2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学3卷 （试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题, 每小题5分, 共60分） 1．设复数z 满足(1i)2i z +=, 则z =（） A ．12B 2C 2D ．2【答案】C【解析】由题, ()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-, 则22112z =+ 故选C.2．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=, {}(,)B x y y x ==, 则A B I 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合, B 表示直线y x =上所有点的集合,故A B I 表示两直线与圆的交点, 由图可知交点的个数为2, 即A B I 元素的个数为2, 故选B.3．某城市为了解游客人数的变化规律, 提高旅游服务质量, 收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据, 绘制了下面的折线图．2014年 2015年 2016年根据该折线图, 下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7, 8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月, 波动性更小, 变化比较平稳 【答案】A【解析】由题图可知, 2014年8月到9月的月接待游客量在减少, 则A 选项错误, 故选A.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80 【答案】C【解析】由二项式定理可得, 原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=, 则33x y 的系数为40, 故选C.5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >, 0b >）的一条渐近线方程为5y , 且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y x =, 则5b a =又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点, 易知3c =, 则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==, 则双曲线C 的方程为22145x y -=, 故选B.6．设函数π()cos()3f x x =+, 则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到,如图可知, ()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增, D 选项错误, 故选D.π23π53-π36πg x y O 7．执行右图的程序框图, 为使输出S 的值小于91, 则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S M初始状态0 100 1 第1次循环结束100 10- 2 第2次循环结束90 1 3 此时9091S =<首次满足条件, 程序需在3t =时跳出循环, 即2N =为满足条件的最小值, 故选D.8．已知圆柱的高为1, 它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π２D ．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心, 圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 则圆柱体体积23ππ4V r h ==, 故选B.9．等差数列{}n a 的首项为1, 公差不为0．若2a , 3a , 6a 成等比数列, 则{}n a 前6项的和为（） A ．24- B ．3- C ．3 D ．8 【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列, 且236,,a a a 成等比数列, 设公差为. 则2326a a a =⋅, 即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =, 代入上式可得220d d += 又∵0d ≠, 则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-, 故选A.10．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A , 2A , 且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切, 则C 的离心率为（） ABCD ．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切, ∴圆心到直线距离等于半径,∴d a == 又∵0,0a b >>, 则上式可化简为223a b =∵222b ac =-, 可得()2223a a c =-, 即2223c a =∴c e a ==故选A11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点, 则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由条件, 211()2(e e )x x f x x x a --+=-++, 得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=, 即1x =为()f x 的对称轴, 由题意, ()f x 有唯一零点, ∴()f x 的零点只能为1x =, 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=,解得12a =．12．在矩形ABCD 中, 1AB =, 2AD =, 动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r, 则λμ+的最大值为（） A ．3 B． CD ．2【答案】A【解析】由题意, 画出右图．设BD 与C e 切于点E , 连接CE ． 以A 为原点, AD 为轴正半轴, AB 为轴正半轴建立直角坐标系, 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =, ||2BC =．∴BD = ∵BD 切C e 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C e． ∵P 在C e 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=． 设P 点坐标00(,)x y , 可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 而00(,)AP x y =u u u r , (0,1)AB =u u u r , (2,0)AD =u u u r． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=u u u r u u u r u u u r∴0112x μθ==+,01y λθ==． 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+=+=++≤(其中sin ϕ=, cos ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-, k ∈Z 时, λμ+取得最大值3．()A O Dxy B P gCE二、填空题：（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．若x , y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．【答案】1-【解析】由题, 画出可行域如图：目标函数为34z x y =-, 则直线344zy x =-纵截距越大, 值越小． 由图可知：在()1,1A 处取最小值, 故min 31411z =⨯-⨯=-．14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-, 133a a -=-, 则4a =________． 【答案】8-【解析】{}n a Q 为等比数列, 设公比为．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩, 即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②, 显然1q ≠, 10a ≠, ②①得13q -=, 即2q =-, 代入①式可得11a =, ()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________． 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩Q x x x f x x ≤, ()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭, 即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭ 由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：1)2-)由图可知, 满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．, 为空间中两条互相垂直的直线, 等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与, 都垂直, 斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转, 有下列结论： ①当直线AB 与成60︒角时, AB 与成30︒角； ②当直线AB 与成60︒角时, AB 与成60︒角； ③直线AB 与所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】由题意知, a b AC 、、三条直线两两相互垂直, 画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1, 故||1AC =, 2AB =,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转, 则A 点保持不变, B 点的运动轨迹是以C 为圆心, 1为半径的圆．以C 为坐标原点, 以CD u u u r 为轴正方向, CB u u u r为轴正方向, CA u u u r为轴正方向建立空间直角坐标系． 则(1,0,0)D , (0,0,1)A ,直线的方向单位向量(0,1,0)a =r , ||1a =r． B 点起始坐标为(0,1,0),直线的方向单位向量(1,0,0)b =r, ||1b =r ． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ', 其中为B C '与CD 的夹角, [0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--u u u r , ||2AB '=u u u r． 设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2α∈,则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]a AB θθαθ--⋅==∈'r u u u r． 故ππ[,]42α∈, 所以③正确, ④错误．