八年级(上)期中数学试卷解析

八年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本题满分36分，每小题3分）1．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（）A．3，3，3 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，2，62．下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．600°4．下列图形中有稳定性的是（）A．正方形B．直角三角形C．长方形D．平行四边形5．如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A=60°，∠BDC=95°，则∠BED的度数是（）A．35°B．70°C．110°D．130°6．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A与∠D互为余角B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠27．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等8．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）9．下列图形中对称轴最多的是（）A．等腰三角形B．正方形C．圆形 D．线段10．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（）A．11cm B．7.5cm C．11cm或7.5cm D．以上都不对11．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．2812．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点二、填空题（本题满分24分，每小题4分）13．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=°．14．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=．15．已知，如图，∠ACD=130°，∠A=∠B，那么∠A的度数是°．16．已知A（﹣1，﹣2）和B（1，3），将点A向平移个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．17．如图，AC=AD，BC=BD，则△ABC≌△；应用的判定方法是（简写）．18．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带去配，这样做的数学依据是．三、解答题（本大题满分50分）19．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程，说明△ABD≌△ACD的理由．∵AD平分∠BAC∴∠=∠（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD．20．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．21．已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE．22．已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：△BEC≌△DAE．23．已知：如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2．24．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，求证：OA=OB．参考答案与试题解析一、选择题：（本题满分36分，每小题3分）1．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（）A．3，3，3 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，2，6【考点】三角形三边关系．【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．【解答】解：A中，3+3＞3，能构成三角形；B中，3+3=6，不能构成三角形；C中，3+2=5，不能构成三角形；D中，3+2＜6，不能构成三角形．故选A．【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＜最大的数就可以．2．下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：根据轴对称图形定义可知：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意．故选A．【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．600°【考点】多边形内角与外角．【专题】常规题型．【分析】直接利用多边形的内角和公式进行计算即可．【解答】解：（5﹣2）•180°=540°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．4．下列图形中有稳定性的是（）A．正方形B．直角三角形C．长方形D．平行四边形【考点】三角形的稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性可得答案．【解答】解：直角三角形有稳定性，故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要识记的内容．5．如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A=60°，∠BDC=95°，则∠BED的度数是（）A．35°B．70°C．110°D．130°【考点】平行线的性质．【分析】由三角形的外角性质得出∠ABD=35°，由角平分线的定义求出∠ABC=2∠ABD=70°，再由平行线的性质得出同旁内角互补∠BED+∠ABC=180°，即可得出结果．【解答】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠ABD=95°﹣60°=35°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABD=70°，∵DE∥BC，∴∠BED+∠ABC=180°，∴∠BED=180°﹣70°=110°．故选C．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，运用三角形的外角性质求出∠ABD的度数是解决问题的关键．6．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A与∠D互为余角B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】先根据角角边证明△ABC与△CED全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．【解答】解：∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），故B、C选项正确；∵∠2+∠D=90°，∴∠A+∠D=90°，故A选项正确；∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，故D选项错误．故选D．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．7．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等【考点】全等图形．【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．8．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），故选：C．【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．9．下列图形中对称轴最多的是（）A．等腰三角形B．正方形C．圆形 D．线段【考点】轴对称的性质．【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行选择．【解答】解：A、因为等腰三角形分别沿底边的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则等腰三角形是轴对称图形，底边的中线所在的直线就是对称轴，所以等腰三角形有1条对称轴；B、因为正方形沿对边的中线及其对角线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则正方形是轴对称图形，对边的中线及其对角线所在的直线就是其对称轴，所以正方形有4条对称轴；C、因为圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，所以说圆有无数条对称轴．D、线段是轴对称图形，有两条对称轴．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的性质，解答此题的主要依据是：轴对称图形的定义及其对称轴的条数．10．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（）A．11cm B．7.5cm C．11cm或7.5cm D．以上都不对【考点】等腰三角形的性质．【分析】分边11cm是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：①11cm是腰长时，腰长为11cm，②11cm是底边时，腰长=（26﹣11）=7.5cm，所以，腰长是11cm或7.5cm．