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离散时间信号及其Z变换离散时间信号是信号与时间变量在一系列离散时间点上取值的函数，它在数字信号处理中有着重要的应用。
离散时间信号与连续时间信号类似，也可以通过不同的数学工具进行分析和处理。
其中，Z变换是离散时间信号的重要工具之一。
离散时间信号是在一系列离散时间点上取值的函数，这些离散时间点可以是整数、实数或复数。
离散时间信号通常用序列表示，即按一定顺序排列的值的集合。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
离散时间信号在很多领域都有广泛的应用，包括通信、控制系统、数字图像处理等。
在通信系统中，信号可以是传输数据的形式，例如音频信号、视频信号等。
在控制系统中，离散时间信号可以作为控制信号，用于调整系统的状态和输出。
在数字图像处理中，图像可以被表示为二维离散时间信号，通过对其进行处理，可以实现图像的增强、压缩等功能。
Z变换是一种重要的工具，能够将离散时间信号从时域转换到复频域。
Z变换本质上是一种数学变换，它将离散时间信号转换为复平面上的函数。
Z变换的定义是通过对离散时间信号的每个样本点进行加权求和得到。
离散时间信号的Z变换可以表示为：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)] (n从负无穷到正无穷)其中，X(z)是离散时间信号X(n)的Z变换，x(n)是离散时间信号X(n)在时间点n上的取值，z是复平面上的变量。
通过Z变换，我们可以将离散时间信号转换到复频域，从而可以进行频域分析和处理。
在Z平面上，可以通过观察X(z)的性质来分析离散时间信号的频域特性，例如振幅谱、相位谱等。
我们还可以通过对Z变换进行逆变换，将离散时间信号恢复到时域。
Z变换的性质包括线性性、平移性、时域乘法、频域卷积等。
这些性质使得Z变换在信号处理中有着广泛的应用。
通过Z变换，我们可以分析离散时间系统的稳定性、频率响应、脉冲响应等。
此外，Z变换还可以用来设计离散时间系统，例如数字滤波器的设计等。
总结来说，离散时间信号及其Z变换在数字信号处理中起着重要的作用。
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
（一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。
【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。
解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为% 部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den)2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为()A sym S =式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。
【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -=的Z 反变换。
解 （1）Z 变换的MATLAB 程序% Z 变换的程序实现f=sym('a^n');F=ztrans(f)程序运行结果为：z/a/(z/a-1)可以用simplify( )化简得到 :-z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序% Z 反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运行结果为f =a^n*n（二）系统函数的零极点分析1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H = （3-1）如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。
南京邮电大学实验报告实验名称：离散时间信号与系统的时、频域表示离散傅立叶变换和z变换数字滤波器的频域分析和实现数字滤波器的设计课程名称数字信号处理A(双语) 班级学号B13011025姓名陈志豪开课时间2015/2016学年，第1学期实验名称：离散时间信号与系统的时、频域表示实验目的和任务：熟悉Matlab基本命令，理解和掌握离散时间信号与系统的时、频域表示及简单应用。
在Matlab环境中，按照要求产生序列，对序列进行基本运算；对简单离散时间系统进行仿真，计算线性时不变（LTI）系统的冲激响应和卷积输出；计算和观察序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）幅度谱和相位谱。
实验内容：基本序列产生和运算：Q1.1～1.3，Q1.23，Q1.30～1.33离散时间系统仿真：Q2.1～2.3LTI系统：Q2.19，Q2.21，Q2.28DTFT：Q3.1，Q3.2，Q3.4实验过程与结果分析：Q1.1运行程序P1.1，以产生单位样本序列u[n]并显示它。
clf;n = -10:20;u = [zeros(1,10) 1 zeros(1,20)];stem(n,u);xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');title('Unit Sample Sequence');axis([-10 20 0 1.2]);Q1.2 命令clf，axis，title，xlabel和ylabel命令的作用是什么？答：clf命令的作用：清除图形窗口上的图形；axis命令的作用：设置坐标轴的范围和显示方式；title命令的作用：给当前图片命名；xlabel命令的作用：添加x坐标标注；ylabel c命令的作用：添加y坐标标注；Q1.3修改程序P1.1，以产生带有延时11个样本的延迟单位样本序列ud[n]。
