概率论-2.3 随机变量的分布函数与连续型随机变量

随机变量 X 的概率密度可以取为
f (x) F(x) 10,
a2 x2 , a x a, 其它.
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例3 某电子元件的寿命（单位：小时）是以
f x 1000
x2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元件
在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.
解：设A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换}
则
PA
PX
150
150
f (x)d x
150
100
100 x2
d
x
检验 5 个元件的使用寿命可以看作
100150 x 100
1 3
是在做一个5重Bernoulli试验．
设B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150小时 }
则
P
B
连续型随机变量 X 可由其密度函数唯一确定． 还可以得出连续型随机变量 X 的分布函数一定连续．
2. 性质 由定义知道，概率密度 f (x) 具有以下性质：
f (x)
10 f ( x) 0.
20
f
( x)dx
1.
1
x
0 上页 下页 返回
10 f ( x) 0.
另外，可以证明:
20
f
( x)dx
(3)由
c
3 8
知
X
的概率密度为
f x
3 8
4 x
2
x2
0 x2
由 F ( x)
x
f
(x)d
x
得
0
其它
0,
x 0 0,
x0

正态分布
§2.2 正态分布
3. 几何特征
正态分布
§2.2 正态分布 正态分布
§2.2 正态分布 正态分布
§2.2 正态分布
4. 标准正态分布
正态分布
标准正态分布的概率密度表示为 是偶函数
标准正态分布的分布函数表示为
§2.2 正态分布
重要公式
正态分布
§2.2 正态分布
5. 例题
正态分布
§2.2 正态分布 正态分布
§2.1 随机变量的概念 连续型随机变量 概率密度函数
§2.1 随机变量的概念 连续型随机变量 概率密度函数
指数分布
分布函数
§2.1 随机变量的概念 连续型随机变量 概率密度函数
概率论与数理统计
§2.2 正态分布
正态分布 授课内容
§2.2 正态分布
1. 定义
正态分布
§2.2 正态分布
2. 图形表示
§2.1 随机变量的概念 随机变量的分布函数
2. 性质
§2.1 随机变量的概念 随机变量的分布函数
§2.1 随机变量的概念 随机变量的分布函数
§2.1 随机变量的概念 随机变量的分布函数
3. 离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{ X xk }
分布函数 F( x) P{X x} pk xk x
其中 p( x) 称为 X 的概率密度函数,简称概率密度.
随机变量
离散型随机变量 概率分布列
授课内容
随机变量的分布函数 连续型随机变量 概率密度函数
§2.1 随机变量的概念 随机变量的分布函数
1. 分布函数的定义
§2.1 随机变量的概念 随机变量的分布函数
说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.

（2）指数分布 若随机变量 的密度函数p( x) 为：
e x , x 0 p ( x) ( 0) ，则称 服从参数为 的指 0, x 0
数分布，记作 ~ E( )
指数分布是一种应用广泛的连续型分布，它 常被用来描述各种“寿命”的分布，例如无线电 电元件的寿命、电话问题中的通话时间等都可以
k ) 2 (k ) 1
注意 这个概率与 无关.
例2.3.7 设随机变量 （1）P(102 117) （2）常数a，使得

服从正态分布 N (108,9) 求
P( a) 0.95
解（1） P(102 117 ) (117 108 ) (102 108 )
2） F ( x) p(t )dt
xபைடு நூலகம்
x
注意
1) 求密度函数中的待定常数往往借助 2) 由密度函数求分布函数需要对自变
于密度函数的性质.
量的情形进行讨论.
例2.3.3 设连续型随机变量的分布函数为
0, x a xa F ( x) ,a x b b a 1, x b
则称 服从区间a, b 上的均匀分布，记作 ~ U a, b 向区间
a, b 上均匀投掷随机点，则随机点的
坐标 服从 a, b 上的均匀分布.在实际问题中， 还有很多均匀分布的例子，例如乘客在公共汽车 站的候车时间，近似计算中的舍入误差等都服从 均匀分布.
设随机变量 ~ U a, b ，则对任意满足c, d a, b
解：
P ( ) P ( 1
1) 2 (1) 1 0.6826
2) 2 (2) 1 0.9545