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．11．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．28【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE=CE，∴AE+BE=CE+BE=10，∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10厘米+8厘米=18厘米，故选B．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．12．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点【考点】角平分线的性质．【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交点．【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交P．故选D．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．做题时注意题目要求要满足两个条件①到角两边距离相等，②点在CD上，要同时满足．二、填空题（本题满分24分，每小题4分）13．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=135°．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1=∠DBE，又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．故填135．【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．14．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=6．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，∴PB=PA=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．15．已知，如图，∠ACD=130°，∠A=∠B，那么∠A的度数是65°．【考点】三角形的外角性质．【分析】直接根据三角形内角与外角的性质解答即可．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠B，∵∠ACD=130°，∠A=∠B，∴∠A==65°．【点评】本题比较简单，考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．16．已知A（﹣1，﹣2）和B（1，3），将点A向上平移5个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】熟悉：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；把一个点左右平移，则横坐标是左减右加，把一个点上下平移，则纵坐标是上加下减．【解答】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点B关于y轴对称的点为（﹣1，3），又点A（﹣1，﹣2），所以将点A向上平移5个单位长度后得到的点（﹣1，3）．【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．平移时坐标变化规律：把一个点左右平移，则横坐标是左减右加，把一个点上下平移，则纵坐标是上加下减．17．如图，AC=AD，BC=BD，则△ABC≌△ABD；应用的判定方法是（简写）SSS．【考点】全等三角形的判定．【分析】此题不难，关键是找对对应点，即A对应A，B对应B，C对应D，即可．【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，AB=AB（公共边），∴△ABC≌△ABD（SSS）．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，本题要用SSS．18．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带③去配，这样做的数学依据是两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等．【考点】全等三角形的应用．【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故答案为：③；两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．三、解答题（本大题满分50分）19．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程，说明△ABD≌△ACD的理由．∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD SAS．【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据角平分线的定义及全等三角形的判定定理，填空即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义），在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定定理及角平分线的定义．20．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】首先根据AF=DC，可推得AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；再根据已知AB=DE，BC=EF，根据全等三角形全等的判定定理SSS即可证明△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AF=DC，∴AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）．【点评】本题考查了全等三角形全等的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．21．已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】要证明AF=DE，可以证明它们所在的三角形全等，即证明△ABF≌△DEC，已知两边（由BE=CF得出BF=CE，AB=DC）及夹角（∠B=∠C），由SAS可以证明．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE，∴AF=DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；证明两边相等时，如果这两边不在同一个三角形中，通常是证明它们所在的三角形全等来证明它们相等，是一种很重要的方法．22．已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：△BEC≌△DAE．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知得出Rt△CEB和Rt△AED，利用HL定理得出即可．【解答】证明：∵BE⊥CD，∴∠CEB=∠AED=90°，∴在Rt△CEB和Rt△AED中，∴Rt△CEB≌Rt△AED（HL）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．23．已知：如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2．【考点】作图-轴对称变换．【分析】根据关于坐标轴对称的点的坐标特点画出图形即可．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．24．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，求证：OA=OB．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】根据OC=OD得，△ODC是等腰三角形；根据AB∥DC，得出对应角相等，求得△AOB是等腰三角形，证明最后结果．【解答】证明：∵OC=OD，∴△ODC是等腰三角形，∴∠C=∠D，又∵AB∥DC，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A=∠B，∴△AOB是等腰三角形，∴OA=OB．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和平行线的性质：两直线平行，内错角相等．。

