量子力学补充作业
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河北科技师范学院物理专业试用量子力学补充习题集数理系物理教研室二OO五年八月第一章 量子力学的实验基础1-1 求证:﹙1﹚当波长较短(频率较高)。
温度较低时,普朗克公式简化为维恩公式;﹙2﹚当波长较长(频率较低),温度较高时,普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。
1-2 单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m -2.s -1,假设太阳平均辐射波长是5500A,问这相当于多少光子?1-3 一个质点弹性系统,质量m=1.0kg ,弹性系数k=20N.m -1。
这系统的振幅为0.01m 。
若此系统遵从普朗克量子化条件,问量子数n 为何?若n 变为n+1,则能量改变的百分比有多大?1-4 用波长为2790A和2450A 的光照射某金属的表面,遏止电势差分别为0.66v 与1.26v 。
设电子电荷及光速均已知,试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。
1-5 从铝中移出一个电子需要4.2ev 能量,今有波长为2000A 的光投射到铝表面,试问:(1)由此发射出来的光电子的最大动能是多少?(2)铝的红限波长是多少?1-6 康普顿实验得到,当x 光被氢元素中的电子散射后,其波长要发生改变,令λ为x 光原来的波长,λ'为散射后的波长。
试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为2sin42θπλλλmc=-'=∆ 其中m 为电子质量,θ为散射光子动量与入射方向的夹角(散射角)1-7 根据相对论,能量守恒定律及动量守恒定律,讨论光子与电子之间的碰撞:(1)证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的;(2)证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。
1-8 能量为15ev 的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。
问此光电子远离质子时的速度为多大?它的德布罗意波长是多少?1-9 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对,如果两个光子的能量相等,问要实现这种转化光子的波长最大是多少?1-10 试证明在椭圆轨道情况下,德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。
15-1 将星球看做绝对黑体,利用维恩位移定律测量m λ便可求得T .这是测量星球表面温度的方法之一.设测得:太阳的m 55.0m μλ=,北极星的m 35.0m μλ=,天狼星的m 29.0m μλ=,试求这些星球的表面温度.解:将这些星球看成绝对黑体,则按维恩位移定律:K m 10897.2,3⋅⨯==-b b T m λ对太阳: K 103.51055.010897.236311⨯=⨯⨯==--mbT λ对北极星:K 103.81035.010897.236322⨯=⨯⨯==--mbT λ对天狼星:K 100.11029.010897.246333⨯=⨯⨯==--mbT λ15-3 从铝中移出一个电子需要4.2 eV 的能量,今有波长为2000οA 的光投射到铝表面.试问:(1)由此发射出来的光电子的最大动能是多少?(2)遏止电势差为多大?(3)铝的截止(红限)波长有多大?解:(1)已知逸出功eV 2.4=A 据光电效应公式221m mv hv =A +则光电子最大动能:A hcA h mv E m -=-==λυ2max k 21eV0.2J 1023.3106.12.41020001031063.6191910834=⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=----m2max k 21)2(mvE eUa==∴遏止电势差 V 0.2106.11023.31919=⨯⨯=--a U(3)红限频率0υ,∴000,λυυcA h ==又∴截止波长 1983401060.12.41031063.6--⨯⨯⨯⨯⨯==Ahc λm 0.296m 1096.27μ=⨯=-15-4 在一定条件下,人眼视网膜能够对5个蓝绿光光子(m 105.0-7⨯=λ)产生光的感觉.此时视网膜上接收到光的能量为多少?如果每秒钟都能吸收5个这样的光子,则到 达眼睛的功率为多大? 