31
标准正态分布的计算
如果随机变量 X ~ N 0, 1 ，则 X 的密度函数为
x
1
x2
e2
2
x ．
其分布函数为
x
x tdt
1
x t2
e 2 dt
2
x ．
教材的附录中给出了x 在某些点处的值．
对于 x 0，我们可以直接查表求出x PX x的
某些值．
第五节 常见的连续型随机变量
率为 0．
⑵ 随机变量 X 在区间 a, b 内的任一子区间上取值
的概率仅与该子区间的长度成正比，而与该子区间的形
状及子区间在 a, b内的位置无关．
第五节 常见的连续型随机变量
4
均匀分布的分布函数
如果随机变量 X 服从区间 a, b 上的
均匀分布，则 X 的分布函数为
0
F
x
x b
1
a a
为 f
1
2 ，可知当 越小时，曲线 y f x 的图形就越
陡，因而随机变量 X 落在点 附近的概率就越大；反之，
当 越大时，曲线 y f x 的图形就平坦，因而随机变量 X 的
取值就越分散．
第五节 常见的连续型随机变量
30
正态分布的重要性
正态分布是概率论中最重要的分布．这是因为：
⑴ 自然界及大量的科学、工程、技术、经济、社会中
a
b
a
0dx
b a
b
1
a
dx
0dx
b
1
．
这表明， f x 满足密度函数的条件．
第五节 常见的连续型随机变量
3
均匀分布的概率背景
如果随机变量 X 服从区间 a, b上的均匀分布，则随 机变量 X 在区间 a, b上取值是“等可能”的，即：

20
1
1 x
e 10 dx
e1
e2
10 10
2020年6月16日星期二
19
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例： 设连续型随机变量的分布函数为
A Be2x，x 0
F(x)
1.求常数A,B；
0, x 0
2. 求X的概率密度函数 。
解：1.由分布函数的性质：F( ) 1
即 lim (A Be2x ) 1 x
一、均匀分布
定义：若连续型随机变量X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它.
则称X服从 a,b 上的均匀分布。记为 X : U a,b
意义：X“等可能”地取区间 a,b中的值，这里的“等可能” 理解为： X落在区间 a,b中任意等长度的子区间内的可能性是
相同的。即等长度，等概率。
2e2x， x 0 f (x)
0, x 0
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指数分布的无记忆性：
对于一个非负的随机变量，如果对于一切s,t≥0，有
PX s t | X t PX s
则称这个随机变量具有无记忆性。
直观理解：若X表示仪器的寿命，那么上式说明:已 知此仪器已使用t时，它总共能工作s+t小时的概率等于 从开始使用时算起，它至少能工作s小时的概率．
1 3
2 3
[1
1 3
]
0.7486 (1 0.6293) 0.3779
2. PX 01 PX 01 (1) (1) 0.8413
3. P X 3 6 PX 9 PX 3

内的概率为：
x 2 x 1
P X a 0
yf x
f x
P x X x x dx 1 2 f
O
P x X x 1 2
x1
x2
x
概率密度 f ( x )不是随机变量 X 取值 x的概率 , 而是 X 在点 x的概率分布的密集程度 , f ( x )的大小能反 映出 X 取 x附近的值的概率大小。 因此对于连续型随
P a X b P a X b P a X b
y F (x)
P a X b ( bF ) ( a ) F
1
连续型随机变量 X 的分布函数
F (x)
o
x
4
一定是连续函数
例1 射手射击时，设目标靶是半径为20厘米的圆盘，以 X 表示 弹着点到圆盘中心的距离，射手击中以靶心为中心，以 X 为半径 的圆内的概率，与圆盘上以 X 为半径的同心圆的面积成正比， 设每次射击都能中靶，试求 X 的分布函数 F ( x )

P x X x x dx 1 2 f
x 2 x 1
三、连续型随机变量一般定义 四、连续型随机变量的常见分布
U ( a ,b ) 1、均匀分布 X~
1 , f x ba 0, a x b 其 它
2、指数分布
X ~ e .
13
练习 (柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为
F ( x ) A B arctan x , x . 求: (1)系数 A 及 B ; (2) 随机变量X 落在区间(-1,1)内的概率;
(3)随机变量X的概率密度.
解 (1) lim F ( x ) lim A B arctan x A B 0, x x 2 lim F ( x ) lim A B arctan x A B1 , x x 2 1 1 11 解得 A , B . F ( x ) arctan x , x . 2 2 1 1 1 1 1 (2) P . 1 X 1 F 1 F 1 2 4 2 4 2

