抛物型方程的差分方程1

目录一、问题的描述 (1)二、算法设计及流程图 (1)2.1 算法设计 (1)2.2 流程图 (2)三、算法的理论依据及其推导 (2)3.1 截断误差分析 (2)3.2 稳定性分析 (3)四、数值结果及分析 (3)五、总结 (5)六、附件（源代码） (6)抛物型方程问题的差分格式一、问题的描述有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。

此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。

偏微分方程边值问题的差分法是物理上的定常问题，其定解问题为各种边值问题， 即要求解在某个区域内满足微分方程，在边界上满足给定的边界条件。

常系数扩散方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格，建立差分格式求解。

常系数扩散问题的有限差分格式求常系数扩散问题为正常数其中a ,0,,22>∈∂∂=∂∂t R x xua t u （1.1） 的近似解，其初始条件为R x x g x u ∈=),()0,(二、算法设计及流程图2.1 算法设计运用加权隐式格式求解常系数扩散问题（1.1）02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 10≤≤θ,h τ其中分为时间步长和空间步长。

步骤1 输入初始值，确定加权隐式格式的参数；步骤2 定义向量A ，把初边值条件离散，得到0j u ，j=0,1,…,J 的值存入向量A 步骤3 利用加权隐式差分格式由第n 层计算第n+1层，建立相应线性方程组，求解并且存入向量A;步骤4 计算到t=1，输出u2.2 流程图三、算法的理论依据及其推导3.1 截断误差分析常系数扩散问题（1.1）的加权隐式格式如下：02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 其中10≤≤θ，,h τ其中分为时间步长和空间步长。

抛物型方程的差分方法抛物型方程是描述物理现象中的薄膜振动、热传导、扩散等过程的方程，具有非常重要的应用价值。

差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解微分方程，对于抛物型方程的数值求解也是非常有效的方法之一、本文将介绍抛物型方程的差分方法，并具体讨论用差分方法求解抛物型方程的一些具体问题。

首先，我们来介绍一下抛物型方程的一般形式。

抛物型方程一般可以表示为：∂u/∂t=α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u(x,y,t)是待求函数，t是时间，x和y是空间变量，α是常数。

