点C的坐标；（2）求BC所在直线的方程．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90∘，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，AB=BC=1，M为PD的中点．（1）求证：CM∥平面PAB；（2）求证：CD⊥平面PAC．17. 已知圆C经过点A0,3和B3,2，且圆心C在直线y=x上．（1）求圆C的方程；（2）若直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4，求实数m的值．18. 已知动圆C过定点F1,0，且与定直线x=−1相切．（1）求动圆圆心C的轨迹T的方程；（2）若轨迹T上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且 FA =2， FB =5，在轨迹T位于A，B两点间的曲线段上求一点P，使P到直线AB的距离最大，并求距离的最大值．19. 如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60∘．（1）求证：平面A1BCD1⊥平面BDD1B1；（2）若二面角D1−BC−D的大小为45∘，求直线CD与平面A1BCD1所成的角的正弦值．．20. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点为B0,4，离心率e=35（1）求椭圆C的方程；（2）若O0,0，P2,2，试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4?若存在，请指出共有几个这样的点?并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．答案第一部分1. A2. B3. C4. D5. B6. A7. D8. C9. C 10. D第二部分11. 3π12. −213. 3914. 458第三部分15. （1）因为四边形OABC是矩形，OA所在直线斜率k OA=33．所以OC的斜率为−3，OC所在的直线方程为y=−3x．因为 OC = AB =4，设C x,−3x ，则 OC =x2+ −3x 2=2 x =4．所以x=−2或x=2（舍去），所以点C的坐标为 −2,23．（2）因为OA与BC，所以BC所在直线的方程斜率k BC=k OA=33．所以BC所在直线的方程为y−23=33x+2，即x−3y+8=0．16. （1）取PA的中点E，连接ME，BE．M为PD的中点．所以EM∥12AD，EM=12AD．又BC∥12AD，BC=12AD．所以EM∥BC，EM=BC，所以四边形BCME为平行四边形．所以CM∥BE．又BE⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，所以CM∥平面PAB．（2）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90∘．AB=BC=1，AD=2．过C作CH⊥AD于H．AC=CD=2．所以AC2+CD2=AD2，所以AC⊥CD．又PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD．所以PA⊥CD．又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．17. （1）解法一：设圆心C a,a，因为 AC = BC ，所以 a2+a−32=a−32+a−22．解得a=1．所以圆心C1,1，半径r= AC =所以圆C的方程为x−12+y−12=5．解法二：设圆C的方程为x−a2+y−a2=r2r>0．依题意得a2+3−a2=r2,3−a2+2−a2=r2.解得a=1，r2=5，所以圆C的方程为x−12+y−12=5．解法三：依题意易得线段AB的中垂线方程为y=3x−2．联立方程组y=x,y=3x−2.解得x=1, y=1.所以圆心C1,1，所以圆C的方程为x−12+y−12=5．（2）因为直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4，所以圆心C1,1，到直线y=2x+m的距离d=52−22=1．5=1，解得m=−1±5．18. （1）因为动圆C过定点F1,0，且与定直线x=−1相切．所以圆心C到定点F1,0的距离与到定直线x=−1的距离相等．由抛物线定义可知，C的轨迹T是以F1,0为焦点，直线x=−1为准线的抛物线，所以动圆圆心C的轨迹T的方程为y2=4x．（2）由已知得F1,0，设A x1,y1（其中y1>0），由 FA =2得x1+1=2，x1=1，所以A1,2．同理可得B4,−4，所以直线AB的方程为2x+y−4=0．解法一：设抛物线曲线段AOB上任一点P x0,y0，其中y02=4x0，1≤x0≤4，−4≤y0≤2．则点P到直线AB的距离d=001+4=2×y02+y0−45=12y+12−925．所以当y0=−1时，距离d取得最大值9510，此时点P的坐标为14,−4．解法二：设与AB平行的直线l的方程为2x+y+m=0m≠−4，当l与抛物线相切时，切点到AB的距离最大．2x+y+m=0,y2=4x.消元得4x2+4m−4x+m2=0∗由Δ=4m−42−16m2=0得m=12．此时∗式的解为x=14，切点P14,−1，距离最大值为9510．19. （1）在△ABD中，由余弦定理得BD= AD2+BD2−2AD⋅AB cos∠DCB=3，所以AD2+BD2=AB2，所以∠ADB=90∘，即AD⊥BD．又四边形ABCD为平行四边形，所以BC⊥BD．又D1D⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，所以DD1⊥BC．