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第11讲积分变上限函数及性质z

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11高数第十一章

11高数第十一章

将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
(i ,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
一、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界 函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零

数学分析11-2112 无穷积分的性质与收敛判别

数学分析11-2112 无穷积分的性质与收敛判别

若 f ( x)dx 收敛, 则可得 c g( x)dx 收敛,从而
a
a2
g( x)dx 收敛.反之,若 g( x) dx 收敛, 可得
a
a
3c g( x)dx 收敛,从而 f ( x)dx 收敛.
a2
a
(ii)由 lim f ( x) 0, 存在 G a, 使 x G, 有 x g( x) f (x) 1 , g( x)
u [a,), 有
u
f ( x)dx M .
a
定理11.3 (比较判别法) 设定义在 [a,)上的两个
非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且
存在 G a, 满足
f ( x) g( x), x [G,),
前页 后页 返回
则当 g( x)dx 收敛时, f ( x)dx 亦收敛;
a
a
(iii) 若c , 则由 g( x)dx 发散可得 f ( x)dx 发散.
a
a
证 (i) 由 lim f ( x) c 0, 故存在 G a,使 x G,有 x g( x)
f (x)
c
c ,
g( x)
2
即
c g( x) f ( x) 3c g( x).
2
2
前页 后页 返回
a
a
当 f ( x)dx 发散时, g( x)dx 亦发散.
a
a
证 若
g( x)
dx
收敛,
则
M
0,
u [a,),
a
u
a g( x)dx M .
因此
u
f ( x)dx
u
g( x)dx M .
a
a

高数第十一章曲线积分与曲面积分 (1)

高数第十一章曲线积分与曲面积分 (1)


( )
10
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例1 计算
L
yds, 其中L是抛物线y x 上点
2
O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.
解

L 1
yds
0
1
y
y x2
0
x
2
2 1 ( x ) dx 2
B
x 1 4 x 2 dx
i 1 n
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M A 1
o
x
3
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第十一章
曲线积分与曲面积分
如果当各小弧段的 长度的最大值 0时, 这和的极限存在 , 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在曲线弧 L上对弧长的曲线积分或 第一类曲 线积分, 记作 f ( x , y )ds, 即
x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数 , 且
2 ( t ) 2 ( t ) 0，则曲线积分 f ( x , y )ds
L
存在，且

L
f ( x , y )ds
曲线积分与曲面积分
定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧 ,函数f ( x , y )
在L上有界.用L上的点M 1 , M 2 ,, M n1把L分成n 个小段.设第i个小段的长度为 si , 又( i , i )为第 i个小段上任意取定的一 点, 作乘积f ( i , i ) si , 并作和 f ( i , i ) si ,

12_第11讲二重积分及其计算

12_第11讲二重积分及其计算
D D
性质 2
若D = D1 + D2 ( D1与D2除边界点外无公共部分 )，则
∫∫ f ( x, y) d x d y =∫∫ f ( x, y) d x d y + ∫∫ f ( x, y) d x d y 。
D D1 D2
性质 3
若 f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) ( x, y ) ∈ D，则
dσ = d x d y 相应地，直角坐标系下，二重积分写为
∫∫ f ( x, y) d x d y 。
D
(3) 有界闭区域上的连续函数可积。
( 4) 若函数 f ( x, y ) 在区域 D 上有界，且仅在 D 内有限条
曲线（面积为零）上不连续，则 f ( x, y ) 在 D 上可积。
(5) 二重积分是一个数，它取决于被积函数和积分区域， 而与积分变量的记号（字母）无关：
将 D 任意分割为 n 个无公共内点的小区域 Di ( i = 1, 2, L , n ) ，
则 D＝ Di ，并记 Di 的面积为 ∆σ i。 U
i =1
n
若 ∀(ξ i ,ηi ) ∈ Di，极限
λ →0
lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆σ i
i =1
n
存在，则称该极限值为函数 f ( x, y ) 在区域 D 上的二重积分， 其
λ→0
i=1 D n
能不能用定积分 来求曲顶柱体的体积？
利用平行截面面积为已知的 几何体体积计算方法.
曲 顶 柱 体 的 体 积
z
z = f ( x, y ) > 0
z = f ( x, y )
. b
x
x
a O
x = x S(x) = y f (x, y) d y ∫ϕ (x)

第11讲：函数的图像(教师用书)

