《几何画板》在初中三角形问题中的运用

几何画板在初中数学教学中的应用1. 引言1.1 几何画板的定义几何画板是一种教学工具，通常由磁性可动模块组成，可以模拟几何图形的构造和变换过程。

通过在画板上移动和旋转模块，可以实现诸如绘制直线、作图、测量角度等操作。

几何画板能够帮助学生更直观地理解几何概念，提高他们的几何思维能力和空间想象能力。

在数学教学中，几何画板可以起到辅助教学的作用，让抽象的数学概念更具体化、形象化。

通过几何画板，学生可以更加直观地感受到几何关系，更好地理解和掌握几何知识。

几何画板可以使几何教学更加生动、有趣，吸引学生的注意力，激发他们学习数学的兴趣。

1.2 几何画板在数学教学中的重要性几何画板在数学教学中的重要性体现在多个方面。

几何画板可以帮助学生更直观地理解几何概念。

通过在画板上绘制图形、进行几何操作，学生可以更清晰地看到几何形状的性质和关系，从而加深对几何知识的理解。

几何画板可以激发学生的学习兴趣和增强他们的学习体验。

在传统的数学教学中，学生往往只能通过抽象的符号和文字进行学习，容易感到枯燥乏味。

而几何画板的直观性和互动性可以使学习过程更生动有趣，从而提高学生的学习积极性。

几何画板还可以帮助学生培养几何思维和解决问题的能力。

通过在画板上进行几何推理和变换操作，学生不仅可以理解几何原理，还可以锻炼逻辑思维和分析问题的能力。

几何画板在数学教学中的重要性不言而喻，它不仅可以帮助学生更好地掌握几何知识，还可以促进他们的学习兴趣和能力的提升。

2. 正文2.1 几何画板的功能和用途几何画板是一种专门用于几何学习和教学的教学工具，在数学教学中具有非常重要的作用。

几何画板一般由一个平面板和一些几何图形构成，通过这些几何图形可以进行各种几何作图和几何性质的研究。

几何画板的功能和用途主要有以下几个方面：1. 辅助教师讲解：几何画板可以帮助教师更直观地向学生展示几何性质和作图过程，使得抽象的概念更具体化，更容易被学生理解和接受。