又DD1∩BD=D，所以BC⊥平面BDD1B1．又BC⊂平面A1BCD1，所以平面A1BCD1⊥平面BDD1B1．（2）由（1）知BC⊥平面BDD1B1．所以D1B⊥BC，DB⊥BC．所以∠D1BD为二面角D1−BC−D的平面角，所以∠D1BD=45∘，所以DD1=BD=3．解法一：取BD1的中点M，连接DM，CM，则DM⊥BD1．平面A1BCD1⊥平面BDD1B1．平面A1BCD1∩平面BDD1=BD1，所以DM⊥平面A1BCD1．所以∠DCM为直线CD与平面A1BCD1所成的角，在Rt△CDM中，DM=12BD1=62，CD=2，所以sin∠DCM=64．所以直线CD与平面A1BCD1所成的角的正弦值为64．解法二：以D为原点，建立空间直角坐标系D−xyz如图所示，D10,0,3，C −1,3,0，B 0,3,0，所以DC= −1,3,0，BC=−1,0,0，CD1=1,−3,3．设平面A1BCD1的法向量为n=x,y,z，则n⋅BC=0,n⋅CD1=0.即−x=0,x−3y+3z=0.令z=1，得n=0,1,1．设直线CD与平面A1BCD1所成的角θ，则sinθ=n ⋅DCn⋅DC =32⋅2=64．所以直线CD与平面A1BCD1所成的角的正弦值为64．20. （1）设椭圆C的方程为x2a +y2b=1a>b>0，依题意得b=4，ca =35．又a2=b2+c2，所以a=5，b=4，c=3，所以椭圆C的方程为x 225+y216=1．（2）依题意 OP =2OP的方程为y=x．S△OPQ=4，所以Q到直线OP的距离为2所以点Q在与直线OP平行且距离为2的直线l上．设l:y=x+m．则2=22，解得m=±4．当m=4时，由y=x+4,x225+y216<1.消元得41x2+200x<0，即−20041<x<0．又x∈Z，所以x=−4，−3，−2，−1，相应的y也是整数，此时满足条件的点Q有4个．综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个．。

MN广州市执信中学2012-2013高一上学期期末考试数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分 选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}Z k k x x N x x M ∈+==≤<=,12,30， 则图中阴影部分表示的集合是 （ ）A ． φB ．{}1C ． {}3,1 D ．{}3,1,02．下列函数中是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（ ）A ．3x y = B ．2x y = C ．21x y = D ．2-=x y3．下列对一组数据的分析，不正确的说法是 （ ） A.数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定. B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C.数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定4．函数f (x )＝ln x －2x 的零点一定位于区间( )A ．(1e，1)B ．(1,2)C ．(2，e )D ．(e,3)5．一个不透明的盒子里有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．那么甲赢的概率是（ ） A ．1325 B ．1225C ．12D ．以上均不对第7题7 8 9 94 4 6 4 736.右图是2006年中央电视台举办的挑战主持人大 赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图， 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数 和方差分别为（ ）.A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，4 7．右图给出的是计算161614121+⋅⋅⋅+++的值的一个 程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ） A.8>i B. 8<i C. 16>i D. 16<i 8．在等比数列 {a n } 中，,3,210275=+=a a a a则412a a =（ ） A.2 B.21C.2或21 D.－2 或 －21 9． 已知函数c bx x x f ++=2)(,且)1()3(f f =-.则（ ）A. )1()1(-<<f c fB. )1()1(->>f c fC. c f f <-<)1()1(D. c f f >->)1()1(10．若函数xa x f 2)(⋅-=与14)(++=a x f x的图象有交点，则a 的取值范围是（ ）A. 222-≤a 或 222+≥aB. 1-<aC. 2221-≤≤-aD. 222-≤a第二部分 非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 把答案填在答卷的相应位置． 11.计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++-= .12．某高中高一、高二、高三在校学生人数分别为900、1000、1100，现要从中抽取120名学生参加周末公益活动，若用分层抽样的方法，则高三年级应抽取 人． 13．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=-)2(f . 14.已知等差数列{}n a 中,15,652==a a ，若n n a b 2=，则数列{}n b 的前5项和等于 .15.