课时跟踪检测 (四十九) 抛物线 一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4x
D ．y 2＝－4x
解析：选D 由准线x ＝1知，抛物线方程为： y 2＝－2px (p >0)且p
2＝1，p ＝2，
∴抛物线的方程为y 2＝－4x ，故选D ．
2．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ．12
C ．32
D ．52
解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2
＝3，所以点C 的横坐标是
x 1＋x 22＝3
2
． 3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )
A ．－4
3
B ．－1
C ．－34
D ．－12
解析：选C 由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，所以直线AF 的斜率为k ＝
3－0－2－2
＝－3
4．
4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为1
2，则
点P 到x 轴的距离为________．
解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝1
2
，
解得x P ＝1，
所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2． 答案：2
5．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°．
直线OA 的方程y ＝33
x ， 代入y 2＝2x ， 得x 2－6x ＝0，
解得x ＝0或x ＝6． 即得A 的坐标为(6,23)．
∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为1
2×43×6＝123．
答案：12 3
二保高考，全练题型做到高考达标 1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C ．???
?0，116a D ．????116a ，0
解析：选C 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝1
4a
y (a ≠0)，所以焦点坐标为????0，116a ，所以选C ．
2．(2016·山西高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2
＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是( )
A ．x 2＝2y
B ．x 2＝2y
C ．x 2＝y
D ．x 2＝
22
y 解析：选A 由题意得，
F ????0，p 2，不妨设A ????p ，－p 2，B ????－p ，－p
2， ∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，
即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A ．
3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则
|AF |
|BF |
的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3
D ．2 解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3???
?x －p 2，
联立?????
y 2＝2px ，y ＝3????x －p 2. 得：x 2
－5p 3x ＋p 2
4
＝0，
∴x 1＋x 2＝5p 3，x 1x 2＝p 2
4，
所以x 1＝3p 2，x 2＝p
6，
所以|AF ||BF |＝32p ＋
p 2p 2＋p
6
＝3．
4．已知P 为抛物线y ＝1
2x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是????6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )
A ．8
B ．
19
2 C ．10
D ．
212
解析：选B 依题意可知焦点F ????0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．
则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－1
2，
|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－1
2，
即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝
62＋????172－122
＝10．
所以|PM |＋|PA |≥10－12＝19
2
，故选B ．
5．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )
A ．y 2＝3
2x
B ．y 2＝3x
C ．y 2＝9
2
x
D ．y 2＝9x
解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，
设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，
由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，
在直角三角形ACE 中，因为|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ， 所以2|AE |＝|AC |，
所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1， 因为BD ∥FG ，所以1p ＝23，求得p ＝32，
因此抛物线方程为y 2＝3x ． 6．抛物线
x 2＝2py (p ＞0)的焦点为
F ，其准线与双曲线x 23－y 2
3
＝1相交于A ，B 两点，若
△ABF 为等边三角形，则p ＝________．
解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝3
3p ，
所以B ????±3
3p ，－p 2．
又因为点B 在双曲线上， 故p 233－p 2
4
3＝1，解得p ＝6． 答案：6
7．(2017·广西质检)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝1
2
|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，
E (图略)，∵|PA |＝12|AB |，∴????? 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又?????
y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，
得x 1＝2
3，则点A 到抛物线
C 的焦点的距离为1＋23＝5
3
．
答案：5
3
8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．
解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． ∵点(2，－2)在抛物线上，
∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y ． 当y ＝－3时，x ＝±6．
∴水位下降1米后，水面宽为26米． 答案：2 6
9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p
2，
于是4＋p
2＝5，∴p ＝2．
∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝4
3，
∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－3
4．
又FA 的方程为y ＝4
3(x －1)，①
MN 的方程为y －2＝－3
4x ，②
联立①②，解得x ＝85，y ＝4
5，
∴N 的坐标为????
85，45．
10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1 (1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→ ，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22????x －p 2， 与y 2＝2px 联立， 消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝ 5p 4 ． 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p 4＋p ＝9， 所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)， 则OC ―→ ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3 ，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2． 故λ的值为0或2． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→ 的最大值等于( ) A ．－4 B ．－16 C ．4 D ．－8 解析：选B 依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→ |)． 又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→ |＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4． 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2． 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)． 同理FC ―→·FD ―→ ＝－??? ?4k 2＋4． 所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→ ＝－????4k 2＋4k 2＋8≤－16． 当且仅当k ＝±1时等号成立． 2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程． (2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2． 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ． 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2 x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB ． 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上， 得? ???? y 21＝4x 1， ① y 22＝4x 2， ② 所以 y 1－214y 21－1＝－y 2－2 14y 22 －1， 所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4． 由①－②得，y 21－y 2 2＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4 y 1＋y 2 ＝－1(x 1≠x 2)．
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