《1.2.3 直线与平面的位置关系——2.直线与平面垂直》教学案

《直线与平面垂直的判定》教学设计一、内容和内容解析本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。

直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。

直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线（无一例外）都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理，本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。

直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的。

本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。

直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。

二、学情分析（1）学生的起点能力分析学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。

学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。

部编《直线与平面垂直》教学设计教学设计：《直线与平面垂直》一、教学目标1.知识目标：了解直线与平面的定义，理解直线与平面垂直的概念，学会判断直线与平面是否垂直。

2.技能目标：能够通过给定的条件判断直线与平面是否垂直，能够应用垂直性质解决实际问题。

3.情感目标：培养学生对几何知识的兴趣和探索精神，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

二、教学重点与难点1.教学重点：直线与平面的定义，直线与平面垂直的概念。

2.教学难点：判断直线与平面是否垂直的方法和理由。

三、教学过程1.导入（5分钟）教师出示一张平面图，向学生提问：“在这张平面图上，你认为哪些直线与平面垂直？”让学生思考并回答。

引导学生注意直线与平面垂直的特点。

2.新知呈现（10分钟）教师通过示意图和实物模型来呈现直线与平面垂直的定义和概念，引导学生理解直线与平面垂直的含义。

并讲解直线与平面垂直的必要条件。

3.实例分析（15分钟）教师出示几个实例，与学生一起分析每个实例中的直线与平面是否垂直。

引导学生观察直线与平面的相对位置和角度，并根据给定的条件判断直线与平面的关系。

4.讲解判断方法（15分钟）教师讲解判断直线与平面垂直的方法和理由。

引导学生根据垂直性质进行判断，并归纳总结出判断直线与平面垂直的规律。

5.练习与讨论（15分钟）教师出示一些练习题，让学生通过练习判断直线与平面的关系。

学生在解题过程中可以互相讨论和交流，共同探讨如何判断直线与平面是否垂直。

6.拓展延伸（15分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生进一步思考直线与平面垂直的相关问题，并结合实际生活中的例子进行讨论，拓宽学生的思维和应用能力。