函数)34(log 21-=x y 的定义域是 .16.在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第n 件首饰所用珠宝数为 颗.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，12312a a a ++=．(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 令n an b 3=，求证：数列{}n b 是等比数列． （3）令11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .18. （本小题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其某科成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下频率分布直方图,根据图形中所给的信息，回答以下问题：（1）求第四小组[)70,80的频率. （2）求样本的众数.(3) 观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．19. （本小题满分12分）已知：函数()f x 是R 上的增函数，且过)1,3(--和)2,1(两点，集合{}|()1()2A x f x f x =<->或，关于x 的不等式21()2()2x a x a -->∈R 的解集为B . （1）求集合A ； （2）求使A B B =成立的实数a 的取值范围．20. （本小题满分10分）设)(x f 24434()x ax a a R =-++∈，若方程()0f x =有两个均小于2的不同的实数根，则此时关于x 的不等式01)1(2<-+-+a ax x a 是否对一切实数x 都成立？并说明理由。

【全国名校】2012-2013学年广东省执信中学高二上学期期末考试理科数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共50.0分） 1. 已知集合，, 则A.B.C.D.2. 如图，四面体ABCD 中，点E 是CD 的中点，记，，，则=A. +B. ++C. +D.++3. 直线与双曲线仅有一个公共点，则实数的值为A. 1B. −1C. 1或−1D. 1或−1或04. 已知等比数列中，各项都是正数，且3，成等差数列，则A. 1B.C. 3D.5. 在△中，，，，在线段上任取一点，使△为钝角三角形的概率为A.B.C.D.6. 对于方程（）的曲线C ，下列说法错误的是A.时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆 B.时，曲线C 是圆C. 时，曲线C是双曲线D. 时，曲线C是椭圆7.在平面直角坐标系中，已知若目标函数的最大值是10，则实数的值为A. 1B. 2C. 3D. 48.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A. B. C. D.9.已知,则之间的大小关系是B. C. D.A.10.已知点,，若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.求值：________．12.已知“”，“直线与圆相切”．则是的_________条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分也非必要”）13.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（见下表），由最小二乘法求得回归方程现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为．14.对于实数和,定义运算“﹡”:,设,且关于的方程恰有一个实数根，则实数的取值范围是______________.三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.（本小题满分12分）已知函数，．（1）求的最大值；（2）设△中，角、的对边分别为、，若且，求角的大小．16.（本小题满分12分）第8届中学生模拟联合国大会将在本校举行，为了搞好接待工作，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：男女15 7 7 8 9 9 99 8 16 0 0 1 2 4 5 8 98 6 5 0 17 2 5 67 4 2 1 18 01 0 19若男生身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”，女生身高在170cm以上（包括170cm）定义为“高个子”，在170cm以下（不包括170cm）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取6人，则应分别抽取“高个子”、“非高个子”各几人？（2）从（1）中抽出的6人中选2人担任领座员，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？17.（本小题满分14分）如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为、、的中点．（1）求证：；（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．18.（本小题满分14分）执行下面框图（图3）所描述的算法程序，记输出的一列数依次为，，…，，，．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“：”）（1）若输入，直接写出输出结果；（2）若输入，证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式．19.（本题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：以线段为直径的圆恒过轴上的定点.20.（本小题满分14分）二次函数.（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；（2）讨论函数在区间上的单调性；（3）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】试题分析：，，所以。