2. 提供实践机会：通过几何画板，学生可以亲自动手进行几何作图和实验，从而加深对几何概念的理解和记忆，提高学生的动手能力和观察能力。

用几何画板探究中位线模型资料编号:202210211536 连结三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线.现在,我们借助于几何画板软件,来探究三角形中位线所具有的性质.模型制作1.打开几何画板,单击“线段直尺工具”并长按约1秒,从弹出的工具中选择直线工具,按住“shift”键不松开在绘图区不同位置单击两次,作出一条直线,用同样的方法再作出一条直线,选中下面的直线,单击“显示”,选择“颜色”为黑色.如图1所示.2.选中两条直线上的四个点,依次单击“显示”、“隐藏点”.3.单击“点工具”,在黑色直线上单击2次,作出两个点,点的标签分别为B、C;在上面的直线上单击1次,作出一个点,点的标签为A.依次选中点A、B、C,依次单击“构造”、“线段”,作出△ABC.此时直线BC为中等虚线,选中直线BC,修改线型为细线.如图2所示.4.选中线段AB、AC,依次单击“构造”、“中点”,作出边AB、AC的中点,将线段AB的中点命名为D,线段AC的中点命名为E.选中点D、E,依次单击“构造”、“线段”,作出线段DE,即△ABC的一条中位线.选中线段DE,修改线型为“中等”,颜色为“红色”.如图3所示.5.选中BC边（不要选中直线BC）和中位线DE,依次单击“度量”、“长度”,量出BC边和中位线DE的长度.依次单击“数据”、“计算”,在弹出的对话框中先后单击“DE的度量值”、“ ”、“BC的度量值”,单击“确定”.如图4所示.6.依次单击“BC的度量值”、“DE的度量值”、“DE与BC的比值”、“数据”、“制表”,列出一个表格.选中表格,可用“Alt”+“<”键缩小表格或“Alt”+“>”键放大表格.选中“BC的度量值”、“DE的度量值”、“DE与BC的比值”,依次单击“显示”、“隐藏度量值”.如图5所示.7.依次选中点E、D、A,依次单击“度量”、“角度”,量出EDA∠的度数,用同样的方法量出CBA∠的度数.如图6所示.8.选中点A、C,依次单击“显示”、“颜色”,把两个点的颜色修改为浅蓝色,表示将这两个点作为拖动的对象,展开探索.经此一步,完成作图.模型探索作图时,设置了两个可拖动的点:点A和点C.拖动点A,可以改变△ABC的形状,但不改变BC边的长度;拖动点C,可以改变BC边的长度.拖动点A,可以发现在拖动的过程中中位线DE的长度不会发生改变,其长度与BC边长度的比值保持0. 5不变,说明中位线DE的长等于BC边的一半;EDA∠与CBA∠的度数始终相等,说明中位线DE与BC边始终保持平行的位置关系.如图7所示.拖动点C,可以发现BC边的长度和中位线DE的长度都发生变化,但DE与BC的比值却保持0. 5不变,说明中位线DE的长仍等于BC边的一半;EDA∠与∠的度数不变,保持相等,说明中位线DE与BC边保持平行的位置关系.如图CBA8所示.通过探索,我们得到三角形中位线的性质三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.模型应用例1.如图9所示,在△ABC中,以AB、AC为边分别向外作等边三角形ABD和图 11G HF EABDC等边三角形ACE ,点P 、M 、Q 分别为BD 、BC 、CE 的中点,连结PM 、QM . 求证:QM PM =.图 9QM PEDBCA图 10证明:∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形 ∴︒=∠=∠==60,,EAC DAB AE AC AB AD ∴BAC EAC BAC DAB ∠+∠=∠+∠ ∴BAE DAC ∠=∠ 在△ADC 和△ABE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AC BAE DAC AB AD ∴△ADC ≌△ABE （SAS ） ∴BE DC =∵点P 、M 、Q 分别为BD 、BC 、CE 的中点 ∴BE QM DC PM 21,21==∴QM PM =.例2. 如图10,四边形ABCD 中,BC AD =, E 、F 分别是DC 、AB 的中点,直线EF 分别 与BC 、AD 的延长线相交于点G 、H . 求证:BGF AHF ∠=∠.证明:连结AC ,取AC 的中点M ,连结 ME 、MF .图 12∵E 、F 、M 分别是DC 、AB 、AC 的中点 ∴BC FM BC FM AD EM AD EM 21,//,21,//==∴BG FM AH EM //,//∴MFE BGF MEF AHF ∠=∠∠=∠, ∵BC AD = ∴FM EM = ∴MFE MEF ∠=∠ ∴BGF AHF ∠=∠. 模型练习1. 如图13,在四边形ABCD 中,AB CB AB DC ⊥,//,AD AB =,AB CD 21=,点E 、F 分别为AB 、AD 的中点,则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为 【 】 （A ）71 （B ）61 （C ）51 （D ）41图 13FE ABCD图 14EFABCDM2. 如图14,四边形ABCD 中,3,33,90==︒=∠AD AB A ,点M 、N 分别为线段BC 、AB 上的动点（含端点,但点M 不与点B 重合）,点E 、F 分别为DM 、MN 的中点,则EF 长度的最大值为_________.3. 如图15所示,在扇形OAB 中,︒=∠90AOB ,点C 是弧AB 上的一个动点（不与A 、B 重合）,AC OE BC OD ⊥⊥,,垂足分别为D 、E .若1=DE ,则扇形OAB 的面积为_________.图 15EDBOAC图 164. 如图16,在△ABC 中,CD 是高,CE 是中线,CB CE =,点A 、D 关于点F 对称,过点F 作CD FG //,交AC 边于点G ,连结GE .若12,18==BC AC ,则△CEG 的周长为_________.。

几何画板在初中数学课堂教学中的应用摘要：《几何画板》软件即插即用，在教学中可随时使用，操作方便。

其图形变化功能，强大的计算功能，对于几何教学中图形性质的探究，动态几何过程的理解，图形变换性质的探究，函数及图象性质的探究，都有很好的作用。

在教学中尝试利用几何画板辅助教学，既能提高学生的学习热情，便于学生理解，还能提高教学效率，提高教学效果。

关键词：几何画板；探究；性质；图形变换；函数图象；课堂；教学效果新课标下初中数学课堂教学，对信息技术与初中数学课堂教学进行整合也提出了一定的要求。

《几何画板》软件中的绘图功能，图形变化功能，强大的计算功能，对于几何教学中图形性质的探究，动态几何过程的理解，图形变换性质的探究，函数及图象性质的探究，都有很好的作用。

