2008年全国高考数学试题汇编椭圆

2008年全国高考数学试题汇编——椭圆一、选择题1．（天津理科5）设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离 为1，则P 点到右准线的距离为（ B ）A ．6B ．2C ．21D ．772 2．（天津文科7）设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 （ B ）A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 3．（江西文、理科7）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）A ．(0，1)B ．(0，21]C ．(0，22)D ．[22，1) 4．（上海文科12）设P 是椭圆1162522=+y x 上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则||||21PF PF + 等于 ( D ) A ．4B ．5C ．8D ．10.5．（湖北文、理科10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形 轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的 焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2； ②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 2＞a 1c 1； ④11c a ＜22c a ． 其中正确式子的序号是 （ B ） A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题6．（湖南理科12）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，右准线为l ,离心率e过 顶点A (0,b )作AM ⊥l ，垂足为M ，则直线FM 的斜率等于 ．答案：127．（浙江理科12文科13）已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ， 两点，若2212F A F B +=，则AB = ．答案：88．（宁夏海南文科15）过椭圆14522=+y x 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点, O为坐标原点, 则△OAB 的面积为 . 答案：539．（江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．【解析】如图，切线P A 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c=，解得2c e a ==．【答案】210．（全国Ⅰ文科15）在△ABC 中，∠A ＝90°，tan B ＝34．若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则 该椭圆的离心率e ＝ ．答案：12．不妨设2c ＝AB ＝4，AC ＝3，则CB ＝5，由椭圆定义可得2a ＝AC ＋CB ＝8，于是2.2c e a= 11．（全国Ⅰ理科15）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ， 则该椭圆的离心率e = ． 答案：38.设1AB BC ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅= 53AC =，582321,21,3328c a c e a =+====．12．（上海理科10）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且 两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小 忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别 条件是 ． 答案：h 1cot θ1+ h 2cot θ2≤2a ． 三、解答题13．（湖南文科19）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F (2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若存在过点A (1,0)的直线l ,使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0)．由条件知c ＝2，且22a c＝λ，所以a 2＝λ，b 2＝a 2－c 2＝λ－4．故椭圆的方程是221(4).4x y λλλ+=-＞ (Ⅱ)依题意，直线l 的斜率存在且不为0，记为k ，则直线l 的方程是y ＝k (x －1).设点F (2,0)关于直线l 的对称点为F ′(x 0,y 0)，则00002(1),221.2y x k yk x +⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=--⎪⎩解得02022,12.1x kk y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 因为点F ′(x 0，y 0)在椭圆上，所以222222()()11 1.4k k k λλ+++=-即λ(λ－4)k 4＋2λ(λ－6)k 2＋(λ－4)2＝0.设k 2＝t ,则λ(λ－4)t 2＋2λ(λ－6)t －(λ－4)2＝0.因为λ＞4，所以2(4)(4)λλλ--＞0．2234(6)4(4)0,2(6)0(4)λλλλλλλλ⎧∆=-+->⎪∴--⎨>⎪-⎩解得46λ<<．14．（广东理科18文科20）设b ＞0，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图4所示，过点F （0，b ＋2）作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ．已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A 、B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得△ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 【解析】（1）由28()x y b =-得218y x b =+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x =，4'|1x y ==， 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-，令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-；（2）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个， 同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个．若以APB ∠为直角，设P 点坐标为21(,1)8x x +，A 、B 两点的坐标分别为(和，222421152(1)108644PA PB x x x x ∙=-++=+-=．