三角形的内角和四边形内角和(例6、7)
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三角形第3节三角形的内角和【知识梳理】1.三角形的内角和外角三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形,这三条线段就是三角形的三条边,在三角形内部三角形的两条边所成的角是三角形的内角,三角形一边的延长线与另一边所成的角是三角形的外角,三角形有三个内角三个外角。
2.三角形内角和三角形内角和180°。
得到这个结论可以用两种方法(1)方法一:量一量用量角器测量三个内角并求和,重复多次即可发现三角形的内角和180°,测量时有时候会出现误差,不能肯定三角形的内角和就是180°,因此还需要用实验的方法来加以验证。
(2)方法二:剪一剪将三角形的三个内角剪下来拼一拼,若能够拼成一个平角,则证明三角形的内角和为180°,在运用拼剪法时,原三角形中的每个内角一定要标上记号,以防拼时用错角。
通过拼剪可以发现三角形的三个内角之和正好是一个平角,因为平角是180°,进而验证了三角形内角和为180°。
3.三角形内角的范围三角形有三个内角,因为三角形的内角和为180°,所以三角形的内角的范围在0°到180°之间,即大于0°小于180°。
三角按角分类可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,其中,锐角三角形的三个内角都是锐角,直角三角形有一个直角两个锐角,钝角三角形有一个钝角,两个锐角。
因此,三角形中至多有一个直角或一个钝角,至少有两个锐角。
【诊断自测】一、选择题1.一个三角形的两个内角和小于第三个内角,这个三角形是()三角形.A.锐角B.钝角C.直角D.等腰2.三角形的三个内角()A.至少有两个锐角 B.至少有一个直角 C.至多有两个钝角 D.至少有一个钝角3.一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和,这个三角形是()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.何类三角形不能确定二、填空题1.三角形一个内角的度数是108°,这个三角形是()三角形2.一个三角形三条边的长度分别为7厘米,8厘米,7厘米,这个三角形是()三角形。
四年下数学第五单元第6课《多边形的内角和》教案教学内容教科书P66例7,完成P66“做一做”,P67~68“练习十六”第4、5、7*题。
教学目标1.通过测量、剪拼、观察等活动探究四边形的内角和,能运用四边形的内角和为360°这一规律解决一些实际问题。
2.会运用探索三角形的内角和的经验探索四边形的内角和并得出结论,经历观察、思考、推理、归纳的过程,培养学生的探究推理能力、发现能力、观察和动手操作能力。
3.在各种活动中体验探索的乐趣和成功的快乐,培养合作探究精神,掌握一些学习与研究的方法。
教学重点通过动手操作,探索发现四边形的内角和的度数,并应用这一规律解决问题。
教学难点探索四边形的内角和时,如何把四边形转化成三角形。
教学准备课件,量角器,四边形纸片,剪刀。
教学过程一、提问激趣,导入新课1.课件出示一组平面图形。
师:观察这些图形,它们分别是什么图形?有什么共同特点?哪里是它们的内角?【学情预设】预设1:它们分别是长方形、正方形、梯形、平行四边形。
预设2:它们都是四边形,它们都有四条直的边和四个角,其中的四个角就是它们的内角。
【设计意图】通过复习四边形的相关知识,唤醒学生已有的知识经验,为进一步探究四边形的内角和打下坚实基础。
2.联系猜想,揭示课题。
师:上节课我们学习了三角形的内角和,同学们猜想一下,这些四边形的内角和是多少度呢?【学情预设】预设1:认为这些图形不一样,内角和度数不相同。
预设2:认为四边形的内角和与形状没有关系,有的学生可能猜等于180°,有的猜测大于180°,有的猜测等于360°,等等。
师:四边形的内角和到底是多少呢?谁猜的是对的呢?今天这节课我们一起来研究它。
(板书课题:多边形的内角和)【设计意图】学生的学习应当是生动活泼的和富有个性化的过程。
不管学生猜测的结果是多少,我们都要肯定他们的大胆猜测,给予他们充分想象的空间,激发他们探究的兴趣。
二、合作交流,探索四边形的内角和1.阅读与理解。
