2006年春季高考.上海卷.数学试题及解答

考试结束前★机密2006年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚。

2．本试卷共有22道试题，满分 150分，考试时间 120分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题。

只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。

1．已知集合{}1,3,A m =-, 集合{}3,4B =,若A B ⊆.则实数m =______. 2．已知两条直线12:330.:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ,则a =______. 3．若函数()(0.1)x f x a a a =>≠且的反函数的图像过点（2，－1），则 a=______.4．计算： 23(1)lim61n n n n →∞+=+______. 5．若复数(2)(1)z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），其中m R ∈，则z = ______. 6．函数sin cos y x x =的最小正周期是______.7．已知双曲线的中心原点，一个顶点的坐标是（3，0），且焦距与虚轴长之比为 5：4则双曲线的标准方程是______.8．方程233log (10)1log x x -=+的解是______.9．已知实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩.则y -2x 的最大值是 .10．在一个小组中有 8名女同学和 4名男同学，从中任意地挑选 2名同学担任交通安全宣 传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。

11．若曲线21xy =+与直线y b =没有公共点，则 b 的取值范围是______.12．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点 O ，对于平面上任意一点 M ，若 p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对 （p 、q ）是点 M 的“距离坐标”。

2006年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明1． 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2． 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答 一、（第1题至第12题）1．1 2．23．12 4．165．1i -+ 6．57．221164x y += 8．5 9．13510．36 11．011k b =-<<，12．10a ≤ 二、（第13题至第16题）三、（第17题至第22题）17．解：ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos22x x = ·························································································· 6分 π2sin 26x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． ····························································································· 8分∴函数ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是[]22-，，最小正周期是π． ·········· 12分 18．解：连接BC ，由余弦定理得222201022010cos120700BC =+-⨯⨯⨯=，于是，BC = ····································································································· 4分s i n 12020ACB ∠=sin ACB ∴∠=， ························································ 8分 90ACB ∠<，41ACB ∴∠≈， ············································································ 10分 所以，乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B 处救援． ············································ 12分 19．解：（1）在四棱锥P ABCD -中，由PO ⊥平面ABCD ，得PBO ∠是PB 与平面ABCD 所成角，60PBO ∠=． ··············································· 2分在Rt AOB △中，sin301BO AB ==，又PO BO ⊥，于是，tan 60PO BO ==ABCD S =∴四棱锥P ABCD -的体积123P ABCD V -=⨯=． ··············································· 6分 （2）解法一：以O 为坐标原点，射线OB OC OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． ··········································································································· 7分 在Rt AOB △中，OA =于是，点AB D P ，，，的坐标分别是(0(100)(100)(00A B D P -，，，，，，．E 是PB 的中点，则点E 的坐标是1022⎛ ⎝⎭，，，于是，30(02DE AP ⎛== ⎝⎭，，． ····································································· 11分设DE 与AP的夹角为θ，有3cos 4θ==，arccos 4θ= ∴异面直线DE 与PA所成角的大小是． ························································ 14分A解法二：取AB 的中点F ，连接EF DF ，．由E 是PB 的中点，得EF PA ∥，∴FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角（或它的补角）． ··································· 8分 在Rt AOB △中，cos30OA AB OP ===，于是，在等腰直角POA △中，PA =2EF =． 而在正ABD △和正PBD △中，DE DF == ························································ 11分12cos EFFED DE ∠===，∴异面直线DE 与PA所成角的大小是arccos4． ························································ 14分 20．证明：（1）设过点(30)T ，的直线l 交抛物线22y x =于点1122()()A x y B x y ，，，． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l与抛物线相交于点(3(3A B ，，3OA OB ∴=． ···························································· 1分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠．由22(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，，得2260ky y k --=，则126y y =-． ····················································· 3分又221221122x y x y == 1，， 2121212121()34OA OB x x y y y y y y ∴=+=+= ．综上所述，命题“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB =”是真命题． ······················ 6分解：（2）逆命题是：设直线l 交抛物线22y x =于A B ，两点，如果3OAOB =·，那么该直线过点(30)T ，．该命题是一个假命题． ··············································································· 8分CBFAPEDO例如：取抛物线上的点1(22)12A B ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，此时3OAOB = ·， ········································ 11分 直线AB 的方程是2(1)3y x =+，而(30)T ，不在直线AB 上． ········································· 14分 说明：由抛物线22y x =上的点1122()()A x y B x y ，，，满足3OA OB = ·，可得126y y =-或122y y =．如果126y y =-，可证得直线AB 过点(30)，；如果122y y =，可证得直线AB 过点(10)-，，而不过点(30)，． 21．证明：（1）当1n =时，22a a =，则21a a a =； ··························································· 1分 当221n k -≤≤时，1(1)2n n a a S +=-+，1(1)2n n a a S -=-+，1(1)n n n a a a a +-=-，1n na a a +∴=． ∴数列{}n a 是等比数列． ······································································································ 4分 解：（2）由（1）得12n n a a -=， (1)(1)12(1)21212222n n n n n nn nk n a a a aa--++++--∴===……， ·················································· 8分1(1)11(122)2121n n n n b n n k n k k --⎡⎤=+=+=⎢⎥--⎣⎦ ，，， ． ······················································ 10分 （3）设32n b ≤，解得12n k +≤，又n 是正整数，于是当n k ≤时，32n b <； 当1n k +≥时，32n b >． ··································································································· 12分原式12123333322222k k k b b b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……121()()k k k b b b b +=++-++……211(21)(01)22212121k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥=+-+=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． ··············································· 14分由2421k k -≤，得2840k k -+≤，44k -+≤，又2k ≥，∴当234567k =，，，，，时，原不等式成立． ··········································································· 16分 22．解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是6=， 2log 9b ∴=． ························································································································ 3分 （2）设120x x <<，222221212122222112()1c c c y y x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭·． ··················· 5分12x x <时，21y y >，函数22c y x x =+在)+∞上是增函数；当120x x <<21y y <，函数22c y x x=+在(0上是减函数．又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(--，∞上是减函数，在)⎡⎣上是增函数．（3）可以把函数推广为nn ay x x=+（常数0a >），其中n 是正整数． 当n 是奇数时，函数nn a y x x=+在(0上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是增函数，在)⎡-⎣上是减函数．当n 是偶数时，函数nn a y x x =+在(上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是减函数，在)⎡-⎣上是增函数． ······················································ 12分2211()nnF x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0212323223231111n n r n rn nn n n n n n n r n C x C x C x C x x x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……， 因此，()F x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在[]12，上是增函数． ················································· 16分 所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924n n⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +． ······································································ 18分。