第11讲：函数的图像(教师用书)

（聚焦2008四川高考）第11讲：函数的图像」、知识梳理 （一）知识框图「确定函数的定义域V 化简函数解析式^值域 描点法作图』 值域讨论函数的性质2单调性（二）重点难点I 画函数的图像 i 奇偶性与周期性重点：（1）熟练基本函数的图像；（2）掌握函数图像的初等变换； （3）识图与用图（数形结合）。

难点：（1）复杂的图像变换；（2）数形结合讨论综合问题。

二、点解读与例（考）题 （一）作函数的图像1、函数图像：在平面直角坐标系中，以函数 y=f （x ）中的x 为横坐标， 函数值y为纵坐标的点（x ，y ）的集合，就是函数 y=f （x ）的图像，它包含两 方面含义：（1） 图像上每一点的坐标（x ，y ）均满足函数关系 y=f （x ）（纯粹性）； （2） 满足y=f （x ）的每一组对应值 x, y 为坐标的点（x ，y ）均在图像上（完备性）；函数图像是函数关系的一种直观表达形式，它从形”的角度（方面）刻画了函数的变化规律， 通过图像可形象反映函数的性质， 因此，函数图像是 研究函数的重要工具，是解决诸多数学问题的有力武器。

（1）描点法：作函数图像最基本的方法，因函数图像是由点｛（x ,y ）|y=f （x ） , x € D ｝组成。

所以从理论上讲，禾U 用描点法总能作出函数的图像，其基本程序：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数性质 （奇偶性、单调性、周期性等）；④利用基本函数的图像画出所求函数的图 像。

2、利用基本初等函数的图像的变换作图图像的应用A-识图用图（数形结合）平移变换对称变换 伸缩变换 图像卜的＜=i 变换基本函数的图像一次函数与二次函数 反比例函数 指数与对数函数 图h > °，左移h v °，右移 乙(X )对称的图像，然后去掉y 轴左边图像(X )X 轴对称■ y= _f (X )y=f (X ) y 轴对称 h y=f (- x )(X )直线 x =a 对称卜 y=f (2a -X ) y=f ( X )直线 y =X 对称.y=f -1 (X ) 保留y 轴右边图像，作其关于 y 轴 .y= — f (|x|)+y=|f (x ) |_f ()保留X 轴上方的图像，将 X 轴 y = (X )下方的图像翻折到 X 的上方—【例1】作出下列函数的大致图像:(1)y=log 2|x|; (2) y=|log 2 (x — 1)；x 。

十一章积分变换法

十一章积分变换法
变换的定义
交换积分次序
1
2
x
exp
ikx
dx
1
[
( )eik d ]ek2a2teikxdk
2π
u(x,t) 1
( )[
ek2a2teik (x )dk ]d
2π
令 (x ) ，得
u(x,t) 1
( )[
ek2a2t eik dk]d
2π
应用高斯像函数的 傅里叶变换关系
ikx
dk
1 2
1
2
1 (k)eikat expikxdk
kai
1
2
1 kai
(k
)eikat
exp
ikx
dk
u1 x,t u2 x,t
u1
x,t
1 2
1
2
(k)eikat expikxdk
1
2
(k
)eikat
exp
ikx
dk
u2
x,
t
1 2
1
2
1 (k)eikat expikxdk
1
2
ut
x,t exp ikx dx
a2
1
2
uxx
x,
t
exp
ikx
dx
0
ut k 2a2u(k, t) 0
边界条件运用傅里叶变换，得
11
1
2
u
x,
t
exp
ikx
dx
|t
0
1
2
1 ex2 expikxdx
由高斯函数的 傅里叶变换关系
u
1 eax2 expikxdx
u2