7.总结与评价（10分钟）教师对本节课所学的知识进行总结，并通过提问和讨论的方式评价学生对于直线与平面垂直的理解程度。

四、教学资源1.平面图、直线模型、实物模型2.相关课本教材和练习题五、教学评价1.学生能够准确理解直线与平面垂直的概念和定义。

2.学生能够正确判断直线与平面是否垂直的方法和理由。

1.2.3 第1课时直线与平面垂直三维目标1．知识与技能(1)经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义．(2)通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．2.过程与方法(1)通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力．(2)在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．(3)尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．3．情感、态度与价值观经历线面垂直的定义和定理的探索过程，培养严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度.重点、难点重点：直线与平面垂直的定义和判定定理、性质定理．难点：掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，并会用他们解决垂直问题．重难点突破：以日常生活中见到的线面垂直的实例为切入点，通过“展示物体的支架图片直观感知”和“折纸的操作探究”两条途径让学生经历由特殊到一般，由具体到抽象，让学生增加线面垂直的感性认识的同时突出重点、突破难点．通过学生观察长方体侧棱及侧面同底面的关系，提出直线和平面垂直的性质定理及平面和平面垂直的性质定理的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质定理，最后通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，帮助学生突出重点、化解难点．教学建议直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展．也是连接线线垂直和面面垂直的纽带，在教材中起到了承上启下的作用．鉴于本节知识的特点，建议采用“启发——探究”的教学方法，先利用投影仪展示多幅图片，使学生直观感知线面垂直的定义；紧接着让学生动手参与折纸试验，并对试验现象进行观察分析和归纳概括；通过一系列的双边活动，帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过渡，从而完成定义的建构和定理的发现．最后通过典例及变式训练突出线面垂直判定定理和性质定理的应用．知识梳理1．两条直线互相垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，且______________，则称这两条直线互相垂直．2．空间直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交于一点，并且和这个平面内过交点的____________________，我们说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫________________，这个平面叫________________，交点叫________，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的__________，垂线段的长度叫这个点到平面的________．3．直线与平面垂直的判定定理定理：如果________________________________________________，则这条直线与这个平面垂直．4.直线与平面垂直的性质定理①线面垂直⇒线线平行【提示】12．任何直线都垂直平面的垂线直线的垂面垂足垂线段距离3．一条直线与平面内的两条相交直线垂直4.①线面垂直⇒线线平行知识点1 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义【问题导思】在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各个时刻旗杆AB所在的直线与其影子BC所在的直线什么关系？【提示】垂直．1．直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直的定义及性质把直线AB 画成和表示平面的平行四边形的一边.【提示】1.经过平移后直角 2.任何直线都垂直ABα垂直垂线垂面垂足垂线段距离任意一条例1 下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【思路探究】与线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行对照，区分异同，分析条件变换的影响，辨析正误．【自主解答】①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；②由定义知正确；③中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定义知也与两底边所在直线垂直，所以正确；④中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确．故选B.【答案】B规律方法总结1．直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．2．由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.变式训练1 有下列说法：①如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任意直线都不垂直．②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．③过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A且垂直于a的平面内．其中错误的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③【解析】①直线与平面平行，过该直线任作平面与已知平面相交，则直线与交线平行，可知平面内与交线垂直的所有直线都与已知直线垂直，①错误；②如果平面内的无数条直线是平行的，那么就不能得到直线和平面垂直的结论，②错误；③因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以过点A与直线a垂直的直线都在过点A且与a垂直的平面内，③正确．