设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2β∈,cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2|cos |AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=u u u r r r u u u rr u u u r .当AB 'u u u r 与夹角为60︒时, 即π3α=,12sin 2cos 2cos 232πθα====． ∵22cos sin 1θθ+=,∴|cos |θ．∴1cos |cos |2βθ=．∵π[0,]2β∈．∴π=3β, 此时AB 'u u u r 与夹角为60︒．∴②正确, ①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题, 每个试题考生都必须作答．第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC ∆的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知sin 0A A =, a =, 2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点, 且AD AC ⊥, 求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即()ππ3A k k +=∈Z , 又()0,πA ∈,∴ππ3A +=, 得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=, 故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===,由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=∵AC AD ⊥, 即ACD △为直角三角形,则cos AC CD C =⋅, 得CD由勾股定理AD =又2π3A =, 则2πππ326DAB ∠=-=, 1πsin 26ABDS AD AB =⋅⋅△18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同, 进货成本每瓶4元, 售价每瓶6元, 未售出的酸奶降价处理, 以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验, 每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25, 需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，, 需求量为300瓶；如果最高气温低于20, 需求量为200瓶, 为了确定六月份的订购计划, 统计了前三年六月份各天的最高气温数据, 得下以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时, Y 的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量可取200,300,500()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯()257425003035P X ++===⨯.⑵①当200n ≤时：, 此时max 400Y =, 当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+= 此时max 520Y =, 当300n =时取到. ③当300500n <≤时,()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n -=此时520Y <.④当500n ≥时, 易知一定小于③的情况. 综上所述：当300n =时, 取到最大值为520.19．（12分）如图, 四面体ABCD 中, △ABC 是正三角形, △ACD 是直角三角形．ABD CBD ??, AB BD =．（1）证明：平面ACD ^平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E , 若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O , 连接BO , DO ； ABC ∆Q 为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形, DB C ED BC EOADC ∠为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =, 则AB AC BC BD a ====易得：OD =,OB = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥ OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩I 平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点 以O 为原点, OA u u u r 为轴正方向, OB u u u r为轴正方向, OD u u u r为轴正方向, 设AC a =, 建立空间直角坐标系,则()0,0,0O , ,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r , ,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r , ,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面AED 的法向量为1n u u r , 平面AEC 的法向量为2n u u r,则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r ,解得1n =u u r 2200AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r ,解得(20,1,n =u u r 若二面角D AE C --为, 易知为锐角,则1212cos n n n n θ⋅==⋅u u r u u r uu r u u r20．（12分）已知抛物线2:2C y x =, 过点（2, 0）的直线交C 于A , B 两点, 圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4, 2-）, 求直线与圆M 的方程．【解析】⑴显然, 当直线斜率为时, 直线与抛物线交于一点, 不符合题意．设:2l x my =+, 11(,)A x y , 22(,)B x y ,联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=,2416m ∆=+恒大于, 122y y m +=, 124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+uu r uu u r12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥u u r u u u r, 即O 在圆M 上．⑵若圆M 过点P , 则0AP BP ⋅=uu u r uu r1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或①当12m =-时, :240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ,120122y y y +==-, 0019224x y =-+=,半径||r OQ =则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时, :20l x y --=圆心为00(,)Q x y ,12012y y y +==, 0023x y =+=,半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥, 求的值；（2）设m 为整数, 且对于任意正整数, 2111(1)(1)(1)222nm ++鬃?<, 求m 的最小值．【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--, 0x >则()1a x af x x x-'=-=, 且(1)0f =当0a ≤时, ()0f x '>, ()f x 在()0+∞，上单调增, 所以01x <<时,()0f x <, 不满足题意；当0a >时,当0x a <<时, ()0f x '<, 则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时, ()0f x '>, 则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <, ()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >, ()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =, ()f x 在(0,1)上单调递减, 在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k +<, *k ∈N一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)n n n ++++++<+++=-<,即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时, 2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N , 2111(1)(1)...(1)222n m +++<,∴m 的最小值为．22．选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中, 直线的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数）, 直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）, 设与l 2的交点为P , 当k 变化时, P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设:(cos sin )l ρθθ3+0, M 为与C 的交点, 求M 的极径． 【解析】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k=+ ……②①②消可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③ 联立曲线C和224x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ=即M．23．选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2． （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空, 求m 的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时, 211-x ≥, 解得1x ≥；③当2x ≥时, ()31=f x ≥恒成立.综上, ()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥,令()()2g x f x x x =-+, 则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时, ()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时, ()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时, ()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上, ()max 54g x =⎡⎤⎣⎦, 故54m ≤.。