11-2无穷积分的性质与收敛判别PPT课件

f ( x)dx 收敛的充要条件是: M 0, 使 a u u [a, ), a f ( x)dx M .
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证 设 F (u) u f ( x)dx,则 f ( x) dx 收敛的充要
a
a
条件是 lim u
F (u)
存在.
由于
f
(x)
0,
当 u1
u2 时，
u2 f ( x)dx u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx 0,
收敛的无穷积分
f ( x)dx 不一定是绝对收敛的.
a
若
f ( x)dx 收敛而
|
f
( x) | dx
发散, 则称
a
a
f ( x)dx 条件收敛. a
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二、非负函数无穷积分的收敛判别法
引理(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在 [a,) 上的非负函数 f 在任何 [a, u] 上可积, 则
a
a
u1
从而 F (u) 是单调递增的 (u [a,)). 由单调递
增函数的收敛判别准则, lim F (u) 存在的充要条 u
件是 F (u) 在 [a, ) 上有界,即 M 0, 使
u [a,), 有
u
f ( x)dx M .
a
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定理11.2 (比较判别法) 设定义在 [a,)上的两个 非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且
a
u1
证 设 F(u)
u f ( x)dx , u [a , ), 则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F (u) .由函数 u
极限的柯西准则,此等价于

高数第十一章曲线积分与曲面积分 (2)


A(1, 1)
4 2 y dy . 1 5
1 4
13
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例2 计算

L
y dx, 其中L为
2
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; ( 2) 从点 A(a ,0) 沿 x 轴到点 B( a ,0) 的直线段.
n
7
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第十一章
曲线积分与曲面积分
5.性质 (1)设 、 为常数，则 [P1 P2 ]dx P1dx P2 dx，
L L L
L [Q1 Q2 ]dy L Q1dy L Q2dy .
( 2) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连
2 2 续导数, 且 ( t ) ( t ) 0, 则曲线积分
L P ( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
9
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第十一章
曲线积分与曲面积分
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L L
( t ) ( t ) ,cos , 其中cos 2 2 2 2 ( t ) ( t ) ( t ) ( t )
L : A B,
L
A
M2 M1
yi M i 1xi
M i M n 1
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B.
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j .

高等数学电子教案：第11章 曲线积分与曲面积分

)i x ，)i LQ y ⎰以上这两个积分称为第二类曲线积分。

第二类曲线积分的定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形。

第二类曲线积分的物理意义：当质点受到力Ｆ(x,y)=P(x,y)作用，在xoy 平面内从点Ａ沿光滑曲线L 移动到点Ｂ时，变力Ｆ所做的功，即(,)L F ds P x dy ⋅=⎰ ,其中类似地可以推广到空间情形。

第二类曲线积分的性质：]Pdx Qdy k +=L Pdx Qdy Pdx +=⎰LPdx Qdy +⎰成立，其中平面上曲线积分与路径无关的条件：P(x,y)及Q(x,y)在G 内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题等价：内积分与路径无关；LPdx Qdy +=⎰，L 为G 内任一闭曲线；,(,)Q P x y G xy∂∂=∈∂∂；）存在可微函数u(x,y)且当上述四个等价命题之一成立时有：00(,)(,))x y x y y Pdx =+⎰0(,)yy Q x y dy +⎰对于一个第二类曲线积分的计算题目，先分析其是否满足格林公式：LPdx Qdy +⎰，若成为取正向的封闭曲线，进而采用格林公式，然后再减去L 1与L 所围成区域内计算二重积分，又要有利用所围成区域满足格林公式条件。

若L 为闭区线，但连续偏导数，则可采用“挖洞’法来利用格林公式。

且区域为单连通区域时，积分与路径无关，因而我们可选取一条最简单的路经计算。

一般轴的折线，如果曲线本身是封闭的，可寻找一条更简单的封闭同向曲线，只要两条曲线不象Q P∂∂)S存在，则称这个极限iS，亦称它为第一型曲面积分。

其物理意义是面密度)i，∑叫做积分曲面曲面面积元素。

可以得知它具有以下性质（假定下面的曲面积分都存在）=⎰⎰)]dS k1∑2{1{,,}{x F n dS z F dxdy z P Q R dxdy⋅-⋅'+⋅ “+”， “-”的确定：若题设中曲面∑的侧与-”。

)()i xy S 存在，x,y 的曲面积分，记作)()i xy S 。

高数下第十一章曲线积分与曲面积分


L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0
4 1 x3dx 1. 0
整理课件
y x2
B(1,1)
A(1,0)
23
(2) 化为y的 对积. 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
解 记 L所 围 成 的 闭 区 域 为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则 当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
整理课件
37
y
(1) 当(0,0)D时,
L
xdy ydx
D
由格林公式知 L x2 y2 0 o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作 位 于 D 内 圆 周 l:x 2 y 2 r2 , y L
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
整理课件
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
20
例2 计算y2dx,其中 L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行 的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
整理课件
28
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2
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