2018高考函数专题复习讲义题型分类

1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。

热点题型一一次函数或二次函数模型例1、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数。

当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。

研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数。

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式。

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值。

(精确到1辆/小时)。

【提分秘籍】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(1)直接考查一次函数、二次函数模型。

解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题。

(2)以分段函数的形式考查。

解决此类问题应关注以下三点：①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)。

提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域。

(2)对构造的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解。

【举一反三】某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元。

第四节 二次函数与幂函数
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；
顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质
2.(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 2
4a .( )
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )
(4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )
A. 3 B ．±3 C ．±9
D ．9
D [由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝1
2.
所以f (x )＝x 1
2＝x ， 故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.]
3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，－120。

2018高考函数专题复习讲义题型分类2018高考函数专题讲义一、考点与典型问题考点1、定义域与值域问题例题：1.(1年新课标2理科）设函数,( )（A）3 （B）6 （C）9 （D）12【答案】C【解析】由已知得，又，所以，故2.（15年福建理科）若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是．【答案】分析：本题以分段函数为背景考察定义域和值域问题，是本节的重点但非难点。

考察学生对于两个变量的认识，在思维的角度上属于互逆。

特别对于分段函数的研究方式应给出重点说明。

练习：（1）（15年陕西文科）设，则（ ）A ．B ．C ．D ．（2）（15年山东理科）已知函数()xf x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=.（1） （2）13222a b +=-=-考点2：函数图像与性质 函数图像1.（15年北京理科）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．函数性质：1.（15年湖南理科）设函数，则是（）A.奇函数，且在上是增函数B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数D. 偶函数，且在上是减函数【答案】A.2.（15年福建文科）若函数满足，且在单调递增，则实数m的最小值等于_______．【答案】1【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1． 3.（15年新课标1理科）若函数f(x)=xln （2a x +a=【答案】1【解析】由题知2ln()y x a x =++是奇函数，所以=，解得=1.4.（15年新课标2文科）设函数,则使得成立的的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以.故选A.考点3：函数零点问题（难点）函数零点问题属于较难的问题，一般思路研究函数解析式，画出函数图图像，应用数形结合。

2018高考一轮复习函数知识点及题型归纳一、函数的及其表示题型一：函数的概念映射的概念：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．函数的概念：如果A 、B 都是非空的数集．．．．．，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作()y f x = ,其中x ∈A ,y ∈B ，原象的集合A 叫做定义域，象的集合C 叫做函数()y f x =的值域． 映射的基本条件：1. 可以多个x 对应一个y ，但不可一个x 对应多个y 。

2. 每个x 必定有y 与之对应，但反过来，有的y 没有x 与之对应。

函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。

例1：已知集合P={40≤≤x x }，Q={20≤≤y y }，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ） A. f ∶x →y=21x B. f ∶x →y=x 31 C. f ∶x →y=x 32 D. f ∶x →y=x例2：设M ＝｛x ｜－2≤x ≤2｝，N ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ， 则f （x ）的图象可以是（ ）例3：下列各组函数中，函数)(x f 与)(x g 表示同一函数的是（1）)(x f ＝x ，)(x g ＝xx 2； （2）)(x f ＝3x －1，)(t g ＝3t －1；（3）)(x f ＝0x ，)(x g ＝1； （4）)(x f ＝2x ，)(x g ＝2)(x ；题型二：函数的表达式1. 解析式法例4：已知函数()32,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 .真题：【2017年山东卷第9题】设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 8[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 【2015高考新课标1文10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54- （C ）34- （D ）14- 2. 图象法例5：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是_______________ 例6：向高为H 的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图2—4所示，那么水瓶的形状是（ ）例7：如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ，2l 之间，l //1l ，l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于E,D 两点.设弧FG 的长为x(0＜x ＜π),y=EB+BC+CD ，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数y=f(x)的图像大致是( )真题：【2015高考北京】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是st OA ．st Ost OstOB ．C ．D ．A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【2015年新课标2文科】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3.表格法例8：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出x 123x 123f(x)131g(x)321则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．题型三：求函数的解析式.1. 换元法例9：已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f =变式1：已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f =变式2：已知f （x 6）＝log 2x ，那么f （8）等于2.待定系数法例10：已知二次函数f (x)满足条件f (0)=1及f (x+1)-f (x)=2x 。