八年级上册期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列图形是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．一个三角形的两边长分别是3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A．3cm B．5cm C．8cm D．11cm3．如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组4．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD5．如图，在△ABC中，BC=12，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（）A．12 B．13 C．14 D．156．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．2 B．4 C．6 D．87．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处8．如图，已知AF=AB，∠FAB=60°，AE=AC，∠EAC=60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF=BE；②∠AMO=∠ANO；③OA平分∠FOE；④∠COB=120°，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题3分，共21分）9．如果一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的内角和是．10．点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是．11．如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD交于O，OB=OC，则图中全等三角形共有对．12．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A=50°，则∠BOC=．13．如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB交AB、AC于D、E两点，若AB=12cm，BC=8cm，则△BCE的周长为cm．14．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=8，则PQ的最小值为．15．已知A（0，1），B（3，1），C（4，3），如果在平面直角坐标系中存在一点D，使得△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标为．三、解答题（共75分）16．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B与点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，求证：BC=EF．17．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．（1）将△ABC向右平移6个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，图中画出△A1B1C1，平移后点A对应点A1的坐标是．（2）将△ABC沿y轴翻折得△A2B2C2，图中画出△A2B2C2，翻折后点A对应点A2坐标是．（3）若将△ABC向左平移2个单位，求：△ABC扫过的面积．18．如图，点D在BC上，∠1=∠2，AE=AC，下面三个条件：①AB=AD；②BC=DE；③∠E=∠C，请你从所给条件①②③中选一个条件，使△ABC≌△ADE，并证明两三角形全等．19．数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）20．如图，已知：∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）AD=AB+CD．21．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）求证：BE=CF；（2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长．22．课间，小明拿着老师的等腰直角三角板的三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知DE=42cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）23．如图①，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系；（不用证明）（2）如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图③，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC所夹的锐角的度数吗？如果能，请直接写出这个锐角的度数；如果不能，请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n）且|m﹣n﹣4|+=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，若△POB的面积不大于4且不等于0，求t的范围；（3）过P作直线AB的垂线，垂足为C，直线PC与y轴交于点D，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△DOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列图形是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此作答．【解答】解：从左起第1，3，4，5是轴对称图形，符合题意，故一共有4个图形是轴对称图形．故选：D．2．一个三角形的两边长分别是3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A．3cm B．5cm C．8cm D．11cm【考点】三角形三边关系．【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：5＜x＜11，因此只有选项C符合．【解答】解：设第三边长为xcm，则8﹣3＜x＜3+8，5＜x＜11，故选C．3．如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【考点】全等三角形的判定．【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有3组．故选：C．4．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD【考点】角平分线的性质．【分析】先根据角平分线的性质得出PC=PD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．【解答】解：∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，∴PC=PD，故A正确；在Rt△OCP与Rt△ODP中，，∴△OCP≌△ODP，∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．故选B．5．如图，在△ABC中，BC=12，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DA，EC=EA，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∴DB=DA，EC=EA，∴△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+EC=BC=12，故选：A．6．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】角平分线的性质；平行线的性质．【分析】作PE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到PA=PE，PE=PD，得到答案．【解答】解：作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BP平分∠ABC，PE⊥BC，AD⊥AB，∴PA=PE，同理，PE=PD，∴PE=AD=4，故选：B．7．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．故选D．8．如图，已知AF=AB，∠FAB=60°，AE=AC，∠EAC=60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF=BE；②∠AMO=∠ANO；③OA平分∠FOE；④∠COB=120°，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】全等三角形的判定与性质．=S△AFC，得到AP=AQ，利【分析】如图先证明△ABE≌△AFC，得到BE=CF，S△ABE用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF，再利用“8字型”证明∠CON=∠CAE=60°，由此可以解决问题．【解答】解：∵△ABF和△ACE是等边三角形，∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°，∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠FAC=∠BAE，在△ABE与△AFC中，，∴△ABE≌△AFC（SAS），∴BE=FC，故①正确，∠AEB=∠ACF，∵∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°，∠CON+∠CNO+∠ACF=180°，∠ANE=∠CNO∴∠CON=∠CAE=60°=∠MOB，∴∠BOC=180°﹣∠CON=120°，故④正确，连AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图，∵△ABE≌△AFC，=S△AFC，∴S△ABE∴•CF•AP=•BE•AQ，而CF=BE，∴AP=AQ，∴OA平分∠FOE，所以③正确，∵∠AMO=∠MOB+∠ABE=60°+∠ABE，∠ANO=∠CON+∠ACF=60°+∠ACF，显然∠ABE与∠ACF不一定相等，∴∠AMO与∠ANO不一定相等，故②错误，综上所述正确的有：①③④．故选C．二、填空题（每小题3分，共21分）9．如果一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的内角和是720°．