数列综合练习题及答案

高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）a2＝6，a3＝12. an＝n(n＋1)．（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】解：(1)∵a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，∴a2＝6，a3＝12.当n≥3时，an －an－1＝2n，a n－1－a n－2＝2(n－1)，又a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，∴an －a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，∴an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝6，也满足上式，∴数列{an }的通项公式为an＝n(n＋1)．(2)bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝.令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn )max＝.要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，则需t2－2mt＋>(bn )max＝，即t2－2mt>0对∀m∈[－1,1]恒成立，∴，解得t>2或t<－2，∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2.一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意an ∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(a n)得到的数列{an }满足an＋1>a n(n∈N*)，则该函数的图象是()【答案】A【解析】由an＋1>a n可知数列{a n}为递增数列，又由a n＋1＝f(a n)>a n可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.3.设函数）定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn+1=的值为( ) A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】,又根据,所以有,,,, .,所以可知：,,故选D.【考点】数列的周期性4.是点集A到点集B的一个映射，且对任意，有.现对点集A中的点，，均有，点为（0,2），则线段的长度 .【答案】【解析】∵，∴，，，，，，…，根据变化规律可知，∴，，∴.【考点】1.数列的性质；2.两点间距离公式.5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)【答案】(1)5030(2)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为an=,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,….从而由上述规律可猜想:b2k =a5k= (k为正整数),b2k-1=a5k-1==,故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.6.已知数列满足，则该数列的通项公式_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，，…，，∴，∴，∴.【考点】1.累加法求通项公式；2.裂项相消法求和.7.数列满足，则 .【答案】【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换得（），两式相减得，，又，即，故.【考点】数列的通项公式.8.已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】是递减数列，从开始是用式子计算，这时只要，即即可，关键是是通过二次式计算，根据二次函数的性质，应该有且，即且，解得，综上取值范围是．【考点】数列的单调性．9.已知数列{｝的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为．【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.10.甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．（1）证明：是一个常数；（2）求与的关系式；（3）求的表达式．【答案】(1)18;(2);(3) .【解析】(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系，证明是一个常数；(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式，求解与的关系式；（3）根据第二问的递推关系，采用构造数列的思想进行求解.试题解析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而（常数）． 4分（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得① 8分（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列．由①，,由等比数列的通项公式知：，所以． 12分【考点】1.数列的递推式；（2）数列的通项公式；（3）实际应用问题.11.等比数列的各项均为正数，且，则【答案】B【解析】等比数列中，所以【考点】等比数列性质及对数运算点评：等比数列中，若则，在对数运算中12.已知数列的首项为，对任意的，定义.（Ⅰ）若，(i)求的值和数列的通项公式；(ii)求数列的前项和；（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.【答案】(1) ,,(2) 当为偶数时，；当为奇数时，【解析】(Ⅰ) 解：(i),,………………2分由得当时，=………4分而适合上式，所以.………………5分(ii)由(i)得：……………6分……………7分…………8分(Ⅱ)解：因为对任意的有，所以数列各项的值重复出现，周期为. …………9分又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分设数列的前项和为，则，当时，，……………11分当时，，…………12分当时所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分【考点】数列的通项公式，数列的求和点评：解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用，并能结合裂项法求和，以及分情况讨论求和，属于中档题。

专题31数列综合练习一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1．下列公式可作为数列}{n a ：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是()。

A 、1=n aB 、21)1(+-=n n a C 、|2sin |2π-=n a n D 、23)1(1+-=+n n a 【答案】C【解析】由|2sin|2π-=n a n 可得11=a ，22=a ，13=a ，24=a ，…，故选C 。

2．数列}{n a 中“n a 、1+n a 、2+n a (+∈N n )成等比数列”是“221++⋅=n n n a a a ”的()。

A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】+∈N n ，n a 、1+n a 、2+n a 成等比数列，则221++⋅=n n n a a a ，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1、0、0、0、…故选A 。

3．如图，n 个连续自然数按规律排成下表，则从2018到2020的箭头方向依次为()。

A 、↑→B 、→↑C 、↓→D 、→↓【答案】A【解析】选取1作为起点，由图可知，位置变化规律是以4为周期，由于250442018+⨯=，可知2018在2的位置，2019在3的位置，2020在4的位置，故选A 。

4．等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为()。

A 、130B 、170C 、210D 、260【答案】C【解析】由已知得30=m S 、1002=m S ，则m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…为等差数列，则30=m S 、702m m S S -、11023=-m m S S ，则2103=m S ，故选C 。