《2018年高考数学分类汇编》第二篇:函数图像及其性质一、选择题1.【2018全国一卷5】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．【2018全国一卷9】已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3.【2018全国二卷3】函数的图像大致为4.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是 A ．B ．C ．D ．5.【2018全国二卷11】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A ．B ．0C ．2D ．506.【2018全国三卷12】12．设，，则 A ． B ． C ．D ．7.【2018天津卷5】已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 (A) a b c >>(B) b a c >> (C) c b a >>(D) c a b >>()2e e x xf x x --=()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π()f x (,)-∞+∞(1)(1)f x f x -=+(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…50-0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+8.【2018全国三卷7】函数的图像大致为9.【2018浙江卷5】函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．10.【2018上海卷16】设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（ ）422y x x =-++（A（B（C（D ）0中 二、填空题1.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________． 2．【2018天津卷14】已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .3．【2018江苏卷5】函数()f x =的定义域为 ．4．【2018江苏卷9】函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，c o s ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为 ． 5．【2018浙江卷15】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．6.【2018上海卷4】设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= .7.【2018上海卷7】已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧---∈3,2,1,21,21,1,2α，若幂函数αx x f =)(为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.【2018上海卷11】已知常数a >0，函数apx f x x +=22)(的图像经过点65p p ⎛⎫⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________三．解答题1.【2018上海卷19】（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≤<=10030,9018002300,30)(x x x x x f （单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：[来~源:I ）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？II ）求该地上班族S 的人均通勤时间g x （）的表达式；讨论g x （）的单调性，并说明其实际意义. 参考答案 一、选择题1. D2.C3.B4.A5.C6.B7.D8.D9.D 10.B 7. 解析：3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，2.0log3.0log 1log 2.02.02.0<< ，5.0log 3.0log 22<10<<∴a ，1-<∴b又2log 2.0log 113.03.0+=+=+abba b a 4.0log 3.0=13.0log 3.0=< 0<+<∴b a ab 。

第二章函数第节函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性题型函数的奇偶性. （山东文）已知函数为奇函数，且当时，，则（）.. . . ..分析利用奇函数的性质求解.解析当时，，所以.因为为奇函数，所以.故选.. (浙江文）已知函数，若，则实数..分析直接代入求解.解析因为，所以，即.. （广东文）下列函数为奇函数的是（）......（重庆文）下列函数为偶函数的是（）..（新课标Ⅰ文）设函数,的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.是偶函数B.是奇函数.是奇函数.是奇函数.（湖南文）若是偶函数，则..（安徽文）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）.A．．．．.解析选项：的定义域为，故不具备奇偶性.故错误；选项：是偶函数，但无解，即不存在零点.故错误；选项：是奇函数.故错误；选项：是偶函数，且由，可得.故正确.故选.评注 . 考查函数的奇偶性；. 考查零点..（北京文）下列函数中为偶函数的是（）.. . . ..解析函数为奇函数，为偶函数，与为非奇非偶函数.故选..（福建文）下列函数为奇函数的是（）.．．．．.解析函数和是非奇非偶函数；是偶函数；是奇函数.故选.评注考查函数的奇偶性．.（广东文）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）.．．．．.解析函数的定义域为，关于原点对称.因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数.故选.评注.考查函数的奇偶性；. 特殊值法的应用．.（湖南文）设函数，则是（）..奇函数，且在上是增函数 . 奇函数，且在上是减函数.偶函数，且在上是增函数 . 偶函数，且在上是减函数.解析由已知的定义域为，关于原点对称.又因为，所以为奇函数.，当时，，即在上为增函数.故选.。