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而代入公式就可以求出内角和．【解答】解：多边形边数为：360°÷60°=6，则这个多边形是六边形；∴内角和是：（6﹣2）•180°=720°．故答案为：720°．10．点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．【解答】解：点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．11．如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD交于O，OB=OC，则图中全等三角形共有4对．【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．【解答】解：在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE，同理△ABO≌△ACO，△ADO≌△AEO，△ADC≌△AEB，故答案为：4．12．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A=50°，则∠BOC= 115°．【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．【分析】求出∠ABC+∠ACB=130°，根据角平分线定义得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，求出∠OBC+∠OCB=×（∠ABC+∠ACB）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB），代入求出即可．【解答】解；∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=×（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=115°，故答案为：115°．13．如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB交AB、AC于D、E两点，若AB=12cm，BC=8cm，则△BCE的周长为20cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EA=EB，∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+AC=BC+AB=20cm，故答案为：20．14．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=8，则PQ的最小值为8．【考点】角平分线的性质；垂线段最短．【分析】过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PE=PA，即可求出答案．【解答】解：过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=8，∴PE=PA=8，即PQ的最小值是8，故答案为：8．15．已知A（0，1），B（3，1），C（4，3），如果在平面直角坐标系中存在一点D，使得△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）或（4，﹣1）．【考点】全等三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】根据三边对应相等的三角形全等可确定D的位置，再根据平面直角坐标系可得D的坐标．【解答】解：如图所示：点D的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）或（4，﹣1）．故答案为（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）或（4，﹣1）．三、解答题（共75分）16．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B与点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，求证：BC=EF．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】证出AC=DF，由SAS推出△ABC≌△DEF，由全等三角形的性质推出即可．【解答】证明：∵AF=DC，∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC=EF．17．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．（1）将△ABC向右平移6个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，图中画出△A1B1C1，平移后点A对应点A1的坐标是（4，0）．（2）将△ABC沿y轴翻折得△A2B2C2，图中画出△A2B2C2，翻折后点A对应点A2坐标是（2，3）．（3）若将△ABC向左平移2个单位，求：△ABC扫过的面积．【考点】作图-轴对称变换；翻折变换（折叠问题）；作图-平移变换．【分析】（1）根据网格结构找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标；（2）根据网格结构找出点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A2的坐标；（3）作出平移后的△ABC的位置，然后根据扫过的面积等于△ABC的面积加上一个平行四边形的面积，列式计算即可得解．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，平移后点A的对应点A1的坐标是：（4，0）；（2）△A2B2C2如图所示，翻折后点A对应点A2坐标是：（2，3）；（3）将△ABC向左平移2个单位，则△ABC扫过的面积为：S△A′B′C′+S平行四边形A′C′CA=×3×5+2×3=13.5．故答案为：（1）（4，0）；（2）（2，3）．18．如图，点D在BC上，∠1=∠2，AE=AC，下面三个条件：①AB=AD；②BC=DE；③∠E=∠C，请你从所给条件①②③中选一个条件，使△ABC≌△ADE，并证明两三角形全等．【考点】全等三角形的判定．【分析】根据∠1=∠2结合三角形内角和定理可得∠E=∠C，再有条件AE=AC，添加BC=DE可利用SAS定理判定△ABC≌△ADE．【解答】解：选②BC=DE，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠E=∠C，在△ADE和△ABC中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）．19．数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．【分析】先画角的平分线，再画出线段AB的垂直平分线，两线的交点就是P．【解答】解：20．如图，已知：∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）AD=AB+CD．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME=MC，再求出ME=MB，从而证明AM平分∠DAB；（2）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．【解答】（1）证明：过点M作ME⊥AD于E，∵∠B=∠C=90°，∴MB⊥AB，MC⊥CD，∵DM平分∠ADC，ME⊥AD，MC⊥CD，∴ME=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MB=ME，又∴MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB．（2）∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中，，∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．21．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）求证：BE=CF；（2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；（2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE=AF，进而就可以求出结论．【解答】解：（1）证明：接DB、DC，∵DG⊥BC且平分BC，∴DB=DC．∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°在Rt△DBE和Rt△DCF中，Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴BE=CF．（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AC+CF=AF，∴AE=AC+CF．∵AE=AB﹣BE，∴AC+CF=AB﹣BE，∵AB=8，AC=6，∴6+BE=8﹣BE，∴BE=1，∴AE=8﹣1=7．即AE=7，BE=1．22．课间，小明拿着老师的等腰直角三角板的三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知DE=42cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）【考点】全等三角形的应用；等腰直角三角形．【分析】（1）根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD=4a，BE=3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，AD=CE=4a，∴DC+CE=BE+AD=7a=42，∴a=6，答：砌墙砖块的厚度a为6cm．