《三角形的内角和》教学设计摘要:本文是数学《三角形的内角和》的教学设计关键词:教材分析学情分析教学流程一、教学内容人教版小学四年级数学下册第5单元“三角形的内角和”例6.(P67)二、教材分析本课例6:是安排在三角形的特性及分类之后进行的,它是学生以后学习例7和多边形的内角和及解决其它实际问题的基础。
教材所呈现的内容,不但重视体现知识的形成过程,而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间,安排了量一量、算一算和剪一剪、拼一拼等实验操作活动,意图使学生在动手操作、合作交流中发现并形成结论。
三、学情分析优势:通过前面的学习,学生已经掌握了三角形的一些基础知识,会用工具量角、画角,具备了探索三角形内角和的知识与技能基础。
劣势:学生的学习经验有限,想到并能很好地应用验证“三角形内角和是180°”的方法有一定困难。
四、教学目标(一)通过“量一量”“算一算”“拼一拼”“折一折”的小组活动的方法,使学生探索发现验证三角形的内角和等于180o,并能运用这一知识解决一些简单的问题。
(二)通过把三角形的内角和转化为平角进行探究实验,使学生渗透“转化”的数学思想。
(三)通过教学活动使学生获得成功的体验,增强自信心,培养学生的创新意识,探究精神和实践能力。
五、教学重难点重点:掌握三角形的内角和是180°,了解其验证的方法。
难点:通过操作活动探索和发现三角形内角的度数和等于180o,并加以验证,进一步感受结论是真实的,正确的。
六、课前准备:各种三角形,量角器、剪刀,制作课件。
七、教学流程(一)创设情境,发现问题(5分钟)1、小游戏:猜一猜藏在信封后面的是什么三角形。
2、板书课题:三角形的内角和3、学生质疑师:看到这个课题,你想知道什么?(生)[设计意图:创设这个数学化的情境,通过猜一猜和学生质疑,激发学生的学习兴趣。
](二)引导探究,解决问题(23分钟)1、动手操作,小组讨论。
每个学习小组拿出课前准备好的各种各样的三角形,先找到三个内角,把每个角标上序号。
三角形与四边形三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形,这三条线段就是三角形的边.在三角形中,每两条边所组成的角叫做三角形的内角。
三角形的内角和等于180°.三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。
图9.1.3图9.1.4 图9.1.5第一个三角形中,三个内角均为锐角; 第二个三角形中,有一个内角是直角; 第三个三角形中,有一个内角是钝角. 三角形可以按角来分类: 所有内角都是锐角――锐角三角形; 有一个内角是直角――直角三角形; 有一个内角是钝角――钝角三角形; 第一个三角形的三边互不相等; 第二个三角形有两条边相等;第三个三角形的三边都相等.三角形可以按边来分类:把两条边相等的三角形称为等腰三角形,相等的两边叫做等腰三角形的腰;把三条边都相等的三角形称为等边三角形(或正三角形).下面给出了三个相同的锐角三角形,分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高.三角形的三条中线、三条角平分线、三条高________;直角三角形: 钝角三角形:呢?图9.1.8 图9.1.9角形的外角性质:1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.3.三角形的外角和等于360°如图9.1.11,D 是△ABC 的BC 边上一点,∠B =∠BAD ,∠ADC =80°,∠BAC =70°.求:(1)∠B 的度数;(2)∠C 的度数.图9.1.11三角形的三边关系三角形的任何两边的和大于第三边. 三角形的任何两边的差小于第三边如果三角形的三条边固定,那么三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这人性质叫做三角形的稳定性1. 已知△ABC 是等腰三角形.(1) 如果它的两条边长的长分别为8cm 和3cm,那么它的周长是多少?(2) 如果它的周长为18cm ,一条边的长为4cm ,那么腰长是多少?2. 按图中所给的条件,求出∠1、∠2、∠3的度数.我们知道两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
四年级下册数学多边形的内角和一、多边形内角和的概念。
1. 三角形内角和。
- 三角形的内角和是180°。