5．将含有n 项的等差数列插入4和67之间，仍构成一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n 值为()。

A 、20B 、21C 、22D 、23【答案】A【解析】由题意知这些数构成2+n 项的等差数列，且首末项分别为4和67，由等差数列的求和公式可得7812)2()(21=+⨯+=+n a a S n ，解得20=n ，故选A 。

数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_5的值为：A. 15B. 31C. 63D. 127答案：B2. 数列{a_n}是等差数列，公差为3，且a_3=12，则a_1的值为：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B3. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=3a_n，那么数列的通项公式为：A. a_n = 2 * 3^{n-1}B. a_n = 2 * 3^nC. a_n = 3 * 2^{n-1}D. a_n = 3^n答案：B二、填空题4. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2，求a_3的值。

答案：65. 数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为4，求a_5的值。

答案：128三、解答题6. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+n，求数列的前5项。

答案：a_1 = 1a_2 = a_1 + 1 = 2a_3 = a_2 + 2 = 4a_4 = a_3 + 3 = 7a_5 = a_4 + 4 = 117. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=5，a_4=14，求数列的通项公式。

答案：a_n = 5 + (n-1) * 3 = 3n + 28. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，求数列的前5项。

答案：a_1 = 2a_2 = 2a_1 + 1 = 5a_3 = 2a_2 + 1 = 11a_4 = 2a_3 + 1 = 23a_5 = 2a_4 + 1 = 479. 已知数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为2，求数列的前5项。

答案：a_1 = 3a_2 = 3 * 2 = 6a_3 = 6 * 2 = 12a_4 = 12 * 2 = 24a_5 = 24 * 2 = 4810. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=3a_n-2，求数列的前5项。