这个方程描述的是物理过程中的扩散现象，如热传导过程、溶质的扩散过程等。

差分方法的基本思想是将求解区域离散化为一个个网格点，然后在每个网格点处用近似的方式来计算待求函数的值。

差分方法的求解步骤主要包括以下几个方面：1.选择适当的网格和步长。

在求解抛物型方程时，需要确定空间变量x和y所在的网格点以及步长，同时也需要确定时间变量t所在的网格点和步长。

通常，我们会选择均匀网格，步长选择合适的值。

2.建立差分格式。

差分格式是差分方法的核心部分，它包括对方程进行近似处理和离散化。

对于抛物型方程，常用的差分格式有显式差分格式和隐式差分格式等。

其中，显式差分格式的计算速度快，但是有一定的稳定性限制，而隐式差分格式的稳定性较好，但是计算量较大。

因此，在具体问题中需要根据实际情况选择适当的差分格式。

3.编写计算程序。

在建立差分格式后，需要编写计算代码来求解离散方程。

具体编写的过程包括定义初始条件、建立迭代计算过程、以及计算结果的输出等。

4.计算结果的验证与分析。

求解方程后，需要对计算结果进行验证和分析，主要包括对数值解和解析解的比较、对误差的估计和控制等。

在具体求解抛物型方程时，还会遇到一些问题，例如边界条件的处理、稳定性和收敛性的分析等。

下面将对其中一些问题进行详细讨论。

1.边界条件的处理。

边界条件对差分格式的求解结果有着重要的影响，常见的边界条件包括固定端（Dirichlet）边界条件和自由端（Neumann）边界条件等。

有限差分法求解抛物型方程偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例.§1 差分方法的基本思想有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组.有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式.泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式.首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+=图1 单变量函数离散化函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++++ （1）或23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+-+ （2）式(1)和(2)重新整理可得2()()()()()2!3!i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'=---（3）和2()()()()()2!3!i i i i i u x u x h u x u x u x h h h '''''--'=+++（4）于是给出在点i x 处函数u 的一阶导数的两个近似公式1()()()i i i ii u x h u x u u u x h h ++--'≈= （5）1()()()i i i i i u x u x h u u u x h h----'≈= （6）因为级数被截断，这两个近似公式肯定要产生误差，此误差与h 同阶，形式分别为()(), ,2()(), .2i i i i i i hE u O h x x h hE u O h x h x ξξξξ''=-=≤≤+''==-≤≤ 若把式(3)和(4)相加并求()i u x '，可得11()()()22i i i i i u x h u x h u u u x h h+-+---'≈= （7）其截断误差与2h 同阶，形式为22()(), ,6i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+若把式(3)和(4)相减并求()i u x ''，可得1122()2()()2()i i i i i i i u x h u x u x h u u u u x h h +-+-+--+''≈= （8）其截断误差与2h 同阶，其形式为22()(), ,12i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+我们可继续用这种方式来推导更复杂的公式，类似的公式还有很多，这里不再一一列举.公式（5）、（6）分别称为一阶向前、向后差分格式，这两种格式具有一阶计算精度，公式（7）、（8）分别称为一阶、二阶中心差分格式，这两种格式具有二阶计算精度.图2 二维区域网格剖分上面的结果可直接推广使用于导出二元函数(,)u x y 的许多有限差分近似公式.如图7.2，把求解区域进行网格剖分，使12(,)(,), ,=0,1,2,i j ij u x y u ih jh u i j ==其中x 方向的网格间距为1,h y 方向的网格间距为2,h 整数i 和j 分别表示函数(,)u x y 沿x 坐标和y 坐标的位置.二元函数(,)u x y 对x 求偏导时y 保持不变，对y 求偏导时x 保持不变，根据向前差分公式（7.5）可以给出在点(,)i j x y 处函数(,)u x y 的一阶偏导数的两个近似公式1,,1(,)i j i j i ju x y u u xh +∂-≈∂ （9）,1,2(,)i j i j i ju x y u u yh +∂-≈∂ （10）相类似地，根据二阶中心差分格式（8）可以得到函数(,)u x y 的二阶偏导数的近似公式21,,1,221(,)2i j i j i j i ju x y u u u x h +-∂-+≈∂ （11）2,1,,1222(,)2i j i j i j i j u x y u u u yh+-∂-+≈∂ （12）下面我们推导函数(,)u x y 的二阶混合偏导数2ux y∂∂∂在(,)i j x y 的有限差分表达式.根据一阶中心差分格式（7），112111,11,11,11,122121221,11,1(,)(,)(,)1()21 ()()222 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i u x y u x y u x y O h x y h y y u u u u O h O h h h h u u u +-+++--+--+++-∂∂∂⎡⎤⎡⎤∂=-+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦--⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦--≈1,11,1124j i j u h h -+--+二维有限差分近似可以直接推广到三维空间或三维空间加一维时间的情形.定义1 当步长趋于零时，差分方程的截断误差趋于零，则称差分格式与微分方程是相容的.定义2 当步长趋于零时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分格式是收敛的. 定义3 当差分方程的解由于舍入误差的影响，所产生的偏差可以得到控制时，则称差分格式是稳定的.§2 抛物型方程的有限的差分法为了说明如何使用有限差分法来求解偏微分方程，本节我们给出以下几个数值实例.算例1 考虑一维非齐次热传导方程的初边值问题：2212(,), 01,01,(,0)(), 01,(0,)(), (1,)(), 0 1.u ua f x t x t t x u x q x x u t g t u t g t t ⎧∂∂=+<<<≤⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==<≤⎪⎪⎩(7.13),其中2,a =函数11(,)[cos()2sin()],22xf x t e t t =--+-初始条件1()sin,2xq x e =左、右边界条件分别为11()sin(),2g t t =-21()sin()2g t e t =-.该定解问题的解析解为1(,)sin(),(,)[0,1][0,1].2xu x t e t x t =-∈⨯将求解区域{(,)|,0}x t a x b t T Ω=≤≤≤≤进行网格剖分，[,]a b 作m 等分，[0,]T 作n 等分，记,,b a Th m nτ-==则 ,0,,0i k x a ih i M t k k n τ=+≤≤=≤≤对该问题建立如下向前差分格式：11122, 11, 11,k kk k k k i i i i i i u u u u u a f i m k n hτ+-+--+=+≤≤-≤≤-（14） (,0)(),1,i i u x q x i m =≤≤ （15） 12(,)(), (,)(),1.k k k k u a t g t u b t g t k n ==≤≤ （16）令2r ah τ=，差分格式（7.14）整理得111(12), 11, 1 1.k k k k k i i i i i u ru r u ru f i m k n τ+-+=+-++≤≤-≤≤- （17）显然时间在1k t +上的每个逼近值可独立地由k t 层上的值求出。