【答案】A知识点2 直线与平面垂直的判定与性质【问题导思】将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC 与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．1．折痕AD与桌面一定垂直吗？【提示】不一定．2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？【提示】 当AD ⊥BD 且AD ⊥CD 时，折痕AD 与桌面垂直． 1．直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 推论1：如果在两条 中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；推论2：如果两条直线 ，那么这两条直线平行． 2．直线与平面垂直的性质定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的 一条直线垂直． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b .【提示】1.两条相交 平行直线 垂直于同一个平面 2.任意 例2 在平面α内有直角∠BCD ，AB ⊥平面α，求证CD ⊥平面ABC .【思路探究】【自主解答】 如图所示．⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥αCD ⊂α⇒AB ⊥CD∠BCD ＝90°⇒BC ⊥CDAB ∩BC ＝B⇒CD ⊥平面ABC .规律方法总结1．使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．2．线面垂直的定义具有双重作用：判定和性质，证题时常用它作为性质使用，即“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线”．变式训练2 如图1－2－24，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，O 是底面ABCD 的中心，求证：EF ⊥平面BB 1O .图1－2－24【证明】∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.例3 如图1－2－25所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于点E、F、G.求证：AE⊥SB.图1－2－25【思路点拨】要证AE⊥SB，只要证AE⊥面SBC，∵SC⊥面AGFE，∴SC⊥AE，故只要证AE⊥BC，只要证BC⊥面SAB.∵BC⊥AB.SA⊥BC.显然得证．【自主解答】∵SA⊥面ABCD，∴SA⊥BC.∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC.∵SA∩AB＝A，∴BC⊥面SAB.∵AE⊂面SAB，∴BC⊥AE.∵SC⊥面AGFE，∴SC ⊥AE . 又∵BC ∩SC ＝C ， ∴AE ⊥面SBC . 而SB ⊂面SBC ， ∴AE ⊥SB .规律方法总结1．线线垂直的证明，常转化为线面垂直来证明，即：把两条直线中一条放在某个平面内，然后证明另一条垂直于这个平面．要证线面垂直，可通过线面垂直的定义及判定定理，体现了线线垂直→线面垂直→线线垂直转化，解题时要注意这种相互转化关系的合理应用．2．要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题的有效方法． 变式训练3如图1－2－26，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．图1－2－26(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .【证明】 (1)如图，取PD 的中点E ，连接NE ，AE . 因为N 为PC 的中点，E 为PD 的中点， 所以NE ∥CD 且NE ＝12CD ，而AM ∥CD 且AM ＝12AB ＝12CD ，所以NE ∥AM 且NE ＝AM . 所以四边形AMNE 为平行四边形， 所以MN ∥AE . 因为P A ⊥平面ABCD ， 所以P A ⊥CD .又因为ABCD 为矩形， 所以CD ⊥AD .而AD∩P A＝A，所以CD⊥平面P AD，所以CD⊥AE，又AE∥MN，所以CD⊥MN.(2)由(1)知，CD⊥AE，MN∥AE.因为∠PDA＝45°，在等腰直角三角形P AD中，E为PD的中点，所以AE⊥PD.又PD∩CD＝D，所以AE⊥平面PCD，而AE∥MN，所以MN⊥平面PCD.课堂小结1．直线与平面垂直的判定方法：(1)利用定义；(2)利用判定定理，其关键是在面内找两条相交直线．2．对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解：(1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．当堂检测1．下列命题中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是()A．a⊥β B．a∥βC．a⊂β D．a⊂β或a∥β【答案】D3．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．【答案】4【解析】由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．4．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．【答案】①②③【解析】①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为基本性质4的应用．5．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：MN⊥平面A1BC．证明如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．反思感悟1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直⇔线面垂直”．2．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．。