23．如图①，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系；（不用证明）（2）如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图③，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC所夹的锐角的度数吗？如果能，请直接写出这个锐角的度数；如果不能，请说明理由．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）可以证明△BDE≌△ACE推出BD=AC，BD⊥AC．（2）如图2中，不发生变化．只要证明△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠BDE=∠ACE，由∠DEC=90°，推出∠ACE+∠EOC=90°，因为∠EOC=∠DOF，所以∠BDE+∠DOF=90°，可得∠DFO=180°﹣90°=90°，即可证明．（3）①如图3中，结论：BD=AC，只要证明△BED≌△AEC即可．②能；由△BED≌△AEC可知，∠BDE=∠ACE，推出∠DFC=180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）=180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）=180°﹣（60°+60°）=60°即可解决问题．【解答】解：（1）结论：BD=AC，BD⊥AC．理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥CB∴∠AEC=∠BED=90°．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED，∴AC=BD，∠CAE=∠EBD，∵∠AEC=90°，∴∠C+∠CAE=90°，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠BFC=90°，∴AC⊥BD．（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．理由是：∵∠BEA=∠DEC=90°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC，∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，∵∠DEC=90°，∴∠ACE+∠EOC=90°，∵∠EOC=∠DOF，∴∠BDE+∠DOF=90°，∴∠DFO=180°﹣90°=90°，∴BD⊥AC；（3）①如图3中，结论：BD=AC，理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC，∴BD=AC．②能；设BD与AC交于点F，由△BED≌△AEC可知，∠BDE=∠ACE，∴∠DFC=180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）=180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）=180°﹣（60°+60°）=60°，即BD与AC所成的锐角的度数为60°．24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n）且|m﹣n﹣4|+=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，若△POB的面积不大于4且不等于0，求t的范围；（3）过P作直线AB的垂线，垂足为C，直线PC与y轴交于点D，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△DOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）利用非负性求出m，n即可确定出OA，OB，（2）分点P在OA和点P在AO的延长线上表示出面积即可得出t的范围；（3）分点P在OA和AO延长线延长线上即可得出结论．【解答】解：（1）∵|m﹣n﹣4|+=0，∴m﹣n﹣4=0，2n﹣8=0，解得：n=4，m=8，∴OA=8，OB=4；（2）分为两种情况：①当P在线段OA上时，AP=t，PO=8﹣t，=×（8﹣t）×4=﹣2t+16，∴S△BOP∵若△POB的面积不大于4且不等于0，∴0＜﹣2t+16≤4，解得：6≤t＜8；②当P在线段AO的延长线上时，AP=t，PO=t﹣8，=×（t﹣8）×4=2t﹣16，∴S△BOP∵若△POB的面积不大于4且不等于0，∴0＜2t﹣16≤4，解得：8＜t≤10；即t的范围是6≤t≤10且t≠8；（3）当OP=OB=4时，①当P在线段OA上时，t=4，②当P在线段AO的延长线上时，t=OA+OP=12；即存在这样的点P，使△DOP≌△AOB，t的值是4或12。

2023-2024学年度第一学期第一次质量检测八年级数学试卷试卷说明：本试卷共4页，满分120分，考试时间90分钟．答题前，学生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡．．．上；答案必须写在答题卡．．．各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡．．．交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）1. 下列图形一定是轴对称图形的是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义项判定即可．【详解】解：A 、锐角三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；B 、直角三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、钝角三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；D 、等腰三角形一定是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴，故此选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查轴对称图形．解此题的关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴．2. 某蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（ ）A. 60.1610−×B. 51.610−×C. 41.610−×D. 41610−× 【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a −×，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：50.000016 1.610-=⨯；故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a −×，其中1||10a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3. 下列几组数中是勾股数的一组是（ ）A. 3，4，6B. 1.5，2，2.5C. 9，12，15D. 6，8，13 【答案】C【解析】【分析】根据“勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方”逐个选项判断即可．【详解】解：A 、222346+≠，不是勾股数，故本选项不符合题意；B 、1.5和2.5不是正整数，所以不是勾股数，故本选项不符合题意；C 、22291215+=，是勾股数，故本选项符合题意；D 、2226813+≠，不是勾股数，故本选项不符合题意；故选C4. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ．若163∠=°，则2∠的度数是（）A. 37°B. 63°C. 117°D. 127° 【答案】B【解析】【分析】根据对顶角相等解答即可．【详解】解：1∠ 和2∠是对顶角，12∴∠=∠，163∠=° ，263∴∠=°，故选：B ．【点睛】本题考查的是对顶角，熟记对顶角相等是解题的关键．5. 以下事件属于必然事件的是（ ）A. 同一年出生的370人中至少有两人的生日相同B. 早上的太阳从西方升起C. 两边及一角分别相等的两个三角形全等D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数【答案】A【解析】【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．【详解】A ．同一年出生的370人中至少有两人的生日相同是必然事件，符合题意；B ．早上的太阳从西方升起是不可能事件，不符合题意；C ．两边及一角分别相等的两个三角形全等是随机事件，不符合题意；D ．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数是随机事件，不符合题意．故选A ．【点睛】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 6. 某商户在元旦假期进行促销活动时，将一件标价80元的衬衫，按照八折销售后仍可获利10元，设这件衬衫的成本为x 元，根据题意，可列方程（ ）A. ()800.810x x −×−=B. ()800.810x x −×=−C. 800.810x ×=−D. 800.810x ×−=【答案】D【解析】 【分析】根据题意找出题中存在的等量关系：售价﹣成本价＝利润，列方程即可．