西北工业大学高数期末试题10-11二学期B卷及答案
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高等数学2009--2010第二学期期终考试试题答案及评分标准A卷
一、1、-8，2、
，3、，4、8π，5、
，
6、。
二、1, 2、，3、，4、，5、3，
6、[]2
1
2
1+
-，，缺闭区间扣一分。
三、1、解：设切点…………………2分
由已知条件得：，得到
.………..4分切平面方程为
即……………..6分2、解：……………..3分
……………..6分
3、解：………………4分
………………6分
四、1、解：g f f
y x
x u v
∂∂∂
=+
∂∂∂
，
g f f
x y
y u v
∂∂∂
=-
∂∂∂
，…………….2分
v
f
v
f
x
v
u
f
xy
u
f
y
x∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
g
,
v
f
v
f
y
v
u
f
xy
u
f
x
y∂
∂
-
∂
∂
+
∂
∂
∂
-
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
g
, ………………..5分
22
22
22
g g
x y
x y
∂∂
+=+
∂∂
………………6分
2．解：设
dy
dp
p
y
p=''
=',
y，………………………2分
得到舍去）
(,0
y=
=
+p
p
dy
dp
，解得
y
c
p1
=，
1
00
(,)
dy f x y dx
⎰8
3
π
1
2
eπ
+
14
15
-
{}
00000
(,,),,2,1
P x y z n x y
=-
22
4
000
sin
d d dr
π
π
θϕϕ
⎰⎰14
3
π
00
21
221
x y-
==
-
2230
x y z
+--=
2
2
0000
2,1, 3.
2
x
x y z y
===+=
2(2)2(1)(3)0
x y z
-+---=
2
3
1
13
1
()1
2
y y
y
y
dy e dx
y y e dy e
∂
=-=-
⎰⎰
⎰
823
200
82
2
2336
dz d dr
z dz
π
θ
ππ
==
⎰⎰
⎰
2
y1
=-
由初始条件y
y 21
,
2
1
c 1=
'=， ………………………4分 22c x y +=, 由初12=c ,
其特解为1,12+=+=x y x y 或。
……………………..6分 3.、解：由
x
Q
y p ∂∂=
∂∂，得x e x f x f x f =-'-'')()()（，………………2分 x x x e y e c e c Y 21,221-=+=*-,
由初始条件61,
3
2
21-==c c , x x x e e e x f 2
1
6132)(2--=- ……….4分
(1,1)
(0,0)
()2()()x f x f x e ydx f x dy ''⎡⎤+++⎣⎦⎰ =⎰
-+=-+--1
012122
1
6134216134e e e dy e e e ）. ……………….6分
五、解：
1151
lim lim (1)55n n n n n n
a n a n ++→∞→∞⋅==
+⋅, ∴收敛半径为5R =…………………..2分 当5x =-时, 15
n n
∞
=∑发散; 当5x =时,
11
(1)5
n n n -∞
=-⋅∑收敛 ∴收敛区间为(5,5]-…………………………………………………4分 设和函数
11111
1
11
0011
0(1)()(1)55 [(1)][(1)()]5551 ln(1), (5,5]
55
15
n n n n n
n n n n x
x n n n n n n x x S x x x n n t x t x dt dt n x x dt x x t -∞
∞
+-==∞
∞---==-==-⋅⋅'=-=-⋅==+∈-+∑∑∑∑⎰⎰⎰………..…7分 …………………….8分
六、解：设旋转曲面S 的方程为 12222=++z y x ，--------------------1分
给定的方向 )0,2
1,2
1(0-=l
方向导数函数
)(2c o s c o s c o s y x z
f y f x f l f -=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα --------2分 设)12()(2222-+++-=z y x y x L λ， ---------------3分
令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==∂∂=+-=∂∂=+=∂∂1
2020220422
22
z y x z z L
y y L x x L
λλλ ------------------4分
解之得 ⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧==-
=02242
z y x λλ 23±=λ ------------------6分
2
3=
λ，得S 上的点为)0,36
,66(-，此时3-=∂∂l f 23-
=λ，得S 上的点为)0,36,66(-，此时3=∂∂l
f
所以，所求的S 上的点为)0,3
6
,66(
- ------------------7分 七、解：
……………………3分
000()()(x)lim
()(1)()lim lim x x x x x f x x f x f x f x e f x e x x
∆→∆∆→∆→+∆-'=∆-∆=+∆∆(x)()(0),(),(0)0,0..x
x x f f x f e y ax c e f c y axe ''=+=+=∴== 111
100
(x)(1)(1)(1)!!x x x x n n n n f axe aexe ae x e aee x x ae ae n n ---+∞∞
=====-+--=+∑∑
………………………6分
………………………7分
(2009)(1)2010ae f =n=100(1)(1)=ae (1)!!(1)(1),.!n n
n n
n x x ae n n n x ae x R n ∞∞=∞=--+-+-=∈∑∑∑。