高一数学数列综合测试题1． { an }是首项 a1＝ 1，公差为 d ＝3 的等差数列，如果 an ＝2 005 ，则序号 n 等于 ()．A ．667B ． 668C ． 669D ．6702．在各项都为正数的等比数列 { an }中，首项 a1 ＝3 ，前三项和为 21，则 a3＋ a4＋a5＝ ( ) ．A ．33B ． 72C ． 84D ．1893．如果 a1， a 2， ， a8 为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则 () ． A ．a 1a8＞ a4a5 B ． a1a 8＜ a4a 5 C ． a1＋ a8 ＜ a4＋ a5D ．a1a8 ＝a4a 54．已知方程 (x 2－ 2x ＋ m)( x 2－ 2x ＋ n)＝ 0 的四个根组成一个首项为 1的等差数列，则｜m － n ｜等于 ( )．4A ．1 3 1D ． 3 B ． C ．8 4 25．等比数列 {an} 中， a2 5 n }的前 4 项和为 (). ＝ 9， a＝ 243，则{ aA ．81B ． 120 C ． 168D ． 1926. 若数列 { an }是等差数列，首项 a 1＞ 0， a2 003 ＋ a2 004 ＞ 0 ，a 2 003 ·a2 004 ＜ 0，则使前 n 项和Sn ＞ 0 成立的最大 自然数 n 是 ()．A ．4005B ． 4006C ． 4007D ．40087．已知等差数列 { a }的公差为 2，若 a ， a ，a成等比数列 , 则 a ＝ () ．n 1 3 4 2A ．－ 4B ．－6C ．－ 8D ． －108．设 Sn 是等差数列 {an}的前 n 项和，若 a 9 ＝ ( )．5 ＝ 5 ，则 S a 3 9 S 5A ．1B ．－1 C ． 2D ． 1 29．已知数列－ 1， a1 ， a2，－ 4 成等差数列，－ 1 ，b 1，b 2，b3，－ 4 成等比数列，则 a 2a1的值是 ( )．b 2 A ． 1 B ．－ 1 C ．－ 1或1 D ． 12 2 2 2 4 10．在等差数列 {a n} 中， an ≠0， an －1－ a n 2 ＋ an ＋1＝ 0(n ≥ 2)，若 S2n －1 ＝38，则 n ＝ ( )． A ．38B ． 2C ． 1D ．9二、填空题..11．设 f (x)＝1 n 项和公式的方法，可求得f (－ 5) ＋ f( － 4) ＋＋ f (0) ＋＋，利用课本中推导等差数列前2x 2f (5) ＋ f(6) 的值为.12．已知等比数列 {an} 中，(1) 若 a3 ·a4·a5＝8 ，则a2·a3·a4 ·a5·a6＝．(2) 若a1＋a 2＝3 4 5 6＝．324 ，a＋ a＝36，则 a ＋ a(3) 若 S4＝ 2， S8＝ 6，则 a17＋ a18＋ a19＋ a20＝.13．在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．3 21 4．在等差数列 {a } 中，3(a3＋ a)＋2(a7＋ a ＋a13)＝ 24，则此数列前13 项之和为.n 5 101 5．在等差数列 {a n} 中， a5＝ 3， a6 ＝－2 ，则 a4＋ a5＋＋a10＝.1 6．设平面内有 n 条直线 ( n≥ 3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f ( n) 表示这n条直线交点的个数，则 f (4) ＝；当 n＞ 4 时， f (n)＝．三、解答题1 7． (1) 已知数列{a2－ 2n，求证数列{a} 成等差数列 .} 的前 n 项和 S ＝3nn n n(2) 已知1，1，1成等差数列，求证 b c ， c a ， a b也成等差数列 .a bc ab c18．设 { an}是公比为q 的等比数列，且a1， a3， a2 成等差数列．(1)求 q 的值；..(2)设 { bn }是以 2 为首项， q 为公差的等差数列，其前 n 项和为 Sn ，当 n ≥2时，比较 Sn 与 bn 的大小，并说明理由．19．数列 { an }的前 n 项和记为Sn，已知 a1＝ 1， an＋1＝n2 Sn( n＝ 1， 2， 3 )．n求证：数列 { Sn }是等比数列．n20．已知数列 {a n}是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列， Sn 为其前 n 项和， a1，2a 7，3a 4 成等差数列，求证： 12S3，S6， S12－ S6 成等比数列 ...高一数学数列综合测试题参考答案一、选择题 1． C解析：由题设，代入通项公式 an ＝ a1＋( n － 1)d ，即 2 005＝ 1 ＋3( n － 1) ，∴n ＝ 699 ． 2． C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力． 