关于2x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ∆有两个， 因此抛物线上存在四个点使得ABP ∆为直角三角形．15．（北京文科19）已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线l ：y =x +2上， 且AB ∥l ．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；（Ⅱ）当∠ABC =90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程． 解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y =x .设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由2234,x y y x ⎧+=⎨=⎩得1,x =±所以12AB x =-=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，所以12.2ABCh AB h === （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y =x +m .由2234,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340.x mx m ++-= 因为A ，B 在椭圆上， 所以212640.m ∆=-+＞设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.则21212334,,24m m x x x x -+=-=所以12AB x =-=又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即BC =所以22222210(1)11.AC AB BC m m m =+=--+=-++ 所以当m =-1时，AC 边最长.（这时12640=-+＞）此时AB 所在直线的方程为y =x -1.16．（北京理科19）已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，对角线BD 所在直线的斜率 为l.（Ⅰ）当直线BD 过点（0，1）时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当∠ABC =60°，求菱形ABCD 面积的最大值． 解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为y ＝x ＋1．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .于是可设直线AC 的方程为y =-x +n .由2234,x y y x n⎧+=⎨=-+⎩得2246340.x nx n -+-= 因为A ，C 在椭圆上，所以△＝-12n 2+64＞0，解得n 设A ，C 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2),则212121122334,,,.24n n x x x x y x n y x n -+===-+=-+ 所以12.2n y y +=所以AC 的中点坐标为3,.44n n ⎛⎫⎪⎝⎭由四边形ABCD 为菱形可知，点3,44n n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线y =x +1上， 所以3144n n=+，解得n =-2． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即x +y +2=0．（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒,所以.AB BC CA ==所以菱形ABCD 的面积2.S =由（Ⅰ）可得22221212316()().2n AC x x y y -+=-+-=所以2(316)().433S n n =-+-＜所以当n =0时，菱形ABCD 的面积取得最大值17．（宁夏海南理科20）在直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为21F F ，.2F 也是抛物线x y C 4:22=的焦点，点M 为1C 与2C 在第一象限的交点，且35||2=MF . (I)求1C 的方程；(II)平面上的点N 满足12MN MF MF =+，直线MN l //，且与1C 交于B A 、两点，若0OA OB ∙=，求直线l 的方程．解：(I)由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1．…………①由抛物线定义知23M x =，所以283M y =， 代入椭圆方程得2248193a b+=．…………②由①②解得b 2＝3（－8／9舍去），a 2＝4．所以椭圆1C 的方程是22143x y +=．(II)12224(1,0(1,0(,333MN MF MF =+=--+-=- 因为直线MN l //，所以l k =．设直线:l y m =+，代入椭圆方程得22274120x m ++-=．设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2)，则22)427(412)0m ∆=-⨯⨯->，故227m <．因为21212412,27m x x x x -+=⋅=，所以212121212)6()y y m m x x x x m ⋅=++=⋅++． 因为0OA OB ∙=，所以12120x x y y ⋅+⋅=．故212127()0x x x x m ⋅++=即224127()02727m m m -⨯-+=． 解得212m =，满足227m <．因此直线l的方程y =±．18．（福建理科21）如图、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，值有222OA OB AB +<, 求a 的取值范围.【解析】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.解法一：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以OF =,即12,3bb 解得 2214,a b =+=因此，椭圆方程为221.43x y += (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，2222222222,4(1),.OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22221,1,x y x my a b=++=代入整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=所以222212122222222,b m b a b y y y y a b m a b m -+==++因为恒有222OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角. 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ∙=∙=+<恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++2222222222222222222222(1)()210.m b a b b m a b m a b m m a b b a b a a b m +-=-+++-+-+=<+ 又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立， 即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.