运行修改的程序并显示产生的序列。
clf;n = -10:20;u = [zeros(1,21) 1 zeros(1,9)];stem(n,u);xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');title('Unit Sample Sequence');axis([-10 20 0 1.2]);Q1.23修改上述程序，以产生长度为50、频率为0.08、振幅为2.5、相移为90度的一个正弦序列并显示它。
实验二 离散时间信号与系统的Z 变换分析一、 实验目的1、熟悉离散信号Z 变换的原理及性质2、熟悉常见信号的Z 变换3、了解正/反Z 变换的MATLAB 实现方法4、了解离散信号的Z 变换与其对应的理想抽样信号的傅氏变换和拉氏变换之间的关系5、了解利用MATLAB 实现离散系统的频率特性分析的方法二、 实验原理1、正/反Z 变换Z 变换分析法是分析离散时间信号与系统的重要手段。
如果以时间间隔s T 对连续时间信号f (t)进行理想抽样，那么，所得的理想抽样信号()f t δ为：()()*()()*()Ts s k f t f t t f t t kT δδδ∞=-∞==-∑理想抽样信号()f t δ的双边拉普拉斯变换F δ (s)为：()()*()()s ksT st s s k k F s f t t kT e dt f kT e δδ∞∞∞---∞=-∞=-∞⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰ 若令()()s f kT f k = ，s sT z e = ， 那么()f t δ的双边拉普拉斯变换F δ (s)为：()()()sT s k z e k F s f k z F z δ∞-==-∞==∑则离散信号f (k )的Z 变换定义为：()()k k F z f k z ∞-=-∞=∑从上面关于Z 变换的推导过程中可知，离散信号f (k )的Z 变换F(z)与其对应的理想抽样信号()f t δ的拉氏变换F δ (s)之间存在以下关系：()()sT s z e F s F z δ==同理，可以推出离散信号f (k )的Z 变换F(z)和它对应的理想抽样信号()f t δ的傅里叶变换之间的关系为 ()()j Ts z e F j F z δωΩ==如果已知信号的Z 变换F(z)，要求出所对应的原离散序列f (k )，就需要进行反Z 变换，反Z 变换的定义为： 11()()2k f k F z z dz j π-=⎰其中，C 为包围1()k F z z-的所有极点的闭合积分路线。
在MATLAB 语言中有专门对信号进行正反Z 变换的函数ztrans( ) 和itrans( )。
其调用格式分别如下： F=ztrans( f ) 对f(n)进行Z 变换，其结果为F(z)● F=ztrans(f,v) 对f(n)进行Z 变换，其结果为F(v)● F=ztrans(f,u,v) 对f(u)进行Z 变换，其结果为F(v)● f=itrans ( F ) 对F(z)进行Z 反变换，其结果为f(n)● f=itrans(F,u) 对F(z)进行Z 反变换，其结果为f(u)● f=itrans(F,v,u ) 对F(v)进行Z 反变换，其结果为f(u)注意： 在调用函数ztran( )及iztran( )之前，要用syms 命令对所有需要用到的变量（如t,u,v,w ）等进行说明，即要将这些变量说明成符号变量。
例①．用MATLAB 求出离散序列()(0.5)()k f k k ε= 的Z 变换MATLAB 程序如下：syms k zf=0.5^k; %定义离散信号Fz=ztrans(f) %对离散信号进行Z 变换运行结果如下：Fz =2*z/(2*z-1)例②．已知一离散信号的Z 变换式为2()21z F z z =- ，求出它所对应的离散信号f (k) MATLAB 程序如下：syms k zFz=2* z/(2*z-1); %定义Z 变换表达式fk=iztrans(Fz,k) %求反Z 变换运行结果如下：fk =(1/2)^k例③：求序列()(1)(4)f k k t εε=---的Z 变换.clc;clear allsyms nhn=sym('kroneckerDelta(n, 1) + kroneckerDelta(n, 2)+ kroneckerDelta(n, 3)') Hz=ztrans(hn)Hz=simplify(Hz) 2、离散系统的频率特性同连续系统的系统函数H (s)类似，离散系统的系统函数H (z )也反映了系统本身固有的特性。
对于离散系统来说，如果把其系统函数H (z )中的复变量z 换成s j T j e e ωΩ=（其中s T ω=Ω），那么所得的函数()j H e ω就是此离散系统的频率响应特性，即离散时间系统的频率响应为：()()()()j j j j z e H e H e e H z ωωωϕω===其中， ()j H e ω称为离散系统的幅频特性，()ϕω称为系统的相频特性。
同连续系统一样，离散时间系统的幅频特性也是频率的偶函数，相频特性也是频率的齐函数。
由于j e ω是频率ω的周期函数，所以离散系统的频率响应特性也是频率ω的周期函数，其周期为2π，或者角频率周期为2T sT πΩ=。
实际上，这就是抽样系统的抽样频率，而其中的T 则是系统的抽样周期。
频率响应呈现周期性是离散系统特性区别于连续系统特性的重要特点。
因此，只要分析()j H e ω在2ωπ≤范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。
()j H e ω函数来表示离散系统的频率响应特性， ()j H e ω表示幅频特性，而相频特性仍用()ϕω来表示。
应该特别注意的是，虽然这里的变量ω仍然称为频率变量，但是它已经不是原来意义上的角频率概念，而实际上是表示角度的概念。