【详解】解：设这件衬衫的成本为x 元，根据题意，可列方程：800.810x ×−=，故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，此题应重点弄清两点：（1）利润、售价、成本价三者之间的关系；（2）打八折的含义．7. 满足下列条件的ABC ，不是直角三角形的是（ ）A. A B C ∠=∠−∠B. ::1:1:2A B C ∠∠∠=C. 222b a c =−D. ::1:1:2a b c =【答案】D【解析】【分析】运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或当两边的平方和等于第三条边的平方时，可得出它是直角三角形，对每个选项分别判定即可．【详解】解：A 、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A = ∠B-∠C ，∴∠B=90°，∴△ABC 是直角三角形； B 、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，∴∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，∴△ABC 是直角三角形；C 、∵a 2-c 2=b 2，∴a 2=b 2+c 2，∴△ABC 是直角三角形．D 、a ：b ：c=1：1：2，设a=x ，那么b=x ，c=2x ，a 2+b 2=2x 2，c 2=4x 2，∴a 2+b 2≠c 2，∴△ABC 不是直角三角形；故选：D ．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，勾股定理逆定理的实际运用，灵活的应用此定理是解决问题的关键．8. 在下列图形中，正确画出△ABC 的边BC 上的高的是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】从三角形一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义逐项作出判断即可．【详解】A 、画出的是△ABC 的边AB 上的高，故不合题意；B 、画出的不是△ABC 任一边上的高，故不合题意；C 、画出的△ABC 的边BC 上的高，故符合题意；D 、画出的是△ABC 的边AC 上的高，故不合题意；故选：C的【点睛】本题考查了画三角形的边上的高，理解三角形的高的含义是正确画出高的前提．9. 如图，点E 、F 在直线AC 上，AE CF =，AD BC =．要使ADF CBE △≌△，还需要添加一个条件，给出下列条件：①A C ∠=∠；②BE DF =；③BE DF ∥；④AD BC ∥，其中符合要求的是（ ）A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④【答案】D【解析】 【分析】在ADF △与CBE △中，AE CF =，AD CB =，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．【详解】解：①添加A C ∠=∠，由全等三角形的判定定理SAS 可以判定ADF CBE △≌△，故本选项符合题意．②添加BE DF =，由全等三角形的判定定理SSS 可以判定ADF CBE △≌△，故本选项符合题意． ③添加BE DF ∥，可得到=B E C A FD ∠∠，不能判定ADF CBE △≌△，故本选项不合题意． ④添加AD BC ∥，可得到A C ∠=∠，由全等三角形的判定定理SAS 可以判定ADF CBE △≌△，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10. 如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）A. 254cmB. 152cmC. 7cmD. 132cm【答案】A【解析】【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD 中，利用勾股定理即可求得x 的值.【详解】∵四边形ABCD 是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm在Rt△AFD 中，AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm， 222(8)6x x =−+254x cm = 故选择A.【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.二、填空题（本大题53分，共15分）11. 汽车开始行驶时，邮箱中有油60升，如果每公里耗油0.12升，则油箱内剩余油量y （升）与行驶路程x （公里）的关系式为 _______________．【答案】600.12y x =− 【解析】【分析】读懂题意，剩油量=原有油量-工作时间内耗油量，把相关数值代入即可．列出关于变量x y 、的关系式．【详解】解：由题意得：600.12y x =−． 故答案为：600.12y x =−． 【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是读懂题意，掌握两个变量之间的关系．12. 某农科所在相同条件下进行某作物种子发芽试验，结果（部分数据）如表所示： 种子个数n 100 200 400 600 800 1000则任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为______（精确到0.01）；【答案】0.90【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复试验下种子能发芽的频率的稳定值即为种子能发芽的概率，据此求解即可．【详解】解：观察表格发现随着试验次数的增多种子发芽的频率逐渐稳定在0.90附近，∴任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为0.90．故答案为：0.90．13. 若长方形的面积是32693a a ab +−，其中一边长是3a ，则它的邻边长是______．【答案】223a a b +−【解析】【分析】根据长方形面积公式即可列出式子，计算即可解答．本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则．【详解】解：邻边长为：322(693)323a a ab a a a b +−÷+−，故答案为：223a a b +−．14. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点1C 处（三条棱长如图所示），问最短路线长为_________．【答案】5【解析】【分析】长方体展开是长方形，根据题意可知，蚂蚁爬的路径有三种可能，根据两点之间线段最短，可求出解．【详解】如图1，当展开的长方形的长是AC=4+2=6，宽是11CC =，路径长为1AC =如图2，当展开的长方形的长是AB=4，宽是1213BC =+=，路径长为15AC =；如图3，当展开的长方形的长是1415C D =+=，宽是AD=2，路径长为1AC ==故沿长方体的表面爬到对面顶点1C 处，只有图2最短，其最短路线长为：5．故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，平面展开最短路径问题，展成平面，确定起点和终点的位置，根据两点之间线段最短从而可求出解．15. 如图，ABC 中，点D 、E 分别是AB BC 、的中点，连接AE CD 、交于点F ，当AFD △的面积为72时，ABC 的面积为 _______．【答案】21【解析】【分析】根据D 、E 分别是AB BC 、的中点，得到12ABE ACE ABC ADC BDC S S S S S ====，△△△△△72AFD BFD CEF BEF S S S S ===，，△△△△进行等面积转换即可求解； 【详解】解：连接BF ，∵D 、E 分别是AB BC 、的中点， ∴1722ABE ACE ABC ADC BDC AFD BFD CEF BEF S S S S S S S S S =======，，，△△△△△△△△△ ∴72CEF AFD BFD BEF S S S S ====，△△△△， ∴2132ABE AFD S S ==△△ ∴21ABC S = ，故答案为：21．【点睛】本题主要考查根据三角形的中线求面积，掌握三角形中线的性质，应用等底等高等面积转换即可解题．三、解答题一（本大题共3小题，每题8分）16. 计算：102991001(2022)(1)10103− −−+−+÷ ． 【答案】910−【解析】 【分析】本题是幂的混合运算，根据()10110,13133a a − =≠== ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，结合乘方法则计算即可． 详解】102991001(2022)(1)10103− −−+−+÷ 9910013110−=−++1110−=−+【1110=−+ 910=−． 17 先化简，再求值：()()()222x y x y x y x +++−−，其中=1x −，2y =．【答案】244x xy +，4−【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：()()()222x y x y x y x +++−− 2222244x y xy x y x +++−−244x xy +当1x =−，2y =时，原式()()2414124=×−+×−×=−．【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值得方法． 18. 填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）已知：如图，12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠．证明：∵12∠=∠（已知）， 13∠=∠（_______）， ∴23∠∠= （等量代换），∴BD CE ∥（_______）， ∴______D ∠=∠（_______）， 又∵C D ∠=∠（已知）， ∴____C ∠=∠（等量代换）， ∴_______∥_______（_______）， ∴A F ∠=∠（_______）． .【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；DF ；AC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【解析】【分析】因为13∠=∠，12∠=∠，所以23∠∠=，由同位角相等证明BD CE ∥，则有4D ∠=∠，又因为C D ∠=∠，所以4C ∠=∠，由内错角相等证明DF AC ∥，故可证明A F ∠=∠．【详解】证明：∵12∠=∠（已知）， 13∠=∠（对顶角相等）， ∴23∠∠= （等量代换），∴BD CE ∥（同位角相等，两直线平行）， ∴4D ∠=∠（两直线平行，同位角相等）， 又∵C D ∠=∠（已知）， ∴4C ∠=∠（等量代换）， ∴DF AC ∥， ∴A F ∠=∠（两直线平行，内错角相等）． 【点睛】此题考查平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．四、解答题二（本大题共3小题，每题9分）19. 已知ABC DCB ∠=∠，A D ∠=∠，那么ABC 与DCB △全等吗？请说明理由．【答案】全等，理由见解析【解析】【分析】利用AAS 证明ABC DCB △≌△即可．【详解】解：全等，理由是：在ABC 和DCB △中，A D ABC DCB BC CB ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()AAS ABC DCB ≌．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．20. 某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s （米）与小明出发的时间t （秒）之间的关系如图所示（不完整），根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（2）求小明和朱老师的速度；（3）小明与朱老师相遇 次，相遇时距起点的距离分别为 米．【答案】（1）t ，s （2）朱老师的速度为2米/秒，小明的速度为6米/秒（3）2，300和420【解析】【分析】（1）观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量；（2）根据速度=路程÷时间，即可分别算出朱老师以及小明的速度；（3）根据函数图象即可得到结论．【小问1详解】观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间t ，因变量为距起点的距离s ．故答案为：t ，s ；【小问2详解】朱老师的速度为：(300200)502−÷=（米/秒）； 小明的速度为：300506÷=（米/秒）． 答：朱老师的速度为2米/秒，小明的速度为6米/秒；【小问3详解】由图象得：小明与朱老师相遇2次，相遇时距起点的距离分别为300和420米，故答案为：2，300和420．【点睛】本题考查了函数的图象，观察函数图象找出点的坐标是解题的关键．21. 将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．（1）观察图1，写出代数式()2a b +，()2a b −，ab 之间的等量关系：__________； （2）若6x y +=，4xy =，则22x y +=________；()2x y −=______； （3）如图2，边长为5的正方形ABCD 中放置两个长和宽分别为m ，n （5m <，5n <）的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积123S S S ++的值．【答案】（1）()()224a b a b ab +−−=（2）28，20 （3）10【解析】【分析】（1）根据图1中左边一幅图空白部分面积可以表示为4个小长方形面积，也可以表示为大正方形面积减去中间阴影部分正方形面积进行求解即可；（2）先根据完全平方公式求出22236x xy y ++=，再代入4xy =，即可求出22xy +的值，再根据（1）的结论求出()2x y −的值即可；（3）由题意得，()5555ED m HG n m m n BQ n =−=−−=+−=−，，，根据长方形面积和周长得到68.5m n mn +==，，进而得到2219m n +=，再根据正方形面积公式求出()221231051S S S m n m n ++=+-++，代值计算即可得到答案．【小问1详解】解：图1中左边一幅图空白部分面积可以表示为4个小长方形面积，即4ab ；图1中右边一幅图空白部分面积可以表示大正方形面积减去中间阴影部分正方形面积，即()()22a b a b +−−； ∴()()224a b a b ab +−−=，故答案为：()()224a b a b ab +−−=；【小问2详解】 解：∵6x y +=， ∴()22636x y +==，∴22236x xy y ++=又∵4xy =，∴22836x y ++=，∴2228x y +=，∵()()224x y x y xy +−−=，∴()()224364420x y x y xy −+−−×，故答案为：28，20；【小问3详解】解：如图所示，由题意得，()5555ED m HG n m m n BQ n =−=−−=+−=−，，，∵长方形的周长为12，面积为8.5， ∴1268.52m n mn +，， ∴()2222361719m n m n mn +=+-=-=∴()()()222123555S S S mm n n ++=-++-+- ()()()2225655m n =-+-+-22102511025m m n n =-+++-+()221051m n m n =+-++1910651=-⨯+10=．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值及其在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．五、解答题三（本大题共2小题，每题12分）22. （1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．（2）应用：如图（2），已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，半圆面积分别记为1S ，2S ，则12=S S +______.（请直接写出结果）． （3）拓展：如图（3），MN 表示一条铁路，A ，B 是两个城市，它们到铁路所在直线MN 的垂直距离分别为40AC =千米，60BD =千米，且80CD =千米．现要在CD 之间建一个中转站O ，求O 应建在离C 点多少千米处，才能使它到A ，B 两个城市的距离相等．【答案】（1）见解析；（2）92π；（3）O 应建在离C 点52.5千米处． 【解析】【分析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可；（2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S 1+S 2等于以斜边为直径的半圆面积；（3）设CO=xkm ，则OD=（80-x ）km ，在Rt △AOC 和Rt △BOD 中，利用勾股定理分别表示出AO 和BO 的长，根据AO=BO 列出方程，求解即可．【详解】（1）由面积相等可得2111()()2222a b a b ab c ++=×+， ∴2()()2a b a b ab c ++=+，的∴22222a ab b ab c ++=+，∴222+=a b c ．（2）2118S AC π= ，2218S BC π=， ∴()22212 119882S S AC BC AB πππ+=+==． 故答案为：92π （3）设CO x =千米，则()80-OD x =千米．∵O 到A ，B 两个城市距离相等，∴AO BO =，即22AO BO =，由勾股定理，得22224060(80)x x +=+−，解得52.5x =．即O 应建在离C 点52.5千米处．【点睛】本题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解是解题的关键．23. 在ABC 中，90BAC ∠=°，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．【特例体验】（1）如图1，若直线l BC ∥，1BD =，则线段DE 的长为______．【探究应用】（2）如图2，若直线l 从图1状态开始绕点A 顺时针旋转()045αα°<<°时，线段BD 、CE 和DE 的数量关系是________；（3）如图3，若直线l 从图1状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα°<<°时与线段BC 相交，探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由（4）若BD a =，CE b =（a ，b 均为正数），请你直接写出以点B 、D 、C 、E 为顶点的四边形的面积．的【答案】（1）1；（2）DE BD CE =+；（3）DE BD CE =−，理由见解析；（4）221122a b − 【解析】 【分析】（1）先证ABD △和ACE △是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出BD ，DE 和CE 的长即可；（2）先证ABD CAE ∠=∠，由AAS 即可得出ABD CAE △△≌，进而解答即可；（3）先证ABD CAE ∠=∠，由AAS 即可得出ABD CAE △△≌，进而解答即可；（4）根据（2）和（3）中的图形列式求解即可．