14
Probability and Statistics
③正态分布（或高斯分布）
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x μ 2σ2
)2
x
,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为 μ, σ
的正态分布或高斯分布,记为 X ~ N ( μ,σ2 ).
15
②指数分布
Exponent(指数)
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
1 θ
e
x
θ
,
x 0,
0,
x 0.
其中 θ 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数
分布.记作X E( ).
10
Probability and Statistics
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的 寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.
故在计算X落在某一区间的概率时，可以不必 考虑区间是否包括端点,即
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}
4
Probability and Statistics
源“ 概 率 密 度 ” 名 称 的 来
设f (x)在点x处连续，则有
P(x X x x)
1
a
,
a
x
b,
1
0,
其他
ba
0a
则称X在区间（a,b)上服从均匀分布,
记为XU(a,b).
bx
7
Probability and Statistics
例2 等待时间 公共汽车每10分钟按时通过一车站， 一乘客在随机选择的时间到达车站.以X记他的等车 时间（以分计），则X是一个随机变量，且有

x
e
dt , x
概率论
( x)
( x )
概率论
7. 标准正态分布与一般正态分布的关系 定理1
X 若 X ~ N , , 则 Z ~ N 0 , 1 .
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个一 般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布.
概率论
例2 在一公共汽车站有甲、乙、丙 3人，分别等1、2、3路公交车，设 每人等车时间（分钟）都服从[0，5] 上的均匀分布，求3人中至少有2人 等车时间不超过2分钟的概率。
概率论
（II）指数分布 1. 含义：随机变量X描述对某一事件发生的 等待时间，各种不会变老的物品寿命。 2. 密度函数：若 r .v. X具有概率密度

x 2
2
Φ(x)
概率论
作业
58页，24，25，26，27，29，30
概率论
3σ准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P{|X| ≤ 1}=2 Φ(1)-1=0.6826 P{|X| ≤ 2}=2 Φ(2)-1=0.9544 P{|X| ≤ 3}=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
(2) X ~ N ( , 2 ), 求区间概率
X 若 X ~ N ( , ), 则 Y ~N(0,1)
2
P{ a X
a b Y } b} P{
b a ( ) ( )
概率论
例3 若 r. v. X～N(10,4),求 P{10<X<13}, P{│X-10│<2}. 例4 若 r. v. X～N(μ,σ2), P{X ≤ -1.6}=0.036， P{X ≤ 5.9}=0.758，求 P{X> 0}

2、指数分布 定义3 设连续型随机变量X的概率密度为
ex, x0,
f (x)0,
其它 ,
其中λ >0为常数,则称随机变量X服从参数为θ 的 指数分布.
分布函数为
1ex, x0,
F(x) 0,
其它 .
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
可得：
（1）P(Xt)et(t0) （2）P ( t 1 X t2 ) e t 1 e t2 ( 0 t 1 t2 )
P ( 1 0 X 1 5 ) P ( 2 5 X 3 0 ) 1 5 1 d x 3 0 1 d x 1
1 0 3 0 2 5 3 0 3
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
练习 设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程
4 x24 K x K 20
(1)P{X10}0 10P{X10}00 1F(10)00
0,

x 1b,

a a
,
x a, a x b, x b.
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
均匀分布的概率密度的图形
均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等长 度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度 成正比，而与子区间的起点无关。
均匀分布的分布函数的图形
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
例3 设公交车站从上午7时起，每15分钟来一班车. 某乘客在7时到7时半之间随机到达该站，试求 他的候车时间不超过5分钟的概率.
解：该乘客于7时过X分到达该车站.依题意 X U(0,30) 候车时间不超过5分钟，即10X15或 25X30

称X服从参数为 ,的正态分布或 高斯分布,记为 X～N( , 2) f(x) 1 (1)关于直线x 对称; 1 2 ( 2)最大值为 ; 2 ( 3)在x 处有拐点. o x 可求得X的分布函数为: ( t )2 x 1 2 2 F ( x) dt e 2
1 2

x

u2 2

du (x源自) (4) a<b, X～N( , 2) ,有: b a P(a X b) ( ) ( )

例7 设X～N(3,4),试求:
(1) P(2<X≤5) (2) P(2<X<7)
(3)若P(X>c)=P(X≤c),求c的值
0
得 P(X=a)=0
故: (1) P(A)=0 A是不可能事件 (2) 连续型随机变量X落在区间的概率 与区间是否包含端点无关 即: P(a<X≤b)=P(a≤X<b) =P(a<X<b) =P(a≤X≤b)
例1 设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)=Ae－|x| , <x<+ 试求: (1)常数A (2) P(0<X<1) (3) X的分布函数
24
p P( X 10) 1 P( X 10)
1
10 0
1 e dx 1 e 5

x 5

x 5 10 0
| e
2
由于顾客每次去银行都是独立的，Y~B(5,p)
因此Y的分布律为
P (Y k ) C p (1 p )
k 5 k 5 k 2 5 k 2k
解: =3, =2
( x 3 ) 又 F ( x ) ( ) 2