一、利用《画板》探究图形性质从义务教育数学课程标准看，“空间与图形”是四块教学内容中的重要一块，它是培养学生的空间观念和逻辑推理能力的重要一环。

在应用多媒体技术辅助数学教学的诸多软件中，《几何画板》软件具有制图方便，准确灵活，具有强大的计算功能等优点。

这也是新的沪科版数学教材编排信息技术应用的原因之一。

以下是笔者结合实际教学，举的几个利用《几何画板》探究图形性质的例子。

1．利用《几何画板》探究对顶角、平行线的性质在传统的教学中，对于“对顶角相等”这一性质的获得，是利用量角器测量获得的。

几何画板也能完成这一功能，它还有更优秀之处，那就是它可以在转动某一条线，使两线相交的夹角发生改变时，两对对顶角在动态变化中相等这一特性不变，使学生对这一性质深信不疑。

同样在对平行线性质的探究时，学生绘图或教师在黑板上制图，难免有偏差，不准确的现象。

借助几何画板的计算功能和图形变化功能验证学生的探究结论，则能做到准确无误，动静结合。

如下图，在几何画板中绘平行线AB平行于CD，作一直线EF与之相交，测出同位角，内错角，同旁内角的度数。

在EF旋转变换中观察同位角，内错角，同旁内角的关系。

用几何画板探究锐角三角形内接矩形的面积问题资料编号:202210122058 在日常教学中,我们使用作图工具所画出的几何图形是静态的,很容易掩盖一些重要的几何规律.而借助于几何画板软件,则可以画出具有几何约束条件的几何图形,从而实现动态教学,在几何图形的变化中去发现和探索几何规律.这里,将以初中几何中求解锐角三角形内接矩形面积的最大值为研究对象,让学生来感受并体会几何画板辅助教学的魅力所在.这里,所用几何画板的版本为5. 05简体中文版.问题如图,在△ABC中,20AD,内接矩形EFGH的顶点E、F在BC==BC,高16上,G、H分别在AC、AB上,设xHE=,矩形EFGH的面积为y,求:（1）y关于x的函数关系式;（2）矩形EFGH的面积的最大值.现在,我们用几何画板来制作这个问题模型,并演示当xHE=取何值时,矩形EFGH的面积取得最大值,即y取得最大值.模型制作（1）打开几何画板软件,单击“自定义工具”并长按1秒,在弹出的项目中依次选择“三角形”、“任意三角形”,在作图区中画一个锐角△ABC;（2）在AB 边上任取一点H ，选择点H 和BC 边,依次单击“构造”、“平行线”,作处BC 边的平行线,交AC 边于点G ;（3）选中点H 、G ,依次单击“构造”、“线段”,作出线段HG ,并选中所画的平行直线,依次单击“显示”、“隐藏平行线”;（4）选中点G 、H 和BC 边,依次单击“构造”、“垂线”,画出两条垂线HE 、GF ,分别交BC 边于点E 、H ,构造线段HE 和GF ,并隐藏两条垂线; （5）依次选中点E 、F 、G 、H ,依次单击“构造”、“四边形的内部”; （6）单击线段HE （选中HE ），依次单击“度量”、“长度”;（7）选中矩形EFGH 的内部（单击内部即可选中）,依次单击“度量”、“面积”; （8）依次选中HE 和矩形EFGH 的面积的度量值,依次单击“绘制”、“绘制点()y x ,（P ）”，命名为点P ;（9）依次单击“绘图”、“隐藏网格”;（10）依次选中点H 、点P ,依次单击“构造”、“轨迹”,画出一个函数的图象; （11）选中线段AD ,并度量长度.模型探索模型制作好后,拖动点H ,可以看到矩形EFGH 的面积随之改变,当AD HE 21=时,点H 来到AB 的中点的位置（为什么?）,此时矩形EFGH 的面积最大.如下图所示.由点P 的轨迹,可以确定y 是x 的二次函数. 关于以上探索取得的结果,见下面的解题过程. 解:（1）∵四边形EFGH 是矩形 ∴EF HG //,BC HG // ∴△AHG ∽△ABC 易知四边形DEHM 为矩形 ∴DM HE = ∵BC AD ⊥ ∴HG AD ⊥∴ADAMBC HG =（相似三角形对应边上的高之比等于相似比） ∴161620,161620xHG x HG -=-= ∴2045+-=x HG∴HE HG S y EFGH ⋅==矩形∴x x x x y 204520452+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=;（2）由（1）可知:()80845204522+--=+-=x x x y∴当08=-x ,即8=x 时,y 有最大值80. ∴矩形EFGH 的面积的最大值为80.点评 可见,我们用演绎推理得出的结果,与借助于几何画板软件得出的结果是一致的.几何画板为我们提供了丰富的几何直观,展现了一个动态的过程,使我们更容易发现其中所蕴含的规律,也更容易接受演绎推理的结果. 