2013年佛山市普通高中高二教学质量检测数 学 (理科) 2013.1本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式：球的表面积公式24S R π=,其中R 为球的半径． 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1． 已知点(1,2),(3,6)A B -,则过,A B 两点的直线斜率为A.1-B.12C. D. 22. 若直线1l :410ax y -+=,2l :10ax y ++=,且12l l ⊥,则实数a 的值为A.2B.2±C.4D. 4±3. 若命题p :0x ∃>,2320x x -+>,则命题p ⌝为A. 0x ∃>,2320x x -+≤B. 0x ∃≤,2320x x -+≤C. 0x ∀>,2320x x -+≤D. 0x ∀≤,2320x x -+≤4．如图所示的几何体为正方体的一部份,则它的侧视图可能是A B C D5．若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥,c b //,则直线a 与cA. 一定平行B. 一定垂直C. 一定是异面直线D. 一定相交 6．若集合{}0,A m =,{}1,2B =,则“1m =”是“{}0,1,2AB =”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 A. 34150x y +-= B. 34150x y --=第4题图C. 43200x y -+=D. 43200x y --=8．已知命题p :sin y x =,R x ∈是奇函数；命题q :已知,a b 为实数,若22a b =,则a b =.则下列判断正确的是A. p q ∧为真命题B. ()p q ⌝∨为真命题C. ()p q ∧⌝为真命题D. ()()p q ⌝∨⌝为假命题 9．点(1,3)P -到直线:(2)l y k x =-的距离的最大值等于A . 2 B. 3 C.D. 10. 点P 到图形E 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形E 的距离.已知点(1,0)A ,圆C :2220x x y ++=,那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为的点的轨迹是A. 双曲线的一支B. 椭圆C. 抛物线D. 射线二、填空题:本大题共4小题 ,每小题5分，满分20分. 11．棱长为的正方体的外接球的表面积是 .12．若直线210x y -+=平分圆01222=+-++my x y x13．如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为棱1CC 的中点,则异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为 .14．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离是____________cm ．A 1第13题图三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分12分)如图,已知四边形OABC 是矩形,O 是坐标原点,OA 的坐标是),4AB =.(Ⅰ) 求点C 的坐标； （Ⅱ）求BC 所在直线的方程.16.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=︒, PA ⊥底面ABCD ,且2PA AD ==,1AB BC ==,M 为PD 的中点. (Ⅰ) 求证://CM 平面PAB ； （Ⅱ）求证:CD ⊥平面PAC .17.(本小题满分13分)已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上. (Ⅰ) 求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,求实数m 的值.第16题图PBAMDC第15题图18.(本小题满分14分)已知动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切. (Ⅰ) 求动圆圆心C 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）若轨迹T 上有两个定点A 、B 分别在其对称轴的上、下两侧,且||2FA =,||5FB =,在轨迹T 位于A 、B 两点间的曲线段上求一点P ,使P 到直线AB 的距离最大,并求距离的最大值.19.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥底面ABCD ,1AD =,2CD =,60DCB ∠=︒.(Ⅰ) 求证:平面11A BCD ⊥平面1BDD ；（Ⅱ）若二面角1D BC D --的大小为45︒, 求直线CD 与平面11A BCD 所成的角的正弦值.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为()0,4B ,离心率35e =. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若()0,0O 、()2,2P ,试探究在椭圆C 内部是否存在整点Q (平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得OPQ ∆的面积4OPQ S ∆=?若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．2013年佛山市普通高中高二教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.第19题图BD CAA 1B 1C 1D 1二、填空题:本大题共4小题 ,每小题5分，满分20分. 11．3π 12．2-1314．458三、解答题:本大题共6小题,满分80分,15.(本小题满分12分)如图,已知四边形OABC 是矩形,O 是坐标原点, O 、A 、B 、C 按逆时针排列,A 的坐标是),4AB =.(Ⅰ) 求点C 的坐标； （Ⅱ）求BC 所在直线的方程. 解: (Ⅰ)因为四边形OABC 是矩形,OA 所在直线的斜率OA k =…2分 所以OC 的斜率为3-,OC 所在的直线方程为y =,…4分 因为4OC AB ==,设(),C x ,则24OC x ===, ……………………6分所以2x =-或2x =(舍去),所以点C的坐标为(2,-.…………………………………………8分（Ⅱ）因为OA 与BC, 所以BC所在直线的斜率BC OA k k ==10分 所以BC所在直线的方程为()23332+=-x y ,即80x -+=.…………………………12分给分说明:第 （Ⅱ）问中的直线若正确地写成一般式或斜截式均给满分.16.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=︒,PA ⊥ 底面ABCD ,且2PA AD ==,1AB BC ==,M 为PD 的中点. (Ⅰ) 求证://CM 平面PAB ； （Ⅱ）求证:CD ⊥平面PAC . 解:(Ⅰ) 取PA 的中点E ,连结,ME BE ,…………1分因为M 为PD 的中点,所以1//2EM AD ,又1//2BC AD …………3分所以//EM BC ,所以四边形BCME 为平行四边形,所以//CM BE ,………………………………………5分 又BE ⊂平面PAB ,CM ⊄平面PAB ,所以//CM 平面PAB .………………………………6分 （Ⅱ）在直角梯形ABCD 中,//AD BC ,90BAD ∠=︒,1AB BC ==,2AD =,过C 作CH AD ⊥于H ,由平几知识易得AC =CD =第16题图P BA MD第16题答案图EPBA MDCH所以222AC CD AD +=,所以AC CD ⊥……………………9分 又PA ⊥ 底面ABCD ,CD ⊂底面ABCD , 所以PA CD ⊥…………………11分 又PAAC A =,所以CD ⊥平面PAC .…………………13分17.(本小题满分13分)已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上. (Ⅰ) 求圆C 的方程； （Ⅱ）若直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,求实数m 的值.解:(Ⅰ)解法一:设圆心(,)C a a ,因为AC BC =,所以=解得1a =……………………………………………………………………………………………………4分 所以圆心(1,1)C ,半径r AC == ……………………………………………………………………6分所以圆C的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………………………………………7分解法二:设圆C的方程为()()()2220x a y a r r -+-=>, ……………………………………………2分依题意得()()()222222332a a r a a r⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,………………………………………………………………………5分 解得21,5a r ==,所以圆C的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………………7分解法三:依题意易得线段AB 的中垂线方程为32y x =-,……………………………………………2分联立方程组32y x y x =⎧⎨=-⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩,所以圆心(1,1)C ,……………5分 下同解法一.（Ⅱ）因为直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4, 所以圆心(1,1)C 到直线2y x m =+的距离1d == ……………………………10分∴1，解得1m =-± ……………………………………………………………………13分18.(本小题满分14分)已知动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切. (Ⅰ) 求动圆圆心C 的轨迹T 的方程；（Ⅱ） 若轨迹T 上有两个定点A 、B 分别在其对称轴的上、下两侧,并且||2FA =,||5FB =,在轨迹T 位于A 、B 两点间的曲线段上求一点P ,使P 到直线AB 的距离最大,并求距离的最大值.