天津工业大学（2014—2015学年第一学期）
《微积分（经管）》期末试卷（A 卷）(2015. 1理学院)
特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有八道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。
满分 21
30
7
8
8
8
8
10
总分 复核
题目
一 二 三 四 五 六 七 八
得分
评阅人
一． 填空题(每空3分,请将答案写在空格处)
1、 求极限3
1
1cos (1cos )lim
x x e x x →-=--4。 2、 设2
cos
2(1)
x
y x x π
=
- 的第一类间断点为：1x =。 3、 设0()0f x '≠存在，且当0x ∆→时，00()()f x x f x -∆-与A x ∆是等价无穷小，
则常数A = 0()f x '-。
4、积分1
2421
5sin cos 1d x x x x x x -+-⎰=
16
π。 5、函数arcsin sin(tan )y x x x =+的微分
=dy 22
[arcsin sec cos tan ]1x x x x dx x +
+-。
满分 21 得分 -------------------------------
密封线
----------------------------------------
密封线
----------------------------------------
密封线---------------------------------------
学院
专业班
学号
姓名
装订线
装订线
装订线
6、函数(1)(2)
x x y x x =
--的水平渐近线为1y =±。
7、生产某产品的固定成本0C ，边际成本和边际收益分别为11114q MC 2+-=q ， 2q -100MR =，求厂商利润表达式（只列式子不计算）
： ()()[]
00
2111142100)(C dq q q q q L q
-+---=⎰。
二. 求下列各题(每小题5分，共30分）
1、
2(1())0lim x x x ax b →+∞
-+-+=，求常数,a b 的值。 解：令t x 1
=，代入已知等式有01lim 20=--+-+
→t
bt a t t t ， 从而必有0)1(lim 2
=--+-+
→bt a t t t ，即得：1=a . 此时，原式t bt t t t --+-=+→11lim 2
02
01()12lim 02
t t t b b t +
→-=-=--=， 2
1-=b .
2、2lim 8x
x x a x a →∞
+⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，求常数a 。 解：由8e )31(lim )2(
lim 333==-+=-+⋅-⋅-∞→∞→a x
a x a
a a x x x x a
x a a x a x ， 得2ln =a ．
满分 30
得分
3、 设)(x y y =是由y xy e e +=确定隐函数，求(),(0)y x y ''''。
解：0=x 时，1=y ，方程两边同时对x 求导得：0='+'+y e y x y y （1） 所以：y
e
x y y +-
='，1
(0)y e -'=-；对（1）式两端分别对x 求导得： 0)(22=''+'+''+'y e y e y x y y y ，
所以：y
y e
x y e y y +'+'-=''2
)(2， 2(0)y e -''=.
4、求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩所确定函数()y y x =的二阶导数22d d x y
。
解：()2
arctan ln(1)2
t t dy t
dx t '-=='+； 2222
1212241t d d y t dt dx t dx t dt t ⎛⎫
⎪
⎝⎭
+===+.
5、2
2
arctan 1x xdx x +⎰。 解：方法1：(凑微分法)
原式22
11
arctan 1x xdx x
+-=
+⎰
⎰⎰+-=x d x x x
d x a r c t a n 11
a r c t a n 2
⎰⎰-+-=)(a r c t a n a r c t a n 1a r c t a n 2x xd dx x x x
x C x x x x +-+-=22
)(a r c t a
n 211ln 21arctan .
方法2：（换元）
令 ,arctan u x =则udu dx u x 2sec ,tan ==
原式du u u u
u
⎰⋅⋅+=22
2sec tan 1tan C u u ud udu u +-=-=⎰
⎰2
22
1)(tan )1(sec
⎰+--=C u udu u u 2
tan tan 2
C x x x x +-
+-=2
)(arctan 1ln arctan 2
2
. 6、已知 1
()2()f x x f x dx =-⎰
，求()f x 及 1
()A f x dx =⎰。
解：设 10
(),()2A f x dx f x x A =
=-⎰
则，
两端再由0到1积分得
∴ 211
100
01
()(2)[2]222
x A f x dx x A dx Ax A =
=-=-=-⎰
⎰ 11
,()63
A f x x ∴=
=-