解:5个兰绿光子的能量J1099.1100.51031063.65187834---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===λυhcn nh E功率 W 1099.118-⨯==tE15-5 设太阳照射到地球上光的强度为8 J ·s -1·m -2,如果平均波长为5000οA ,则每秒钟落到地面上1m 2的光子数量是多少?若人眼瞳孔直径为3mm ,每秒钟进入人眼的光子数是多少? 解:一个光子能量 λυhch E ==1秒钟落到2m 1地面上的光子数为21198347ms1001.21031063.6105888----⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===hcEn λ每秒进入人眼的光子数为11462192s1042.14/10314.31001.24--⨯=⨯⨯⨯⨯==dnN π15-6若一个光子的能量等于一个电子的静能,试求该光子的频率、波长、动量.解:电子的静止质量S J 1063.6,kg 1011.934310⋅⨯=⨯=--h m 当 20c m h =υ时,则Hz10236.11063.6)103(1011.92034283120⨯=⨯⨯⨯⨯==--hc m υο12A 02.0m 104271.2=⨯==-υλc122831020122sm kg 1073.21031011.9sm kg 1073.2-----⋅⋅⨯=⨯⨯⨯=====⋅⋅⨯==c m cc m c E p cpE hp 或λ15-7 光电效应和康普顿效应都包含了电子和光子的相互作用,试问这两个过程有什么不同? 答:光电效应是指金属中的电子吸收了光子的全部能量而逸出金属表面,是电子处于原子中束缚态时所发生的现象.遵守能量守恒定律.而康普顿效应则是光子与自由电子(或准自由电子)的弹性碰撞,同时遵守能量与动量守恒定律.15-8 在康普顿效应的实验中,若散射光波长是入射光波长的1.2倍,则散射光子的能量ε与反冲电子的动能k E 之比k E /ε等于多少? 解:由 2200mc h c m hv +=+υ)(00202υυυυ-=-=-=h h h cm mcE kυεh =∴5)(00=-=-=υυυυυυεh h E k已知2.10=λλ由2.10=∴=υυλυc2.11=υυ则52.0112.110==-=-υυυ15-10 已知X 光光子的能量为0.60 MeV ,在康普顿散射之后波长变化了20%,求反冲电子的能量.解:已知X 射线的初能量,MeV 6.00=ε又有00,ελλεhchc =∴=经散射后 000020.1020.0λλλλ∆λλ=+=+= 此时能量为 002.112.1ελλε===hc hc反冲电子能量 MeV 10.060.0)2.111(0=⨯-=-=εεE15-11 在康普顿散射中,入射光子的波长为0.030 οA ,反冲电子的速度为0.60c ,求散射光子的波长及散射角. 解:反冲电子的能量增量为202022020225.06.01c m cm cm cm mcE =--=-=∆由能量守恒定律,电子增加的能量等于光子损失的能量, 故有 20025.0c m hchc=-λλ散射光子波长ο121083134103400A043.0m 103.410030.0103101.925.01063.610030.01063.625.0=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=------λλλc m h h由康普顿散射公式2sin0243.022sin22200ϕϕλλλ∆⨯==-=cm h可得 2675.00243.02030.0043.02sin2=⨯-=ϕ散射角为 7162'=οϕ15-12 实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75eV 的光子. (1)试问氢原子吸收光子后将被激发到哪个能级?(2)受激发的氢原子向低能级跃迁时,可发出哪几条谱线?请将这些跃迁画在能级图上. 解:(1)2eV 6.13eV 85.0eV 75.12eV 6.13n -=-=+-解得 4=n 或者 )111(22n Rhc E -=∆75.12)11.(1362=-=n解出 4=n题15-12图 题15-13图(2)可发出谱线赖曼系3条,巴尔末系2条,帕邢系1条,共计6条.15-13 以动能12.5eV 的电子通过碰撞使氢原子激发时,最高能激发到哪一能级?当回到基态时能产生哪些谱线?解:设氢原子全部吸收eV 5.12能量后,最高能激发到第n 个能级,则]11[6.135.12,eV 6.13],111[2221nRhc nRhc E E n -==-=-即得5.3=n ,只能取整数,∴ 最高激发到3=n ,当然也能激发到2=n 的能级.