这是一个基本的数学事实,可以通过多种方法来证明,比如剪拼法,将三角形的三个角剪下来,然后拼在一起,可以发现正好拼成一个平角,也就是180°。
- 还可以通过测量不同三角形的三个内角,然后将它们相加,会发现结果接近180°(由于测量误差)。
2. 多边形内角和定义。
- 对于多边形来说,其内角和就是多边形内部所有角的度数之和。
二、多边形内角和的计算方法(人教版)1. 从三角形推导多边形内角和公式。
- 四边形:可以将四边形分割成两个三角形。
因为一个三角形内角和是180°,那么四边形内角和就是2×180° = 360°。
- 五边形:可以将五边形分割成三个三角形。
所以五边形内角和就是3×180°=540°。
- 六边形:可分割成四个三角形,内角和为4×180° = 720°。
2. 多边形内角和公式。
- 一般地,n边形从一个顶点出发可以引出(n - 3)条对角线,把n边形分成(n - 2)个三角形。
所以n边形内角和公式为:(n - 2)×180°(n≥3且n为整数)。
三、多边形内角和公式的应用示例。
1. 已知边数求内角和。
- 例:求八边形的内角和。
- 解:根据公式(n - 2)×180°,这里n = 8,所以内角和=(8 - 2)×180°=6×180° = 1080°。
2. 已知内角和求边数。
- 例:一个多边形内角和是1440°,求这个多边形是几边形?- 解:设这个多边形是n边形,根据内角和公式(n - 2)×180°=1440°,则n - 2=1440°÷180°,n - 2 = 8,n = 10。
新人教版数学四下第五章《四边形的内角和例7》说课稿一. 教材分析新人教版数学四下第五章《四边形的内角和例7》这一节主要让学生理解四边形的内角和为360度,并能运用这一性质解决实际问题。
在教材中,通过丰富的例题和练习题,帮助学生巩固这一知识点。
本节内容是学生学习多边形内角和的基础,对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析四年级的学生已经掌握了三角形内角和为180度的知识,对于多边形有一定的认识。
但部分学生对于多边形内角和的理解还停留在表面,无法灵活运用到实际问题中。
因此,在教学过程中,需要关注学生的认知水平,引导学生深入理解四边形内角和的性质,提高他们的数学应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能:让学生掌握四边形的内角和为360度,能运用这一性质解决实际问题。
2.过程与方法:通过观察、操作、交流等活动,培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习兴趣,培养学生合作意识,使学生感受到数学与生活的紧密联系。
四. 说教学重难点1.重点:四边形的内角和为360度。
2.难点:如何引导学生发现并证明四边形内角和的性质,以及如何将这一性质应用于实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用情境教学法,以生活中的实例引入四边形内角和的概念。
2.运用启发式教学法,引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动,自主探索四边形内角和的性质。
3.利用多媒体课件辅助教学,直观展示四边形的内角和,提高学生的空间想象能力。
4.设计丰富的练习题,巩固学生对四边形内角和的理解。
六. 说教学过程1.导入:通过展示生活中的四边形图片,引导学生关注四边形的内角和。
2.新课导入:介绍四边形的内角和为360度,让学生初步认识这一性质。
3.自主探究:学生分组讨论,尝试发现四边形内角和的性质,并说明理由。
4.成果分享:各小组汇报探究成果,教师点评并总结。
5.应用拓展:出示实际问题,让学生运用四边形内角和的性质解决问题。
第11讲三角形内角和——例题一、第11讲三角形内角和1.如图,四边形ABCD为任意的四边形,求它的内角和.【答案】解:连结AC,四边形ABCD就划分成两个三角形,即ABC与ACD,∴四边形ABCD的内角和就等于两个三角形内角和;∵一个三角形的内角和为180°,∴四边形的内角和为180°×2=360°.【解析】【分析】本题通过连结AC,把一个四边形划分成两个三角形,这种方法可以推广,即一般地,要求n边形的内角和,可从它的一个顶点A1出发,连结A1A3,A1A4,…,A1A n,将这个n边形划分成n-2个三角形.因此n边形的内角和为:180°×(n-2)(如图).这个式子可以作为一个公式来用.