第3讲 导数及其应用1．导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点． 2．利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型． 3．导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现．热点一 导数的几何意义1．函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同．例1 (1)(2017届山西临汾一中等五校联考)已知曲线f (x )＝ax 2x ＋1在点(1，f (1))处切线的斜率为1，则实数a 的值为( ) A.32B ．－32C ．－34D.43答案 D解析 对函数求导，可得f ′(x )＝2ax (x ＋1)－ax 2(x ＋1)2， ∵曲线f (x )＝ax 2x ＋1在点(1，f (1))处切线的斜率为1，∴f ′(1)＝3a 4＝1，得a ＝43，故选D.(2)(2017届成都一诊)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝⎛⎭⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( ) A ．4e 2 B ．4e C.e 24 D.e 4答案 A解析 曲线C 1：y ＝tx ，y ′＝t2tx.当x ＝4t 时，y ′＝t 4，切线方程为y －2＝t4⎝⎛⎭⎫x －4t ， 化简为y ＝t4x ＋1，①与曲线C 2相切，设切点为(x 0，y 0)x 0＝ln t 4－1，切线方程为y －⎝⎛⎭⎫t 4＋1＝t4⎝⎛⎭⎫x －ln t 4＋1， 化简为y ＝t 4x －t 4ln t 4＋t2＋1，②①②是同一方程，所以－t 4ln t 4＋t 2＋1＝1⇔ln t4＝2，即t ＝4e 2，故选A.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1 (1)(2017·天津)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________． 答案 1解析 ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1. (2)若y ＝ax ＋b 为函数f (x )＝x ln x －1x图象的一条切线，则a ＋b 的最小值为( ) A ．－4B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 f ′(x )＝1＋x x 2(x >0)．设切点为⎝⎛⎭⎫x 0，ln x 0－1x 0， 则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫ln x 0－1x 0＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20(x －x 0)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20x －⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20x 0＋⎝⎛⎭⎫ln x 0－1x 0， 亦即y ＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20x ＋⎝⎛⎭⎫ln x 0－2x 0－1. 令1x 0＝t ，则t >0，由题意得a ＝1x 0＋1x 20＝t ＋t 2，b ＝ln x 0－2x 0－1＝－ln t －2t －1.令a ＋b ＝φ(t )＝－ln t ＋t 2－t －1，则φ′(t )＝－1t ＋2t －1＝(2t ＋1)(t －1)t，当t ∈(0,1)时，φ′(t )<0，则φ(t )在(0,1)上单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，φ′(t )>0，则φ(t )在(1，＋∞)上单调递增， ∴a ＋b ＝φ(t )≥φ(1)＝－1，故a ＋b 的最小值为－1. 热点二 利用导数研究函数的单调性1．f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.2．f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常函数，函数不具有单调性．例2 (2017·全国Ⅱ)设函数f (x )＝(1－x 2)e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x .当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x ，则h ′(x )＝－x e x <0(x >0)，因此h (x )在[0，＋∞)上单调递减．而h (0)＝1，故h (x )≤1，所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1.当0<a <1时，设函数g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1>0(x >0)，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增．而g (0)＝0，故e x ≥x ＋1. 当0<x <1时，f (x )>(1－x )(1＋x )2， (1－x )(1＋x )2－ax －1＝x (1－a －x －x 2)，取x 0＝5－4a －12， 则x 0∈(0,1)，(1－x 0)(1＋x 0)2－ax 0－1＝0， 故f (x 0)>ax 0＋1.当a ≤0时，取x 0＝5－12，则x 0∈(0,1)，f (x 0)>(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1. 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导函数f ′(x )．(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0； ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．跟踪演练2 (1)(2017届昆明市第一中学月考)若函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2在区间⎝⎛⎭⎫12，2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B.⎝⎛⎭⎫－18，＋∞ C. ⎝⎛⎭⎫－2，－18 D. (－2，＋∞) 答案 D解析 由题意得f ′(x )＝1x ＋2ax ，若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，2内存在单调递增区间， 则f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫12，2上有解， 即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 2的最小值． 又g (x )＝－12x 2在⎝⎛⎭⎫12，2上是单调递增函数， 所以g (x )>g ⎝⎛⎭⎫12＝－2，所以a ≥－2，经检验，当a ＝－2时不成立，所以a >－2. 故选D.(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 答案 D解析 当x <0时，∵f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， ∴[f (x )g (x )]′>0，∴y ＝f (x )g (x )为增函数． ∵g (－3)＝0，∴f (－3)g (－3)＝0， ∴f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)．∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，∴y ＝f (x )g (x )在R 上为奇函数，当x >0时，f (x )g (x )<0的解集为(0,3)．综上，不等式的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．故选D.热点三 利用导数求函数的极值、最值1．若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．2．设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例3 (2017届河南息县第一高级中学检测)已知函数f (x )＝mx ＋ln x ，g (x )＝x 3＋x 2－x .(1)若m ＝3，求f (x )的极值；(2)若对于任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥110g (t )，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当m ＝3时，f (x )＝3x＋ln x ，∴f ′(x )＝－3x 2＋1x ＝x －3x 2，f ′(3)＝0，∴当x >3时，f ′(x )>0，f (x )是增函数， 当0<x <3时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． ∴f (x )有极小值f (3)＝1＋ln 3，没有极大值． (2)g (x )＝x 3＋x 2－x ，g ′(x )＝3x 2＋2x －1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，g ′(x )>0，∴g (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是单调递增函数，g (2)＝10最大，对于任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，f (s )≥110g (t )恒成立，即对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， f (x )＝mx ＋ln x ≥1恒成立，∴m ≥x －x ln x ，令h (x )＝x －x ln x ，则h ′(x )＝1－ln x －1＝－ln x . ∴当x ≥1时，h ′(x )<0，当0<x <1时，h ′(x )>0， ∴h (x )在(0,1)上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数， 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，h (x )最大值为h (1)＝1， ∴m ≥1，即m ∈[1，＋∞)．