于是ο322ο222ο771221A 6563536,3653121~:23A 121634,432111~:12A1026m 10026.110097.18989,983111~:13===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→=⨯=⨯⨯===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→-R R R n R R R n RR R n λυλυλυ从从从可以发出以上三条谱线.题15-14图15-14 处于基态的氢原子被外来单色光激发后发出巴尔末线系中只有两条谱线,试求这两 条谱线的波长及外来光的频率.解:巴尔末系是由2>n 的高能级跃迁到2=n 的能级发出的谱线.只有二条谱线说明激发后最高能级是4=n 的激发态.ο1983424ο101983423222324A4872106.1)85.04.3(1031063.6A6573m 1065731060.1)51.14.3(10331063.6e 4.326.13e 51.136.13e 85.046.13=⨯⨯-⨯⨯⨯=-==⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=∴-=∴-==-=-=-=-=-=-=-----E E hc E E hcE E hc E E hch VE V E V E a mn mn βλλλλυ基态氢原子吸收一个光子υh 被激发到4=n 的能态 ∴ λυhcE E h =-=14Hz 1008.310626.6106.1)85.06.13(15341914⨯=⨯⨯⨯-=-=--hE E υ15-15 当基态氢原子被12.09eV 的光子激发后,其电子的轨道半径将增加多少倍? 解: eV 09.12]11[6.1321=-=-nE E n 26.1309.126.13n =-51.16.1309.12.1366.132=-=n , 3=n12r n r n =,92=n,19r r n =轨道半径增加到9倍.15-16德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是什么?答:德布罗意波是概率波,波函数不表示实在的物理量在空间的波动,其振幅无实在的物理意义,2φ仅表示粒子某时刻在空间的概率密度.15-17 为使电子的德布罗意波长为1οA ,需要多大的加速电压? 解: ooA 1A 25.12==uλ 25.12=U∴ 加速电压 150=U 伏15-18 具有能量15eV 的光子,被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子所吸收,形成一个 光电子.问此光电子远离质子时的速度为多大?它的德布罗意波长是多少?解:使处于基态的电子电离所需能量为eV 6.13,因此,该电子远离质子时的动能为eV 4.16.13152112=-=+==E E mvE k φ它的速度为31191011.9106.14.122--⨯⨯⨯⨯==mE v k -15s m 100.7⋅⨯=其德布罗意波长为:o953134A 10.4m 1004.1100.71011.91063.6=⨯=⨯⨯⨯⨯==---mvh λ15-19 光子与电子的波长都是2.0οA ,它们的动量和总能量各为多少? 解:由德布罗意关系:2mc E =,λhmv p ==波长相同它们的动量相等.1-241034s m kg 103.3100.21063.6⋅⋅⨯=⨯⨯==---λhp光子的能量eV 102.6J 109.9103103.3316824⨯=⨯=⨯⨯⨯====--pc hch λυε电子的总能量 2202)()(c m cp E +=,eV 102.63⨯=cp而 eV 100.51MeV 51.0620⨯==c m∴ cp c m >>2∴ MeV 51.0)()(202202==+=c m c m cp E15-20 已知中子的质量kg 1067.127n -⨯=m ,当中子的动能等于温度300K 的热平衡中子气体的平均动能时,其德布罗意波长为多少? 解:kg 1067.127n -⨯=m ,S J 1063.634⋅⨯=-h ,-123K J 1038.1⋅⨯=-k中子的平均动能 mpKT E k 2232==德布罗意波长 oA 456.13===mkTh phλ15-21 一个质量为m 的粒子,约束在长度为L 的一维线段上.试根据测不准关系估算这个粒子所具有的最小能量的值.解:按测不准关系,h p x x ≥∆∆,x x v m p ∆=∆,则h v x m x ≥∆∆,xm h v x ∆≥∆这粒子最小动能应满足222222min 22)(21)(21mLhxm hxm h m v m E x =∆=∆≥∆=15-22 从某激发能级向基态跃迁而产生的谱线波长为4000οA ,测得谱线宽度为10-4οA ,求该激发能级的平均寿命. 解:光子的能量 λυhch E ==由于激发能级有一定的宽度E ∆,造成谱线也有一定宽度λ∆,两者之间的关系为: λλ∆=∆2hcE由测不准关系,h t E ≥∆⋅∆,平均寿命t ∆=τ,则λλτ∆=∆=∆=c Eh t 2s 103.51010103)104000(81048210----⨯=⨯⨯⨯⨯=15-23 一波长为3000οA 的光子,假定其波长的测量精度为百万分之一,求该光子位置的测不准量.解: 光子λhp =,λλλλ∆=∆-=∆22hhp由测不准关系,光子位置的不准确量为cm 30A 103103000o962=⨯=====-λλ∆λλ∆λ∆∆p h x。