设等比数列 { an }的公比为q(q ＞ 0) ，由题意得a1＋ a2＋a 3＝ 21，2 2 ＝ 7．即 a1(1 ＋ q ＋ q )＝ 21，又 a1＝ 3，∴1＋ q ＋ q 解得 q ＝2 或 q ＝－ 3( 不合题意，舍去 ) ， 2 2 2 ∴a 3＋ a4 ＋a5＝ a1 q (1 ＋ q ＋q )＝ 3×2 ×7＝ 84． 3． B ．解析：由 a 1＋ a8 ＝a4＋ a5，∴排除 C ． 又 a1·a8＝ a1(a1＋ 7d) ＝ a12＋ 7a1d ，∴a ·a ＝(a ＋ 3d)(a ＋ 4d)＝a 2＋7a d ＋12d 2 ．1 ＞ a ·a 4 5 1 1 1 1 84． C解析：..解法 1：设 a1＝ 1 ， a2＝ 1 ＋ d ， a3＝ 1 ＋ 2d ， a4＝1＋ 3d ，而方程 x 2－ 2x ＋ m ＝ 0 中两根之和为 2， x 2－ 2x ＋ n ＝4 4 4 4中两根之和也为 2，∴a ＋ a ＋a ＋ a ＝1 ＋ 6d ＝4 ，1 2 3 4∴d ＝ 1 ， a1＝ 1 ， a4＝ 7 是一个方程的两个根，a1＝ 3 ， a3＝ 5 是另一个方程的两个根．24444∴ 7 ， 15 分别为 m 或 n ， 16 16 ∴｜m － n ｜＝1，故选 C ．2解法 2：设方程的四个根为 x1， x2， x3， x4 ，且 x1＋ x2＝ x3 ＋ x4＝ 2， x1·x2＝ m ，x3·x4＝ n ．由等差数列的性质：若 ＋ s ＝ p ＋q ，则 a ＋a ＝ a ＋a ，若设x 为第一项， x 必为第四项，则 x ＝ ，于是可得s pq 1 2 2 74 等差数列为 1 ， 3 ，5 ， 7 ，4 4 4 4∴m ＝ 7 ， n ＝ 15 ， 16 16 ∴｜m － n ｜＝1．2 5． B2 5 ＝243 a 5 3 243 ，解析：∵ a ＝ 9， a ， ＝ q ＝ ＝ 27 a 2 9 ∴q ＝ 3， a 1q ＝9 ， a1＝ 3，∴S4 ＝ 3－35 ＝ 240 ＝ 120．1－3 26． B解析：解法 1：由 a 2 003＋ a 2 004 ＞ 0，a2 003 ·a ＜ 0，知 a 2 003和a 2 004 两项中有一正数一负数，又 a ＞ 0，则公差为负数，2 004 1否则各项总为正数，故 a 2 003＞ a2 004 ，即 a2 003 ＞0 ， a2 004＜ 0.4 006( a 1＋ ) 4 ＋)a 006( a a4 006＝4 006＝2 0032004 ＞0，∴S2 24 007 ＝4 007 14007)＝4 0072004＜0 ，∴S2 ·(a ＋a ·2a2故 4006 为 Sn＞ 0 的最大自然数 . 选B．..解法 2：由 a 1＞ 0， a2 003＋ a2 004＞ 0， a2 003·a2 004＜ 0，同解法 1 的分析得a2 003 ＞0，a2 004 ＜0，∴S 为 S 中的最大值．2003 n∵Sn 是关于 n 的二次函数，如草图所示，∴2 003 到对称轴的距离比(第6题)2 004 到对称轴的距离小，∴4 007 在对称轴的右侧．2根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧零点B 的左侧， 4 007 ， 4 008 都在其右侧，Sn＞ 0 的最大自然数是 4 006 ．7． B解析：∵ {a n}是等差数列，∴ a3＝ a1＋ 4， a4＝ a1＋ 6，又由 a1，a 3， a4 成等比数列，∴( a1 ＋ 4) 2＝ a1 (a 1＋ 6) ，解得 a 1＝－ 8，∴a 2＝－ 8＋ 2＝－ 6 ．8． A9(a1a9 )S9＝2 9 a59 5解析：∵5(a1＝＝·＝ 1，∴选 A．S5a5 )5 a35 929． A解析：设 d 和 q 分别为公差和公比，则－4＝－ 1＋ 3d 且－ 4＝ (－1)q4，∴d ＝－ 1， q2＝ 2，∴a2 a1 ＝ d2＝1．b2q 210．C解析：∵ {a n}为等差数列，∴ a n2＝ an－1＋ a n＋ 1，∴ a n2＝ 2an，又 an≠0，∴an＝ 2， {an}为常数数列，..而an＝S2 n 1，即2n 1∴n ＝ 10．二、填空题11．3 2．解析：∵ f( x)＝x2∴f (1 － x)＝1 1 x 2∴f (x)＋ f (1 － x)＝2n－ 1＝38＝ 19，21，21 x＝2x＝2 2，2 2x2x2 2 211 2 x 1 12x 1 ( 2 2x )2 ＋2＝2＝2＝．2 2x 2 2 x 2 2 x 2 2x 2设S＝f (－ 5) ＋ f( － 4) ＋＋ f (0) ＋＋ f (5) ＋ f (6) ，则S＝f (6) ＋f (5) ＋＋ f(0) ＋＋ f (－ 4) ＋ f (－ 5) ，∴2S＝ [f (6) ＋ f (－5)] ＋ [f (5) ＋ f (－ 4)] ＋＋ [f (－ 5) ＋ f (6)] ＝ 62 ，∴S＝ f (－ 5) ＋f (－ 4) ＋＋ f (0) ＋＋ f(5) ＋ f(6) ＝ 3 2 ．