2006年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分048分）1. 计算：=+-∞→3423lim n n n . 2. 方程1)12(log 3=-x 的解=x .3. 函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f . 4. 不等式0121>+-x x 的解集是 . 5. 已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共 点，则r 的取值范围是 .6. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则 当),0(∞+∈x 时，=)(x f .7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首 尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .9. 在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .10. 若向量b a ρρ、的夹角为ο150，4,3==b a ρρ，则=+b a ρρ2 . 11. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原 点，则三角形OAB 面积的最小值为 .12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为：若有限数列n a a a ,,,21Λ 满足n a a a ≤≤≤Λ21，则 （结论用数学式子表示）.二．选择题（本大题满分016分）13. 抛物线x y 42=的焦点坐标为( )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.14. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( )（A ）b a 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a >.15. 若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.16. 若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A ∩B 等于( ) （A ）]1,(∞-. （B ）[]1,1-. （C ）∅. （D ）}1{.三．解答题（本大题满分086分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分12分)在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. (本题满分12分) 已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域. 20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥=Y Y B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？2006年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1. 43.2. 2.3. []8,5),5(31∈-x x .4. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1. 5. )10,0(. 6. 4x x --. 7. 48. 8. 316. 9. 257. 10. 2. 11. 4. 12.)1(2121n m n a a a m a a a n m <≤+++≤+++ΛΛ和 )1(2121n m n a a a m n a a a n n m m <≤+++≥-+++++ΛΛ二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 题 号13 14 15 16 代 号B C A B 三．（第17至22题）17. [解法一] 连接D A 1，D BA C B D A 111,//∠∴Θ为异面直线B A 1与C B 1所成的角. ……4分连接BD ，在△DB A 1中，24,511===BD D A B A ， ……6分 则DA B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠ 259552322525=⋅⋅-+=. ……10分 ∴ 异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos . ……12分 [解法二] 以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系. ……2分 则 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、，得 )3,0,4(),3,4,0(11--=-=B A . ……6分 设A 1与B 1的夹角为θ，则259cos 1111=⋅=C B B A θ， ……10分 ∴ A 1与B 1的夹角大小为259arccos ， 即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos . ……12分 18. [解法一] i 2i 21i 34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w Θ， ……4分 i 3|i |i25+=-+-=∴z . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z .10,6=⋅=+z z z z Θ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……12分[解法二] 设i b a w +=R)(∈b a 、b a b a 2i 2i 34i +-=-+，得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w ， ……4分 以下解法同[解法一].19. [解]（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππΘ， ……2分x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ……4分 x x cos sin 3-= 53354+=. ……8分 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ， ……10分 ππ≤≤x 2Θ， 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. ……14分20. [解]（1）设曲线方程为7642+=ax y ， 由题意可知，764640+⋅=a . 71-=∴a . ……4分 ∴ 曲线方程为764712+-=x y . ……6分 （2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+)2(,76471)1(,125100222x y y x 得 036742=--y y ，4=y 或49-=y （不合题意，舍去）. 4=∴y . ……9分 得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）. ∴C 点的坐标为)4,6(， ……11分4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令. ……14分21. [解]（1）……4分（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142,Y Y A . ……8分 由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142. ……10分（3）[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .)54()3()(2++--+=x x x k x g)53()4(2-+-+=k x k x 436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ， ……12分 ∴>,2k Θ124<-k . 又51≤≤-x ， ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取24k x -=， min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k . 064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k Θ，则0)(min >x g . ……14分 ② 当124-<-k ，即6>k 时，取1-=x ， min )(x g ＝02>k .由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分[解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .由⎩⎨⎧++-=+=,54),3(2x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ， 令 0)53(4)4(2=---=∆k k ，解得 2=k 或18=k ， ……12分在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(； 当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点. ……14分 如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分22. [解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . …… 4分（2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， …… 8分⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ， 当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞. …… 12分（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列. …… 14分 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围.…… 16分 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n n n Λ当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. …… 18分。