思维升华 (1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解． (3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2，在x ＝1处取得极值16.(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，都有f ′(x )≤k ln(x ＋1)成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，求实数k 的最小值．解 (1)由题设可得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ， ∵f (x )在x ＝1处取得极值16，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝16，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝16，解得a ＝－13，b ＝12，经检验知，a ＝－13，b ＝12满足题设条件．(2)由(1)得f (x )＝－13x 3＋12x 2，∴f ′(x )＝－x 2＋x ，∴－x 2＋x ≤k ln(x ＋1)在[0，＋∞)上恒成立， 即x 2－x ＋k ln(x ＋1)≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立， 设g (x )＝x 2－x ＋k ln(x ＋1)，则g (0)＝0，g ′(x )＝2x －1＋kx ＋1＝2x 2＋x ＋k －1x ＋1，x ∈[0，＋∞)，设h (x )＝2x 2＋x ＋k －1，①当Δ＝1－8(k －1)≤0，即k ≥98时，h (x )≥0，∴g ′(x )≥0，g (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (0)＝0，即当k ≥98时，满足题设条件．②当Δ＝1－8(k －1)>0，即k <98时，设x 1，x 2是方程2x 2＋x ＋k －1＝0的两个实根，且x 1<x 2，由x 1＋x 2＝－12可知，x 1<0，由题设可知，当且仅当x 2≤0，即x 1·x 2≥0，即k －1≥0，即k ≥1时，对任意的x ∈[0，＋∞)有h (x )≥0，即g ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (0)＝0，∴当1≤k <98时，也满足条件，综上，k 的取值范围为[1，＋∞)， ∴实数k 的最小值为1.真题体验1．(2017·浙江改编)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是________．(填序号)答案 ④解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察图象可知，排除①，③.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2＞0，故④正确．2．(2017·全国Ⅱ改编)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为________．答案－1解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1，则f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)e x－1＝e x－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点，得f′(－2)＝e－3(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1，所以f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝e x－1(x2＋x－2)．由e x－1＞0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x ＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.3．(2017·山东改编)若函数e x f(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是______．(填序号)①f(x)＝2－x；②f(x)＝x2；③f(x)＝3－x；④f(x)＝cos x.答案①解析若f(x)具有性质M，则[e x f(x)]′＝e x[f(x)＋f′(x)]＞0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)＞0在f(x)的定义域上恒成立．对于①式，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－x ln 2＝2－x(1－ln 2)＞0，符合题意．经验证，②③④均不符合题意．故填①.4．(2017·全国Ⅰ)曲线y＝x2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．答案y＝x＋1解析∵y′＝2x－1x2，∴y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1， ∴切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 押题预测1．设函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，若y ＝f (x )的图象在点P (1，f (1))处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1押题依据 曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“过某一点的切线”问题，也是易错易混点． 答案 A解析 依题意有f ′(1)＝1,1－f (1)＋2＝0，即f (1)＝3， 所以f (1)＋f ′(1)＝4.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23押题依据 函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键．极值点、极值的求法是高考的热点． 答案 A解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.3．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于________．押题依据 函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别．答案 2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数， ∴a2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.4．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________．押题依据 不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决．考查了转化与化归思想，是高考的一个热点． 答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1. 根据题意可知存在x ∈[1,2]， 使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1， 即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 成立，令h (x )＝x 2＋52x，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ， 又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.A 组 专题通关1．(2017届辽宁葫芦岛普通高中月考)已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )e x的递减区间为( )A ．(0,4)B ．(0,1)，(4，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，43 D ．(－∞，1)，⎝⎛⎭⎫43，4 答案 B解析 由图可知，先减后增的那条曲线为f ′(x )的图象，先增再减最后增的曲线为f (x )的图象，当x ∈(0,1)∪(4，＋∞)时，f ′(x )<f (x )，令g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x <0，得f ′(x )－f (x )<0，则x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故g (x )的递减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选B.2．(2017届山西临汾一中等五校联考)已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x ln(－x )＋x ＋2，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －3 答案 B解析 设x >0，则－x <0，∵f (x )为奇函数， 当x <0时，f (x )＝x ln(－x )＋x ＋2，∴f (x )＝－f (－x )＝－[－x ln x －x ＋2]＝x ln x ＋x －2， ∴当x >0时，f ′(x )＝ln x ＋2，∴f ′(1)＝2且f (1)＝－1， ∴曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是y ＝2x －3. 