直线和平面垂直（四）教学目的：1．掌握三垂线定理及其逆定理的证明；2．正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直． 教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明教学难点： 用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内a α⊂（无数个公共点）；（2）直线和平面相交a A α=（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行//a α（没有公共点）．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒．3．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．βαm l4．线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足．直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α．5．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．6直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那麽这两条直线平行．7三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭ ．8．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直．推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．注意：（1）三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理（2）要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用．三、讲解范例例1 如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔AB ，高15m ，只有量角器和皮尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？解：在道路边取点C ，使BC 与道路边所成的水平角等于90， 再在道路边取一点D ，使水平角45CDB ∠=，测得,C D 的距离等于20m ，∵BC 是AC 在平面上的射影，且CD BC ⊥∴CD AC ⊥（三垂线定理）因此斜线段AC 的长度就是塔顶与道路的距离，∵45,,20CDB CD BC CD m ∠=⊥=，∴20BC m =，在Rt ABC ∆中得2222||152025()AC AB BC m =+=+=，答：电塔顶与道路距离是25m ．例2 点A 为BCD ∆所在平面外的一点，点O 为点A 在平面BCD 内的射影，若,AC BD AD BC ⊥⊥，求证：AB CD ⊥．证明：连结,,OB OC OD ，∵AO BCD ⊥平面，且AC BD ⊥∴BD OC ⊥（三垂线定理逆定理）同理OD BC ⊥，∴O 为ABC ∆的垂心，∴OB CD ⊥，又∵AO BCD ⊥平面，∴AB CD ⊥（三垂线定理）．例3 已知：四面体S ABC -中，,SA ABC ABC ⊥∆平面是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影，O DC B A HCS BA求证：H 不可能是SBC ∆的垂心．证明：假设H 是SBC ∆的垂心，连结BH ，则BH SC ⊥，∵BH SBC ⊥平面∴BH 是AB 在平面SBC 内的射影，∴SC AB ⊥（三垂线定理）又∵SA ABC ⊥平面，AC 是SC 在平面ABC 内的射影∴ AB AC ⊥（三垂线定理的逆定理）∴ABC ∆是直角三角形，此与“ABC ∆是锐角三角形”矛盾 ∴假设不成立，所以，H 不可能是SBC ∆的垂心．例4 已知：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是,AC BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．证明：1AA ABCD ⊥平面，AF 是1A F 在面ABCD 上的射影 又∵AC BD ⊥，∴1A F BD ⊥取BC 中点G ，连结1,FG B G ，∵111111,A B BCC B FG BCC B ⊥⊥平面平面，∴,B G 为1A F 在面11BCC B 上的射影，又∵正方形11BCC B 中，,E G 分别为1,CC BC 的中点，∴1BE B G ⊥，∴1A F BE ⊥（三垂线定理）又∵EBBD B =，∴1A F BED ⊥平面． GF E D C B A D 1C 1B 1A 1ABCPD四、课堂练习1．如图，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P到直线BC的距离．参考答案：设BC的中点为D，连结PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即PD的长度就是P到直线BC的距离．而PD＝13．2．如图，l是平面α的斜线，斜足是O，A是l上任意一点，AB 是平面α的垂线，B是垂足，设OD是平面α内与OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C，若直线l与平面α所成的角θ＝45°，∠BOC＝45°，求∠AOC的大小．参考答案：连结BC．中，有∠AOC＝60°．五、小结我们学习了三垂线定理及其逆定理，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，我们称之为线面垂直法；还通过练习的训练加深了定理的理解，同时得到立体几何问题解决的一般思路．六、课后作业七、板书设计（略）八、课后记。

