第⼀章概率论的基本概念
第⼀章 概率论的基本概念
⼀、随机事件其运算1．随机试验、样本点和样本空间
(1)随机试验
随机试验具有如下特点的试验．1、在相同的条件下，试验可以重复进⾏．
2、试验的所有可能结果是预先知道的，并且不⽌⼀个．
3、每⼀次试验出现那⼀个结果事先不能确定． (2)样本点和样本空间
随机试验的每⼀个可能的(不可分解的)结果，称为这个随机试验的⼀个样本点，记为ω．
随机试验的所有样本点组成的集合，称为这个随机试验的样本空间，记为． Ω2．随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件
在随机试验中，可能发⽣也可能不发⽣的事情称为该试验的随机事件，记为A ,B 等． 随机试验的随机事件可以表⽰为它的⼀些样本点组成的集合．在⼀次试验中，若试验结果是随机事件A 中的⼀个样本点，则称在⼀次试验中事件A 发⽣． 只包含⼀个样本点的事件称为基本事件． 在任何⼀次试验中都发⽣的事件，称为必然事件，它就是Ω所表⽰的事件，因⽽⽤Ω表⽰必然事件．
在任何⼀次试验中都不发⽣的事件，称为不可能事件，它就是由φ所表⽰的事件，因⽽⽤φ表⽰不可能事件．3．事件之间的关系和运算 (1)包含关系
设A ,B 为⼆事件，若A 发⽣必导致B 发⽣，则称事件A 包含于事件B ，或事件B 包含事件A ，记为B A ?．B A ??A ∈?ω必有B ∈ω，见图1—1． (2)相等关系
设A ,B 为⼆事件，若B A ?并且A B ?，则称A 与B 相等，记为B A =，见图1—2．
(3)事件的并
设A ,B 为⼆事件，
称事件“A ,B ⾄少⼀个发⽣(A 发⽣或B 发⽣)”为A ,B 的并(或和)，记为．B A ∪B A ∪}|{B A ∈∈=ωωω或．见图1—3．(4)事件的交
设A ,B 为⼆事件，称事件“A ,B 同时发⽣(A 发⽣且B 发⽣)”为A ,B 的交(或积)．记为或B A ∩AB ．AB }|{B A ∈∈=ωωω且．见图1—4． (5)事件的差
第1章 概率论的基本概念
第1章概率论的基本概念
第一章概率论的基本概念
1.开场白
确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。例如：
向上甩一石子必然行踪?同性电荷必不相互迎合?1+1=2,等等
不确定性现象（也称为偶然性现象或随机现象）：在一次观察
或试验无法确实结果的现象。比如：
抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上。抛掷之前，无法肯定抛掷的结果是什么；?用炮向同一目标射击，各次弹着点不尽相同，在射击之前无法预测弹着点的确切的位z。?新生婴儿是男婴和女婴？?人的身高，等等统计规律性：
上述偶然现象是不是规律性？
在进行大量试验时，偶然现象会呈现某种规律。
这类现象，在试验或观测之前无法预见清楚的结果，但在大
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量重复试验或观测下，却呈现某种规律性，称作随机现象的统计数据规律性。例如：
多次重复抛一枚硬币，得到正面朝上大致有一半，抛掷多次，正面和背面出现的次数比例总是接近1：1，而且大体上抛掷次数愈多，愈接近这个比值。历史上，蒲丰掷过4040次，得到2048次正面，皮尔逊掷过24000次，得到12021次正面。
用炮射击同一目标的弹着点，按照一定规律原产。?新生婴儿中男婴和女婴的比例大约总是1：1。?人的体重合乎“直方图”。
在个别试验中，其结果呈现出不确定性；但在大量重复试验时，其结果又具有统计规律性的现象，称之为随机现象。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
数理统计就是以概率论为理论基础的一个数学分支，就是充斥着概率论的发展而发展出来的。
人口统计?产品抽样检验等。 概率论就是数理统计的基础，而数理统计就是概率论的一种应当