量子力学作业习题第一章量子力学作业习题[1] 在宏观世界里,量子现象常常可以忽略.对下列诸情况,在数值上加以证明:( l )长l=lm ,质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅;( 2 )质量M=5g ,以速度10cm/s 向一刚性障碍物(高5cm ,宽1cm )运动的子弹的透射率;( 3 )质量M= 0.1kg ,以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射.[2] 用h,e,c,m(电子质量), M (质子质量)表示下列每个量,给出粗略的数值估计:( 1 )玻尔半径(cm ) ; ( 2 )氢原子结合能(eV ) ; ( 3 )玻尔磁子;( 4 )电子的康普顿波长(cm ) ; ( 5 )经典电子半径(cm ) ; ( 6 )电子静止能量(MeV ) ; ( 7 )质子静止能量( MeV ) ; ( 8 )精细结构常数;( 9 )典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值,精确到一个数量级范围内,( 1 )电子的汤姆逊截面;( 2 )氢原子的电离能;( 3 )氢原子中基态能级的超精细分裂能量;( 4 )37Li ( z=3 )核的磁偶极矩;( 5 )质子和中子质量差;( 6 )4He 核的束缚能;( 7 )最大稳定核的半径;( 8 )Π0介子的寿命;( 9 )Π-介子的寿命;( 10 )自由中子的寿命.[4]指出下列实验中,哪些实验表明了辐射场的粒子性?哪些实验主要证明能量交换的量子性?哪些实验主要表明物质粒子的波动性?简述理由.( 1 )光电效应;( 2 )黑体辐射谱;( 3 ) Franck – Hertz实验;( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验;散射.[5]考虑如下实验:一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板,板外是一装有检测器阵列的屏幕,利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置.在下列各种情形下,画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图,给出简单解释.( 1 ) A 缝开启,B缝关闭;( 2 ) B 缝开启,A 缝关闭;( 3 )两缝均开启.[6]验算三个系数数值:(12;(3)hc第二章波函数与Schr ?dinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=][2] 一维运动的粒子处在<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态,其中0>λ,求:(1)粒子动量的几率分布函数;(2)粒子动量的平均值。
一、单选题(选择题)1. 如图为氢原子光谱在可见光区域内的四条谱线Hα、Hβ、Hγ和,都是氢原子中电子从量子数n>2的能级跃迁到n=2的能级发出的光,根据此图判定错误的是()A.Hα对应的原子前后能级之差最小B.同一介质对Hα的传播速度最大C.光子的动量最大D.用Hγ照射某一金属能发生光电效应,则用Hβ照射同一金属一定不能产生光电效应2. 发光功率为P的激光器发出波长为λ的激光,假设某一光子与静止的电子发生正碰()A.与电子碰撞后,光子的波长不变B.与电子碰撞后,光子的波长变短C.激光器发出光子的动量为D.激光器每秒钟发出光子的数量为3. 下列现象能反映“光具有粒子性”的是()A.光能同时发生反射和折射B.光的干涉C.光的衍射D.光电效应4. 在白炽灯光的照射下,能从捏紧的两块玻璃板的表面看到彩色条纹;通过游标卡尺两个测量爪之间的狭缝去观察发光的白炽灯,也会看到彩色条纹,这两种现象()A.都是光的衍射现象B.都是光的干涉现象C.前者是光的衍射现象,后者是光的干涉现象D.都是光的波动性的表现5. 下列说法不正确的是()A.光的偏振现象,证明光是横波B.康普顿效应说明光具有波动性C.光电效应现象说明光具有粒子性D.电子衍射现象证实了电子的波动性6. 让电子束通过电场加速后,照射到金属晶格(大小约)上,可得到电子的衍射图样,如图所示。