βαm la αaα 1.2.3 直线与平面垂直教学目的：1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定、性质定理解决问题 .教学重点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用. 教学难点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ⊂α，a ⋂α=A ，a//α.2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.二、研探新知1.观察实例,发现新知现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。

2.实例研探,定义新知探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。

《直线、平面之间的位置关系》教学设计用符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关系；理解直线与平面垂直的含义、了解点面距、线面距、面面距的定义教学重点：直线与平面垂直的含义、点面距、线面距、面面距的定义． 教学难点：从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系．PPT 课件．【新知探究】问题1：空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系有哪些位置关系？.师生活动：结合图11－1－17，总结空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系.预设的答案：直线与平面的位置关系：一般地，如果l 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则：lα≠∅与l α=∅有且仅有一种情况成立.（1）当l α≠∅时，要么l α⊂，要么l 与α只有一个公共点； （2）当lα=∅时，称直线l 与平面α平行，记作：//l α.平面与平面的位置关系：如果α与β是空间中的两个平面，则αβ≠∅ 与◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标αβ=∅有且仅有一种情况成立．（1）当αβ≠∅时，α与β的公共点组成一条直线；（2）当αβ=∅时，称平面α与平面β平行，记作：//αβ.文字语言表达图形语言表达符号语言表达A是直线l上的点，A1不是直线l上的点A∈l，A1∉l A是平面α内的点，A1不是平面α内的点A∈α，A1∉α直线l在平面α内(或平面α过直线l)l⊂α直线l在平面α外直线l与平面α相交l∩α＝Al⊄α直线l与平面α平行l∥α平面α与平面β相交于l α∩β＝l 平面α与平面β平行α∥β设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题2：观察图中的长方体(1) A1A与AB是否垂直，A1A与AD是否垂直并说明理由；(2) 判断A1A与AC是否垂直；(3) 若直线在平面ABCD 内，且过点A ，判断A 1A 与l 是否垂直.师生活动：引导学生阅读教材，给出结论 预设的答案：直线与平面垂直：由观察可知，图中，不管直线的具体位置如何，只要,A l l ∈⊂平面ABCD ，则一定有1A A l ⊥.追问：如何定义直线与平面垂直？空间距离有哪些？ 预设的答案：直线与平面垂直的定义：一般地，如果直线l 与平面α相交于一点A ，且对平面α内任意一条过点A 的直线m ，都有l m ⊥，则称直线l 与平面α垂直（或l 是平面α的一条垂线，α是直线l 的一个垂面），记作l α⊥），其中点A 称为垂足. 因此，图中长方体中，有1A A ⊥平面ABCD ，类似地，有1A A ⊥平面1111,A B C D 11A B ⊥平面11BCC B .点到平面的距离、直线到平面的距离：给定空间中一个平面α以及一个点A ，过A 可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B ，则称B 为A 在平面α内的射影（也称为投影），线段AB 为平面α的垂线段，AB 的长为点A 到平面α的距离.特别地，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；平行平面间的距离：当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为两平行平面之间的距离.因此，点1A 到面ABCD 的距离等于线段1A A 的长，直线11A B 到面ABCD 的距离等于线段1A A 的长，面1111A B C D 与面ABCD 之间的距离等于1A A 的长.设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】 例1.思考辨析(1)直线l 在平面α内，记作l ∈α.( ) (2)若a ∩b ＝∅，则a 与b 平行．( )(3)若l ∩α≠∅，则直线l 与平面α有公共点．( ) (4)若直线l 在平面α外，则直线l 与平面α平行．( )(5)若α∩β≠∅，则平面α与平面β相交，且交于一个点．( ) 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案： (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 设计意图：了解点、线、面位置关系的表示． 例2. 下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： B 当α内的无数条直线平行时，l 与α不一定垂直，故①不对； 当l 与α内的一条直线垂直时，不能保证l 与α垂直，故②不对； 当l 与α不垂直时，l 可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确． 设计意图：直线与平面垂直的概念辨析例3. 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，AA 1＝3 cm ，则 (1)点A 到平面DCC 1D 1的距离为________； (2)直线AA 1到平面BCC 1B 1的距离为________； (3)平面ABCD 与平面A 1B 1C 1D 1之间的距离为________. 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：(1)4 cm (2)6 cm (3)3 cm 设计意图：进一步认识空间距离及求法 【课堂小结】问题：（1）直线与平面、平面与平面位置关系有哪些？ （2）直线与平面垂直是定义是什么？空间距离有哪些？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．直线a 与平面α的位置关系：⎩⎨⎧a ∩α＝∅⇒a ∥αa ∩α≠∅⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 与α相交a 在α内；平面α与平面β的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧α∩β＝∅⇒α与β平行α∩β≠∅⇒α与β相交2．直线与平面垂直：(1)定义：一般地，如果直线l 与平面α相交于一点A ，且对平面α内任意一条过点A 的直线m ，都有l m ⊥，则称直线l 与平面α垂直．(2)点面距：若点A 是平面α外一点，AB ⊥α，B 为垂足，则线段AB 的长 为点A 到平面α的距离．(3)线面距、面面距转化为点面距．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生想出几何体的基本元素、及点、线、面的位置关系，从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．布置作业： 【目标检测】1. 给出下列四个命题：①若直线l ∩m ＝∅，则l 与m 平行；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；④若m ⊂α，m ∩β＝M ． 那么平面α与平面β相交，其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 设计意图：考查空间两个平面的位置关系 2. 下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线l 是平面α的一条垂线，则直线l 垂直于 平面α内的所有直线；④若直线l 垂直于平面α，则称平面α是直线l 的一个垂面． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线、平面间的位置关系： ①A 1B 与D 1C ________；②A1B与B1C________；③D1D与平面BCC1B1________；④AB1与平面BCC1________；⑤平面ABB1与平面DCC1_________；⑥平面ABB1与平面DD1A1________.设计意图：考查空间两条直线、空间两个平面的位置关系4.线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD-A′B′C′D′.(1)该长方体的高为________cm；(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm；(3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.设计意图：考查空间距离的求法参考答案：1.A对于①，直线l∩m＝∅，即直线l与直线m没有公共点，l与m可能平行，也可能异面，∴l不一定与m平行．故①错．对于②，直线a在平面α外包括两种情形：a∥α，a与α相交，故②错．对于③，由直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故③错．对于④，∵m⊂α，m∩β＝M，∴点M∈α，M∈β，故平面α与平面β相交，故④正确．2.C①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；由定义知②③④正确．3.①平行②异面③平行④相交⑤平行⑥相交4．(1)3(2)4(3)5如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.。

