第一章质点运动学
§1-1质点运动的描述
一、参照系坐标系质点
1、参照系
为描述物体运动而选择的参考物体叫参照系。 2、坐标系
为了定量地研究物体的运动，要选择一个与参照系相对静止的坐标系。如图1-1。 说明：参照系、坐标系是任意选择的，视处理问题方便而定。 3、质点
忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。
说明：⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中有很多理想模型）
⑵质点突出了物体两个基本性质1）具有质量
2）占有位置
⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。
二、位置矢量运动方程轨迹方程位移 1、位置矢量
定义：由坐标原点到质点所在位置的矢量称为位置矢量（简称位矢或径矢）。如图1—2，取的是直角坐标系，
r
为质点P 的位置矢量
k z j y i x r
++=（1-1）
位矢大小：
222z y x r r ++==
（1-2）
r
方向可由方向余弦确定：
r
x =
αcos ，r
y =
βcos ，r z =γcos
图 1-2
y
图 1-1
2、运动方程
质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运动方程。
运动方程⑴矢量式：k t z j t y i t x t r
)()()()(++=（1-3） ⑵标量式：)(t x x =，)(t y y =，)(t z z =（1-4） 3、轨迹方程
从式（1-4）中消掉t ，得出x 、y 、z 之间的关系式。如平面上运动质点，运动方程为t x =，2t y =，得轨迹方程为2x y =（抛物线） 4、位移
以平面运动为例，取直角坐标系，如图1—3。设t 、t
t ∆+时刻质点位矢分别为1r 、2r
，则t ∆时间间隔内位矢变化为
1-5） 称r
∆为该时间间隔内质点的位移。
j y y i x x r r r
)()(121212-+-=-=∆（1-6） 大小为
212212)()(y y x x r -+-=∆
讨论：⑴比较r
∆与r ：二者均为矢量；前者是过程量，后者为瞬时量
⑵比较r
∆与s ∆（A →B 路程）二者均为过程量；前者是矢量，后者是标量。一般情况下s r ∆≠∆
。当0→∆t 时，s r ∆=∆
。 ⑶什么运动情况下，均有s r ∆=∆
？
三、速度
为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。 1、平均速度
如图1-3，定义：t
r
v ∆∆= （1-7）
称v
为t t t ∆+-时间间隔内质点的平均速度。
j v i v j t y i t x t r v y x +=∆∆+∆∆=∆∆=(1-8）
v
方向：同r ∆方向。
说明：v
与时间间隔)(t t t ∆+-相对应。
2、瞬时速度
v
粗略地描述了质点的运动情况。为了描述质点运动的细节，引进瞬时速度。
定义：dt
r d t r v v t t
=∆∆==→∆
→∆00lim lim 图 1-3
称v
为质点在t
1-9） 结论
j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==（1-10）
式中dt dx v x =
，dt
dy v y =。x v 、y v 分别为v
在x 、y 轴方向的速度分量。 v
的大小：
2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==
v 的方向：所在位置的切线向前方向。v
与G 正向轴夹角满足x
y v v tg =
θ。 3、平均速率与瞬时速率
定义：t
t t t t s v ∆∆+-=∆∆=
内路程
（参见图1-3） 称v 为质点在t t t ∆+-时间段内得平均速率。为了描述运动细节，引进瞬时速率。
定义：dt
ds
t s v v t t =∆∆==→∆→∆00lim lim
称v 为t 时刻质点的瞬时速率，简称速率。
当0→∆t 时（参见图1-3），r d r
=∆，ds s =∆，有ds r d =
可知：v dt r d dt r d
ds v
====
1-11）
结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。 说明：⑴比较v 与v
：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。
⑵比较v 与v ：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。
四、加速度
为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概念。
1、平均加速度
定义：t
v v t v a ∆-=∆∆=1
2
（见图1-4） 称a
为t t t ∆+-时间间隔内质点的平均加速度。
2、瞬时加速度
为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。
图 1-4
2
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定义：dt
v d t v a a t t
=
∆∆==→∆→∆00lim lim 称a
为质点在t
1-12）
结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。 j dt
y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x
2222+=+==
式中：22dt x d dt dv a x x ==
，22dt
y d dt dv a y y ==。x a 、y a 分别称为a
在G 、P 轴上的分量。 a 的大小：2
2222222
2
2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x a 的方向：a
与G 轴正向夹角满足x
y a a tg =θ 说明：a 沿v 的极限方向，一般情况下a 与v
方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运动）。 瞬时量：r ，v ，v ，a
综上：过程量：r ∆，v ，v ，a
矢量：r ，r ∆，v ，v ，a ，a
标量：s ∆，v ，v
五、直线运动
质点做直线运动，如图1-5 1、位移
i x i x i x r r r
∆=-=-=∆1212 0>∆x ：r ∆沿+G 轴方向；0<∆x ：r
∆沿-G 轴方向。
2、速度
i v i dt
dx dt r d v x ===
0>x v ，v 沿+G 轴方向；0沿-G 轴方向。
3、加速度
i a i dt
dv dt v d a x x ===
0>x a
，a 沿+G 轴方向；0沿-G 轴方向。
由上可见，一维运动情况下，由x ∆、x v 、x a 的正负就能判断位移、速度和加速度
12
x
图 1-5