12．（ 1）32；（ 2） 4；（ 3）32．解析：（ 1）由 a3·a5＝ a42，得 a4＝ 2 ，∴a 2·a3 ·a4·a5·a6＝ a45＝ 32．（ 2）a1a2324q2 1，1 2 29 ( a a )q 36∴a 5＋ a6 ＝(a1＋ a2) q4＝ 4．（ 3）S4＝ a1＋ a2＋ a3＋a 4＝2q4＝2 ，S8＝ a1＋a 2＋＋ a8＝ S4＋ S4 q416．∴a ＋ a ＋ a ＋ a ＝ S q ＝3217 18 19 20 4 13． 216．解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与中间数为8 27＝6，插入的三个3 2```8，27同号，由等比中项的3 2..14． 26．解析：∵ a3＋ a 5＝ 2a4 ， a7＋ a13＝ 2a 10，∴6(a 4＋ a10)＝ 24， a4 ＋ a10＝ 4，13( a1＋a13 )＝13( a4＋a10 )13 4 ＝26．∴S13＝＝22 215．－ 49．解析：∵ d＝ a6 － a5＝－ 5，∴a 4＋ a5 ＋＋ a10＝7( a4＋a10)2＝7( a5－d＋a5＋5d)2＝7(a5 ＋ 2d)＝－ 49．116． 5，(n ＋ 1)( n－ 2) ．解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f(k)＝f (k－1) ＋(k－ 1) ．由f(3) ＝ 2，f (4) ＝ f(3) ＋ 3＝ 2＋ 3＝ 5，f(5) ＝ f(4) ＋ 4＝ 2＋ 3＋ 4＝ 9，f (n) ＝ f( n－ 1) ＋ (n－ 1) ，相加得 f (n)＝ 2＋ 3＋ 4＋＋ (n － 1)＝1 ( n＋ 1)( n － 2) ．2三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其前一项差为常数．证明：（ 1）n ＝ 1 时， a1＝ S1＝ 3－ 2＝ 1，..当n ≥2 时， an ＝ Sn － Sn－ 1＝ 3n 2－ 2n－ [3( n－ 1) 2－ 2(n － 1)] ＝ 6n－ 5，n＝ 1 时，亦满足，∴ an＝ 6n－ 5(n∈N*) ．首项 a1＝1， a n－ an－ 1＝ 6n － 5－ [6( n － 1) － 5] ＝6( 常数 )(n ∈ N*) ，∴数列{an}成等差数列且 a1 ＝1 ，公差为 6．111（ 2）∵，，成等差数列，∴2＝1＋1化简得 2ac＝ b( a＋c)． b a cb＋ c a＋ b bc＋ c2＋a2＋ab b( a＋ c)＋ a2＋ c2( a＋c) 2( a＋c)2a＋ ca ＋c＝ac＝ac＝ac＝( ＋ ) ＝ 2 ·，b ac b2∴b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．a b c18．解：（ 1）由题设3 1 22a1 2 1 1 2a ＝ a ＋a ，即q ＝ a＋ aq，∵a 1≠0，∴2q 2－ q－ 1＝ 0，1∴q ＝ 1 或－．2（ 2）若 q ＝1，则 Sn＝ 2n＋n( n－1)＝n＋3n．2 2当n ≥2 时， Sn－bn＝ Sn－1＝( n－1)( n＋2)＞ 0，故 Sn＞bn ． 21 n＝2n＋n( n－1)1 － n2＋ 9n若 q ＝－，则 S (－)＝．2 2 2 4当n ≥2 时， Sn－bn＝ Sn－1＝( n－1)( 10－n)， 4故对于 n∈ N+，当 2≤n ≤9 时， Sn＞b n；当 n＝ 10 时， Sn＝ b n；当 n≥11 时， Sn＜ b n．n＋219．证明：∵ an＋1＝ Sn＋1 － Sn ，an＋1＝Sn，∴( n＋ 2)Sn ＝ n( Sn＋ 1－ Sn)，整理得nSn ＋ 1＝ 2(n＋ 1) Sn，所以Sn＋1 ＝ 2 Sn ．n＋1 n故 { Sn }是以 2为公比的等比数列．n20．证明：由 a ，2a，3a成等差数列，得4a＝ a ＋3a，即 4 a6 3，747q ＝a ＋ 3a q1 1 4 1 1 13 ＋3－1)＝ 0，变形得 (4q 1)(q∴q 3＝－1或 q 3＝ 1( 舍 )．4..由S612S3S12S6S6a1 (1 q6 )＝1 q 3＝ 1 q312a1(1q ) 121qa1 (1q12 )＝S12－ 1＝1 qS6a1 (1q6 )1 q＝ 1 ；16－ 1＝ 1＋ q 6－ 1＝1；得 S6 ＝S12 S6．1612S3S6，S，S －S 成等比数列．∴12S3 6 12 6 单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。