故选B.3．(2017届内蒙古包头市十校联考)已知函数F (x )＝xf (x )，f (x )满足f (x )＝f (－x )，且当x ∈(－∞，0]时，f ′(x )<0成立，若a ＝20.1·f (20.1)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 218·f ⎝⎛⎭⎫log 218，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b 答案 C解析 F (－x )＝(－x )f (－x )＝－xf (x )＝－F (x )，即函数F (x )是奇函数，并且当x ∈(－∞，0]时，f ′(x )<0，即当x ∈(－∞，0]时，F (x )是单调递减函数，所以在R 上函数F (x )是单调递减函数，a ＝F (20.1)，b ＝F (ln 2)，c ＝F ⎝⎛⎭⎫log 218，20.1>1,0<ln 2<1，log 218＝－3，所以20.1>ln 2>log 218，所以a <b <c ，故选C.4．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13 D ．a <－13答案 B解析 y ′＝a e ax ＋3＝0在(0，＋∞)上有解，即a e ax ＝－3，∵e ax >0，∴a <0.又当a <0时，0<e ax <1，要使a e ax ＝－3，则a <－3，故选B.5．(2017届河南息县第一高级中学检测)函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3 D ．0 答案 A解析 对于区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，等价于对区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有f (x )max －f (x )min ≤t ，∵f (x )＝x 3－3x －1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)．∵x ∈[－3,2]，∴函数在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝f (－1)＝1，f (x )min ＝f (－3)＝－19，∴f (x )max －f (x )min ＝20， ∴t ≥20，实数t 的最小值是20.6．(2017届重庆市第一中学月考)已知直线x －y ＋1＝0与曲线y ＝ln x ＋a 相切，则a 的值为______． 答案 2解析 y ＝ln x ＋a 的导数为y ′＝1x ，设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln x 0＋a .又切线方程x －y ＋1＝0的斜率为1，即1x 0＝1，解得x 0＝1，则y 0＝2，a ＝y 0－ln x 0＝2.7．(2017届辽宁省沈阳市郊联体期末)f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1，已知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫3，72 解析 原题等价于方程f ′(x )－3＝0有两个大于零的实数根． 因为f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1，所以f ′(x )＝2x 2－2x ＋a ，所以f ′(x )－3＝0，即2x 2－2x ＋a －3＝0， 设g (x )＝2x 2－2x ＋a －3，要使方程g (x )＝0有两个大于零的实数根需要满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，g (0)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－4×2×(a －3)>0，a －3>0，解得3<a <72.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫3，72. 8．(2017届重庆模拟)已知x ＝0是函数f (x )＝(x －2a )·(x 2＋a 2x ＋2a 3)的极小值点，则实数a 的取值范围是__________． 答案 a >2或a <0解析 因为f (x )＝x 3＋(a 2－2a )x 2－4a 4，所以令f ′(x )＝3x 2＋2(a 2－2a )x ＝3x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2(a 2－2a )3＝0，可得函数f (x )＝x 3＋(a 2－2a )x 2－4a 4的两个极值点分别为x ＝0，x ＝－2(a 2－2a )3，由题意得2(a 2－2a )3>0，即a 2－2a >0，解得a <0或a >2. 9．(2017届西安模拟)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )，即f ″(x )＝[f ′(x )]′. 定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上是凹函数．已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3， 令f ″(x )>0，得x >12.10．(2017·北京)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. B 组 能力提高11．(2017届重庆市调研)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )<f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( ) A ．f (ln 2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0) B ．f (ln 2)>2f (0)，f (2)>e 2f (0) C ．f (ln 2)<2f (0)，f (2)>e 2f (0) D ．f (ln 2)>2f (0)，f (2)<e 2f (0) 答案 A解析 设y ＝f (x )e x ，∴y ′＝f ′(x )－f (x )e x.∵f ′(x )<f (x )，∴y ′<0，∴y ＝f (x )e x 在R 上为减函数．∵ln 2>0，∴f (ln 2)e ln 2<f (0)e0，∴f (ln 2)<2f (0)．∵2>0，∴f (2)e 2<f (0)e 0，∴f (2)<e 2f (0)．故选A.12. (2017届湖北省部分重点中学联考)已知S＝(x－a)2＋(ln x－a)2(a∈R)，则S的最小值为()A.22 B.12C. 2 D．2答案 B解析设A(x，ln x)，B(a，a)，则问题化为求平面上两动点A(x，ln x)，B(a，a)之间距离的平方的最小值的问题，即求曲线f(x)＝ln x上的点到直线y＝x上的点的距离最小值问题．因为f′(x)＝1x，设切点P(t，ln t)，则切线的斜率k＝1t，由题设知，当1t＝1，即t＝1时，点P(1,0)到直线y＝x的距离最近，其最小值为d min＝12，所以所求S的最小值为S min＝12，故选B.13．(2017·山东)已知函数f(x)＝13x3－12ax2，a∈R.(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解(1)由题意f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)．令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增．因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0.①当a <0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(a,0)时，x －a >0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以当x ＝a 时，g (x )取到极大值， 极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ；当x ＝0时，g (x )取到极小值，极小值是g (0)＝－a . ②当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，g (x )无极大值也无极小值． ③当a >0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，0)时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(0，a )时，x －a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以当x ＝0时，g (x )取到极大值， 极大值是g (0)＝－a ； 当x ＝a 时，g (x )取到极小值， 极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .综上所述，当a <0时，函数g (x )在(－∞，a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ，极小值是g (0)＝－a ；当a ＝0时，函数g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a >0时，函数g (x )在(－∞，0)和(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (0)＝－a ，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .。