直线与平面垂直的判定教案一、教学目标：1. 让学生理解直线与平面垂直的概念。

2. 让学生掌握直线与平面垂直的判定方法。

3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 直线与平面垂直的定义。

2. 直线与平面垂直的判定方法。

3. 直线与平面垂直的性质。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：直线与平面垂直的判定方法。

2. 教学难点：如何运用判定方法判断直线与平面是否垂直。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解直线与平面垂直的定义、判定方法和性质。

2. 利用几何模型和实物道具，直观展示直线与平面垂直的关系。

3. 开展小组讨论，让学生互相交流、合作解决问题。

4. 布置适量练习题，巩固所学知识。

五、教学过程：1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾直线、平面垂直的相关概念。

2. 讲解直线与平面垂直的定义：直线与平面垂直是指直线在平面上的投影为一点。

3. 讲解直线与平面垂直的判定方法：（1）利用垂直线段判定法：若直线与平面内一条线段垂直，则该直线与平面垂直。

（2）利用垂线判定法：若直线与平面内任意一条直线都垂直，则该直线与平面垂直。

4. 讲解直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直的线段长度相等。

（2）直线与平面垂直的线段构成的角为直角。

5. 课堂练习：让学生运用判定方法判断给出的直线与平面是否垂直。

6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

7. 布置作业：布置一些有关直线与平面垂直的练习题，让学生巩固所学知识。

六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对直线与平面垂直的定义、判定方法和性质的理解程度。

2. 观察学生在解决问题时是否能灵活运用所学知识，判断其运用能力。

3. 鼓励学生参与课堂讨论，评价其合作与交流能力。

七、教学反馈：1. 收集学生作业，分析其对直线与平面垂直知识的掌握情况。

2. 听取学生对教学内容的建议和意见，不断调整教学方法。

1.2.3 直线与平面垂直【教学内容解析】本节课是苏教版教材必修2中第一章第二节的内容，属于新授概念原理课.其中直线与平面垂直的概念、判定定理的形成是教学重点.这是直线与平面垂直在本节中的位置.线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.线面平行研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，且后续内容如：空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.通过本节课的学习研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象、推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法．因此，学习这部分知识有着非常重要的意义．【教学目标设置】1.学生通过对实例、模型的观察、抽象,概括出直线与平面垂直的定义，发现、猜想、归纳直线与平面垂直的判定定理．2.在定义、定理的探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展类比、归纳等合情推理能力、逻辑思维能力和空间想象能力．3.学生运用特殊化、类比、化归等数学思想，体验了研究空间关系的一般方法.4.在探究线面垂直的定义和判定的过程中，体会数学的严谨、简洁之美，体验探究发现的乐趣，培养善于观察、勇于探索的良好习惯.【学生学情分析】1.学生已有的认知基础学生能够感知生活中有大量的线面垂直关系，已经掌握了线线垂直、线面平行的相关知识，从而具备了研究空间位置关系的经验，也体会了立体几何中化归的数学思想方法.2.达成标所需要的认知基础要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，还需要整体上把握本节课的研究内容、方法和途径，能运用类比、化归等数学思想，同时具备较好地观察发现、空间想象、合情推理、抽象概括等能力，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.我校为普通高中，招收的学生大部分基础薄弱，自主学习能力差.