2001年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷)

2001年普通高等学校招生考试全国Ⅰ文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设A=B A x x x B x x x 则},0|{},0|{22=+==-等于（A ）0 （B ）{0} （C ）φ （D ）{－1，0，1} （2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列 （C ）等差数列，而且也是等比数列 （D ）既非等比数列又非等差数列 （3）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是 （A ）)21,0(（B ）]21,0(（C ）),21(+∞ （D ）),0(+∞（5）若向量a =（3，2），b =（0，－1），c =（－1，2），则向量2b －a 的坐标是（A ）（3，-4） （B ）（-3，4） （C ）（3，4） （D ）（-3，-4）（6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则直线PB 的方程是（A ）05=-+y x （B ）012=--y x （C ）042=--x y （D ）072=-+y x （7）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab （8）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0）则其离心率为（A ）43（B ）32 （C ）21 （D ）41 （9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（A ）3种（B ）4种（C ）5种 （D ）6种（10）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA （A ）43 （B ）－43 （C ）3 （D ）－3（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜. 记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则（A ）P 3＞P 2＞P 1（B ）P 3＞P 2＝P 1（C ）P 3＝P 2＞P 1（D ）P 3＝P 2＝P 1（12） 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同 的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26（B ）24（C ）20（D ）19二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． （13）定义在R 上的函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值是 ．（14）一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个 容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽 取的产品件数为 ． （15）在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线． ②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线． 以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ． （把符合要求的命题序号都填上）（16）设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q = .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项的和为S n ，S k =2550． （Ⅰ）求a 及k 的值；（Ⅱ）求).111(lim 21nn S S S +++∞→ （18）（本小题满分12分）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为)1(<λλ，画面的上、下各有8cm 空白，左、右各有5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？ （19）（本小题满分12分）如图，用A 、B 、C 三类不同的无件连接成两个系统N 1、N 2．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90．分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2．— A — B — C —— A —— B —— C — N 1N 2注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（20甲）计分． （20甲）（本小题满分12分）如图，以正四棱锥V —ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空 间直角坐标系O —xyz ，其中Ox//BC ，Oy//AB ．E 为VC 中点，正四棱锥底面边长 为2a ，高为h ．（Ⅰ）求;,cos ><DE BE（Ⅱ）记面BCV 为α，面DCV 为β，若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，求cos ∠BED 的值．（20乙）(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ⊥︒=∠SA ABC ,90面ABCD ， SA=AB=BC=1，AD=.21（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.（21）（本小题满分12分）已知函数bx ax x x f 23)(23+-=在点x=1处有极小值-1．试确定a 、b 的值．并求出 f （x ）的单调区间．（22）（本小题满分14分）设,20πθ<<曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．DSAB C2001年普通高等学校招生考试全国Ⅰ文科数学参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算（1）B （2）B （3）C （4）A （5）D （6）A （7）A （8）C （9）A （10）B （11）D （12）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算 （13）2 （14）16 （15）② （16）1 三、解答题（17）本小题主要考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．解：（I ）设该等差数列为{a n }， 则.2550,3,4,321====k S a a a a a由已知有,423⨯=+a a 解得首项,21==a a 公差.22412=-=-=a a d代入公式d k k a k S k ⋅-+⋅=2)1(1得.255022)1(2=⋅-+⋅k k k 即,025502=-+k k解得k=50，k=－51（舍去） 50,2==∴k a（II ）由),1(2)1(1+=⋅-+⋅=n n S d n n a n S n n得 )1(132121111121+++⨯+⨯=+++∴n n S S S n,111)111()3121()2111(+-=+-++-+-=n n n .1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n n n（18）本小题考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决问题的能力．解：设画面高为xcm ，宽为λxcm ，则.48402=x λ 设纸张面积为S ，有,160)1016()10)(16(2+++=++=x x x x S λλλ将λ1022=x 代入上式得).58(10445000λλ++=S当,58λλ=即)185(85<=λ时，S 取得最小值．此时，高：,884840cm x ==λ宽：.558885cm x =⨯=λ 答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小．（19）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解 决实际问题的能力．解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件 P （A ）=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90.（I ）因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率 P 1=P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.80×0.90×0.90=0.648. 故系统N 1正常工作的概率为0.648. （II ）系统N 2正常工作的概率 )],()(1[)()](1[)(2C P B P A P C B P A P P ⋅-⋅=⋅-⋅= ,10.090.01)(1)(,10.090.01)(1)(=-=-==-=-=C P C P B P B P.792.099.080.0]10.010.01[80.02=⨯=⨯-⨯=∴P故系统N 2正常工作的概率为0.792.（20甲）本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法； 考查运用向量研究空间图形的数学思想方法．解：（I ）由题意知B （a ，a ，0），C （―a ，a ，0），D （―a ，―a ，0），E ),2,2,2(h a a -由此得),2,23,2(),2,2,23(h a a DE h a a BE =--=,42322)232()223(22h a h h a a a a DE BE +-=⋅+⋅-+⋅-=⋅∴2001年普通高等学校招生考试全国Ⅰ文科数学答案解析.1021)2()2()23(||||22222h a h a a DE BE +=+-+-==由向量的数量积公式有.10610211021423||||,cos 2222222222h a h a h a h a h a DE BE DE BE DE BE ++-=+⋅++-=⋅⋅>=< （II ）若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，则CV BE ⊥，即有CVBE ⋅=0． 又由C （－a ，a ，0），V （0，0，h ），有),,(h a a CV -=且),2,2,23(h a a BE --=,02223222=++-=⋅∴h a a CV BE 即,2a h=这时有.31)2(10)2(6106,cos 22222222-=++-=++->=<a a a a h a h aDE BE.31cos -=∠∴BED 即（20乙）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分． 解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面=,43125.01)(21=⨯+=⋅+AB AD BC∴四棱锥S —ABCD 的体积是V=底面M SA ⨯⨯3143131⨯⨯= =41. （Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱．∵AD ∥BC, BC=2AD, ∴EA=AB=SA, ∴SE ⊥SB ，∴ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SE 是CS 在 面SEB 上的射影，∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角.∵,,1,222SB BC BC AB SA B S ⊥==+=∴.22tan ==∠SBBC BSC 即所求二面角的正切值为.22（21）本小题考查函数和函数极值概念，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分析和解决数学问题的 能力．解：由已知，可得,1231)1(-=+-=b a f ① 又,263)(2b ax x x f +-=' .0263)1(=+-='∴b a f ②由①、②，可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,31b a 故函数的解析式为.)(23x x x x f --=由此得.123)(2--='x x x f 根据二次函数的性质，当31-<x 或x ＞1时，;0)(>'x f 当131<<-x 时，.0)(<'x f 因此，在区间)31,(--∞和),1(+∞上，函数f （x ）为增函数；在区间)1,31(-内，函数f （x ）为减函数．（22）本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．解：（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1sin cos ,1cos sin 2222θθθθy x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.sin cos ,cos sin 22θθθθy x 有4个不同交点等价于,02>x且,02>y 即⎩⎨⎧>->+.0sin cos ,0cos sin θθϑθ又因为,20πθ<<所以得θ的取值范围为（0，).4π（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程),40(cos 222πθθ<<=+y x即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为).40(cos 2πθθ<<=r 因为θcos 在)4,0(π上是减函数，所以由.224cos ,10cos ==π知r 的取值范围是).2,2(4ESCA DB….………………………….…….. ……. ……. 2009-2001年普通高等学校招生考试全国Ⅰ文理科数学试卷及答案打包下载地址资料来源：木鱼石的百度空间……………………………………. ……. …….本资料仅供网友交流学习使用，请您在下载后24小时内删除，不得用于商业用途，否则追究您法律责任！［木鱼石整理］更多优秀高中数学教学资料免费共享……。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。

2． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在，每小题给出的四个选项中， 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A+B ）=P(A)+P(B) S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A-B ）=P(A)-P(B)一、选择题（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。

B={3,5}，∴ {1,3,5}A B =U ，∴(){2,4}U C A B =U 故选 C . （2）不等式32x x -+＜0的解集为 （A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x > 【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵ 302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A（3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-= （A）B ）19-（C ）19（D【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 （A ）y=1x e+-1(x>0) (B) y=1x e-+1(x>0)(C) y=1x e+-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴11ln(1)1,1,1y x x y x e y e ---=--==+ (5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。

2001年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）例：How much is the shirt?A.￡19.15.B.￡9.15.C.￡9.18.答案是B。

1.Where did this conversation most probably take place?A.At a concert.B.At a fl ower shop.C.At a restaurant.2.What did Paul d o this morning?A.He had a history l esson.B.He had a chemistry l esson.C.He attend ed a meeting.3.What can we learn about the man from the conversation?A.He’s anxious to see his sister.B.He wrote to his sister last month.C.He’s expecting a letter from his sister.4.At what time d oes the train to Leeds l eave?A.3：00.B.3：15.C.5：00.5.What is the man’s problem?A.He can’t d ecid e how to go.B.He can’t drive himself.C.He d oesn’t like travelling by train.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听第6段材料，回答第6至8题。

6.What is Sally d oing?A.Reading a letter.B.Washing cl othes.C.Making a phone call.7.Why does Tom ask Sally and John to call him?A.He wants to meet them at the station.B.He wants to invite them to dinner.C.He wants them to visit his family.8.What is Tom’s telephone number?A.680-6840.B.780-6842.C.780-7842.听第7段材料，回答第9至11题。

2001年全国普通高等学校招生统一考试（全国卷）英语第一部分：听力（共两节，满分20分）作题时，先将答案划在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例 :How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡9.15.C. ￡9.18.答案是B1. Where did this conversation most probably take place?A. At a concert.B. At a flower shop.C. At a restaurant.2. What did Paul do this morning?A. He had a history lesson.B. He had a chemistry lesson.C. He attended a meeting.3. What can we learn about the man from the conversation?A. He's anxious to see his sister.B. He wrote to his sister last month.C. He's expecting a letter from his sister.4. At what time does the train to Leeds leave?A.3:00.B.3:15.C.5:00.5. What is the man's problem?A. He can't decide how to go.B. He can't drive himself.C. He doesn't like travelling by train.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。