我们称之为数字频率。
它与原来角频率的关系为：s T ω=Ω。
也就是说，根据离散系统的系统函数H (z )，令其中的j z e ω=，并且代入0～2π范围内不同的频率值（实际上是角度值），就可以逐个计算出不同频率时的响应，求出离散系统的频率响应特性。
再利用离散系统频率特性的周期性特点（周期为2π），求出系统的整个频率特性。
离散系统的幅频特性曲线和相频特性曲线能够直观地反映出系统对不同频率的输入序列的处理情况。
在函数()j H e ω随ω的变换关系中，在ω=0附近，反映了系统对输入信号低频部分的处理情况，而在ω=π附近，则反映了系统对输入信号高频部分的处理情况。
一般来说，分析离散系统频率响应特性就要绘制频率响应曲线，而这是相当麻烦的。
虽然可以通过几何矢量法来定性画出频率响应特性曲线，但一般来说这也是很麻烦的。
值得庆幸的是，MATLAB 为我们提供了专门用于求解离散系统频率响应的函数freqz() ，其调用格式如下：● [H ,w]=freqz(B,A,N) 其中，B 和A 分别是表示待分析的离散系统的系统函数的分子，分母多项式的向量，N 为正整数，返回向量H 则包含了离散系统频率响应函数()j H e ω在0~π范围内的N 个频率等分点的值。
向量ω则包含0~π范围内的N 个频率等分点。
在默认情况下N=512。
● [H ,w]=freqz(B,A,N,'whole') 其中，B ，A 和N 的意义同上，而返回向量H 包含了频率响应函数()j H e ω在0~2π范围内N 个频率等分点的值。
由于调用freqz()函数只能求出离散系统频率响应的数值，不能直接绘制曲线图，因此，我们可以先用freqz()函数求出系统频率响应的值，然后再利用MATLAB 的abs()和angle()函数以及plot()命令，即可绘制出系统在0~π或0~2π范围内的幅频特性和相频特性曲线。
例①．若离散系统的系统函数为0.5()z H z z-=，请用MATLAB 计算0~π频率范围内10个等分点的频率响应()j H e ω的样值。
MATLAB 程序如下：A=[1 0]; %分母多项式系数向量B=[1 -0.5]; %分子多项式系数向量[H,w]=freqz(B,A,10) %求出对应0~π范围内10个频率点的频率响应样值运行结果如下：H =0.50000.5245 + 0.1545i0.5955 + 0.2939i0.7061 + 0.4045i0.8455 + 0.4755i1.0000 + 0.5000i1.1545 + 0.4755i1.2939 + 0.4045i1.4045 + 0.2939i1.4755 + 0.1545iw =0.31420.62830.94251.25661.57081.88502.19912.51332.8274例②．用MATLAB计算前面离散系统在0~2π频率范围内200个频率等分点的频率响应值，并绘出相应的幅频特性和相频特性曲线。
MATLAB程序如下：A=[1 0];B=[1 -0.5];[H,w]=freqz(B,A,200);[H,w]=freqz(B,A,200,'whole'); %求出对应0~2π范围内200个频率点的频率响%应样值HF=abs(H); %求出幅频特性值HX=angle(H); %求出相频特性值subplot(2,1,1);plot(w,HF) %画出幅频特性曲线subplot(2,1,2);plot(w,HX) %画出相频特性曲线运行结果如下：运行结果分析：从该系统的幅频特性曲线可以看出，该系统呈高通特性，是一阶高通滤波器。
三、 实验内容1． 求出下列离散序列的Z 变换① 1122()()cos()()k kf k k πε= ② 223()(1)()()k f k k k k ε=- ③ 3()()(5)f k k k εε=--④ []4()(1)()(5)f k k k k k εε=---2． 已知下列单边离散序列的z 变换表达式，求其对应的原离散序列。
①2121()2z z F z z z ++=+- ②22341111()1F z z z z z=++++ ③2342(36)()z z F z z++= ④ 24(1)()(1)(2)(3)z z z F z z z z ++=+-+ 3. 已知离散系统的系统函数H (z)如下，请绘出系统的幅频和相频特性曲线，并说明系统的作用 ① 122344()()()z H z z z +=++ ② 221()0.81z H z z -=+ 4. 已知描述离散系统的差分方程为：() 1.2(1)0.35(2)()0.25(1)y k y k y k e k e k --+-=+-请绘出系统的幅频和相频特性曲线，并说明系统的作用。
四、 预习要求1、 熟悉正反z 变换的意义及用MATLAB 软件实现的方法2、熟悉离散系统的频率响应特性及用MATLAB软件实现的方法3、编写MATLAB程序五、实验报告要求1、简述实验目的及实验原理2、计算相应z变换或反z变换的理论值，并与实验结果进行比较3、记录离散系统的频率响应特性曲线，分析系统作用4、写出程序清单5、收获与建议%参考程序%三 1.①clc;clear allsyms k zf1=0.5^k*cos(k*pi/2); %定义离散信号Fz1=ztrans(f1) %对离散信号进行Z变换% 实验二 1.②f2=k*(k-1)*(2/3)^k; %定义离散信号Fz2=ztrans(f2) %对离散信号进行Z变换% 实验二 1.③f3=sym('kroneckerDelta(n, 1) + kroneckerDelta(n, 2)+ kroneckerDelta(n, 3)')Fz3=ztrans(f3)Fz3=simplify(Fz3)% 实验二 1.④f4=k*(k-1)*sym('kroneckerDelta(k, 1) + kroneckerDelta(k, 2)+ kroneckerDelta(k, 3)'); %定义离散信号Fz4=ztrans(f4)Fz4=simplify(Fz4)。