进入高一，虽然能领悟一些基本的数学思想与方法，但还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的探究能力也有待培养.3.难点及突破策略难点：1.运用类比、化归等数学思想方法来研究直线与平面垂直的定义，突破“任意”的生成和理解.3.探究、归纳、理解直线与平面垂直判定定理，突破“无限”与“有限”的转化.突破策略：1.启发学生明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段．2.引导学生经过直观感知、操作确认、思辨论证的过程形成线面垂直的定义和判定定理.3.发动学生通过问题串交流、汇报、展示思维过程，相互启发.【教学策略分析】根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用教法和学法如下：1.教师创设情境，学生列举实例，形成关于线面垂直的直观感知.2.教师启发引导，学生明确按照“定义——判定——性质”的研究程序，强化空间位置关系的常用研究策略——降维化归.3.教师以问题串为载体，驱动学生主动参与知识建构、合作探究.4.教师分层设计知识应用，引导反思，学生深化理解，形成知识体系.【教学过程】一、创设情境、建构定义1.回顾旧知引入课题[问题1]直线和平面有几种位置关系？[问题2] 已经掌握了直线和平面平行的哪些内容？[问题3]直线与平面相交中最特殊的一种位置关系是什么？[问题4] 研究关于“直线与平面垂直”的什么内容？[问题5] 怎样研究“直线与平面垂直”呢？师生活动：通过问题让学生复习了已经学过的知识，让学生利用手中的工具摆出“线面相交”的情形，并指出其中最特殊的情况，并进行命名.学生能说出研究“线面垂直”的哪些内容和怎样去进行研究.设计意图：简单回顾直线与平面的三种位置关系和线面平行的研究内容、研究方法，引出直线与平面相交时的特殊情况——“直线与平面垂直”及其研究内容.2.创设情境启发定义情境1 “直线与平面垂直”在我们的生活中有许多直观的感知，请举例.几何体中“直线与平面垂直”形象吗？请举例.情境2 有没有与地面不垂直的建筑物呢？请举例.[问题6] 为什么感觉斜塔与地面不垂直？[问题7] 关于“垂直”我们已知的是什么？[问题8] 能不能用已知的“线与线的垂直关系”来刻画未知的“线与面的垂直关系”呢？师生活动：学生能够从直观感知入手，通过教师的追问，引起学生思考，何刻画出斜塔与地面不垂直的原因，进而抓住线面“垂直”就是平面内找不到与它不垂直的直线.设计意图：旨在让学生直观感知“线面垂直”.学生自由举例，列举生活中，几何体中“线面垂直”的例子.大量丰富的正面例子有助于学生观察不同的例子所具有的共同特征，形成关于线面垂直的直观感知.再从反例——“比萨斜塔”，借助“比萨斜塔”的“斜”启发定义.正反例的对比中更容易抓住事物的本质与核心.3. 验证猜想建构定义[问题9] 一条直线真的能与一个平面内的所有直线都垂直吗？有这样的实际模型吗？师生活动：通过教师提问：“圆锥的轴所在的直线与底面内所有的直线都垂直吗？”学生独立思考，小组交流，汇报.教师再用几何画板演示，进行说明猜想的合理性.设计意图：对于定义合理性的解释、猜想正确性的检验，直观演示能起到不可替代的效果.因此通过圆锥的实例，说明一条直线与平面内的所有直线都垂直的状态是存在的，也让学生的认知结构中拥有了关于概念的实际模型.4.认识定义巩固深化[问题10] 你能给“直线与平面垂直”下个定义吗？师生活动：通过辨析定义——“‘任意’的含义是什么？等价于‘所有’吗？等价于‘无数’吗？”；通过三种语言表示定义；通用利用定义证明例题1——“求证：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直与这个平面.”等多个环节进一步认识定义，体会定义中“双向叙述”的功能.并在作图的同时介绍垂线，垂面，垂足等概念.设计意图：对定义进行多角度和深入理解，对数学思维方法的渗透和对研究问题的方法的指导能在教学中达到事半功倍的效果.例题1的教学，在学生独立思考后，让学生板演展示和相互评价，让学生得到充分的训练和表达，同时对证明格式提出规范性要求.证明之后，再对此题重新深刻理解，从直观的判断变为理性的思考，符合学生的认知规律.定义的认识和例题的证明中多次使用三种语言转换，也有助于学生空间想象能力的培养.二、简化定义获得猜想[问题11] 工人怎样检验旗杆是否与地面垂直呢？师生活动：通过检验“旗杆与地面是否垂直”的问题激发学生寻求判定线面垂直的新方法.学生有要简化定义中的“任意一条直线”为“有限条直线”的想法. 教师进而追问:简化成“一条直线”行吗？“两条直线”呢？学生进行思考，辩证. 学生能够猜想到：一条直线垂直于平面内的两条相交直线就可以得到一条直线垂直于这个平面.