如求100边形的内角和,则由上面的公式,得出它的内角和为:180°×(100-2)=17640°.2.求证:三角形的外角和等于360°.一般地,n边形的外角和等于360°【答案】证明:如图,△ ABC中,∠1、∠2 ∠3为三个内角,∠4、∠5、∠6为三个外角,我们有,∠1+∠4=180°,∠2+∠5=180°,∠3+∠6=180°.所以∠4+∠5+∠6=3×180°-( ∠1+∠2+∠3)=3×180°-180°=360°.同理,若∠α1,∠α2… ∠αn°是n边形的n个内角,∠β1,∠β2,…, ∠βn是它们所对应的n个外角,则有,∠α1+∠β1 =180°,∠α2+∠β2 =180°,……∠αn +∠βn =180°.所以∠β1+∠β2+…+∠βn =n×180°-( ∠α1+∠α2+…+∠αn )=n×180°-(n-2)×180°=360°.【解析】【分析】三角形有三个内角,根据其对应的外角是其邻补角,可知其外角和=3×180°-三角形的内角和;此方法可以推广,即一般地,要求n边形的外角和,可知由n对邻补角,而这个n边形的内角和为(n-2)×180°.因此n边形的外角和为:n×180°-180°×(n-2)=360°.3.已知一个四边形的第二个内角是第一个内角的3倍,第三个内角是第二个内角的一半,第四个内角比第三个内角大10°.求它的第一个内角.【答案】解:设它的第一个内角为x,则它的第二个内角为3x,第三个内角为x,第四个内角为x +10°.由四边形的内角和为360°,知x+3x+x+(x+10°)=360°,解得x=50°.答:它的第一个内角为50°.【解析】【分析】设第一个内角为x,根据题意分别表示出其他三个内角:3x;x;x+10°;再由四边形的内角和为360°列出方程,解之即可得第一个内角的度数.4.如果一个三角形中最大角是最小角的4倍,求它的最小角的取值范围.【答案】解:设∠A是它的最小角,∠C是最大角,∠B是中间的角,则∠A≤∠B≤∠C,又∠C=4∠A.由可得∠A+∠A+4∠A≤180°,即么A≤30°.可得∠A+4∠A+4∠A≥180°,即∠A≥20°.所以最小角的取值范围为20°≤4≤30°.【解析】【分析】设∠A≤∠B≤∠C,根据题意知∠C=4 ∠A,再由三角形内角和为180°,即∠A+∠B+∠C=180°,列出方程组,代入可得:∠A+∠A+4∠A≤180°,或∠A+4∠A+4∠A≥180°,解之即可得出最小角的取值范围.5.如图,在△ ABC中,BD是∠ABC的平分线,CD是外角∠ACE的平分线.求证:∠D= ∠A.【答案】证明:根据三角形外角性质有∠3+∠4=∠1+∠2+∠A.因为BD、CD是∠ABC和∠ACE的平分线,所以∠1=∠2,∠3=∠4.从而2∠4=2∠1+∠A,即∠4=∠1+ ∠A ①在△BCD中,∠4是一个外角,所以∠ 4=∠1+∠D,②由①、②即得∠D=∠A.【解析】【分析】根据角平分线的性质可得∠1=∠2,∠3=∠4,再由三角形外角性质可得2∠4=2∠1+∠A,∠4=∠1+∠D, 等量代换即可得证.6.如图,在七星形ABCDEFG中,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.【答案】解:由三角形的外角性质,得,∠1=∠C+∠F,∠2=∠B+∠E,∠4=∠D+∠G,∠3=∠4+∠A=∠D+∠G+∠A.从而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠1+∠2+∠3=180°.【解析】【分析】本题中,所求的7个角很分散,直接求它们的和很困难.因此,我们利用三角形的外角性质,把它们集中到一个三角形中,从而解决问题.7.如图,D为△ABC中一点.证明:∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.【答案】证明:如图,延长BD,交AC于点E.因为∠BDC是△CDE的外角,所以∠BDC=∠DEC+∠ACD.又因为∠DEC是△AEB的外角,所以∠DEC=∠A+∠ABD.由以上二式得∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.【解析】【分析】延长BD交AC于点E;利用三角形外角的性质可得∠BDC= ∠DEC+∠ACD,∠DEC=∠A+∠ABD,等量代换即可得证.本题的结论常常用到,有人称之为“飞镖定理”.注意D必须在△ABC内(即四边形ABDC是一个在D点凹进去的凹四边形).