当m ∈R 时，a 2b 2m 2最小值为0，所以a 2- a 2b 2+b 2<0. a 2<a 2b 2- b 2, a 2<( a 2-1)b 2= b 4,因为a >0,b >0,所以a <b 2,即a 2-a -1>0, 解得a>12+或a<12-(舍去)，即a>12+, 综合（i ）(ii)，a，+∞）. 解法二：（Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i ）当直线l 垂直于x 轴时，x =1代入22222221(1)1,A y b a y a b a-+===1. 因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,2(1+y A 2)<4 y A 2, y A 2>1，即21a a->1,解得a >12+或a <12-(舍去)，即a >12+. （ii ）当直线l 不垂直于x 轴时，设A （x 1,y 1）, B （x 2,y 2）.设直线AB 的方程为y =k (x -1)代入22221,x y a b+=得(b 2+a 2k 2)x 2-2a 2k 2x + a 2 k 2- a 2 b 2=0,故x 1+x 2=222222222222222,.a k a k a b x x b a k b a k -=++因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,所以x 21+y 21+ x 22+ y 22<( x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2,得x 1x 2+ y 1y 2<0恒成立.x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+k 2(x 1-1) (x 2-1)=(1+k 2) x 1x 2-k 2(x 1+x 2)+ k 2=(1+k 2)2222222222222222222222222()a k a b a k a a b b k a b k k b a k b a k b a k--+--+=+++. 由题意得（a 2- a 2 b 2+b 2）k 2- a 2 b 2<0对k ∈R 恒成立.①当a 2- a 2 b 2+b 2>0时，不合题意；②当a 2- a 2 b 2+b 2=0时，a ; ③当a 2- a 2 b 2+b 2<0时，a 2- a 2(a 2-1)+ (a 2-1)<0，a 4- 3a 2 +1>0,解得a 2a 2，a ，因此a ≥.综合（i ）（ii ），a ，+∞）.19．（辽宁理科20）在直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,的距离之和为4,设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点. （Ⅰ）写出C 的方程; （Ⅱ）若OA OB ⊥,求k 的值;（Ⅲ）若点A 在第一象限,证明:当0k >时,恒有OA OB >.（辽宁文科21）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和 等于4．设点P 的轨迹为C ． (Ⅰ)写出C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点，.k 为何值时?⊥此时||的值是多少？【解析】本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设P （x ，y ）,由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0,为焦长，长半轴为2的椭圆.它的短半轴1,b ==故曲线C 的方程为224; 1.y x - ……3分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足221,41.y x y kx ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y 并整理得22(4)2k x kx ++ 3.0， 故12122223,.44k x x x x k k +==-++ ……5分 若,OA OB ⊥即12120.x x y y +=面22121222233210,444k k x x y y k k k +----+=+++ 化简得2410,k -+=所以1.2k =± ……8分 （Ⅲ）2222221122;()OA OB x y x y -=++＝22221222()4(11)x x x x -+--+＝12123()()x x x x --+ ＝1226().4k x x k -+因为A 在第一象限，故x 1＞0.由12234x x k =+知20,x <从而120.x x ->又0,k > 故220,OA OB ->即在题设条件下，恒有.OA OB > ……12分20．（重庆理科21）如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若2·1cos PM PN MPN-＝,求点P 的坐标.解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴b ，所以椭圆的方程为221.95x y += (Ⅱ)由2,1cos PM PN MPN⋅=-得cos 2.PM PN MPN PM PN ⋅=⋅- ①因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN 中，4,MN =由余弦定理有2222cos .MNPM PN PM PN MPN =+-⋅ ②将①代入②，得22242(2).PM PN PM PN =+-⋅-故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2213x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以 由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得22x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即P 点坐标为-. 21．（全国Ⅱ理科21文科22）设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)、B (0,1)是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相较于E 、F 两点.(Ⅰ)若 6=,求k 的值； (Ⅱ)求四边形AEBF 面积的最大值.