高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题（含答案）一、单选题1．某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为（ ）（1.002512≈1.03） A ．833B ．858C ．883D ．9022．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ） A ．()()5111a γγ++-万元 B ．()()55111a γγγ++-万元C ．()()54111a γγγ++-万元 D ．()51a γγ+万元3．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（ ） A ．20%B ．32%C ．40%D ．50%4．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（ ）万元.（四舍五入，精确到整数） （参考数据：()21.05 1.1025=，()31.05 1.1576=，()41.05 1.2155=） A ．36B ．37C ．38D ．395．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（ ） A ．2022年12月B ．2023年2月C ．2023年4月D ．2023年6月6．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ）A ．2192B ．39128n -C ．39208n -D ．39288n -7．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）A ．464B ．465C ．466D ．4958．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率1%，当付清全部房款时，各次付款的总和为（ ） A ．1205万元B ．1255万元C ．1305万元D ．1360万元9．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为r ．按复利计算，则小李每个月应还（ ） A ．()()1111111ar r r ++-元 B ．()()1212111ar r r ++-元C ．()11111a r +元D ．()12111a r +元10．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ） A ．35B ．42C ．49D ．5611．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元12．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ） A ．2806万元B ．2906万元C ．3106万元D ．3206万元二、填空题13．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.14．从2017年到2020年期间，某人每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为20%保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2020年6月1日，该人去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额为_______万元．15．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于______．16．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是____.三、解答题17．一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比． (1)求()*n n N ∈分钟后的水温n t ；(2)当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg 20.3≈）18．某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元.(1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？(2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其它项目，问应在第几年转投其它项目？19．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b . (1)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据41.05 1.215≈，51.05 1.276≈，61.05 1.340≈）20．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金(2500)t t ≤万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元． （1）写出1n a +与n a 的关系式，并判断{}2n a t -是否为等比数列；（2）若企业每年年底上缴资金1500t =，第*()m m N ∈年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m 的最小值．21．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月()*1929,k k k +≤≤∈N 日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若9k =，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.22．教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入1000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：71.1 1.95≈） (2)当你取出存款后，你就有了第一笔启动资金，你可以用你的这笔资金做理财投资.如果现在有三种投资理财的方案： ①方案一：每天回报40元；②方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； ③方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 你会选择哪种方案？请说明你的理由.23．已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ）证明：当5n =时，成等比数列。