下列说法正确的是()A.电子衍射图样说明了电子具有波动性B.电子物质波波长比可见光波长更长C.加速电压越大,电子的物质波波长越长D.动量相等的质子和电子,对应的物质波波长不相等7. 下列说法正确的是()A.爱因斯坦发现了光电效应,并提出相应理论,合理地解释了光电效应B.康普顿效应表明光有波动性;光电效应说明光有粒子性C.α粒子散射实验中,α粒子碰到电子会出现大角度散射D.电子的波动是概率波8. 太阳帆(英文名:So lar s ail s)是利用太阳光的光压进行宇宙航行的一种航天器。
第十九章 量子力学简介Ⅰ(黑体辐射、光电效应、康普顿效应、玻尔理论、波粒二象性、波函数、不确定关系)一. 选择题[ C ]1.(基础训练2)下面四个图中,哪一个正确反映黑体单色辐出度M B λ(T )随λ 和T 的变化关系,已知T 2 > T 1.解题要点: 斯特藩-玻耳兹曼定律:黑体的辐射出射度M 0(T )与黑体温度T 的四次方成正比,即.M 0 (T )随温度的增高而迅速增加维恩位移律:随着黑体温度的升高,其单色辐出度最大值所对应的波长m λ向短波方向移动。
[ D ]2.(基础训练4)用频率为ν 的单色光照射某种金属时,逸出光电子的最大动能为E K ;若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时,则逸出光电子的最大动能为:(A) 2 E K . (B) 2h ν - E K . (C) h ν - E K . (D) h ν + E K .解题要点: 根据爱因斯坦光电效应方程:2012m h mv A ν=+, 式中h ν为入射光光子能量,0A 为金属逸出功,212m mv 为逸出光电子的最大初动能,即E K 。
所以有:0k h E A ν=+及'02K h E A ν=+,两式相减即可得出答案。
[ C ]3.(基础训练5)要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线,至少应向基态氢原子提供的能量是(A) 1.5 eV . (B) 3.4 eV . (C) 10.2 eV . (D) 13.6 eV .解题要点: 根据氢原子光谱的实验规律,莱曼系:211(1)R n νλ==-式中,711.09677610R m -=⨯,称为里德堡常数,2,3,n =最长波长的谱线,相应于2n =,至少应向基态氢原子提供的能量12E E h -=ν,又因为26.13neV E n -=,所以l h E E h -=ν=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2216.1326.13eV eV =10.2 eV [ A ]4.(基础训练8)设粒子运动的波函数图线分别如图19-4(A)、(B)、(C)、(D)所示,那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图?解题要点: 根据动量的不确定关系:2x x p ∆⋅∆≥T 1T 2λM B λ (T )λM B λ (T )λM B λ (T )λM B λ (T )T 2T 2T 2T 1T 1T 1x (A) x (B) x (C) x(D)[ D ]5.(自测提高2)已知一单色光照射在钠表面上,测得光电子的最大动能是 1.2 eV ,而钠的红限波长是5400 Å,那么入射光的波长是(A) 5350 Å. (B) 5000 Å. (C) 4350 Å. (D) 3550 Å.解题要点: 根据爱因斯坦光电效应方程:2012m h mv A ν=+ 式中h ν为入射光光子能量,0A 为金属逸出功,212m mv 为逸出光电子的最大初动能。
《量子力学》作业参考答案一 填空1. 爱因斯坦,h ν或ω ,k n h P==λ2. Ψ=A ()Et r P i e-⋅,Eh Ph μλ2==3. 归一化条件(⎰=∙1τψψd ),相因子(δi e ).4. i ψψH t ˆ=∂∂ ,()()Et i e r t r -=ψψ,. ()()∑-=ψntE in n n e r C t r ψ, 5. 6, () 2,1,0±±=z L .6. ()()()P P d r r P P '-=⎰∞*'δτψψ, 112222223==⎰⎰⎰⎰---*l l l l l l P P dz dy dx L d τψψ.7.实物粒子也应该具有波动性.电子衍射8.E=h ν=ω ,k n h P==λ9.波函数在空间各点的相对强度,强度的绝对大小。
