2019年普通高等学校招生全国统一考试(3)

2019年普通高等学校招生全国统一考试3数 学(理科)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．已知集合{0,1,2,3,4}A =，集合{|2,}B x x n n A ==∈，则A B =I ( ) A ．{0} B ．{0,2,4} C ．{2,4} D ．{0,2} 2．若复数3i(12ia z a R +=∈-，i 是虚数单位）是纯虚数，则z 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．i 3 D ．i 23．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8， 则落在(0,80)内的概率为 （ ） A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D.0.2 4．命题:p ∀R ∈x ，012>+x ，命题:q R ∈∃θ，5.1cos sin 22=+θθ，则下列命题中，真命题是（ ）A ．q p ∧B ． q p ∧⌝C ． q p ∨⌝D ． )(q p ⌝∧5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7 B ． 12 C ．14 D ．21 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A ．3 B ．11 C ．38 D ．1237．直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切， 则m 的值为 ( )A ．1或6-B ．1或7-C ．1-或7D ．1或17-8．已知曲线1ln 342+-=x x y 的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（ ） A ． 3B ． 2C ． 1D ．21否开始1a =22a a =+是10?a ≤a 输出结束9． 已知直线m 和平面,αβ，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥ B ． 若//m α，//m β，则//αβ C ．若//αβ，//m α，则//m β D ． 若//αβ，m α⊥，则m β⊥10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离为3（c 为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（ ） A．32CD． 11．若,,a b c 均为单位向量，12⋅=-a b ，(,)x y x y =+∈R c a b ，则x y +的最大值是（ ） A ．1 B ．D ． 212．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=．当[0,1]x ∈时，()2f x x =．若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22(,)53B ．24(,)35C ．2(,2)3D ．(1,2) 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,满分20分．13．设2652601(1)(12)x x a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+，则2a = ．14．已知函数sin()y x ωϕ=+(0,0)2πωϕ><<的图象如图，则ϕ= ．15．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，(2)0f =， 若(1)0f x ->，则x 的取值范围是_______. 16．曲线3()f x x x=-上任一点P 处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为 ． 三、解答题：17．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，252,16a a ==． （1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}n b 中，1582,b a b a ==，求等差数列{}n b 的前n 项的和n S ，并求n S 的最大值．18．（本小题满分12分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （3）在（2）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望.19．（本题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2PA AB AC ===，BC =（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为5，求AN NB 的值20．（本题满分12分）已知抛物线22(0)y px p =>的准线与x 轴交于点(1,0)M -．（1）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；（2）是否存在过焦点的直线AB （直线与抛物线交于点A ，B ），使得三角形MAB 的面积等于？若存在，请求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．MPDCA BN21．（本小题满分12分）已知函数()1xf x e ax =-- (a 为常数)，曲线()y f x =在与y 轴的交点A 处的切线斜率为1-．（1）求a 的值及函数)(x f 的单调区间； （2）证明：当0>x 时，1e 2+>x x；（3）证明：当*∈N n 时，3111(1)1ln 23(3e)nn n +++++>L ．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是2(242x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=．（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）设M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()|2|f x x =-． （1）解不等式()30xf x +>； （2）对于任意的(3,3)x ∈-，不等式()f x m x <-恒成立，求m 的取值范围．2019年普通高等学校招生全国统一考试3数 学(理科) 答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分．1．【解析】{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A ==∈=，∴{0,2,4}A B =I ．2． 解析】3i (3i)(12i)632i 12i (12i)(12i)55a a a az +++-+===+--+， ∵z 是纯虚数，6a =，∴3i z =．3．【解析】1(080)[1(80120]0.12P P ξξ<<=-<<=． 4．【解析】命题p 真，命题q 假，则命题q ⌝真，故选D ．5．【解析】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列． ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===． 6．【解析】第一次输出的值为2123+=，第二次输出的值为23211+=． 7．【解析】圆方程可化为22(1)(1)2x y +++=，=1m =或7m =-．8．【解析】132y x x '=-，令13122x x -=，解得3x =． ∴圆心到直线的距离等于半径， =1m =或7m =-．10．【解析】双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，， =，∴2254b a =，∴32c e a a ====．11．