3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。

数列练习题及答案一、选择题1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a2=3，且满足an+1 = an + 2n，求S5的值。

A. 25B. 28B. 30D. 312. 对于数列{bn}，若b1=2，且bn+1 = 2bn + 1，求b4的值。

A. 17B. 15C. 13D. 113. 已知数列{cn}是等差数列，其公差为3，且c5=23，求c1的值。

A. 2B. 5C. 8D. 114. 数列{dn}的通项公式为dn = 2n - 1，求d10的值。

A. 19B. 17C. 15D. 135. 若数列{en}满足en = 3en-1 - 2，e1 = 1，求e3的值。

B. 5C. 3D. 1二、填空题6. 已知数列{fn}的前n项和为Sn，且满足Sn = n^2，求f3的值。

7. 对于数列{gn}，若g1=4，且满足gn+1 = 3gn - 2，求g3的值。

8. 已知等比数列{hn}的首项为h1=8，公比为2，求h5的值。

9. 若数列{in}满足in = 2^n - 1，求i5的值。

10. 对于数列{jn}，若j1=1，且满足jn+1 = jn^2，求j4的值。

三、解答题11. 某工厂生产的产品数量构成一个等差数列，第一年生产了100件，每年生产量比上一年多20件。

求第5年的产量，并求这5年的总产量。

12. 某公司的股票价格构成一个等比数列，第一年价格为10元，每年价格是上一年的2倍。

求第3年的股票价格，并求这3年的平均价格。

13. 已知数列{kn}的前n项和为Sn，且满足Sn = 2n^2 + n，求k5的值。

14. 对于数列{ln}，若l1=1，且满足ln+1 = ln + ln-1，l2=3，求l4的值。

15. 某数列{mn}的通项公式为mn = 3^n - 2^n，求m5的值。

1. B2. A3. D4. A5. A6. 67. 108. 1289. 3110. 25511. 第5年产量为180件，5年总产量为700件。

高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }的前n项和为Sn，f(x)＝，an＝log2，则S2 013＝________.【答案】log2＋1【解析】an ＝log2f(n＋1)－log2f(n)，∴S2 013＝a1＋a2＋…＋a2 013＝[log2f(2)－log2f(1)]＋[log2f(3)－log2f(2)]＋…＋[log2f(2 014)－log2f(2 013)]＝log2f(2 014)－log2f(1)＝log2－log2＝log2＋1.2.各项均为正数的数列，满足：，，，那么（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取，，则，依次得到数列的各项为1,2,5,11,27…，取，，则，依次得到数列的各项为1,2,4,8,16…，由上可知存在，使得，…则由，∴数列为递增数列，由，而，…，累加得：，，即.【考点】1.递推公式；2.数列的单调性.3.已知数列满足：当（）时，，是数列的前项和，定义集合是的整数倍，，且，表示集合中元素的个数，则，．【答案】9, 1022【解析】由于（）时，，可知数列满足：，其前n项和满足：当时，是奇数，则是的整数倍；所以当时，的奇数项共有9项，故9；所以当时，的奇数项共有1022项，故1022；【考点】1.集合的表示法；2.数列通项与前n项和的关系；3.数学归纳法.4.在数列中，，则 .【答案】-1【解析】由此可知，所以.【考点】递推数列5.设数列满足 ,且对任意,函数满足，若，则数列的前项和为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】.因为，所以：，所以是一个等差数列. ，又，，所以 .【考点】1、等差数列等比数列的通项及前项和；2、导数.6.若数列的前项和，则数列的通项公式（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对任意，有，当时有，解得；当且时，由，可得，两式相减得，整理得，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，，故选D.【考点】数列通项的求解7.已知数列的通项公式为，数列的前项和为，且满足．（1）求的通项公式；（2）在中是否存在使得是中的项，若存在，请写出满足题意的其中一项；若不存在，请说明理由．【答案】（1）数列的通项公式为；（2）存在，如，是的第5项．【解析】（1）首先令求出的值，当时，两式相减得：，即：，从而为首项和公比均为的等比数列，最后利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）先假设存在，即中第项满足题意，亦即，故，因此只要取，就能使得是数列中的第项．试题解析：（1）当时，．（2分）当时，两式相减得：，即：．（6分）故为首项和公比均为的等比数列，．（8分）（2）设中第项满足题意，即，即，所以，取，则（其它形如的数均可）．（14分）【考点】1．数列通项公式的求法；2．数列探究型问题的解法．8.已知数列是等差数列，且，；又若是各项为正数的等比数列，且满足，其前项和为，.(1)分别求数列，的通项公式，；(2)设数列的前项和为，求的表达式，并求的最小值.【答案】(1)，；(2)，.【解析】(1)首先设出公差和公比，根据已知条件及等比数列和等差数列的性质，列方程组解方程组，求得公差和公比，写出各自的通项公式；(2)因为取偶数和奇数时，数列的项数会有变化，所以对分取偶数和奇数两种情况进行讨论，根据等差数列和等比数列的前项和公式，求出的表达式，根据前后两项的变化确定的单调性，求得每种情况下的最小值，比较一下，取两个最小值中的较小者.试题解析：(1)设数列的公差是，的公比为，由已知得，解得，所以； 2分又，解得或(舍去)，所以； .4分(2)当为偶数时，，当为奇数时. .10分当为偶数时，，所以先减后增，当时，，所以；当时，，所以；所以当为偶数时，最小值是. 12分当为奇数时，，所以先减后增，当时，，所以，当时，，所以，所以当为奇数时，最小值是.比较一下这两种情况下的的最小值，可知的最小值是. .14分【考点】1、等差数列与等比数列的前项和公式；2、数列与函数单调性的综合应用；3、数列与求函数最值的综合运用；4、数列的函数特性.9.设数列{an }的前n项和为Sn，且，n=1，2，3（1）求a1，a2；（2）求Sn 与Sn﹣1（n≥2）的关系式，并证明数列{}是等差数列；（3）求S1•S2•S3S2011•S2012的值．【答案】（1），；（2）Sn Sn﹣1﹣2S n+1=0；（3）．【解析】（1）直接利用与的关系式求的值；（2）当时，把代入已知关系式可得与的关系式，再由此关系式，去凑出和，可得所求数列是等差数列，进而得通项的表达式，从而得的表达式；（3）由（2）中的表达式易求S1•S2•S3S2011•S2012的值．试题解析：（1）解：当n=1时，由已知得，解得，同理，可解得．（4分）（2）证明：由题设，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式，得S n S n﹣1﹣2S n+1=0，∴，（7分）∴=﹣1+，∴{}是首项为=﹣2，公差为﹣1的等差数列，（10分）∴=﹣2+（n﹣1）•（﹣1）=﹣n﹣1，∴Sn=．（12分）（3）解：S1•S2•S3S2011•S2012=••••=．（14分）【考点】1、等差数列；2、数列的前n项和与通项的综合应用．10.设数列{an }是等差数列，数列{bn}的前n项和Sn满足且（Ⅰ）求数列{an }和{bn}的通项公式：（Ⅱ）设Tn 为数列{Sn}的前n项和，求Tn．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用求，再结合条件求；（Ⅱ）利用等比数列的求和公式求解.试题解析：（Ⅰ）由，，，即，又，故.，，公差，. （6分）（Ⅱ），所以数列其前项和，. （12分）【考点】等差数列、等比数列的性质，等比数列的求和公式.11.设等差数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）.（2），.【解析】（1）确定等差数列的通项公式，往往利用已知条件，建立相关元素的方程组，如本题，设等差数列的公差为，结合已知，可建立的方程组，，解得得到.（2）首先应确定。