2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (1) 函数的图象与性质【2018年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。

【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象和性质，分0<a <1和a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况． 5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.高考题型 1、函数的性质及其应用【例1】 【2017北京，理5】已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333x x x x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 【举一反三】【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1(1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．(2)答案：D解析：f (1)＝lg 1＝0，所以f (a )＝0.当a >0时，则lg a ＝0，a ＝1；当a ≤0时，则a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【变式探究】 (1)(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查函数的定义域求法以及不等式的解法．通过定义域的求法考查考生的运算求解能力及转化意识．(2)本题主要考查分段函数和不等式恒成立问题，可结合函数图象进行分析求解．【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的真数x ＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋π2(k ∈Z )．如果f (x )是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．题型 2、函数的图象及其应用【例2】【2016高考新课标1卷】函数2y x e=-在[]2x-的图像大致为2,2（A）（B）（C）（D）【答案】D【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．【举一反三】(1)(2015·四川卷)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )(2)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f x 1 x 1＝f x 2 x 2＝…＝f x n x n，则n 的取值范围是( )A.{3,4} B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}(1)答案：C解析：由已知3x－1≠0⇒x ≠0，排除A ； 又∵x <0时，3x －1<0，x 3<0，∴y ＝x 33x －1>0，故排除B ； 又y ′＝x 2[3x 3－x ln 3 －3]3x －1 2，当3－x ln 3<0时，x >3ln 3>0，y ′<0，所以D 不符合．故选C. (2)答案：B解析：f x 1 x 1＝f x 1 －0x 1－0表示(x 1，f (x 1))与原点连线的斜率； f x 1 x 1＝f x 2 x 2＝…＝f x n x n表示(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))与原点连线的斜率相等，而(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况．如图所示，数形结合可得，有2,3,4三种情况，故选B.【变式探究】 (1)若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x －k )的图象是( )(2)(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)【命题意图】(1)本题主要考查函数的奇偶性，单调性的概念以及指数、对数函数的图象．(2)本题主要考查方程的根与函数的零点，意在考查考生的数形结合思想、化归与转化思想及运算求解能力．【方法技巧】1．关于判断函数图象的解题思路(1)确定定义域；(2)与解析式结合研究单调性、奇偶性；(3)观察特殊值．2．关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点(1)方程f(x)＝g(x)解的个数可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)交点的个数；(2)不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))解集为函数y＝f(x)位于y＝g(x)图象上方(下方)的那部分点的横坐标的取值范围．题型 3、函数性质的综合应用例3、【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,1⎡+∞⎣ （B ）(][)0,13,+∞（C ）()⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞ 【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B. 【变式探究】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c << （D ）b c a <<【答案】C 【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【举一反三】【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【答案】2，(,1)-∞-.【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．【举一反三】(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案：1解析：∵ f (x )为偶函数，∴ f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴ －x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴ x ln a ＝0恒成立，∴ ln a ＝0，即a ＝1.【变式探究】(1)(2014·湖南)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3(2)(2014·湖北)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时， f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式、奇偶性和求函数的值，意在考查考生的转化思想和方程思想．求解此题的关键是用“－x ”代替“x ”，得出f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.(2)本题主要考查奇函数的性质、分段函数以及函数的最值与恒成立问题，意在考查考生应用数形结合思想，综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．【答案】(1)C (2)B【解析】(1)用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.(2)当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x ≤2a 2，x －3a 2，x >2a 2，又f (x )为奇函数，可得f (x )的图象如图所示，由图象可得，当x ≤2a 2时，f (x )max ＝a 2，当x >2a 2时，令x －3a 2＝a 2，得x ＝4a 2，又∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，可知4a 2－(－2a 2)≤1⇒a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66，故选B. 【方法技巧】函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来相互转化解决相对综合的问题．主要的解析：奇偶性主要转化方向是f (－x )与f (x )的关系，图象对称问题；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解；周期性主要转化方向是利用f (x )＝f (x ＋a )把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性、奇偶性解决相关问题．。