2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题考生注意：1 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚2 本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上一、 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1 已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m} 若B ⊆A ，则实数m ＝2 已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是3 若函数)(x f ＝x a （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a ＝ 4 计算：1lim 33+∞→n C nn ＝5 若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝6 如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么)2cos(πα+＝ 7 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是8 在极坐标系中，O 是极点，设点A （4，3π），B （5，－65π），则△OAB 的面积是9 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本 将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）10 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是11 若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是12 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）（A ）→--AB ＝→--DC ；（B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ；（C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ；（D ）→--AD ＋→--CB ＝→14 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 （ ） （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件15 若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ） （A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2∉M ，0∉M ； （C ）2∈M ，0∉M ； （D ）2∉M ，0∈M 16 如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标” 已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题： ①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点 有且仅有1个；②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为 （p ，q ）的点有且仅有2个；③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 （ ） （A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17 （本题满分12分）求函数y ＝2)4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期18 （本题满分12分）C如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？19 （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60（1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反 三角函数值表示）20 （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由21 （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2 设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1（1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值22 （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 ）1 已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m} 若B ⊆A ，则实数m ＝ ； 解：由2211m m m =-⇒=，经检验，1m =为所求； 2 已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ；解：由已知得圆心为：(2,0)P，由点到直线距离公式得：d ； 3 若函数)(x f ＝xa （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a ＝ ； 解：由互为反函数关系知，)(x f 过点(1,2)-，代入得：1122a a -=⇒=；4 计算：1lim 33+∞→n C nn ＝ ；解：33223333321(1)(2)321lim limlim lim 161(1)3!(1)3!(1)3!n n n n n C n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-+---+====++++ ； 5 若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ； 解：已知2211i Z iZ i Z i i⇒-=⇒==--；6 如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么)2cos(πα+＝ ； 解：已知cos()sin (2παα⇒+=-=-7 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；解：已知222222242,161164(b a b c y x a a b c F =⎧⎪==⎧⎪⎪⇒=⇒+=⎨⎨-=⎪⎪⎩-⎪⎩为所求；8 在极坐标系中，O 是极点，设点A （4，3π），B （5，－65π），则△OAB 的面积是 ； 解：如图△OAB 中，554,5,2(())366OA OB AOB ππππ==∠=---=1545sin 526AOB S π∆⇒== (平方单位)；9 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本 将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）；解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有124C P 种方法； 2) 剩下的一套全排列，有4P 种方法；所以，所求概率为：12448135C P P P =； 10 如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ； 解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；11 若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是解：作出函数21,0||11,0x x y x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩的图象，如右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；12 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ；解：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而2510x x +≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立； 且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立； 所以，2m i n 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞；二、 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 [答]（ ）（A ）AB DC = ； （B ）AD AB AC += ；（C ）AB AD BD -=； （D ）0AD CB += ；解：由向量定义易得， （C ）选项错误；AB AD DB -=；14 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ） （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件；解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”； 2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；故选（A ）15 若关于x 的不等式x k)1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有[答]（ ）（A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2∉M ，0∉M ； （C ）2∈M ，0∉M ； （D ）2∉M ，0∈M ；C解：选（A ）方法1：代入判断法，将2,0x x ==分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R ；方法2：求出不等式的解集：xk )1(2+≤4k ＋4422min455(1)2[(1)2]2111k x k x k k k k +⇒≤=++-⇒≤++-=+++； 16 如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标” 已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：① 若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；② 若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为 （p ，q ）的点有且仅有2个；③ 若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3解：选（D ）① 正确，此点为点O ； ② 正确，注意到,p q 为常数，由,p q 中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q （或p ）； ③ 正确，四个交点为与直线1l 相距为p 的两条平行线和与直线2l相距为q 的两条平行线的交点；三 解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17 （本题满分12分）求函数2cos()cos()44y x x x ππ=+-的值域和最小正周期[解]2c o s ()c o s (3si n 244y x x x ππ=+-22112(cos sin )22cos22sin(2)6x x x x x x π=-==+∴函数2cos()cos()44y x x x ππ=+-的值域是[2,2]-,最小正周期是π；18（本题满分12分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1︒）？[解] 连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700于是,BC=107∵710120sin20sin︒=ACB, ∴sin∠ACB=73,∵∠ACB<90°∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD 相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为∴四棱锥P-ABCD的体积V=31×23×3=2（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系在Rt△AOB中OA=3,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－3,0),B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, 3)E是PB的中点,则E(21)于是DE =(23,0, 23),AP=(0, 3,3)设AP 与DE的夹角为θ, 有cosθ=4233434923=+⋅+,θ=arccos 42, ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 42； 解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF由E 是PB 的中点,得EF ∥PA ， ∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成 角(或它的补角)，在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP ，于是, 在等腰Rt △POA 中， PA=6，则在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3，cos ∠FED=34621=DE EF=42∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是20 （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6) ∴OB OA ⋅=3；当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=-又 ∵ 22112211,22x y x y ==， ∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+= ， 综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ⋅=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T(3,0) 该命题是假命题例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3, 直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上； 说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足OB OA ⋅=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0) 21 （本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2 设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1（1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ）， 求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值 (1) [证明] 当n=1时,a 2=2a,则12a a =a ； 2≤n≤2k －1时, a n+1=(a －1) S n +2, a n =(a －1) S n －1+2, a n+1－a n =(a －1) a n , ∴n n a a 1+=a, ∴数列{a n }是等比数列 (2) 解：由(1) 得a n =2a1-n , ∴a 1a 2…a n =2n a )1(21-+++n =2n a 2)1(-n n =212)1(--+k n n n , b n =1121]12)1([1+--=--+k n k n n n n (n=1,2,…,2k) （3）设b n ≤23,解得n≤k+21,又n 是正整数,于是当n≤k 时, b n <23；当n≥k+1时, b n 23 原式=(23－b 1)+(23－b 2)+…+(23－b k )+(b k+1－23)+…+(b 2k －23) =(b k+1+…+b 2k )－(b 1+…+b k )=]12)10(21[]12)12(21[k k k k k k k k k +--+-+--+122-k k 当122-k k ≤4,得k 2－8k+4≤0, 4－23≤k≤4+23,又k≥2, ∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立22 （本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数y ＝x ＋x a 有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数（1）如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值； （2）研究函数y ＝2x ＋2xc （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2x a （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x )1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） [解]（1）函数y=x+xb 2(x>0)的最小值是2b 2，则2b 2=6, ∴b=log 29 (2) 设0<x 1<x 2,y 2－y 1=)1)((2221212221212222x x c x x x c x x c x ⋅--=--+ 当4c <x 1<x 2时, y 2>y 1, 函数y=22xc x +在[4c ,+∞)上是增函数； 当0<x 1<x 2<4c 时y 2<y 1, 函数y=22xc x +在(0,4c ]上是减函数 又y=22x c x +是偶函数，于是， 该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；(3) 可以把函数推广为y=nn x a x +(常数a>0),其中n 是正整数 当n 是奇数时,函数y=n n x a x +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数； 当n 是偶数时,函数y=n n xa x +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数； F(x)=n x x )1(2++n x x )1(2+=)1()1()1()1(323232321220n n n n r n r n r n n n n n n n x x C x x C x x C x x C ++++++++---- 因此F(x) 在 [21,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数所以，当x=21或x=2时，F(x)取得最大值(29)n +(49)n；当x=1时F(x)取得最小值2n+1。