图1
,我们需要求解这1/h +1()×T/τ+1()个点对应的函数值实上由已知的初边值条件蓝色标记附近的点可直接得到,所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可,可记为u []
k j
=u (x j ,t k )。

建立差分格式
j =1, (1)
-1;k =0,1,…,T τ-1,用向前差分代替关于时间的
一阶偏导数,用二阶中心差分代替关于空间的二阶偏导数,则可定义最简显格式:
-u k j =u k j+1-2u k j +u k
j-1
h
2
变形有:
(上接第50页)极大值理论,检测初始行波、故障点反射波和对端母线反射波到达测量端的时间,测量故障点距离,从测试结果看,该方案有效弥补传统行波测距的不足之处,提高了故障测距的精确度。

【参考文献】
[1]陈靖.行波法故障测距的理论研究及其实现方案[D].武汉:武汉大学,2004.数值解的剖分图如图2:
图2
真解与数值解的误差剖分图如图3:
图3
3数值实验及结果分析
我们对所求解的初边值问题(1)进行算法精度的数值实验,当
u 0
(x )sin πx 时,边界值仍然为u (0,t )=u (1,t )=0,其精确解为:u (x ,t )
从表中我们可以看出。

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抛物型方程有限差分法1. 简单差分法考虑一维模型热传导方程(1.1) )(22x f xua t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 其中a 为常数。

)(x f 是给定的连续函数。

（1.1）的定解问题分两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：（1.2） ()()x x u ϕ=0,, ∞<<∞-x第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：()13.1 ()()x x u ϕ=0,,l x l <<-及边值条件()23.1 ()()0,,0==t l u t u ，T t ≤≤0假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h =为空间步长，MT=τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τk y y k ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。

其中 ()j i y x ,表示网格节点；h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。

k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。

注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)kj k ju u x t t t ∂∂⎛⎫≡ ⎪∂∂⎝⎭）：可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式()24.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=kN u =0其中1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ。

抛物型和双曲型微分方程方程的差分方法双曲型微分方程的解，对求解区域内一点(慜，惭)而言，在初值区域内有一个依赖域,差分方程也是如此,对于差分方程(6),点(jΔx,nΔt)的依赖域是初值线上区间【(j-n)Δx,jΔx】。

如令Δt/Δx=r=常数,慜=jΔx,惭=nΔt，则差分方程(6)在点(慜,惭)的依赖域为【慜-a惭/r，慜】,并且步长比r固定时，依赖域与Δx，Δt无关。

差分方程(9)在(慜,惭)的依赖域是【慜-a惭/r,慜+a惭/r】，而差分方程(11)的依赖域则是【慜，慜+│a│惭/r】,R.库朗等人曾经证明，差分格式收敛的一个必要条件是差分方程的依赖域应包含微分方程的依赖域，这个条件叫作"库朗条件"。

从图3中可以看到，对于差分方程(6)，这个条件是慜-a惭/r≤慜-a惭≤慜，即对于格式(9)，库朗条件是,两者不同。

对于格式(11),库朗条件是慜≤慜-a惭≤慜+│a│惭/r；在a>0时,显然不能成立,所以格式(11)当a>0时不收敛，因而也是无用的。

格式(6)a>0在而库朗条件满足时，的确是收敛的。

因为的离散化误差适合由此可知：又因差分格式与微分方程的初值相同，于是可知：这说明条件满足时，格式(6)收敛。

如果a<0，格式(6)不收敛。

但当时，格式(11)收敛。

这两个格式称为"迎风格式",因为a>0时，用向后差商代替,往上风取近似值；当a<0时则用向前差商代替,也是往上风取近似值。

可见作(1)的差分格式时，要考虑波的传播方向。

⑤差分格式的稳定性用一个差分格式计算时，初值的误差必然要影响到以后各层。

通常希望这误差的影响不会越来越大，以致完全歪曲了差分方法的真解，这便是稳定性问题。

讨论时，常把问题化简，设初值有误差ε，而以后的计算并不产生误差,由于误差ε，使变成了+ε，但+ε仍满足所适合的差分格式。

定义一种衡量t=tn层格点上ε的大小的所谓范数‖ε‖，若有常数K>0使当Δt、Δx→0而0≤t=nΔt≤T时，恒有‖ε‖≤K‖ε‖,则称此差分格式是稳定的。

偏微分方程数值解所在学院：数学与统计学院课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例学生：向聘抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例1.1抛物型扩散方程抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。

考虑一维热传导方程：22(),0u ua f x t T t x∂∂=+<≤∂∂ (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。