（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ···························· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得02121(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ············································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h ==·········································· 9分又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+12===≤ 当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S的最大值为 ············· 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ···················································································· 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S的最大值为． ··························· 12分22．（福建文科22）如图，椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l :x =4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M . (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值．【解析】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分． 解法一：（Ⅰ）由题设a =2,c =1,从而b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆C 前方程为13422=+y x . (Ⅱ)(i)由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),3422n m +=1. ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0，n (x -4)-(m -4)y =0. 设M (x 0,y 0),则有()()()()0000110,(2)440,(3)n x m y n x m y ---=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩由②，③得x 0=523,52850-=--m ny m m.222222002222222222(58)3(58)3434(25)(25)4(25)(25)(58)12(58)36914(25)4(25)x y m n m n m m m m m n m mm m --+=+=+-----+-+-===--由于所以点M 恒在椭圆G 上.(ⅱ)设AM 的方程为x =xy +1,代入3422y x +＝1得（3t 2+4）y 2+6ty -9=0. 设A (x 1,y 1),M （x 2，y 2），则有：y 1+y 2=.439,4362212+-=+-t y y x x |y 1-y 2|=.4333·344)(2221221++=-+t t y y y y 令3t 2+4=λ(λ≥4),则 |y 1-y 2|＝，＋）－－（＝＋）－（＝－　412113411341·3432λλλλλ 因为λ≥4，0<时，，＝，即＝所以当04411,41≤1=t λλλ |y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F . △AMN 的面积S △AMN=.292323y ·212121有最大值y y y y y FN -=-=- 解法二：（Ⅰ）问解法一： （Ⅱ）（ⅰ）由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m ,n ),则B (m ,-n )(n ≠0), .13422=+n m ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0, ……② n (x -4)-(m -4)y =0, ……③ 由②，③得：当≠523,528525-=--=x yn x x m 时，. ……④ 由④代入①，得3422y x +=1（y ≠0）. 当x ＝52时，由②，③得：3(1)023(4)0,2n m y n m y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩解得0,0,n y =⎧⎨=⎩与a ≠0矛盾.所以点M 的轨迹方程为221(0),43x x y +=≠即点M 恒在椭圆C 上. （Ⅱ）同解法一.23．（山东文科22）已知曲线11(0)x yC a b a b+=>>：所围成的封闭图形的面积为曲线1C 的内切圆半径为3．记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若MO OA λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．解：（Ⅰ）由题意得223ab a b ⎧=⎧⎪=⎪⇒⎨⎨==⎪⎩，椭圆2C 的标准方程为22154x y +=． （Ⅱ）（1）设M （x ，y ），A （x 0，y 0），则由MO OA λ=得2222200()x y x y λ+=+．……………………………①由于l ⊥线段AB ，M ∈l 且M 异于椭圆中心，得000x x y y +=．……②因为点A 在椭圆2C 上运动，所以2200154x y +=．………………………③ 由①②③消去x 0，y 0得2222145x y λλ+=，即为所求点M 的轨迹方程． （2）因为12AMBSAB OM OA OM =⨯⨯=⨯==22x y λ+=，又点M 坐标同时满足222222154145x y x y λλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22220(1)9x y λ+=+．于是220(1)20140()999AMBSλλλλ+==+≥，当且仅当1λλ=即1λ=时取“＝”．所以AMB △的面积的最小值为409． 24．（四川理科21）设椭圆22221x y a b += (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F，离心率e =，右准线为l ，M 、N 是l 上的两个动点，120F M F N =．（Ⅰ）若12||||25F M F N ==a 、b 的值；（Ⅱ）证明：当||MN 取最小值时，12FM F N +与12F F 共线． 解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．（Ⅰ）由已知，1(,0)F c -，2(,0)F c ．由e =2212c a =，∴222a c =．又222a b c =+，∴22b c =，222a b =． ∴l ：2222a c x c cc===，1(2,)M c y ，2(2,)N c y ．延长2NF 交1MF 于P ，记右准线l 交x 轴于Q ． ∵120FM F N ⋅=，∴12F M F N ⊥．12F M F N ⊥ 由平几知识易证1Rt MQF ∆≌2Rt F QN ∆∴13QN FQ c ==，2QM F Q c ==即1y c =，23y c =． ∵1225F M F N ==∴229c c +=，22c =，22b =，24a =． ∴2a =，2b =． （Ⅰ）另解：∵120FM F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，21230y y c =-<． 