模型应用例1. 已知锐角△ABC 中,边BC 长为12,高AD 长为8.（1）如图所示,矩形EFGH 的边GH 在BC 边上,其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 边上,EF 交AD 于点K . ①求AKEF的值; ②设x EH =,矩形EFGH 的面积为S ,求S 与x 的函数关系式,并求S 的最大值; （2）若AC AB =,正方形PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上,另两个顶点分别在△ABC 的另两边上,直接写出正方形PQMN 的边长.KGH FABCD E解:（1）①∵四边形EFGH 是矩形 ∴BC EF //∴△AEF ∽△ABC ,△AEK ∽△ABD∴AB AEAD AK BC EF== ∴23812===AD BC AK EF; ②由题意可知:四边形EHDK 是矩形∴x EH DK ==,x AK -=8由①可知:238=-=x EF AK EF ∴1223+-=x EF∴()244231223122322+--=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅=x x x x x EF EH S∴S 的最大值为24; （2）分为两种情况:①当正方形PQMN 的顶点P 、Q 在BC 边上时,如图1所示.图 1KQPMAD BCN图 2设x PQ =,则x AK x MN PN DK -====8,,由①可知:23==AD BC AK MN ∴238=-x x ,解之得:524=x ∴524=PQ ;②当正方形PQMN 的顶点P 、Q 在AB 边上时,如图2所示,作AB CE ⊥,交MN 于点F .∵AC AB =,BC AD ⊥ ∴621==BC BD 在Rt △ABD 中,由勾股定理得:10682222=+=+=BD AD AB∵AD BC CE AB S ABC ⋅=⋅=∆2121 ∴54810812=⨯=⋅=AB AD BC CE 设m PQ =,则x CF -=548由CE AB CF MN =得:54810548=-x x ,解之得:49240=x ∴49240=PQ . 综上所述,正方形PQMN 的边长为524或49240. 例2. 如图（1）,矩形ABCD 中,3,4==AD AB ,把矩形沿直线AC 折叠,使点B 落在点E 处,AE 交CD 于点F ,连结DE . （1）求证:△DEC ≌△EDA ; （2）求DF 的值;（3）如图（2）,若P 为线段EC 上一动点,过点P 作△AEC 的内接矩形,使其顶点Q 落在线段AE 上,顶点M 、N 落在线段AC 上,当线段PE 的长为何值时,矩形PQMN 的面积最大?并求出其最大值.图 （1）图 （2）（1）证明:∵四边形ABCD 是矩形 ∴CB AD CD AB ==,由折叠可知:CE CB AE AB ==, ∴AD CE AE CD ==, 在△DEC 和△EDA 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===ED DE AD CE AECD ∴△DEC ≌△EDA （SSS ）;（2）解:由折叠可知:21∠=∠ ∵CD AB // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴CF AF =设x DF =,则x CF AF -==4在Rt △ADF 中,由勾股定理得:222AF DF AD =+ ∴()22243x x -=+,解之得:87=x ∴87=DF ; （3）解:作AC EH ⊥,交PQ 于点G . 设x PE =,矩形PQMN 的面积为y .易求出512534,5=⨯=⋅==AC CE AE EH AC∵AC EH AC PQ ⊥,// ∴△EPQ ∽△ECA ,PQ EG ⊥ ∴EH EG CE PE AC PQ ==,51235EG x PQ == ∴x EG EH PN GH x EG x PQ 54512,54,35-=-====∴32334434545123522+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=x x x x x PN PQ y （30<<x ）∴当023=-x ,即23=x 时,3max =y ∴当23=PE 时,矩形PQMN 的面积最大,最大值为3.点评 用几何画板演示过程,如下页图所示.。