弹性力学论文

弹塑性力学中有关泊松比的讨论

赵衍

摘要本文在塑性变形体积不可压缩的条件下导出了以塑性应变εp定义的塑性泊松比εp和以弹塑性总应变εep定义的弹塑性泊松比μ

ep

的计算式, 指出在小变形

范围内可以看作μ

p = 0. 5, 而μ

ep

则总是小于0. 5; 当变形较大时, 无论是μ

p

还

是μ

ep

均远小于0. 5。

关键词：材料弹塑性泊松比大应变

1 引言

泊松比是材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值，是材料的一个弹性常数。当材料进入弹塑性变形阶段后, 泊松比不再是常量而成为应变的函数。一般认为随着塑性变形的增加, 泊松比渐趋于0. 5。塑性变形的泊松比到底是多大? 若是0. 5, 其条件又是什么? 本文对上述问题进行了探讨, 在塑性变形体积不可压缩条件下的结论是: 小变形时, 以塑性应变定义的塑性泊松比μp= 0. 5, 以弹塑性总应变定义的弹塑性泊松比μep 则总是小于0. 5; 大变形时, 无论是μp还是μep均远小于0. 5。这个结论澄清了长期存在的一些模糊认识。在材料科学和加工手段飞速发展的今天, 高塑性和超塑性等大变形工程问题大量出现，迫切的需要对这些问题进行深入的研究。

2塑性泊松比μp

以μp表示材料的弹性泊松比, 它是常数。简单应力状态下进入弹塑性变形阶段后的总应

变包括弹性应变和塑性应变

这时三个方向的应变可表示为

设研究对象初始体积为V0,则变形后体积为

由塑性变形体积不可压缩,即仅有弹性应变εe影响体积的改变,故又有

由以上二式可解得

若略去弹性应变εe,可得简化式

根据(1)式和(2)式进行计算的结果表明,材料的弹性性质即μe和εe对μp的影响微乎

其微,可以忽略不计。如当εe<0.005时, (2)式相对(1)式的误差小于0.7%;当εe=0.01 时,误差不超过1.3%,故用简化式(2)代替式(1)是可行的。

表1给出了一些计算结果。从表中看到在小变形(ε<0.01)条件下可以认为μp=0.5,但

变形较大时这一结论不再成立。

表1 (μe=0.3)

在大变形问题中,一般将应变定义为自然应变e,塑性自然应变为ep,即

则可导出用塑性自然应变表示的塑性泊松比为

表2给出了大变形时μp的一些计算结果。可以看到,随着应变的增长,μp下降到远离0.5,且自然应变表示的μp下降得更快。

图1为大变形时μp-εp关系曲线。

3 弹塑性泊松比μep

令弹塑性总应变εep=εe+εp,其对应的弹塑性泊松比为μep,材料的弹性模量为E,应力σ是总应变εep的

函数σ=σ(εep)。弹性泊松比仍为μe,弹性应变εe=σE。

此时三个方向的应变为ε1=εep ε2=ε3=-μepεep

设研究对象初始体积为V0,则由弹性变形,体积改变为(塑性变形体积不变)

由总应变εep表示的体积为

由上两式可解得

考虑到一般σ

计算结果表明,当变形较大时,简化式(5)与式(4)相比误差很小,特别是大变形情况下误

差极小,故可取式(5)作为大变形弹塑性泊松比μep的一般计算式。

式(4)对εep求导并令其为零可得方程

式(6)的解即为μep的极值点,这一极值小于

0.5。对钢材,μep的极值约为0.47～0.49。

若以自然应变表示,μep为

图2为μep-εep关系曲线。图中虚线为(5)式,两条实线为两种理想弹塑性材料根据(4)式画出,其一为μe=0.28,ε0=0.0012;另一为μe=0.30,ε0=0.0017。ε0为材料的屈服应变。从图中可以看到,进入弹塑性变形阶段后,随着εep的增大,μep急剧增加,在εep为0.02左右时,μep达极值后又逐渐减小。在εep<0.1的范围内尚

可以认为μep接近0.5。

图中虚线为实线的渐近线,这表明大变形时εe与μe对μep的影响可忽略不计,即可以认为μep与材料无关。(2)式与(5)式形式一致,表明大变形时无需再区分塑性泊松比与弹塑性泊松

比。其原因在于大变形情况下总变形中弹性变形的成分很少,绝大部分均为塑性变形。

4 结论

1)塑性泊松比μp是εp的单调减函数,可以认为它与材料的弹性性质无关,且在小变形范

围内为0.5;随着变形的增大,μp逐渐减小。

2) 由于大变形时泊松比μp和μep远非0.5,故工程中的大变形问题,特别是大变形的位移分析与应变分析可采用本文提供的算式来计算其实时泊松比。

3)若采用实验手段进行测试,由于不易从总应变εep中分离弹性应变εe和塑性应变εp,故一般测得的是弹塑性泊松比μep,它永远也不会达到0.5。只有分离出塑性应变εp后,才能测得极接近0.5的塑性泊松比μp。

4) 弹塑性泊松比μep为εep的先单调增后单调减的函数,式(6)的解为其极值点,这一值总是小于0.5;随着变形的增加,μep趋于与μp一致。