解:(Ⅰ) 因为动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切,所以圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等, …………………………………2分由抛物线定义可知,C 的轨迹T 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线,…………………4分 所以动圆圆心C的轨迹T 的方程为24y x =.……………………………………………………………5分（Ⅱ）由已知得)0,1(F ,设A ),(11y x (其中10y >), 由2=FA 得1,2111==+x x ,所以()1,2A …………………………………………………………7分同理可得()4,4B -,所以直线AB 的方程为042=-+y x . …………………………………………9分解法一:设抛物线曲线段AOB 上任一点),(00y x P ,其中2004y x =,24,4100≤≤-≤≤y x ,则点P 到直线AB 的距离d 12分所以时点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………14分 解法二:设与AB平行的直线()204x y m m ++=≠-,…………………………………10分当与抛物线相切时,切点到AB 的距离最大. 由方程组2204x y m y x++=⎧⎨=⎩消元得()224440x m x m +-+=(*)由()2244160m m ∆=--=得12m =………………………12分 此时(*)式的解为14x =,切点1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,距离最大值为1059.…14分19.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥底面ABCD ,1AD =,2CD =,60DCB ∠=︒.(Ⅰ) 求证:平面11A BCD ⊥平面1BDD ；（Ⅱ）若二面角1D BC D --的大小为45︒,求直线CD 与平面11A BCD 所成的角的正弦值.解:(Ⅰ) 在ABD ∆中,由余弦定理得BD == 所以222AD BD AB +=,所以90ADB ∠=︒,即AD BD ⊥ 又四边形ABCD 为平行四边形,所以BC BD ⊥……………2分 又1D D ⊥底面ABCD ,BC ⊂底面ABCD ,所以1D D BC ⊥…4分又1D D BD D =,所以BC ⊥平面1BDD ,…………5分 又BC ⊂平面11A BCD ,所以平面11A BCD ⊥平面1BDD .……6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知BC ⊥平面1BDD ,所以1,D B BC DB BC ⊥⊥ 所以1D BD ∠为二面角1D BC D --的平面角, 所以145D BD ∠=︒,所以1DD BD ==.…………8分解法一:取1BD 的中点M ,连结,DM CM ,则1DM BD ⊥ 又平面11A BCD ⊥平面1BDD ,平面11A BCD 平面1BDD 1BD =,所以DM ⊥平面11A BCD所以DCM ∠为直线CD 与平面11A BCD 所成的角, …………………………10分 在Rt CDM ∆中,112DM BD ==2CD =,所以sin DCM ∠= 所以直线CD 与平面11A BCD ………14解法二: 以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则(1D ,()C -,()B ,所以()DC =-,()1,0,0BC =-,(11,CD =…10 设平面11A BCD 的法向量为(),,n x y z =,则100n BC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即00x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,令1z =,得()0,1,1n =,……12分设直线CD 与平面11A BCD 所成的角为θ,则3sin 2n DC n DCθ⋅===⋅第19题图BD CAA 1B 1C 1D 1 第19题解法一图BD C AA 1B 1C 1D 1M1所以直线CD 与平面11A BCD………………………14分 说明:第（Ⅱ）问可不写出C 点的坐标,而直接通过DC AB =,BC AD =,11CD BA =得到所需向量.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为()0,4B ,离心率35e =.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若()0,0O 、()2,2P ,试探究在椭圆C 内部是否存在整点Q (平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得OPQ ∆的面积4OPQ S ∆=?若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．解:(Ⅰ) 设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>,依题意得34,5c b a ==,又222a b c =+,…………………………………………3分 所以5,4,3a b c ===, 所以椭圆C 的方程为2212516x y +=.…………………5分（Ⅱ）依题意OP =,直线OP 的方程为y x =,因为4OPQ S ∆=,所以Q 到直线OP 的距离为, 所以点Q 在与直线OP 平行且距离为, 设:l y x m =+, 解得4m =±………………9分当4m =时,由22412516y x x y =+⎧⎪⎨+<⎪⎩,消元得2412000x x +<,即200041x -<<又x Z ∈,所以4,3,2,1x =----,相应的y 也是整数,此时满足条件的点Q 有4个.…………12分当4m =-时,由对称性,同理也得满足条件的点Q 有4个.综上,存在满足条件的点Q ,这样的点有8个. …………………………………14分。