否则,结论不成立.8.如图,BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,BE与CF相交于点G.若∠BDC=140°∠BGC=100°,求∠A的度数.【答案】解:由上例得,∠BGC=∠A+∠2+∠4,①∠BDC=∠A+( ∠1+∠2)+( ∠3+∠4).②又因为BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,所以∠1=∠2,∠3=∠4.所以②即∠BDC=∠A+2( ∠2+∠4).③由①×1- ③得∠A=2∠BGC-∠BDC=2×100°-140°=60°.【解析】【分析】根据“飞镖定理”可知∠BGC=∠A+∠2+∠4 ①,∠BDC=∠A+( ∠1+∠2)+( ∠3+∠4)②,再根据角平分线性质得∠1=∠2,∠3=∠4;代入②式变形为∠BDC=∠A+2( ∠2+∠4) ③,再由由①×1- ③得即可求得∠A度数.9.如图,已知在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,CE垂直AD于E.求证:∠ACE>∠B.【答案】证明:延长CE交AB于点F.因为AD是∠BAC的平分线,所以∠1=∠2.又因为CE垂直AD,所以∠AEC=∠AEF=90°,在△AEF中,∠AFC=180°-(∠1+∠AEF),在△AEC中,∠ACE=180°-(∠2+ ∠AEC),所以∠ACE=∠AFC.因为∠AFC是△BCF的一个外角,所以∠AFC=∠B+∠BCF>∠B.从而∠ACE>∠B.【解析】【分析】延长CE交AB于点F.利用已知条件,构造∠AFC作为桥梁.一方面它等于∠ACE.另一方面,它又是△BFC的一个外角,它应大于不相邻的任一内角,从而解决问题.10.如图,在△ABC中,D、E是BC边上的点,∠BDA=∠BAD,∠CEA=∠CAE,∠DAE=∠BAC.求∠BAC的度数.【答案】解:设∠BAE、∠EAD、∠DAC分别为α,β,γ ,则β=即2β=γ+α①又∠BDA=∠BAD=α+β ,②∠CEA=∠CAE=β+γ .③在△AED中,内角和为180°,所以由②、③得,(α+β)+(β+γ)+β =180°,④结合①得,5β=180°,β=36°,所以∠BAC=3β =3×36°=108°.【解析】【分析】本题通过设未知数,利用已知条件与三角形的内角和等于180°,建立方程解决问题.。
第2课时多边形的内角和备教材内容1.本课时学习的是教材68页的内容及相关习题。
2.例7通过两个问题激发学生的探究欲望:一是四边形可以分成几种图形?二是这些四边形的内角和是不是一样的呢?在分析与操作中,遵循了由特殊到一般的探究过程;在用多种方法验证的过程中,让学生体会了三角形与四边形的内在联系,使学生认识到任何一个四边形都可以分割成两个三角形,从而得出:四边形的内角和是360°;在回顾与反思中,让学生进一步感受到得出的结论具有普遍性;在做一做中,明确了三角形与多边形的联系。
3.本课时是在学生已经认识了四边形,了解了四边形的种类,学习了长方形、正方形、平行四边形和梯形的有关特征的基础上学习的,为以后学习图形面积的计算奠定基础。
备已学知识1.四边形是由四条线段首尾相连组成的封闭图形。
常见的四边形有正方形、长方形、梯形、平行四边形等。
正方形和长方形的四个角都是直角。
2.三角形的内角和是180°。
备教学目标知识与技能1.明确四边形的内角和是360°。
2.经历四边形内角和的推导过程。
过程与方法1.通过剪一剪、拼一拼、分一分等活动,进一步发展空间观念,体会转化的数学思想,培养动手、动脑的能力。
2.在探究多边形内角和的过程中,体会推理思想的魅力,培养解决问题的方法与能力。
3.尝试从不同角度寻求探究问题的方法并能有效地解决问题,训练发散性思维和培养创新精神。
情感、态度与价值观1.经历四边形内角和的探究过程,感受数学的神奇和奥妙,增强学好数学的信心。
2.实例引入,体验数学来源于生活,又服务于生活,培养学数学的兴趣和应用数学的意识。
备重点难点重点:经历探究、发现和验证“四边形的内角和是360°”这一规律的过程。
难点:探索多边形的内角和时,如何把多边形转化成三角形。
备知识讲解知识点多边形的内角和问题导入四边形的内角和是多少度?(教材68页例7)过程讲解1.提出猜想三角形的内角和是180°,四边形的内角和也是一个固定的值吗?是否所有四边形的内角和都相等呢?2.分类验证(1)特殊四边形的内角和。