设计意图：通过询问学生工人如何检验旗杆是否与地面垂直的？让学生感受到了寻求判断线面垂直新方法的必要性，又开启了他们简化定义中“任意一条”的想法，于此同时对每一种想法进行辨析，培养了学生的空间想象能力，而后获得关于线面垂直判定定理的猜想.三、汇报交流形成定理1.直观感知师生活动：学生带着猜想，寻找辅证的实例.2.操作试验师生活动：学生带着猜想，通过实验：“（1）怎样将一本书立在桌面上，使得书脊能与桌面垂直？这样的书至少需要几页呢？（2）将手中的练习纸折叠，折痕满足什么条件，折痕与桌面垂直？”进行动手操作，确认猜想.3.直观演示师生活动：教师通过几何画板演示进一步说明猜想的合理性,学生进一步增加直观体验.4.形成判定师生活动：学生叙述线面垂直的判定定理，并用图形语言和符号语言表示“直线与平面垂直”的判定定理.教师进行点评与总结.师：如图，哪一幅作图更具有一般性？说明理由.师：判定定理也是由线“线”垂直推出线“面”垂直.这里的“线”较之定义发生了怎样的变化？生：已经简化为了“面”内两条相交直线.师：“线不在多，相交则行”.现在去判断线面垂直有哪些方法？生：可以用定义，也可以用判定定理.师：这样，除了定以外，我们就又增加了一个判定“线面垂直”的方法.在这里，我们把“线面垂直的问题转化为线线垂直”来解决，充分体现了“降维转化”的思想.我们解决问题时也要选择最佳方法.设计意图：获得猜想是合情推理的第一步，如何让学生在不加证明的情况下，心悦诚服的接受“判定定理”呢？于是引导学生带着猜想，寻找实例验证，再通过折纸试验和几何画板演示双重操作确认，进一步增强学生的直观感受的同时进行理性思考，最终形成定理.接着同样要求学生用三种语言表示它，认识定理.四、数学应用巩固深化[问题11] 现在你是工人，怎样检验旗杆是否与地面垂直呢？例2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）AC⊥平面BDD1（2）求证：AC⊥BD1师生活动：学生分析条件以及要证明的结论，合理选择方法，独立求解，教师板书示范解题过程,并引导学生进行归纳：线线垂直.设计意图：判定定理的应用分为三个层次进行：第一层次让学生理解、记忆定理并进行简单运用；第二层次通过空间简单位置关系的证明，培养学生逻辑推理能力，重视对学生思考策略的引导和启发，通过教师示范、学生互评规范证明题的书写；第三层次是训练学生灵活应用判定定理和定义，能适当的进行线线和线面位置关系之间的转化.五、概括总结分层作业[问题12]本节课我们学习了哪些知识？掌握了哪些方法？体会了哪些思想？今后我们还要学习什么呢？师生活动：学生思考、回答，教师适当点拨、补充.设计意图：开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获. 引导学生主动建构，形成知识体系；预测未来的学习内容，旨在进一步感悟数学思想；规范立几学习，提出能力要求.课后作业必做题：第34页第1（1）（2），3题；第36页第6,7题选做题：第37页第10题拓展题：运用今天的研究方法，你还能进行其它位置关系的探究吗？设计意图：分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求.。

直线与平面垂直教案
一、教学目标
1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

二、教学重点、难点
1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

三、课前准备
1.教师准备：
教学课件。

2.学生自备：
三角形纸片、铁丝（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板。

四、教学过程设计
1.直线与平面垂直定义的建构：
（1）创设情境：
①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？
②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？
③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。

（2）观察归纳：
①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？
②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。

③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α。

直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。