【详解】（1）在ABC 中，90BAC ∠=°，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=°，l BC ∥ ，45DAB ABC ∴∠=∠=°，45CAE ACB ∠=∠=°，45DAB ABD ∴∠=∠=°，45EAC ACE ∠=∠=°，1AD BD ∴==，AE CE =，AB AC ==1AD BD AE CE ∴====，2DE ∴=； （2）DE BD CE =+在Rt ADB 中，90ABD BAD ∠+∠=°，90BAC ∠=° ，90BAD CAE ∴∠+∠=°，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，90ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠ ∠=∠=° =， (AAS)ABD CAE ∴△≌△；CE AD ∴=，BD AE =，DE AE AD BD CE ∴=+=+．（3）DE BD CE =−．理由如下：在Rt ADB 中，90ABD BAD ∠+∠=°，90BAC ∠=° ，90BAD CAE ∴∠+∠=°，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，90ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠ ∠=∠=° =， (AAS)ABD CAE ∴△≌△；CE AD ∴=，BD AE =，DE AE AD BD CE ∴=−=−．（4）由（2）可得，四边形BDEC 的面积()()21122CE BD DE a b =×+×=+；由（3）可得，四边形BDCE 的面积()()()22111111222222BD DE CE DE DE BD CE a b a b a b =××+××=+=×−+=−． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积；证明三角形全等是解题的关键．。

金普新区2024-2025学年度第一学期期中质量检测试卷八年级数学2024.11（本试卷共23道题 满分120分考试时间共120分钟）注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效。

第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．1，3，2B ．2，5，8C ．3，4，5D ．5，5，102．下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在平面直角坐标系中，与点关于y 轴对称的点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．4．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会取得优异成绩，下列图标中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5．下列各图形中，分别是四位同学所画的中BC 边上的高AE ，其中正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．榫卯结构是我国古代建筑，家具及其他木制器械的主要结构方式．如图，将两块全等的木楔（）水平钉入长为16 cm 的长方形木条中（点B ，C ，F ，E 在同一条直线上）．若，则木楔BC 的长为（ ）（第6题）248a a a⋅=()428bb =2246a a a⋅=235a b ab +=()1,7A -A '()1,7()1,7-()1,7--()1,7-ABC △ABC DEF △△≌4cm CF =A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．12 cm7．如图，AD ，CE 都是的中线，连接ED ，的面积足，则的面积是（）（第7题）A ．B ．C ．D ．8．如图，三座商场分别坐落在A ，B ，C 所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（）（第8题）A ．三条高所在直线的交点B ．三条中线的交点C ．三个内角的角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点9．如图，直线l 是一条河，P ，Q 是两个村庄，欲在l 上的某处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在中，，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则的周长为（）（第10题）A ．6B ．7C ．8D ．9第二部分 非选择题（共90分）ABC △ABC △220cm CDE △22.5cm25cm27.5cm210cmABC △ABC △ABC △ABC △ABC △10AB =7BC =6AC =AED △二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．如图是环己烷的结构简式（正六边形），其内角和为______°．（第11题）12．若，，则______．13．已知等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角的度数是______°．14．如图，中，，若沿图中虚线截去∠F ，则______°．（第14题）15．如图，四边形ABCD 中，，，，，以点B 为圆心，适当长为半径作弧，分别与AB ，BC 相交于点点E ，F ，再分别以点E ，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点G ，作射线BG ，与AD 相交于点H ，则HD 的长为______（用含a 的代数式表示）．（第15题）三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）．计算：（1）；（2）．17．（8分）如图，点M ，N 在线段BD 上，，，．求证：．2ma =4na =m na+=DEF △35F ∠=︒12∠+∠=AD BC ∥AD AB >AD a =8AB =12EF ABC ∠()232462a a a a +⋅-()()()3243x y x y x x y x ++-+÷BM DN =AN CM =AN CM ∥ABN CDM △△≌（第17题）18．（8分）如图，已知中，，，．（1）画出与关于x 轴对称的图形，并写出各顶点坐标；（2）的面积为______．（第18题）19．（8分）如图，在中，AD 平分∠BAC ，于D ，于C ，且，．（1）求证：；（2）求证：．（第19题）20．（8分）如图，在中，CD 平分，E 为线段CD 上一点，过E 作交BA 的延长线于点F ，若，，求的度数．ABC △()1,3A ()3,1B ()5.4C ABC △111A B C △111A B C △ABC △ABC △AD BC ⊥EC BC ⊥AB BE =CD CE =AB AC =Rt Rt ABD BEC △△≌ABC △ACB ∠EF CD ⊥115BAC ∠=︒35B ∠=︒F ∠（第20题）21．（8分）如图，已知中，，于D ，的平分线分别交AD ，AB 于P 、Q ．（1）试说明是等腰三角形；（2）若点Q 恰好在线段BC 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段BC 之间的数量关系．（第21题）22．（12分）阅读下列材料，解决相应问题：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“倒同数对”．例如：，所以23和96与32和69都是“倒同数对”．（1）请判断43和68是否是“倒同数对”，并说明理由；（2）为探究“倒同数对”的本质，可设“倒同数对”中一个数的十位数字为m ，个位数字为n ，且；另一个数的十位数字为p ，个位数字为q ，且，请探究m ，n ，p ，q 的数量关系，并说明理由；（3）若有一个两位数，十位数字为x ，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“倒同数对”，则x 的值为______．23．（13分）【问题初探】（1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，若，，CD 平分，求证：．（第20题图1）①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC 上截取，连接DE ，将线段BC ，AC ，AD 之间的数量关系转化为BE 与AD的数量关系；Rt ABC △90BAC ∠=︒AD BC ⊥ACB ∠APQ △239632692208⨯=⨯=m n ≠p q ≠1x +3x +1x +60A ∠=︒90ACB ∠=︒ACB ∠BC AC AD =+CE CA =（第20题图2）②如图3，小强同学从CD 平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长CA 至点E ，使，连接DE ，将线段BC ，AC ，AD 之间的数量关系转化为AE 与AD 的数最关系；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程：（第20题图3）【类比分析】（2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，若AE 平分，，请你探究AB 、AD 、CD 的数量关系并证明；（第20题图4）【学以致用】（3）如图5，在中，，和的平分线交于点P ，M ，N 为AB ，AC 上的点，且P 为MN 中点，若，，，求BC 的值．（第20题图5）ACB ∠CE CB =BAD ∠90AED ∠=︒ABC △60A ∠=︒ABC ∠ABC ∠5BM =45CN =4MN =金普新区2024-2025学年度第一学期期中质量检测八年级数学参考答案及评分标准（说明：试题解法不唯一，其他方法备课组统一意见，酌情给分。