中山市高二级2012—2013学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在△ABC 中，60A =︒，75B =︒，c =20，则边a 的长为A ．106B ．202C ．203D ．2062．不等式(50)(60)0x x -->的解集是A ．(,50)-∞B ．(60,)+∞C ．(50,60)D ．(,50)(60,)-∞+∞3．十三世纪初，意大利数学家斐波那契（Fibonacci ，1170～1250）从兔子繁殖的问题，提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”，该数列可用递推公式121,1,2;, 3.n n n n F F F n --=⎧=⎨+≥⎩ 由此可计算出8F =A ．8B ．13C ．21D ．344．函数()ln f x x x =的单调递减区间是A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．1(0,)eD ．1(,)e+∞5．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++，若1031S =，20122S =，则30S =A ．153B ．182C ．242D ．2736．关于双曲线22916144y x -=，下列说法错误的是A ．实轴长为8，虚轴长为6B ．离心率为54C ．渐近线方程为43y x =±D ．焦点坐标为(5,0)±7．下列命题为真命题的是A ．x ∀∈N ，32x x >B ．0x ∃∈R ，200220x x ++≤C ．“3x >”是“29x >”的必要条件D ．函数2()f x ax bx c =++为偶函数的充要条件是0b =8．已知函数32()f x x ax bx c =+++，x ∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：① f （x ）的解析式为：3()4f x x x =-，x ∈[-2，2]； ② f （x ）的极值点有且仅有一个； ③ f （x ）的最大值与最小值之和等于零. 则下列选项正确的是（ ）. A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上） 9．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项为 . 10．与椭圆221259xy+=焦点相同的等轴双曲线的标准方程为 .11．小明用TI-Nspire™ CAS 中文图形计算器作出函数1()(2)(3),[4,4]8f x x x x x =+-∈-的图像如右图所示，那么不等式()0f x ≥的解集是 .（用区间表示）12．已知(2,1,a = ，(4,2,)b x =- ，且a b ⊥ ，则||a b -=.13．在周长为定值P 的扇形中，当半径为 时，扇形的面积最大，最大面积为 . 14．已知抛物线2()2f x x x =-上一点(3,(3))P f 及附近一点'(3,(3))P x f x +∆+∆，则割线'P P 的斜率为'(3)(3)PP f x f k x+∆-==∆ ，当x ∆趋近于0时，割线趋近于点P 处的切线，由此可得到点P 处切线的一般方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15．（13分）已知函数()(2)(3)f x x x x =+-.（1）求导数()f x '； （2）求()f x 的单调区间.16．（13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n*∈均在直线12y x =+上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设123n a n b +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，试求n T .17．（13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .（1）若边BC 上的中线AD 记为a m ，试用余弦定理证明：22212()2a mbc a=+-.（2）若三角形的面积S =2221()4a b c +-，求∠C 的度数.18．（13分）某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少?用煤（吨） 用电（千瓦） 产值（万元） 甲产品 7 20 8 乙产品 3 50 1219．（14分）如图，在长方体1AC 中，12,2AB BC AA ===，点E 、F 分别是面11A C 、面1BC 的中心．以D 为坐标原点，DA 、DC 、D D 1所为直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，试用向量方法解决下列问题：（1）求异面直线AF 和BE 所成的角；（2）求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值．20. （14分）已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上, 右焦点到直线220x y -+=的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求实数m 的取值范围.AA 1BC D B 1C 1D 1 EF中山市高二级2012—2013学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）答案一、选择题：ACCCD DDB 二、填空题：9. 