2
用。
简史：
17世纪，法国数学家巴斯卡（pascal）与费马（fermat）就赌徒中的一些问题并作了通信探讨，即为化解这样一个赌徒问题：
1 第一章：概率论基本概念
第一节：事件与概率
1. 互斥事件与对立事件的区别：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
2. 事件的运算规律：
(1) )()()(ABCACCB
(2) BABA，BABA （重点）
(3) BABA （重点）
(4) BABA
3. 概率的性质
(1) 1)(P
(2) )()()()(ABPBPAPBAP
(3) BABAABABA)1(（重点）
(4) 当A，B互斥时：)()()(BPAPBAP
(5) )()()(ABPAPBAP
(6) 当AB时，)()()(BPAPBAP
(7) 满足分配律：BCACCBA)(
BABAABABA)1(的理解：（难点： 等价变形）
A-B: 表示A发生B不发生。
A-AB：表示A减去AB同时发生的部分
BA：表示A发生B不发生
至少有一个 对立 没有一个，至少有两个 对立 最多有一个
最多有一个 对立 至少有两个，最多有两个 对立 至少有三个 2
第二节：等可能概型
1. 古典概型
特征：每次试验有限种可能，且各事件出现的概率相同。
nmAAP)(
2. 几何概型
特征：样本空间是一个区域
总面积的面积AAP)(
第三节：条件概率
条件概率公式： 在A发生的条件下B发生的概率
)()()|(APABPABP，0)(AP
乘法定理：
)()|()(BPBAPABP，0)(BP
或者)()|()(APABPABP，0)(AP
全概率公式：
iiiBPBAPAP)()|()(，0)(iBP
贝叶斯公式： 经典例子：A，B为任意两个随机事件，求)))()()(((PBABABABA
解：))()()(())()()((BABABABABABABABA-----交换律
第一章 概率论的基本概念
一、基本题
1.
设事件,ABAB⊂⊂且
，则事件A
和B
的关系是 ________.
2. ()0.8,()0.1,()________.PAPABPAB=−==已知则
3. 则()0.20,()0.30,PAPB==()0.4PAB∪=,()________.PAB=
4. 已知 ()0.4,(/)0.5,(/)0.25,()_______.PAPBAPABPB====则
5. 设事件A
和B
互为对立事件，则下列各选项错误的是 ________.
[]()0[]()0
[]()1[](/)1APABBPAB
CPABDPBA==
∪==
6. 设A
和B
是任意二事件，则下列各选项错误的是 ________.
[]A
若ABφ=
，则,AB
可能不相容 []B
若ABφ≠
，则,AB
也可能相容
[
若]CABφ=
，则,AB
也可能相容 [
若]DABφ≠
，则,AB
一定不相容
7. 设,ABC和
是任意三事件，则下列各命题正确的是 ________.
[]A
若，则ACBC∪=∪AB=
[]B
若()()PAPB=
，则AB=
[]C
若ABA−=
，则ABφ=
[
若]D()PAB0=
，则ABφ=
8. 设事件A
和B
满足，则 ()0PAB=_________.
[]A
ABφ=
[]B
ABφ≠
[]C
[]
()()0PAPB=D()(PABPA)−=
9. 设A
和B
为任意两个不相容事件，且，则必有 ()()0PAPB>_________.
[]A
AB和
不相容 []B
AB和
相容
[]C
()(PABPB∪=)
[]
D()(PABPB=)
10. 对于任意事件,,ABC
满足ABC∪⊃
，则 _________.
[]A
ABC∪⊃
[]B
ABC⊃
[]C
ABC∪⊂
[]
DABC⊂
11. 设事件AB⊃
，则 ________.
[]A
()1(PBAPA=−)
[]B
(/)()PBAPB=
[]C
()()(PBAPBPA−=−)