函数与导数热点一利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：（1）讨论函数的单调性、极值、最值,（2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围。

【例1】已知函数f（x)＝ln x＋a（1－x）.（1)讨论f(x)的单调性;(2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a－2时,求实数a的取值范围。

解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞），f′（x)＝1x－a.若a≤0，则f′(x）＞0，所以f（x)在(0,＋∞)上单调递增.若a＞0，则当x∈错误!时，f′(x）＞0;当x∈错误!时,f′(x）＜0，所以f(x）在错误!上单调递增,在错误!上单调递减。

综上，知当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增;当a＞0时，f（x)在错误!上单调递增，在错误!上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f（x)在（0，＋∞)上无最大值；当a＞0时，f（x）在x＝错误!处取得最大值，最大值为f错误!＝ln 错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1。

因此f错误!＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0。

令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在（0，＋∞）上单调递增,g（1）＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a）＜0；当a＞1时，g（a）＞0.因此,实数a的取值范围是(0，1）。

【类题通法】（1）研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围;若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a＋a－1〈0,则需要构造函数来解.【对点训练】已知a∈R,函数f(x)＝（－x2＋ax）e x(x∈R，e为自然对数的底数）。

（1）当a＝2时,求函数f(x）的单调递增区间；（2）若函数f（x)在（－1，1）上单调递增，求实数a的取值范围。

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数 3．了解简单的分段函数，并能简单应用热点题型一 求函数的定义域 例1、 (1)函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[2，＋∞) (2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【答案】（1）C （2） B【解析】(1)方法一：(log 2x )2－1＞0，即log 2x ＞1或log 2x ＜－1，解得x ＞2或0＜x ＜12。

故所求【提分秘籍】1．求函数定义域的类型及方法(1)已知函数的解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解。

(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解。

(3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f (g (x ))定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域。

2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化。

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集。

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接。

【举一反三】若函数f (x )＝的定义域为R ，则a 的取值范围为__________。

【答案】[－1,0]热点题型二 求函数的值域 例2、求下列函数的值域：(1)y ＝x 2－1x 2＋1；(2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x ＋1x －1(x ＞1)；(4)y ＝1x －x2。