8； 10.22188xy-=； 11. [2,0][3,4]- ； 12. 38；13.4P ，216P； 14. 112x +∆，11180x y --=. （前空3分，后空2分）三、解答题：15． 解：（1）由原式得32()6f x x x x =--，……………（3分）∴2()326f x x x '=--. ……（6分） （2）令()0f x '<，解得11911933x -+<<， ……………（9分）令()0f x '>，解得1193x -<或1193x +>，……………（11分） 所以()f x 的单调递减区间为119119(,)33-+，……………（12分）单调递增区间为119(,)3--∞，119(,)3++∞. ……………（13分）16. 解：（1）依题意得，1,2n S n n=+即212n S n n =+. ……………（2分）当n≥2时， 221111()(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦; ………（5分）当n=1时，2111311121222a S ==+⨯==⨯-. ……………（6分） 所以*12()2n a n n N =-∈.……………（7分）（2）由（1）得12233n a nn b +==， ……………（8分） 由2(1)2123393n n nnb b ++===，可知{}n b 为等比数列.……………（10分） 由21139b ⨯==，……………（11分）故19(19)99198nn n T +--==-. ……（13分）17．解：（1）在ABD ∆中，222()2cos 22aa c m B a c +-=； ……………（2分）在ABC ∆中，222cos 2c a bB c a+-=. ……………（4分）∴ 222222()2222a a c m c ab ac a c +-+-=， ………………（5分）化简为：2222222222()424a ac a bb c am c +-+-=+-=， ∴ 22212()2a mbc a =+-.………………（7分） （2）由S =2221()4a b c +-，得12ab sin C =12cos 4ab C .………………（10分） ∴ tan C =1，得C =45︒.………………（13分）18. 解：设该厂每天安排生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则日产值812z x y =+，…（1分）线性约束条件为735620504500,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩.…………（3分）作出可行域. …………（6分）把812z x y =+变形为一组平行直线系8:1212z l y x =-+，由图可知，当直线l 经过可行域上的点M 时，截距12z 最大，即z 取最大值.解方程组73562050450x y x y +=⎧⎨+=⎩，得交点(5,7)M ，……………（10分） max 85127124z =⨯+⨯=.……………（12分）所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为124万元.………………（13分） 19. 解：（1）A （2，0，0），F （1，2，22），B （2，2，0），E （1，1，2），C （0，2，0）. ∴2(1,2,),(1,1,2)2AF BE =-=--， ……（4分） ∴ 1210AF BE →→∙=-+=. ……（6分） 所以AF 和BE 所成的角为90︒ .……（7分）AA 1BC DB 1C 1D 1EF（2）设平面BEC 的一个法向量为(,,),n x y z =又(2,0,0),BC =-(1,1,2),BE =--则：20n BC x ∙=-=，20n BE x y z ∙=--+=. ∴0x =， 令1z =，则：2y =,∴ (0,2,1)n →=. …………（10分）∴ 525332,332232AF nC O S AF n AF n∙<>===∙⨯. ……………（12分）设直线AF 和平面BEC 所成角为θ，则：53333Sin θ=.即 直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值为53333. ……………（14分） 20. 解：（1）依题意可设椭圆方程为 2221(1)x y a a+=> ，……………（1分）则右焦点2(1,0)F a -. ……（2分）由题设条件：212232a -+=, 解得：23a =.……………（4分） 故 所求椭圆的标准方程为：2213xy +=.……………（5分）（2）设P 为弦MN 的中点，联立2213y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， ………………（6分）消y 得： 222(31)63(1)0k x mkx m +++-=. ………………（7分）由于直线与椭圆有两个交点， 0,∴∆>即 2231m k <+ ① …………（8分）23231M Np x x mk x k +∴==-+， 从而 231p p m y kx m k =+=+，21313p Ap py m k k x m k+++∴==-.又 ,A M A N A P M N =∴⊥，则： 23113m k m kk++-=-，即： 2231m k =+ ② ， ……………（12分）把②代入①得：22m m >，解得： 02m <<； 由②得：22103m k -=>，解得：12m >. 所以，122m <<.………………（14分）。