按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件：()()x x u ϕ=0,, ∞<<∞-x (1.1.2)第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件：()()x x u ϕ=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4)假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

1.2抛物线扩散方程的求解下面考虑如下热传导方程22()(0.)(,)0(,0)()u ua f x t x u t u L t u x x ϕ⎧∂∂=+⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩(1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。

取N l h =为空间步长，MT=τ为时间步长，其中N ，M 是自然数，用两族平行直线jh x x j ==,()N j ,,1,0Λ=和k t t k τ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。

其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示网格点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。

抛物型方程的一维差分格式的具体实现抛物型方程是一类重要的偏微分方程，在热传导、流体动力学等领域有着广泛的应用。

解决抛物型方程的方法之一是一维差分格式。

本文将详细介绍一维差分格式的具体实现步骤。

一、问题描述解决抛物型方程的一维差分格式，需要将方程离散化，即用离散的格点代替连续的时空域。

设我们所研究的区域为[0,L]，时间区间为[0,T]，步长为h和Δt，分别表示空间和时间的离散化间隔。

则离散化的格点为(x,t)，其中x=ih，i=0,1,2,...,N，N=L/h；t=nΔt，n=0,1,2,...,M，M=T/Δt。

二、一维差分格式的具体实现1、前向差分前向差分是一种常见的差分方法，用于计算函数在某个点的前一项近似值。

对于热传导方程，采用前向差分格式如下：(1) u(x,t+Δt) ≈ (1-θΔt)u(x,t) + θΔt u(x+h,t)其中，θ为热传导系数，h为空间步长。

2、中央差分中央差分是一种更为稳定的差分方法，用于计算函数在某个点的中心近似值。

对于热传导方程，采用中央差分格式如下：(2) u(x,t+Δt) ≈ (θΔt/2)[u(x+h,t) + u(x-h,t)] + (1-θΔt)[u(x,t) + u(x,t-Δt)]其中，θ为热传导系数。

3、后向差分后向差分是一种计算函数在某个点的后一项近似值的方法。

对于热传导方程，采用后向差分格式如下：(3) u(x,t+Δt) ≈ (1-θΔt)u(x,t) + θΔt u(x-h,t)其中，θ为热传导系数，h为空间步长。

三、实验结果与分析通过数值实验，我们可以验证一维差分格式的优越性和适用性。

例如，对于前向差分格式，当θ→0时，该格式收敛于精确解；当θ→∞时，该格式约化为向前欧拉方法，这是一种显式差分方法，适用于θ很大、时间步长很小的情形。

对于中央差分格式，当θ→0时，该格式约化为隐式方法，需要求解一个线性方程组，适用于稳定性和精度要求较高的场合；当θ→∞时，该格式约化为向后欧拉方法，这也是一种显式差分方法，适用于时间步长很小的情形。

抛物型方程的有限差分方法一，求解问题考虑一维非齐次热传导方程的定解问题22(,),0,0(,0)(),0(0,)(),(1,)(),0u ua f x t x l t T t xu x t x l u t t u t t t T ϕαβ∂∂-=<<<≤∂∂=≤≤==<≤......(1)..................(2) (3)其中α为正长数，(,)f x t ,()t ϕ,()t α,()t β为已知函数，(0)(0),(1)(0)ϕαϕβ==,式（2）为初值条件，（3）为边值条件。

二，网格剖分取空间步长/h l M =和时间步长/T N τ=，其中M 、N 都是整数。

用两族平行直线,(0,1,,)i x x ih i M ===和(0,1,,)k t t k i N τ===将矩形域{0;0}Gx l t T =≤≤≤≤分割成矩形网格，网格结点为(,)i k x t 。

以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h h G G Γ=-是网格界点集合。

其次，用ki u 表示定义在网点(,)i k x t 的函数，11,01i Mk N ≤≤-≤≤-。

用适当的差商代替方程（1）中相应的偏微商。

三， 差分格式 1， 向前差分 向前差分格式111202()(),11,01k kk k kiii i i ii i kki i i M u u u u u af hf f x u x u u i M k N ττϕϕ++---+=+====≤≤-≤≤-以2/ra h τ=为网比。

将上式改写为便于计算的形式，则得以下向量形式111(12)()(,)11,01k k k kii i i i k u r u r u u f x t i M k N τ+-+=-+++≤≤-≤≤-上式表示第k 层的值显示表示出来。

已知第k 层的值{|1}k i u i M ≤≤，则可以直接得到第k+1的值1{|1}k i u i M +≤≤。