数列考试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，a_4=8，则a_7的值为（）。

A. 14B. 16C. 18D. 20答案：A解析：根据等差数列的性质，a_7 = a_4 + 3d，其中d为公差。

由a_1=2和a_4=8，可得d = (a_4 - a_1) / 3 = (8 - 2) / 3 = 2。

因此，a_7 = a_4 + 3d = 8 + 3*2 = 14。

2. 已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=3，a_3=27，则a_5的值为（）。

A. 81B. 243C. 729D. 2187答案：C解析：根据等比数列的性质，a_5 = a_3 * q^2，其中q为公比。

由a_1=3和a_3=27，可得q = a_3 / a_1 = 27 / 3 = 9。

因此，a_5 = a_3 * q^2 = 27 * 9^2 = 729。

二、填空题3. 已知数列{a_n}的前n项和S_n = n^2 + 2n，求a_5的值。

答案：12解析：根据数列的前n项和公式，a_n = S_n - S_{n-1}。

因此，a_5 = S_5 - S_4 = (5^2 + 2*5) - (4^2 + 2*4) = 25 + 10 - 16 - 8 = 12。

4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2^n - 1，求前5项的和。

答案：31解析：根据通项公式，前5项分别为a_1 = 2^1 - 1 = 1，a_2 = 2^2 - 1 = 3，a_3 = 2^3 - 1 = 7，a_4 = 2^4 - 1 = 15，a_5 = 2^5 - 1 = 31。

因此，前5项的和为1 + 3 + 7 + 15 + 31 = 57。

三、解答题5. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_{n+1} = 2a_n + 1，求a_5的值。

答案：23a_5的值。

a_2 = 2a_1 + 1 = 2*1 + 1 = 3a_3 = 2a_2 + 1 = 2*3 + 1 = 7a_4 = 2a_3 + 1 = 2*7 + 1 = 15a_5 = 2a_4 + 1 = 2*15 + 1 = 316. 已知数列{a_n}的前n项和S_n = 3^n - 1，求a_4的值。

数列综合练习（一）1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1 (q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q(1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；一、选择题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.2．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33 答案 D解析 由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5 ＝1＋25＝33.3．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172 答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.5．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 答案 C解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k )＝3n －3n －1＝2·3n －1.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2， ∴k ＝－1.6．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 答案 D解析 由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12. ∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.二、填空题7．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.答案 －13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 9．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 答案 10解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q1－q，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.10．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *. 三、解答题11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，① 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.② 将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n－1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.12．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝54，S 2n ＝60，求S 3n . 解 方法一 由题意S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，∴62＝54(S 3n －60)，∴S 3n ＝1823.方法二 由题意得a ≠1，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q＝54 ①S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q＝60 ②由②÷①得1＋q n ＝109， ∴q n ＝19，∴a 11－q ＝9×548， ∴S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝9×548(1－193)＝1823. 13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1， ①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2. ② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(1－2n －1)1－2＋(n ＋1)·2n ＋2 ＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1 ＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.14．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1) ＝14·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).15．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1， ①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1. ②①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．16．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .17．已知正项数列{a n }的前n 项和S n ＝14(a n ＋1)2，求{a n }的通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝S 1，所以a 1＝14(a 1＋1)2，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a n ＋1)2－14(a n －1＋1)2＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)， ∴a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1－2＝0. ∴a n －a n －1＝2.∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.18．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和．(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1.∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.19．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列{1b n b n ＋1}的前n 项和T n ＝n1＋n.(1)解 由已知⎩⎨⎧a n ＋1＝12S n ，a n＝12Sn －1(n ≥2)，得a n ＋1＝32a n (n ≥2)．∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列．又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，∴a n ＝a 2×(32)n －2(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12×(32)n －2， n ≥2.(2)证明 b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32[32×(32)n －1]＝n .∴1b n b n ＋1＝1n (1＋n )＝1n －11＋n. ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －11＋n ) ＝1－11＋n ＝n1＋n.。