10. i ψψH t ˆ=∂∂ , ψψE H =ˆ或()ψψψμE r V =+∇-222 . 11. ()221 +=l l L , m L z =.12.()()dr r r R dr r W nl nl 22=,()()Ω=Ωd Y d W lm lm 2,,ϕθϕθ13.C=()2321π, C=23-L14.()()dx x u x i x Fx u F q q q q ⎰'*'⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= ,ˆ, ()x x x i x F F x x '-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂='δ ,ˆ. 15.()()ti nmn n m mn e H t a dt t da i ω∑'= , ()⎰''='t t i mk m t d e H i t a mk 01ω , 16.mk ωω±=或ω ±=k m E E , ()ωωδπ±=-mk mk m k F w 222, 或()ωδπ±-=-k m mk m k E E F w 22 17.原子光谱线系的精细结构,塞曼效应, 斯特思-盖拉赫实验. 18. FS S 1-, n λλλ+++ 21,19. mk A , ()mk mk B I ω,20. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡01ψ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡20ψ,21. ;j j ,j ,jj j j 2121211--++= 21m m m +=;22.由全同粒子构成的体系中,任意两粒子的交换,不引起体系状态的改变;全同粒子体系的波函数,具有确定的交换对称性,且这种交换对称性不随时间改变。
量⼦⼒学作业题《量⼦⼒学》作业题号及题⽬教材:曾谨⾔,《量⼦⼒学教程》,科学出版社(2003)(以下简称教材)作业题号:(章节按上课讲义为序)第⼀章量⼦⼒学的历史渊源作业:(⽆)第⼆章波函数与Schr?dinger⽅程作业:教材P25-27,1、2、3、5第三章⼀维势场中的粒⼦作业:教材P50-52,1、2、3、4、6、10、11第四章⼒学量⽤算符表⽰作业:教材P74-75,1、2、3、4、10、12、14、15、16第五章量⼦⼒学的矩阵形式与表象理论作业:教材P142-143,1、2、3、4、6;P175,1第六章守恒量与对称性作业:教材P94-95,1、2、3、4、6、9第七章中⼼⽴场作业:教材P115-116,1、3、4、5、12第⼋章电磁场中粒⼦的运动作业:教材P126,3第九章⾃旋与⾓动量理论初步作业:教材P160-161,1、2、4、7、8第⼗章微扰论及其他近似⽅法作业:教材P195,1、2、4;P240,2、3第⼗⼀章量⼦跃迁作业:教材P220-221,1、3、4、6第⼗⼆章散射作业:教材P195,6参考书:曾谨⾔,《量⼦⼒学导论》(第⼆版),北京⼤学出版社(以下简称参考书)没有教材,使⽤上书的同学相应的作业题号和题⽬如下(与教材的题⽬⼀样)注:下⾯的作业题⽬中,“补充题⽬”是指布置了的在教材中有⽽在参考书中没有的作业题⽬,列出是为了便于只使⽤参考书的同学。
作业题⽬:注意:如果公式显⽰有问题,请安装mathtype5.2第⼀章量⼦⼒学的历史渊源作业:(⽆)第⼆章波函数与Schr?dinger ⽅程作业:参考书P47-48,1、2、6以及下⾯题⽬补充题⽬:(相应教材P25,3)对于⼀维⾃由粒⼦,(a )设波函数为()ipx p x ψ= ,试⽤Hamilton 算符 222222d H p m m dx ==? 对()p x ψ运算,验证 2()()2p p p H x x mψψ=。
补充作业一
1.已知粒子的波函数为(),00,
0,Ax a x x a x x a ψ-<<⎧=⎨≤≥⎩,求归一化常数A 。
2.质量为2,劲度系数为8的一维简谐振子处于第3激发态,试求所能发出的光谱线条数和相应的频率。
3. 在区间[]0,π内的一维无限深势阱中粒子处于状态3sin A x ψ=,求测量其能量的可能值,对应的概率、能量期待值和方差。
4. 一维简谐振子处于状态123()()2()x i x x ψϕϕϕ=-+,求测量其能量的可能值,对应的概率、能量期待值和方差。
5. 质量为2,宽度为π的一维无限深方势阱中粒子处于第3激发态,试求所能发出的光谱线条数和相应的频率。
补充作业二
1.对易关系[]ˆ,z y p = ,ˆˆˆ,z x y L L iL ⎡⎤+=⎣⎦ 。
2.角动量算符ˆz
L 在直角坐标中的形式为 ,在极坐标中的形式为 。
3.角动量平方算符222x y z L L L ++的本征值为 ,对应的本征态为 。
4.已知空间转子的状态是()10202122A Y Y iY ψ=-+,求归一化常数A 。
5. 求宽a ,长b = a /2的二维无限深势阱中,粒子的前五个能级和简并度。
6. 氢原子处于状态 1002102112i ψψψψ=-+,试求:①能量、角动量平方和角动量z 分量的可能值,②对应的概率和期待值。