O-4.1 布洛赫定理和波- 4.2 平面波法-48
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简述布洛赫定理的内容
布洛赫定理是固体物理学中的一项重要定理,它描述了晶体中电子的行为。
该定理是由瑞士物理学家费米和德国物理学家布洛赫在1929年分别提出的。
一、晶体结构和周期性势场
晶体是由原子或分子按照一定规律排列而成的固体。
晶格是指构成晶体的原子或分子在空间中排列成的有序周期性结构。
周期性势场是指在空间中呈现出周期性变化的势场。
二、电子在周期性势场中的运动
当电子遇到一个周期性势场时,它会受到一个平稳而有规律的力,这个力会使电子做简谐振动。
在这种情况下,电子行为类似于弹簧振动器。
三、布洛赫定理和能带结构
布洛赫定理描述了晶格对电子运动的影响。
它指出,在一个周期性势场中,电子波函数可以表示为平面波与一个具有与晶格相同周期的函
数之积。
这个函数被称为布洛赫函数。
通过布洛赫函数,我们可以推导出能带结构。
能带结构描述了材料中
电子的能量和动量之间的关系。
在能带结构中,能量被分成了不同的
区域,每个区域被称为一个能带。
在一个能带内,电子具有相似的能
量和动量。
四、布洛赫定理的应用
布洛赫定理在固体物理学中有着广泛的应用。
它可以用来研究半导体、金属和绝缘体等材料中电子行为的特性。
在半导体领域,布洛赫定理
可以用来解释p-n结和场效应晶体管等器件的工作原理。
总之,布洛赫定理是固体物理学中非常重要的一项定理。
它描述了晶
格对电子运动的影响,并推导出了能带结构。
通过这个定理,我们可
以更好地理解材料中电子行为的特性,并将其应用于实际设备设计中。
布洛赫定理及它的指导意义ψ(r)=u(r)×φ(k·r)其中,ψ(r)是电子的波函数,u(r)是周期函数,φ(k·r)是平面波,k是电子的波矢。
布洛赫定理还明确规定了周期函数的形式,即u(r+R)=u(r)。
这里的R是晶格向量,表示晶体中原子的周期排列。
首先,布洛赫定理揭示了晶体结构对电子行为的影响。
晶体表现出周期性的结构,这种周期性使得晶格势场具有良好的周期性,从而可以用周期函数来描述。
布洛赫定理将平面波与周期函数相结合,使我们可以更好地理解电子在晶体中的行为,并解释晶体的许多性质,例如导电性和光学性质等。
其次,布洛赫定理为理解能带结构提供了重要的理论基础。
根据布洛赫定理,电子波函数中的平面波部分可以通过电子的波矢k来描述。
在固体中,不同的k值对应不同的能量,从而形成了能带结构。
通过分析能带结构,我们可以理解为什么在固体中存在能带间隙,为什么有些材料是导体而有些则是绝缘体。
再次,布洛赫定理解释了电子在晶体中的运动方式。
布洛赫定理表明电子在晶格周期性势场作用下并不是自由电子那样均匀分布,而是呈现出波动性。
电子的波函数可以看作是在晶格周期函数的引导下,在晶体中“穿梭”传播。
这种波动性决定了晶体中电子的散射行为、能量输运等重要性质。
最后,布洛赫定理为研究半导体和奇异材料提供了重要的数学工具。
布洛赫定理要求序理提供了很好地描述固体中电子行为的方法,为研究新型半导体、磁性材料和拓扑绝缘体等提供了重要的数学工具。
利用布洛赫定理,我们可以通过调控晶格结构和外加电场等手段来实现对固体材料性质的调控和优化。
综上所述,布洛赫定理是固体物理学中的重要定理,它对于理解晶体中电子行为具有重要的指导意义。
布洛赫定理揭示了晶体结构对电子行为的影响,为解释能带结构和电子的运动方式提供了理论基础。
布洛赫定理为研究新材料和调控材料性质提供了重要的数学工具。
通过对布洛赫定理的研究和应用,我们可以更好地理解和利用材料的电子性质,推动材料科学的发展。
和一个周期函数(布洛赫波包)相乘得到。
其中与势),其中为晶格周期平面波波矢(又称在的各个单值区分界处存在有限大小的空隙,称为上述结果的一个推论为:在确定的完整晶体结构中,布洛赫波矢是一个守恒量(以倒∙黄昆原著,韩汝琦改编,《固体物理学》,高等教育出版社,北京,1988,ISBN 7-04-001025-9∙Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics (Wiley: New York, 1996).∙Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: Orlando, 1976).∙Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z.Physik52, 555-600 (1928).∙George William Hill, "On the part of the motion of the lunar perigee which isa function of the mean motions of the sun and moon," Acta. Math.8, 1-36 (1886).(本文初版于1877年,后曾被私下传阅)。
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布洛赫定理的具体形式布洛赫定理的具体形式引言布洛赫定理是量子力学中一个重要的定理,它描述了晶体中电子的行为。
本文将介绍布洛赫定理的具体形式。
第一部分:基础知识在介绍布洛赫定理之前,我们需要了解一些基础知识。
首先,晶体是由周期性排列的原子或分子组成的固体。
其次,根据量子力学的原理,电子在晶体中表现出波粒二象性。
最后,波函数是描述电子运动状态的数学函数。
第二部分:布洛赫定理的概述布洛赫定理描述了在周期性势场中运动的电子波函数具有特殊形式。
该特殊形式可以表示为:ψ(r) = u(r)exp(ik•r)其中,ψ(r)是电子波函数,u(r)是一个与周期势场有关的函数,k是一个特殊的矢量(称为倒格矢),r是位置矢量。
这个公式表明,在晶格势场中运动的电子波函数可以看作平面波和一个与周期势场有关的函数u(r)相乘得到。
这个公式被称为布洛赫定理。
第三部分:倒格矢的定义在布洛赫定理中,倒格矢是一个非常重要的概念。
它被定义为满足下列条件的矢量:exp(ik•R) = 1其中,R是晶体中任意一个晶格点的位置矢量。
这个条件保证了波函数在晶体中具有周期性。
第四部分:布洛赫定理的推导布洛赫定理可以通过求解薛定谔方程来推导得到。
薛定谔方程可以写成如下形式:Hψ(r) = Eψ(r)其中,H是哈密顿算符,E是能量本征值。
假设晶体势场具有周期性,即:V(r+R) = V(r)其中,R是任意一个晶格点的位置矢量。
根据周期性条件和波函数的形式(ψ(r) = u(r)exp(ik•r)),我们可以将薛定谔方程变形为:[(-h^2/2m)∇^2 + V(r)]u(r)exp(ik•r) = Eu(r)exp(ik•r)将u(r)exp(ik•r)分离得到两个方程:(-h^2/2m)[∇^2u + 2i(k•∇u)+k^2u] + [V(r)-E]u = 0和∇(u exp(ik•r)) = iu(k+G)其中,G是任意一个倒格矢。
第五部分:布洛赫定理的应用布洛赫定理在固体物理中有广泛的应用。