【解析】,,a b c 均为单位向量，∴1===a b c ，∵22()x y =+c a b ，∴221x y xy =+-， ∴22()133()2x y x y xy ++-=≤， ∴2()4x y +≤，∴22x y -≤+≤．12．【解析】画出()y f x =与直线y ax a =+的图象， 直线2y ax a =+恒过定点(2,0)-， 由图可知(2,0),(1,2),(3,2)P A B -． ∴PBPA k a k <<，∴2253a <<．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,满分20分．13． 30【解析】5(12)x +的通项155(2)2r r r r r r T C x C x +==，2215521221130a C C =⨯-⨯=．14．3π【解析】∵74123T ππ=-，∴T π=，2ω=．∵7sin(2)112πϕ⨯+=-，∴7sin()16πϕ+=-，∵2πϕ<，∴3πϕ=．15．(1,3)-【解析】∵偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，(2)0f =， ∴()0f x >，可得22x -<<，∵(1)0f x ->， ∴212x -<-<，解得13x -<<．16．6【解析】∵3()f x x x =-，∴23()1f x x'=+． 设00(,)P x y ，则切线方程为00203(1)()y y x x x -=+-， 令0x =，得06y x =-． 由00203(1)()y xy y x x x =⎧⎪⎨-=+-⎪⎩，解得0022x x y x =⎧⎨=⎩．∴0016262S x x =⋅-⋅=． 三、解答题：17．【解析】（1）在等比数列{}n a 中，设公比为q ， ∵252,16a a ==,∴ 141216a q a q =⎧⎨=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩， ∴ 数列{}n a 的通项公式是 12n n a -=．（2）在等差数列{}n b 中，设公差为d ．∵1582,b a b a ==,∴1582=16=2b a b a =⎧⎨=⎩，∴1116+7=2b b d =⎧⎨⎩，∴1=16=2b d ⎧⎨-⎩．221(1)1728917()224n n n S b n d n n n -=+=-+=--+， 当8n =或9时，n S 最大值为72．18．【解析】（1）依题意，0.0451000200a =⨯⨯=，0.025*******b =⨯⨯=.（2）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：30x =， ∴优秀的学生人数为30名.（3）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===，()0125213522E X =⨯+⨯+⨯=，∴X 的数学期望为32.19．【解析】（1）证明：∵2AB AC ==，BC = ∴222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥．∵AB ∥CD ，∴AC CD ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴ PA CD ⊥． ∵ AC PA A =I ，∴CD ⊥平面PAC ．（2）以A 为原点建立空间直角坐标系,如图，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(2,2,0)D -，(0,0,2)P ． ∵M 是棱PD 的中点，∴(1,1,1)M -．∴(1,1,1)AM =-u u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r．设平面MAB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由00AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rn n ，得020x y z x -++=⎧⎨=⎩， 取1y =，∴(0,1,1)=-n ．∵N 是在棱AB 上一点，∴设(,0,0)N x ，(,2,0)NC x =-． 设直线CN 与平面MAB 所成角为α，∴则sin cos ,5||||NC NC BA α⋅=<>===⋅u u u ru u u r n n n ，解得1x =，即1AN =，1NB =，∴ 1ANNB=. 20．【解析】（1）由已知可得12p-=-， ∴2p =．∴抛物线的方程为24y x =，焦点坐标(1,0)F ． （2）设直线AB 的方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y t +=，124y y ?-．121()2MAB AMO BMO S S S MF y y ∆∆∆=+=+ 12y y =-====1t =±．故直线AB 的方程为：10x y +-=或10x y --=．21．【解析】（1）由()e 1xf x ax =--，得()e xf x a '=-.又(0)11f a '=-=-，∴2a =. ∴()e 21xf x x =--，()e 2xf x '=-.由()e 20xf x '=->，解得ln 2x >.∴ 函数)(x f 在区间(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增.（2）证明：由（1）知ln 2min ()(ln 2)e 2ln 211ln 4f x f ==--=-.∴()1ln 4f x ≥-，即e 211ln 4x x --≥-，e 22ln 40xx -≥->. 令2()e 1xg x x =--，则()e 20xg x x '=->. ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，∴2()e 1(0)0xg x x g =-->=，即2e 1x x >+.(2)首先证明：当0x >时，恒有31e 3xx >. 证明如下：令31()e 3xh x x =-，则2()e x h x x '=-. 由(2)知，当0x >时，2e xx >，∴()0h x >，∴()h x 在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)10h x h >=>，∴31e 3xx >. ∴31ln()3x x >，即ln33ln x x +>. 依次取231,,,12n x n+=L ，代入上式，则 22ln 33ln 11+>， 33ln 33ln 22+>， ……11ln 33lnn n n n+++>. 以上各式相加，有231231ln 33ln()1212n n n n n++++++>⨯⨯⨯L L∴()111(1)ln 33ln 123n n n n ++++++>+L ，∴()11113ln 1ln 323n n n n++++>+--L ，即()311111ln 233en n n n +++++>L ．22．【解析】（1）直线l 的普通方程为0x y -+=，曲线C 的直角坐标系下的方程为22((1x y -++=，圆心22(,)22-到直线420x y -+=的距离为52512d ==>，∴直线l 与曲线C 的位置关系为相离． （2）设22(cos ,sin )22M θθ+-+， 则cos sin 2sin()[2,2]4x y πθθθ+=+=+∈-．23．【解析】（1）()30xf x +>，即230x x -+>，∴20(2)30x x x -≤⎧⎨-+>⎩， 或20(2)30x x x ->⎧⎨-+>⎩，解得12x -<≤，或2x >，∴不等式解为(1,)-+∞． （2）∵()f x m x <-，∴()f x x m +<．∴2x x m -+<，(3,3)x ∈-恒成立，设()2g x x x =-+，则22,30,()2,02,22,2 3.x x g x x x x --<≤⎧⎪= <≤⎨⎪- <<⎩(3,0]x ∈-时，2()8g x ≤<； (0,2]x ∈时，()2g x =； (2,3)x ∈时，2()4g x <<； ∴(3,3)x ∈-时，2()8g x ≤<，∴8m ≥时，不等式()f x m x <-在(3,3)-上恒成立．。