又1225F M F N ==联立212221222392020y y c c y c y ⎧=-⎪+=⎨⎪+=⎩，消去1y 、2y 得：222(209)(20)9c c c --=， 整理得：4292094000c c -+=，22(2)(9200)0c c --=．解得22c =． 但解此方程组要考倒不少人．（Ⅱ）∵1212(3,)(,)0FM F N c y c y ⋅=⋅=，∴21230y y c =-<． 22221212122121212222412MN y y y y y y y y y y y y c =-=+---=-=≥ ．当且仅当12y y =-或21y y =-时，取等号．此时MN 取最小值． 此时1212(3,3)(,3)(4,0)2FM F N c c c c c F F +=±+==．∴12FM F N +与12F F 共线． （Ⅱ）另解：∵120FM F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，2123y y c =-． 设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1k-．由1()32y k x c y kc x c=+⎧⇒=⎨=⎩，由21()2y x c c y k kx c⎧=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩1213MN y y c k k=-=⋅+≥．当且仅当13k k=即213k =，k =MN 最小时，k =此时1212(3,3)(,)(3,3)(,3)(4,0)2.c F M F N c kc c c c c c c F F k+=+-=±+==　∴12FM F N +与12F F 共线． 点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．25．（四川文科22）设椭圆22221(0)x y ab a b+=>>的左、右焦点分别是F 1和F 2 ，离心率e =，点F 2到右准线l (Ⅰ)求a b 、的值；(Ⅱ)设M 、N 是右准线l 上两动点，满足120.F M F M ∙=证明：当.MN 取最小值时，2122F F F M F N ++=0.解：（1）因为ce a=,F 2到l 的距离2a d c c =-,所以由题设得2c a a cc⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得2.c a ==由2222,b ac b =-==得(Ⅱ)由c =a =2得12(F F l 的方程为x =故可设12),).My N y 由120F M F M ∙=知12)0,y y =得y 1y 2＝－6,所以y 1y 2≠0,216y y =-, 12112166||||||||||MN y y y y y y =-=+=+≥ 当且仅当1y =y 2＝－y 1,所以，212212())F F F M F N y y ++=-++=（0，y 1+y 2）=0.26．（安徽理科22）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且左焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上．解（Ⅰ）由题意：2222222211c a bc a b⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩ ，解得224,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y +=． （Ⅱ）方法一设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y ． 由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记AP AQ PBQBλ==,则0λ>且1λ≠．又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=．于是 1241x x λλ-=-， 1211y y λλ-=-121x x x λλ+=+， 121y y y λλ+=+从而22212241x x x λλ-=-，（1）2221221y y y λλ-=-，（2）又点A 、B 在椭圆C 上，即221124,(3)x y += 222224,(4)x y +=（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y +=， 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上． 方法二设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB 均不为零，且PA PB AQQB=．又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是1141,11x yx y λλλλ--==-- （1） 2241,11x yx y λλλλ++==++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-=，0,220x y λ≠+-=∵∴，即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上．27．（安徽文科22）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞，其相应于焦点F (2，0)的准线方程为x =4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点F 1(－2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A ，B 两点.，求证：AB =（Ⅲ）过点F 1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A 、B 和D 、E ，求AB DE +的最小值．解：（Ⅰ）由已知得2224c c a a c=⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪⎩，又222a b c =+，所以24b =． 故所求椭圆C 的方程为22184x y +=． （Ⅱ）设直线AB 方程为tan (2)y x θ=+，代入椭圆C 的方程22184x y +=得2222(12tan )8tan 8(tan 1)0x x θθθ+++-=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则221212228tan 8tan 8,12tan 12tan x x x x θθθθ-+=-⋅=++．于是AB ==2222222tan )sin )12tan cos 2sin 2cos +θθ+θ===+θθ+θ-θ，得证．（Ⅲ）由（Ⅱ）22tan )12tan AB +θ=+θ，因为AB DE ⊥，所以221)tan 2DE θ+=θ+．因此22211tan )12tan tan 2AB DE ⎛⎫+=+θ+⎪+θθ+⎝⎭422tan 2tan 1==+θ+θ+222214tan 2tan ==++θ++θ当且仅当221tan tan θ=θ即tan 1θ=±时取“＝”． 所以AB DE +的最小值是3．。